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计算题培优练5 带电粒子在立体空间中的运动
[分值：30 分]
1.(15 分)(2025·江西萍乡市一模)如图所示，三维空间中有坐标系Oxyz，在x<0 空间内存在着沿z 轴负向的
匀强磁场，磁感应强度大小B=1
a√
mU 0
2q
，在x>0 空间内存在着沿z 轴正向的匀强电场，电场强度大小为
E，在y=3a 处有平行于xOz 的荧光屏，在P 点(-√3a，0，0)处有粒子源和加速电场(所占空间不计)，加速电
压为U0，α 粒子( 2
4He)从静止开始经电场瞬间加速，沿x 轴正向飞出，已知α 粒子质量为m，电荷量为q，
不计粒子重力。求：
(1)(5 分)α 粒子在磁场中做圆周运动的半径及时间；
(2)(6 分)α 粒子打到荧光屏上的坐标；
(3)(4 分)α 粒子打到荧光屏产生一个亮点，另有氘核(1
2H)经电场加速进入磁场和电场，最后打在荧光屏上产
生亮点，试判断荧光屏上有几个亮点，若一个亮点，写出判断依据，若两个，求出亮点间距离。
答案 (1)2a π a
3 √
2m
qU 0
(2)(2√3a
3
，3a，4 E a
2
3U 0
) (3)见解析
解析 (1)α 粒子在加速电场中运动，根据动能定理有qU0=1
2mv0
2
解得v0=√
2qU 0
m
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv0=m v0
2
r
代入数据解得r=2a
设α 粒子在磁场中偏转的圆心角为θ，由几何知识可得sin θ=√3a
r
=√3
2 ，θ=π
3
其运动周期为T=2π m
Bq =2πa√
2m
qU 0
故α 粒子在磁场中运动的时间t= θ
2π T=π a
3 √
2m
qU 0
(2)α 粒子离开磁场进入电场做类平抛运动，设α 粒子进入电场时的速度方向与y 轴的夹角为θ'，由几何知
识可得θ'=30°，在y 轴上的位移y1=2a(1-cos θ)=a
进入电场时，沿y 轴的速度vy=v0cos θ'=√3
2 v0，经过t1时间打到荧光屏上，则有y-y1=vyt1，y=3a
结合上述结论解得t1=4a√
m
6qU 0
在z 方向上，则有z=1
2
qE
m t1
2=4 E a
2
3U 0
在x 方向上，则有x=v0sin θ'·t1=2√3a
3
所以α 粒子打到荧光屏上的坐标为
(2√3a
3
，3a，4 E a
2
3U 0
)
(3)设氘核的质量为m1，电荷量为q1，则有m1=1
2m，q1=1
2q
在加速电场中，则有q1U0=1
2m1v'2
解得v'=√
2q1U 0
m1
=√
2qU 0
m
=v0
即氘核在磁场中运动的情况与氦核运动情况相同，同理可知，在电场中的偏转情况也完全相同，因此在荧
光屏上只有一个亮点。
2.(15 分)(2025·江苏常州市一模)真空中的立方体区域边长为L，按如图方式建立空间直角坐标系，底面中心
处有一点状放射源S，仅在abcO 所在平面内向各个方向均匀发射带正电粒子，所有粒子的速度大小均为
v，电荷量为q，质量为m。abfe 面放有一个接收屏，用以接收粒子。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁
场，使接收屏上恰好没有收到任何粒子，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用。
(1)(3 分)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)(4 分)现在立方体内再加竖直向上的匀强电场，要使所有从S 发出的粒子刚好都能从上表面中心P 离开，
求出所有满足条件的电场强度E 的大小；
(3)(8 分)若电场强度E 的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe 屏向左沿z 轴负方向平移L
4 (图中未画出)，求
打在abfe 屏上的粒子中x 轴坐标最大值和最小值时对应点的坐标(x，y，z)。
答案 (1)4 mv
qL (2) 8m v
2
qLn
2π
2(n=1，2，3…) (3)(2+√3
4
L，1
4 L，3
4 L) (1
4 L，1
16L，3
4 L)
解析 (1)所有粒子恰好被束缚在正方形abcO 区域内，由几何关系得r= L
4
粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB=mv
2
r
解得B=4 mv
qL
(2)粒子做圆周运动的周期T=2π r
v
要使所有粒子刚好都能从上表面中心P 离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向上由运动学规律
得
L=1
2·qE
m (nT)2
解得E= 8m v
2
qLn
2 π
2(n=1，2，3…)
(3)粒子运动的俯视图如图所示
由图可知，当SP1为直径时，射出粒子的x 轴坐标为最大值，此时x 轴坐标为
x1=2+√3
4
L
粒子运动的时间为t1=1
2T
此时对应的y 轴坐标y1=1
2·qE
m t1
2
解得y1= L
4
故坐标为(2+√3
4
L，1
4 L，3
4 L)
由图可知，当与abfe 面相切时，射出粒子的x 轴坐标为最小值，此时x 轴坐标为x2= L
4
此时粒子运动的时间为t2=1
4 T
此时对应的y 轴坐标为y2=1
2·qE
m t2
2
解得y2= 1
16L
故坐标为(1
4 L，1
16L，3
4 L)。
