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微专题 86 带电粒子在交变电、磁场中的运动
1．先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场
对粒子运动的影响。2.画出粒子运动轨迹，分析运动空间上的周期性、时间上的周期性，并
注意是否存在多种可能性。
1．空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场。其方向随时间周期性变化，磁感应强度B随时间t
变化的图线如图所示。规定B>0时，磁场的方向穿出纸面，一电荷量 q＝5π×10－7 C，质
量 m＝5×10－10 kg 的带电粒子，位于某点O处，在t＝0时刻以初速度v ＝π m/s沿垂直磁
0
场方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响。则在磁场变
化N个(N为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度大小为( )
A．π m/s B. m/s
C．2 m/s D. m/s
答案 C
解析 带电粒子在磁场中的运动半径为r＝＝0.01 m，周期为T＝＝0.02 s＝5×10－3 s×4，
作出粒子的轨迹示意图如图所示，磁场变化一个周期内，带电粒子的位移为 2×10－2 m，所
以在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内，带电粒子的平均速度的大小等于2 m/s，故C
选项正确。
2．(多选)(2023·湖北襄阳市阶段练习)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空
间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图甲、图乙所示(规定
垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在t＝0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的
带负电的粒子(不计重力)，若电场强度E 、磁感应强度B 、粒子的比荷均已知，且t ＝，两
0 0 0
板间距为，下列说法正确的是( )
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料A．粒子在t 时刻的动能为
0
B．粒子在t～t 时间内的速度变化量大小为
0 0
C．粒子在2t～3t 时间内做匀加速直线运动
0 0
D．粒子在极板间运动的最大位移大小为
答案 ACD
解析 由题可知，0～t 时间内带电粒子做匀加速直线运动，有 a＝，x ＝·t2＝，v ＝at ＝，
0 1 0 1 0
故粒子在t 时刻的动能为E ＝mv2＝，故A正确；t ～t 时间段内，带电粒子只受洛伦兹力
0 k 1 0 0
的作用做圆周运动，故r ＝＝，T＝＝2t ，t 时粒子的速度方向水平，故t ～t 时间内的速度
1 0 0 0 0
变化量大小为Δv＝v＝，故B错误；t～2t 时间段内，磁场方向改变，带电粒子只受洛伦兹
1 0 0
力的作用做圆周运动，2t 时，粒子运动方向竖直向上。
0
根据带电粒子的受力可知，2t ～3t 带电粒子向上做匀加速直线运动。x ＝vt ＋at2＝，v ＝
0 0 2 10 0 2
v ＋at ＝，故C正确；3t ～t 、t ～4t 带电粒子做圆周运动，r ＝＝，两板间距为d＝，故粒
1 0 0 0 0 0 2
子在极板间的运动轨迹如图所示。由上分析可知，当粒子到达对面极板时的水平位移为 x＝
2r＋2r＝，故粒子在极板间运动的最大位移大小为s＝＝＝，故选D正确。
1 2
3．(2023·江苏常州市模拟)如图甲所示，在平面直角坐标系 xOy的第二象限中，有平行于y
轴向下的匀强电场，在y轴的右侧区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强
度大小B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻有一比荷为1×104 C/kg的带正电粒子
(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向以初速度v ＝2×103 m/s进入磁场，开始时，磁场方
0
向垂直纸面向里，粒子最后到达x轴上坐标为(－2 m,0)的P点，求：
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)粒子到达y轴时与O点的距离s；
(3)匀强电场的电场强度大小E。
答案 (1)0.4 m (2)1.6 m (3)3.2×102 V/m
解析 (1)粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力有
qvB＝m
0
解得R＝＝0.4 m
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则T＝＝4π×10－4 s
0～π×10－4 s时间内，粒子运动的周期数为N ＝＝
1
运动轨迹对应的圆心角为120°；
π×10－4～2π×10－4 s内，粒子运动的周期数为N ＝＝
2
运动轨迹对应的圆心角为60°；
2π×10－4～π×10－4 s内，粒子运动的周期数为N ＝＝
3
运动轨迹对应的圆心角为120°，故粒子运动轨迹如图所示
粒子恰好在t＝π×10－4 s时到达y轴，由图知粒子到达y轴时与O点的距离s＝4R＝1.6 m
(3)粒子进入电场后做类平抛运动，则竖直方向有s＝at2＝t2
水平方向有x＝vt
0
解得E＝3.2×102 V/m。
4．(2024·湖南长沙市长郡中学月考)如图a所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，
现将一重力不计、比荷＝1×106 C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过t ＝
1
×10－5 s后，电荷以v ＝1.5×104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面
0
垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化(图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷
第一次通过MN时为t＝0时刻)，计算结果可用π表示。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期；
(2)如果在O点右方43.5 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡
板所需的时间。
答案 (1)见解析 (2)π×10－5 s
解析 (1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r，由Bqv＝
1 1 0
可得r＝＝5 cm
1
当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为r，同理可得r＝＝3 cm
2 2
由圆周运动规律得T＝
当磁场垂直纸面向外时，周期T＝＝×10－5 s
1
磁场垂直纸面向里时，周期T＝＝×10－5 s
2
(2)电荷从t＝0时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图甲所示
从电荷第一次通过MN开始，其运动的周期
T′＝4t＋＋＝×10－5 s
1
每个周期电荷沿MN向挡板移动距离为Δd＝2(r－r)＝4 cm
1 2
根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9个，即s＝9Δd＝36 cm
则最后(43.5－36)cm＝7.5 cm的距离的轨迹如图乙所示
由几何关系可得r＋rcos α＝7.5 cm
1 1
解得cos α＝0.5，即α＝60°
故电荷运动的总时间t ＝t＋9T′＋T－T＝π×10－5 s。
总 1 1 1
5．(2024·江苏扬州市阶段练习)如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正
方向的匀强电场，右侧有以点(2L,0)为圆心、半径为L的圆形磁场区域，磁场区域边界与x
轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料几乎为零的初速度从P点飘入加速电场中，加速后以速度v 经过右侧极板上的小孔Q点沿x
0
轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为，电子飞出电场后从M点进入圆形
磁场区域，进入磁场时取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场(以垂直于纸面向外
为正方向，图中B 是未知量)，最后电子从N点飞出，不考虑电子的重力。求：
0
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)加速电场的电压U；
(2)电子运动到M点时的速度大小和方向；
(3)磁场变化周期T满足的关系式。
答案 (1) (2)2v，方向与x轴正方向的夹角为60°斜向下 (3)T＝(n＝1,2,3…)
0
解析 (1)在加速电场中，从P点到Q点，由动能定理得eU＝mv2，可得U＝
0
(2)电子从Q点到M点做类平抛运动，有＝at2，L＝vt，电子运动至M点时v ＝，解得v ＝
0 M M
2v
0
cos θ＝＝，解得θ＝60°，即速度方向与x轴正方向的夹角为60°斜向下；
(3)电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N点符合要求的空间条件为n(2Rsin 60°)＝3L－L(n＝1,2,3…)
电子在磁场中做圆周运动的轨道半径R＝解得B＝(n＝1,2,3…)
0
电子在磁场变化的半个周期内恰好转过圆周，同时在MN间的运动时间是磁场变化周期的整
数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是T＝，T＝
0 0
所以T应满足的条件为T＝(n＝1,2,3…)。
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