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微专题 82 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
1．带电粒子进入圆形边界磁场，注意运用对称性做题。2.大量带电粒子平行进入圆形边界
磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象。3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，
将沿半径方向出射。
1. (多选)(2023·安徽芜湖市模拟)国际空间站上的阿尔法磁谱仪(AMS)是探究宇宙中的反物质
和暗物质(即由反粒子构成的物质)的重要仪器，如氚核(H)的反粒子(反氚核)为H。该磁谱仪
核心部分的截面区域是半径为R的圆形匀强磁场区域，该区域磁场方向垂直纸面向外，且
粒子打到磁场边界就被吸收。如图所示，P为粒子的入射窗口，各粒子从P射入时的速度大
小相同，且均沿直径方向，P、a、b、c、d、e为圆周上的等分点，若质子(H)射入磁场区域
后打在a点，则反氚核(H)射入后( )
A．反氚核将打在d点
B．反氚核射入磁场后运动轨迹的半径为质子的
C．反氚核在磁场中运动轨迹的弧长为质子的
D．反氚核在磁场中运动的时间为质子的
答案 AC
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝
m解得r＝。设质子的轨道半径为r，已知各粒子从P射入速度相同，则反氚核(H)的轨道半
径应为r′＝3r。质子射入磁场区域后打在a点，它转过的圆心角θ ＝180°－60°＝120°，根
1
据几何关系得tan ＝tan 60°＝＝，同理对反氚核有tan ＝＝，则θ ＝60°，又由左手定则可
2
知，质子刚射入磁场时受到的洛伦兹力竖直向下，则反氚核应从d点射出磁场，故A正确，
B错误；
根据数学知识可知轨迹弧长为l＝rθ，可知反氚核在磁场中运动的轨迹弧长为质子的，故C
正确；
根据带电粒子在磁场中运动的周期公式可知氚核的周期为T＝，质子在磁场中运动轨迹的圆
心角为θ ＝120°，反氚核在磁场中运动轨迹的圆心角为θ ＝60°，根据t＝T，可知质子在磁
1 2
场中运动的时间为反氚核在磁场中运动时间的，故D错误。
2. (2023·云南玉溪市期末)如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，磁场的左边垂直x轴放置一线型粒子发射装置，能在0≤y≤R的区间
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料内各处沿x轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为 m、电荷量为
q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转
击中y轴上的同一位置，则下列说法中正确的是( )
A．粒子都击中O点处
B．粒子的初速度为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子到达y轴上的最大时间差为－
答案 D
解析 由题意，某时刻发出的粒子都击中的点是y轴上同一点，由最高点射出的粒子只能击
中(0，R)，则击中的同一点就是(0，R)，A错误；从最低点射出的粒子也击中(0，R)，那么
粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，则速度v＝，B错误；
偏转角最大的时间最长，显然从最低点射出的粒子偏转 90°，时间最长，t＝T＝·＝，C错误；
从最高点直接射向(0，R)的粒子时间最短，则最大的时间差为Δt＝t－＝－，D正确。
3. (多选)如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场
(图中未画出)。两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从 a点先后沿直径ac
和弦ab方向射入磁场区域，ab和ac的夹角为30°，已知沿ac方向射入的粒子刚好从b点射
出，沿ab方向射入的粒子刚好从O点正下方射出，不计粒子重力。则( )
A．沿ac方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为R
B．沿ab方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(＋1)R
C．沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1
D．沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为
答案 BC
解析 沿ac方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图
中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r＝＝R，故A错误；
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关注公众号《黑洞视角》获取更多资料沿ab方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹 2所示，根据几何关系可知，
该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 满足＝，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r
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＝(＋1)R，故B正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T＝，可知在磁场中的运动周期相
同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入
的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C正确；根据qvB＝，可得v＝，则沿ac方向
射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为，故D错误。
4. 如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为 B的匀强磁场，方向垂直于纸面
向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心入射，通过磁场区域后速度
方向偏转了60°。若使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大
小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d为( )
A.R B.R C.R D.R
答案 B
解析 粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r＝，当粒子的入射点和出射点的连线
是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大。
由图乙可知sin θ＝，平移距离为d＝Rsin θ，解得d＝R，故B正确，A、C、D错误。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料5. 如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为＋q
的带电粒子，以大小为v的速度沿＋x方向自磁场边界上的点P(L,3L)射入，经过点Q(L,0)时
速度方向与x轴负方向成60°角，粒子重力不计。求：
(1)磁感应强度的大小和方向；
(2)圆形有界磁场的最小面积。
答案 (1) 方向垂直于纸面向外 (2)πL2
解析 (1)由于PQ平行于y轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ上，由几何
关系可得r＋＝3L
由牛顿第二定律可得qvB＝m
联立解得B＝
由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外。
(2)设带电粒子从点F飞出磁场后经过Q点，则以PF为直径的圆形有界磁场的面积最小，设
圆形磁场的最小半径为R，由几何关系可得R＝rsin 60°＝L
则最小面积为S＝πR2＝πL2。
6. 如图所示，圆形区域内有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴
相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带正电粒
子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍。已知该带电粒子的质
量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力及粒子间相互作用。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场区域的最大偏转角。
答案 (1) (2)60°
解析 (1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝m，则r＝。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，
故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态
圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，
偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场圆直径时，粒
子通过磁场区域的偏转角最大，sin ＝＝，即φ ＝60°。
max
7. (2023·江西赣州市期末)如图所示，在纸面内存在一半径为R的圆形区域，区域内、外分
别存在大小不同、方向均垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小关系为 B ＝0.5B ，
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以圆形区域中心O为坐标原点，在纸面内建立直角坐标系。O处有一粒子源，可以在纸面
内向各个方向发射速度大小均为v的电子，电子回到O处时会被立即吸收，其中沿与x轴正
方向成α＝60°角发射的电子A，恰好可以经过x轴上的P点(图中未标出)。已知电子的电荷
量为－e、质量为m，圆形区域内磁场的磁感应强度B＝，不考虑电子之间的作用力。求：
1
(1)电子在圆形磁场区域内运动的轨迹半径r；
(2)P点的横坐标x ；
P
(3)要使发射出的所有电子都能回到O处，圆形区域外磁场B 的最小面积S。
2
答案 (1)R (2)R (3)(6＋4)πR2
解析 (1)由洛伦兹力提供向心力，则有Bve＝m，得r＝R
1
(2)由B＝0.5B 得r＝2r＝2R，粒子的部分运动轨迹如图所示
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关注公众号《黑洞视角》获取更多资料根据几何关系MO ＝OO ＝OM＝R，故∠OMO ＝60°，OC＝，CO ＝，OP＝2R，△CPO 中，
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由勾股定理得CP＝，得x ＝OC＋CP＝R
P
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(3)由几何关系可知∠MOO ＝90°，则有OO ＝R，粒子运动到离O点最远的点N(连心线与圆
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O 的交点)，ON＝(＋2)R，圆形区域外的磁场 B 的最小面积为S＝π[(＋2)R]2－πR2＝(6＋
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4)πR2。
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