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第65 练 专题强化：带电粒子在立体空间中的运动
分值：60 分
1、2 题每小题7 分，3、4 题每小题15 分，5 题16 分，共60 分
1.(2024·山东枣庄市检测)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻
璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：
在空间存在平行于x 轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy 平面内以初速度v0沿与x 轴正方向成α 角的方向，
射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(
)
A.匀强磁场的方向为沿x 轴负方向
B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D 减小，而螺距Δx 不变
C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D 增大，而螺距Δx 将减小
D.若仅增大α 角(α<90°)，则直径D 增大，而螺距Δx 将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆
2.如图所示，空间存在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t
＝0 时刻，质子以初速度v0从坐标原点O 沿y 轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，
则( )
A.t＝π m
eB 时刻，质子的速度沿z 轴的负方向
B.t＝π m
eB 时刻，质子的坐标为(mE π
2
2e B
2 ，0，m v0
eB )
C.质子可多次经过x 轴，且依次经过x 轴的坐标值之比为1∶4∶9…
D.质子运动轨迹在yOz 平面内的投影是以O 点为圆心的圆
3.(15 分)(2024·山东威海市检测)某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz 的y>0 区
域有沿－z 方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0 区域有沿－z 方向的匀强磁场，在x＝－2d 处有一
足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q 的粒子从y 轴上P(0，－d，0)点以初速度v0沿＋y 方向
射出，粒子第一次经过x 轴时速度方向与－x 方向的夹角θ＝60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被
吸收。求：
1
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(1)(3 分)粒子的电性；
(2)(5 分)磁感应强度大小B；
(3)(7 分)粒子打到屏上位置的z 轴坐标z1。
4.(15 分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O'、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O'O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x≤0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x≥0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
(1)(7 分)若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
(2)(4 分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tan θ
的绝对值；
(3)(4 分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
5.(16 分)如图，有一个正方体空间Ⅰ(O1a1b1c1－O3a3b3c3)和一个长方体空间Ⅱ(O1a1b1c1－O2a2b2c2)相拼接。以
O1为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系O1－xyz。空间Ⅰ内存在沿z 轴负方向的匀强电场(图中未画出)，
2
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空间Ⅱ内存在沿z 轴正方向的匀强磁场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从O3c3边的
中点P 以初速度v0沿x 轴正方向射入空间Ⅰ，恰好经过正方形O1a1b1c1的中心点Q，并最终从空间Ⅱ的竖
直棱a1a2飞出长方体区域。空间Ⅰ棱长为4L，不计粒子重力。求：
(1)(4 分)匀强电场的电场强度大小；
(2)(5 分)粒子经过Q 点时的速度大小；
(3)(7 分)匀强磁场的磁感应强度大小及长方体空间Ⅱ竖直棱的最小高度。
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答案精析
1.D [将电子的初速度沿x 轴及y 轴方向分解，沿x 轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝
v0cos α·t，沿y 轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁
场方向沿x 轴正方向，故A 错误；
根据evyB＝mv y
2
R
，T＝2π R
v y
，且vy＝v0sin α，解得D＝2R＝2m v0sin α
eB
，
T＝2π m
eB ，所以Δx＝vxT＝2π mv0cosα
eB
，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx 均减小，故B 错误；
若仅增大v0，则D、Δx 皆按比例增大，故C 错误；若仅增大α，则D 增大而Δx 减小，且α＝90°时Δx＝
0，故D 正确。]
2.C [沿x 轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻
沿z 轴负方向，可判断质子在yOz 平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在yOz 平面内的投影是经过O
点的圆，且做圆周运动的周期T＝2π m
eB ，当t＝π m
eB ＝1
2T 时刻，在yOz 平面质子分速度方向沿y 轴负方向，
沿x 轴方向分速度沿x 轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z 轴的负方向，故A、D 错误；当t＝
π m
eB ＝1
2T 时刻，沿x 轴方向Ee＝ma，x＝1
2at2＝1
2· Ee
m ·(π m
eB )2＝π
2mE
2e B
2 ，在yOz 平面内，正好经过半个周
期，则y＝0，z＝－2r＝－2m v0
eB
，所以质子的坐标为(mE π
2
2e B
2 ，0，－2m v0
eB
)，故B 错误；质子每经过一个
周期可经过一次x 轴，沿x 轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依
次经过x 轴的坐标值之比为1∶4∶9…，故C 正确。]
3.(1)正电 (2)m v0
2dq (3)－6 Eq d
2
m v0
2
解析 (1)粒子在磁场中的运动轨迹如图
由左手定则知粒子带正电；
(2)设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ＝d，根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝mv0
2
r
，
解得B＝mv0
2dq
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(3)设粒子经过x 轴时的坐标为－x1，
则x1＋rsin θ＝2d
粒子在y>0 区域电场中做类平抛运动，在xOy 平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛
运动的时间为t1，
则v0cos θ·t1＝2d－x1，
粒子运动的加速度a＝Eq
m
在z 轴负方向运动的距离
z1'＝1
2at1
2
解得t1＝2√3d
v0
，z1'＝6 Eq d
2
m v0
2
所以打到屏上位置的z 轴坐标
z1＝－6 Eqd
2
mv0
2 。
4.(1)2π mv0
eL
(2)2π r
L (3)2π
2r
2v0
2m
Ee L
2
解析 (1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速圆周运动，
设电子入射时沿y 轴的分速度大小为vy，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得L＝v0t
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy＝mv y
2
R
可得R＝mv y
Be
T＝2π R
v y
＝2π m
Be
若所有电子均能经过O 进入电场，则有t＝nT(n＝1，2，3，…)
联立得B＝2π nm v0
eL
当n＝1 时，B 有最小值，可得
Bmin＝2π m v0
eL
(2)将电子的速度分解，有tan θ＝
v y
v0
θ 最大时，tan θ 有最大值，即vy最大，
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此时Rmax＝
mv y m
e Bmin
＝r，
联立可得vym＝2π v0r
L
，tan θ＝2π r
L
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym＝v y m
2
2a
由牛顿第二定律知a＝Ee
m
联立得ym＝2π
2r
2v0
2m
Ee L
2
5. (1)2m v0
2
qL
(2)√17v0 (3)mv0
2qL 4πL
解析 (1)带电粒子在空间Ⅰ中做类平抛运动，运动轨迹如图所示，
根据类平抛运动规律可得2L＝v0t1，4L＝1
2at1
2，qE＝ma，联立解得匀强电场的电场强度大小为E＝2mv0
2
qL
。
(2)在空间Ⅰ中，由动能定理可得qE·4L＝Ek－1
2mv0
2，解得粒子经过Q 点时的动能为Ek＝17
2 mv0
2，所以粒
子经过Q 点的速度大小为v＝√
2 Ek
m ＝√17v0。
(3)将速度v 分解为x 轴正方向的速度v0和z 轴负方向的速度4v0，由于z 轴速度方向与磁场平行，不产生洛
伦兹力，在xO1y 平面内的分速度，使粒子受洛伦兹力，在xO1y 平面内做匀速圆周运动，粒子最终从竖直
棱a1a2飞出，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv0
2
r
，由几何关系可知r＝2L，可得匀强磁场的磁感应强
度大小为B＝m v0
2qL，运动时间为t＝
π r
2
v0
＝π L
v0
，该段时间内，粒子不能脱离空间Ⅱ，故空间Ⅱ竖直棱的最
小高度为H＝4v0t＝4πL。
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