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第 3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，
然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是
“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式
的转化、等比数列{a }的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.
n
例1 (1)直线l过点(0，3)与圆C：x2+y2-2x-2y-2=0交于A，B两点，且|AB|=2√3，则直线l的方程为(
)
A.3x+4y-12=0
B.3x+4y-12=0或4x+2y+1=0
C.x=0
D.x=0或3x+4y-12=0
思路分析 设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解.
答案 D
解析 将圆C：x2+y2-2x-2y-2=0的方程化为(x-1)2+(y-1)2=4，
则圆心C的坐标为(1，1)，半径为2.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=0时，代入圆的方程得y2-2y-2=0，
解得y =1+√3，y =1-√3，
1 2
此时|AB|=1+√3-(1-√3)=2√3，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
|k-1+3| 3
由|AB|=2√3，得圆心C到直线l的距离为√22-(√3) 2=1，故 =1，解得k=- ，
√1+k2 4
3
故此时直线的方程为y=- x+3，即3x+4y-12=0，
4
综上可得，直线l的方程为x=0 或3x+4y-12=0.
(2)已知数列{a }满足a =-2，a =2，a -2a =1-(-1)n，则下列选项不正确的是( )
n 1 2 n+2 n
A.{a }是等比数列
2n-1
5
B. Σ (a +2)=-10
2i-1
i=1
C.{a }是等比数列
2n
10
D. Σ a=52
i
i=1思路分析 a -2a =1-(-1)n→n为奇，{a }为等比数列；n为偶，{a }为等比数列.
n+2 n 2n-1 2n
答案 B
解析 对于A，当n是奇数时，a -2a =2，
n+2 n
所以a +2=2(a +2)，
n+2 n
又因为a =-2，所以a +2=0，
1 1
所以当n是奇数时，a +2=0，即a =-2，
n n
即{a }是以-2为首项，1为公比的等比数列，
2n-1
即选项A正确；
对于B，由A知，当n是奇数时，a +2=0，
n
5
所以 Σ (a +2)=0，
2i-1
i=1
即选项B错误；
对于C，当n为偶数时，a -2a =0，
n+2 n
即a =2a ，
n+2 n
a
n+2
又因为a =2，所以 =2，
2 a
n
所以{a }是以2为首项，2为公比的等比数列，
2n
即选项C正确；
10
2×(1-25
)
对于D， Σ a=(a +a +a +a +a )+(a +a +a +a +a )=-10+ =52，
i 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1-2
i=1
即选项D正确.
n+1
批注 涉及数列中(-1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n为奇数时，首项是a ，a 是第 个奇数项；
1 n 2
n
当n为偶数时，首项是a ，a 是第 个偶数项.
2 n 2
[规律方法] 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不
存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏.
方法二 由图形位置或形状引起的分类讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形
中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
例2 (多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相
交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线思路分析 分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形
状.
答案 ABC
解析 当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接
AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；
当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2，又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以
O，A为焦点的椭圆；
当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的
圆；
当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O.
批注 点A在x轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关
键.
[规律方法] 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角
形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的
方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周
全.
a
例3 已知函数f(x)=ln x+ ，a∈R.
x
3
(1)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是 ，求a的值；
2
(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值.
思路分析 (1)求f'(x)→分a≤1，10，
x x2 x2
若a≤1，则f'(x)≥0在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
3
所以f(x) =f(1)=a= ，不满足题意；
min 2
若10，解得a0，解得a 时，f(x) =f(1)=a.
e-1 max
[规律方法] 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题
目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的
标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论.
