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计算题培优练6 带电粒子在叠加场中的运动
[分值：40 分]
1.(10 分)(2025·四川德阳市二模)竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电场。虚线下方高度为H
的区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场，虚线上、下方的电场强度大小相
等。将质量为m、电荷量为+q 的小球从a 点以初速度v0竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c 两
点在虚线上，b 点为轨迹的最高点。小球从c 点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不
计空气阻力。求：
(1)(5 分)小球运动到c 点时的速度大小；
(2)(5 分)匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
答案 (1)√5v0 (2)(2+√5)m v0
qH
解析 (1)由于小球在虚线下方磁场和电场中做匀速圆周运动，则qE=mg
从a 点到c 点，在竖直方向上，有tac=2v0
g
在水平方向上qE=ma，vcx=atac
由运动的合成有vc=√vcx
2+ vcy
2
又vcy=v0
联立解得vc=√5v0
(2)由题意可知小球运动轨迹如图所示。
设小球在c 点的速度方向与水平方向成θ，由cos θ=vcx
vc
解得cos θ=2√5
5
由几何关系可得，rcos θ+r=H，解得r=
5 H
5+2√5
由牛顿第二定律，得qvcB=mvc
2
r
由以上各式，联立解得B=(2+√5)m v0
qH
。
2.(15 分)(2025·重庆市缙云教育联盟一模)如图所示，在xOy 坐标系x<0 区域内存在平行于x 轴、电场强度大
小为E(E 未知)的匀强电场，分界线OP 将x>0 区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感
应强度大小为B(B 未知)的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B'=1
2B 的匀强磁场及
沿y 轴负方向、电场强度大小为E'=2
3E 的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M(-d，0)点
以初速度v0垂直电场方向进入第二象限，经N 点进入区域Ⅰ，此时速度与y 轴正方向的夹角为60°，经过
区域Ⅰ后由分界线OP 上的A 点(图中未画出)垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。
求：
(1)(3 分)电场强度E 的大小；
(2)(5 分)带电粒子从M 点运动到A 点的时间t；
(3)(7 分)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1 次和第5 次经过x 轴的位置之间的距离s。
答案 (1)3m v0
2
2qd
(2)(8√3+3 π )d
12v0
(3)4πd
解析 (1)粒子经过N 点时的速度v=
v0
cos60° =2v0
粒子从M 点到N 点，由动能定理得
qEd=1
2mv2-1
2mv0
2
解得E=3mv0
2
2qd
(2)粒子从M 点到N 点，由运动学公式有d=1
2·qE
m t1
2
解得t1=2√3d
3 v0
粒子从M 点到A 点，其运动轨迹如图甲所示
由抛体运动的规律可得
d
|ON | =1
2tan 60°
由几何关系可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径
r1=|ON|sin 60°=d
运动时间t2=1
4 T1=π r1
2v
则t=t1+t2=2√3d
3 v0
+ π d
4 v0
=(8√3+3 π )d
12v0
(3)粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB=mv
2
r1
解得B=2mv0
qd
如图甲所示，设v1对应的洛伦兹力与静电力平衡，则有
v1=v2
方向相反，v2与v 的合速度v'对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域Ⅱ中的运动分
解为以v1的匀速直线运动和以v'的匀速圆周运动
静电力等于洛伦兹力，则有qE'=qv1B'
解得v1=v0
则合速度v'=√3v0
设对应的匀速圆周运动的半径为r2，由洛伦兹力提供向心力有qv'B'=mv
' 2
r2
解得r2=√3d
其运动轨迹如图乙所示
粒子从第1 次到第5 次经过x 轴，共运动了2 个周期，时间t3=2T2=4 π r2
v '
=4 π d
v0
距离s=v1t3
解得s=4πd。
3.(15 分)(2025·安徽蚌埠市质检)如图所示，水平虚线a、b、c、d 间距均为L，a、b 间和c、d 间有沿水平方
向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的匀
强电场，电场强度大小为E，一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子在P 点由静止释放，粒子进磁场Ⅰ
时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线b 相切，已知P 点离虚线a 距离也为L，不计粒子的
重力。
(1)(4 分)求匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)(5 分)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线b 相
切，则粒子释放的位置离虚线a 的距离为多少；
(3)(6 分)不撤去电场，将粒子在虚线a 上方距离为2L 的Q 点(图中未画出)以水平速度v 向右射出，结果粒
子恰好不能从磁场Ⅱ的d 边界射出，则初速度v 多大。
答案 (1)√
2mE
qL (2)粒子应在边界a 上由静止释放 (3)1
2√
qEL
2m
解析 (1)设粒子进磁场Ⅰ时的速度大小为v0，根据动能定理有qEL=1
2mv0
2
解得v0=√
2qEL
m
据题意可知，粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，其半径r1=L
根据牛顿第二定律有qv0B=mv0
2
r1
解得B=√
2mE
qL
(2)设粒子释放的位置离虚线a 的距离为d，粒子与虚线b 相切时的速度大小为v1，根据动能定理有
qE(L+d)=1
2mv1
2
解得v1=√
2qE( L+d)
m
粒子在磁场Ⅰ中运动到b 的过程，水平方向应用动量定理有∑qvy1Bt1=mv1
在竖直方向有∑vy1t1=L
解得d=0，即粒子应在边界a 上由静止释放。
(3)由题意可知，粒子到边界d 时速度与d 相切水平向右，设其速度大小为v2，则有qE×5L=1
2mv2
2-1
2mv2
粒子在两个磁场中运动到d 的过程，水平方向应用动量定理有∑qvy2Bt2=mv2-mv
在竖直方向有∑vy2t2=2L
则有2qBL=mv2-mv
解得v=1
2√
qEL
2m 。
