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1. 命题中经常出现带电粒子电场和磁场组合场运动的情况，即由电场进入磁场、由磁场进入电场或在电场
和磁场中的往复运动。
2. 命题中经常出现带电粒子在重力场、电场、磁场等叠加场中的运动。既有直线运动，又有曲线运动。要
对带电粒子受力分析，运动过程分析，力学规律和能量观点解决问题。
一、带电粒子在组合场的运动
1．两大偏转模型
电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中．
2．思维流程
二、带电粒子在叠加场的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝
qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛
伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
重难点11 带电粒子在组合场、叠加场中的运动
1
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（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．如图所示，氕
、氘
、氚
三种核子分别从静止开始经过同一加速电压U1（图中未画出）加速，
再经过同一偏转电压U2偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕
的运动轨迹如图。则氕
、
氘
、氚
三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（ ）
A．氕
B．氘
C．氚
D．无法判定
【答案】C
【解析】设核子的质量为m，带电量为q，偏转电场对应的极板长为L，板间距离为d，板间电场强度为
E，进入偏转电场的速度为v0，进入磁场的速度为v，在偏转电场的侧移量为y，速度偏转角为θ。核子在
加速电场运动过程，由动能定理得
qU1
核子在偏转电场做类平抛运动，将运动沿极板方向和垂直极板方向分解。沿极板方向做匀速直线运动，则
有
L＝v0t
沿极板方向做匀加速直线运动，则有
y
vy＝at
由牛顿第二定律得
联立解得
2
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速度偏转角的正切值为
可见核子在偏转电场的侧移量y 与速度偏转角θ 均与核子的质量和带电量无关，故三种核子进入磁场的位
置和速度方向均相同。进入磁场的速度
核子在匀强磁场只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，轨迹如图所示
由牛顿第二定律得
qvB
由几何关系可得，射入磁场的点和射出磁场的点间距s 为
s＝2rcosθ
联立解得
氕
、氘
、氚
三种核子的电量相等，氚
的质量最大，则氚
的射入磁场的点和射出磁场的点间
距最大。
故选C。
2．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，三个同心圆
、
、的半径分别为、
、
，在圆
区
域内存在垂直纸面向外的匀强磁场
。在圆
和圆
间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆
和圆
间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
。一质量为
、电荷量为
的粒子，
从圆
边界上的A 点沿半径方向以速度
射入圆
内，第一次从圆
边界射出时速度方向偏转
，经过辐
向电场加速后，从圆
边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆飞离磁场。已知磁感应强度
，
不计粒子的重力。则（ ）
3
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A．圆
区域内匀强磁场的磁感应强度
大小为
B．圆
与圆
两边界间辐向电场的电势差为
C．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
D．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
【答案】B
【解析】A．如图
根据
由几何关系得，半径
联立解得
4
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故A 错误；
B．如图
根据几何关系，在圆
和圆间的环形区域的匀强磁场偏转半径
又
联立解得
U=
故B 正确；
CD．粒子运动轨迹如图
粒子圆
区域内匀强磁场运动的周期
5
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粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
粒子圆c 区域内匀强磁场运动的周期
在磁场中运动的最短时间为
粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
故CD 错误。
故选B。
3．一带正电的小球质量为0.01kg，带电量为0.01C，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间沿一斜
线向下做匀速直线运动。已知其水平分量为vx＝6m/s，磁感应强度大小为1T，方向垂直纸面向里，电场力
做负功的功率大小为PE＝0.3W，则电场强度的大小和方向为(g=10 m/s2) （ ）
A．5 N/C，方向向上偏左37°角
B．5 N/C，方向向上偏右37°角
C．4 N/C，方向向上偏左37°角
D．4 N/C，方向向上偏右37°角
【答案】A
【解析】设电场方向与水平方向的夹角为α，小球的竖直分速度为vy，因为洛伦兹力不做功，只有电场力
和重力做功，且沿一斜线向下做匀速直线运动，小球动能不变，应有
mgvy＝PE
得
vy＝3 m/s
小球受力如图所示
6
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则有水平方向
qEcosα＝qBvy
竖直方向
qEsinα+qBvx＝mg
代入整理后得
Ecosα＝3N/C
Esinα＝4N/C
解得
E＝5 N/C
α=53º
可知电场方向向上偏左37°角。
故选A。
4．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场
，一
质量为
、带电荷量为
的小球从A 点以速度
沿直线
运动，
与
轴负方向成
角。在
轴与
之间的区域Ⅰ内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到
上的
点，
与
之间区域Ⅱ内存在宽度为d 的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场
，小球在区域Ⅱ内做匀
速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在
点的速度大小为
，重力加速度为
，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．区域Ⅱ内匀强电场的场强大小
B．区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小
7
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C．小球从
做匀速直线运动，
做匀加速直线运动
D．区域Ⅰ内匀强电场的最小场强大小为
，方向与
轴正方向成
角向上
【答案】B
【解析】A．小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，所以
解得
故A 正确，不符合题意；
B．因为小球恰好不从右边界穿出，小球运动轨迹如图所示
由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力知
解得
故B 错误，符合题意；
CD．带电小球在第二象限内受重力、电场力和洛伦兹力做直线运动，三力满足如图所示关系
所以小球从
只能做匀速直线运动。
区域Ⅰ中O→C 小球做直线运动，电场强度最小，受力如图所示（电场力方向与速度方向垂直）
8
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所以小球做匀加速直线运动，由图知
解得
方向与x 轴正方向成53°角向上。故CD 正确，不符合题意。
故选B。
二、多选题
5．如图所示，直角坐标系xOy 在水平面内，z 轴竖直向上。坐标原点O 处固定一带正电的点电荷，空间中
存在竖直向下的匀强磁场B。质量为m 带电量为q 的小球A，绕z 轴做匀速圆周运动，小球A 的速度大小为
v0，小球与坐标原点O 的距离为r，O 点和小球A 的连线与z 轴的夹角θ=37°。重力加速度为g，m、q、r 已
知。（cos37°=0.8，sin37°= 0.6）则下列说法正确的是（ ）
A．小球A 与点电荷之间的库仑力大小为
B．从上往下看带电小球只能沿逆时针方向做匀速圆周运动
C．v0越小所需的磁感应强度B 越小
D．
时，所需的磁感应强度B 最小
【答案】ABD
【解析】A．对小球A 受力分析如图所示，洛伦兹力F2沿水平方向，库仑力F1沿着O→B 方向。
9
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在竖直方向，根据平衡条件得
解得
小球A 与点电荷之间的库仑力大小为
。故A 正确；
B．原点O 处带正电的点电荷与小球之间的库仑力为斥力，故小球带正电，空间中存在竖直向下的匀强磁
场，洛伦兹力需要指向圆心，根据左手定则，从上往下看带电小球只能沿逆时针方向做匀速圆周运动。故
B 正确；
CD．水平方向根据牛顿第二定律得
其中
解得
当
即
B 取值最小，可知B 与
并非单调函数关系。故C 错误；D 正确。
故选ABD。
6．如图所示，有一半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道PDQ（PQ 为直径）固定在竖直平面内，空间分布着水
10
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平方向、垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，轨道的最低点D 处放一质量为m、带电荷量为q
（
）的小球（图中未画出），现给小球一水平向左的初速度，小球恰好能运动到与圆心O 等高处，
在此过程中小球始终与轨道接触，已知重力加速度为g。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球在D 处的速度大小为
B．小球在D 处对轨道的压力大小为
C．小球由D 处到P 处对轨道的压力先增大后减小
D．小球由D 处到P 处对轨道的压力一直减小
【答案】ABD
【解析】A．小球从D 点运动至最高点P 的过程，只有重力做负功，所受的洛伦兹力和轨道的支持力均不
做功，由动能定理有
解得
故A 正确；
B．小球在D 处受力分析，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律可知
解得小球在D 处对轨道的压力大小为
故B 正确；
CD．小球由D 处到P 处，设小球的位置和圆心的连线与竖直方向的夹角为
，由牛顿第二定律有
因
逐渐增大，即
减小，速度逐渐减小，则轨道的支持力逐渐减小，故小球对轨道的压力逐渐减小，
故C 错误，D 正确。
故选ABD。
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三、解答题
7．如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内y 轴与直线x=L 之间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B
的匀强磁场，第四象限内y 轴与直线x=L 之间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度为
的匀强磁场；在
直线x=L 的右侧存在沿y 轴正方向的有界匀强电场，在电场的右侧存在方向垂直纸面向外、磁感应强度为
B 的有界匀强磁场，电场、磁场左右边界的间距相等。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子甲从y 轴上的a
点以沿着y 轴负方向的速度射入磁场，到达x 轴上的c 点时速度沿x 轴的正方向，c 点的坐标为
；带
电量为3q 的带正电粒子乙从y 轴上的b 点以沿着y 轴正方向的速度射入磁场，到达c 点时以沿x 轴的正方
向的速度与甲相碰；碰撞后甲、乙立即组成整体进入电场，甲从a 到c 的运动时间是乙从b 到c 的运动时
间的2 倍，整体从p 点离开电场进入磁场，最后从e 点以平行x 方向的速度离开磁场，整体在p 点的速度与
电场线的夹角为37°。不计两粒子的重力以及粒子间的相互作用力，碰撞过程无电量损失，sin37°=0.6、
cos37°=0.8，求：
（1）乙的质量以及整体在c 点时的共同速度；
（2）整体从p 到e 运动轨迹的半径；
（3）电场的电场强度。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）设乙的质量为
，甲、乙在磁场中运动的周期分别为
由几何关系可得甲、乙在磁场中运动的速度偏转角均为
，甲从a 到c 的运动时间与乙从b 到c 的运动时
间分别为
、
，甲从a 到c 的运动时间是乙从b 到c 的运动时间的2 倍，则有
联立解得
12
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设甲、乙两粒子在磁场中的速度大小分别为
、
，由几何关系可得甲、乙在磁场中做匀速圆周运动的
半径均为L，由洛伦兹力提供向心力可得
甲、乙在c 点发生碰撞，由动量守恒定律可得
联立解得
（2）整体的质量为2m，带电量为4q，从c 到p 做类平抛运动，把整体在p 点的速度
分别沿x、y 轴分解，
则有
设整体从p 到e 运动轨迹的半径为R，由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（3）过p、e 分别做速度的垂线，设电场、磁场左右边界的间距均为d，由几何关系可得
设整体从c 到p 的运动时间为t，匀强电场的强度为E，由类平抛运动的规律可得
联立解得
13
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8．如图甲所示为带电粒子三维动量映射分析技术的原理图。系统整体设计采用圆柱对称型结构，对称轴
为
，亥姆霍兹线圈用以形成沿系统轴向的均匀磁场区，可以抑制带电粒子的横向发散，使得系统具有
较大的粒子收集效率。位置敏感探测器用以接收带电粒子，记录带电粒子的飞行时间和粒子撞击探测器
的位置
。粒子源和探测器中心均位于对称轴上，建立空间坐标系
，轴与对称轴重合，
轴竖
直向上，探测器的平面坐标系
从左向右看如图乙所示。已知粒子源发射质量为
，电荷量为
的带
正电荷的粒子，粒子速度方向与轴的夹角为
，探测器半径为
，轴向匀强磁场的磁感应强度为
，方
向水平向右。不计粒子重力和粒子间相互作用。
（1）从左向右看，粒子运动方向是顺时针还是逆时针？
（2）若粒子刚好打在探测器的中心
，求粒子源到探测器距离
需要满足的条件；
（3）若粒子发射时速度大小
，速度方向位于
平面内，与轴夹角
，粒子打在探测
器的位置坐标为
，求带电粒子的飞行时间
；
（4）若粒子源沿着与轴夹角
的各个方向连续发射粒子，粒子速度大小
，粒子源到探
测器的距离
，求粒子打到探测器上的位置坐标所满足的方程。
【答案】（1）逆时针；（2）
（
，
，
）；（3）
（
，
，
）（4）
【解析】（1）从左向右看，根据左手定则可知粒子运动方向是逆时针。
（2）粒子刚好打在探测器的中心，则所有时间为周期的整数倍，则有
（
，
，
）
（
，
，
）
（3）设粒子做圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力可得
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可得
在探测器的位置坐标如图1 所示
根据几何关系可知
则带电粒子的飞行时间为
（
，
，
）
即
（
，
，
）
（4）设粒子做圆周运动的半径为
，则有
解得
设粒子飞行的时间为
，则有
解得
在探测器的位置坐标如图2 所示
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由几何关系可知
因为粒子沿着与轴夹角
的各个方向连续发射，由粒子在探测器上位置如图2 虚线；则位置坐标方程为
（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．图中关于磁场中的四种仪器的说法中错误的是（ ）
A．甲图中要使粒子获得的最大动能增大，可以增大D 形盒的半径
B．乙图中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时击中光屏同一位置的粒子比荷相同
C．丙图是载流子为负电荷的霍尔元件通过如图所示电流和加上如图磁场时N 侧带负电荷
D．丁图长宽高分别为a、b、c 的电磁流量计加上如图所示磁场，若流量Q 恒定，则前后两个金属侧面
的电压与a、b、c 均无关
【答案】D
【解析】A．在回旋加速度器中，由洛伦兹力充当向心力有
可得
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可知，在回旋加速度所处磁场一定的情况下，粒子射出回旋加速度的最终速度跟D 形盒的半径有关，半径
越大获得的速度越大，动能就越大，因此甲图中要使粒子获得的最大动能增大，可以增大D 形盒的半径，
故A 正确；
B．粒子经过质谱仪速度选择器时，只有满足
的粒子才能被选择，可得
显然，经过质谱仪的速度选择器区域的粒子速度v 都相同，经过偏转磁场时击中光屏同一位置的粒子在偏
转磁场中做圆周运动的轨迹半径R 相等，根据牛顿第二定律有
可得
由此可知，打在同一位置的粒子的比荷
都相同，故B 正确；
C．在霍尔元件中，因载流子带负电，而电流的方向为正电荷定向移动的方向，可知带负电的载流子移动
方向与电流方向相反，根据左手定则可知，带负电的载流子在洛伦兹力的作用下向着霍尔元件的N 侧偏转，
使N 侧带上负电，故C 正确；
D．经过电磁流量计的带电粒子会在洛伦兹的作用下向着前后两个侧面偏转，时前后两个侧面产生电势差，
从而形成电场，当前后两个侧面带上足够多的电荷后将形成稳定的电场，此时满足
其中v 表示液体的流速，即此时两侧电压达到最大值，则有
联立可得
而流量
解得
则前后两个金属侧面的电压与a、b 无关，但与c 有关，故D 错误。
故此题选择错误选项，故选D。
2．如图所示，在空间坐标系O-xyz 中，存在着电场强度为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场（图
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中都未画出），方向均沿y 轴负方向。一质量为m 电荷量为+q 的油滴从O 点以速度v 沿x 轴正方向进入复
合场，关于油滴的运动下列说法正确的是（ ）
A．若Bvq=mg，则油滴做匀速直线运动
B．若Eq=mg，则油滴做匀速圆周运动
C．若Bvq=mg，则油滴做类平抛运动
D．无论如何，油滴都不可能做匀变速曲线运动
【答案】C
【解析】ACD．油滴从O 点以速度v 沿x 轴正方向进入复合场，受到竖直向下的重力，竖直向上的洛伦兹
力，沿y 轴负方向的电场力，若洛伦兹力与重力相等，则电场力和初速度垂直，则油滴做类平抛运动，加
速度大小方向不变，为匀变速曲线运动，故AD 错误，C 正确；
B．若Eq=mg，则油滴做螺旋运动，故B 错误。
故选C。
3．（2023·北京通州·潞河中学校考三模）CT 扫描是计算机X 射线断层扫描技术的简称，图中的CT 扫描机
可用于对多种病情的探测。图（a）是某种CT 机主要部分的剖面图，其中X 射线产生部分的示意图如图
（b）所示。图（b）中M、N 之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场，经调节后电子束从
静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X 射线（如图中带箭头的虚线所示），将电子
束打到靶上的点记为P 点。则（ ）
A．M 接加速电压的正极
B．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
C．仅减小M、N 之间的加速电压，可使P 点左移
D．仅增大偏转磁场磁感应强度的大小，可使P 点右移
【答案】C
【解析】A．根据题意可知，电子在MN 之间加速，受到向右的电场力，所以MN 之间的电场线水平向左，
则M 接加速电压的负极，故A 错误；
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B．由电子运动轨迹粒子，电子进入磁场时受到向下的洛伦兹力作用，根据左手定则可知偏转磁场的方向
垂直于纸面向里，故B 错误；
CD．电子在加速电场中加速，由动能定理得
电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得电子在磁场中做圆周运动的轨道半径
如减小M、N 之间的加速电压，电子在磁场中做圆周运动的半径r 减小，电子出磁场时的速度偏角变大，P
点左移；增大偏转磁场磁感应强度的大小，则电子在磁场中做圆周运动的半径减小，电子出磁场时的速度
偏角增大，P 点左移，故C 正确，D 错误。
故选C。
4．（2023·河北保定·统考三模）粗糙水平地面上方存在着方向竖直向下的匀强电场，MN 边界的左边存在
着如图所示的匀强磁场，一带电滑块（可视为质点）以速度v 向右匀速运动，已知电场强度为E，磁感应
强度
，重力加速度为g，滑块滑过边界MN 之后经时间，速度方向与水平面夹角30°，根据以上条件，
下列结论正确的是（ ）
A．滑块带正电
B．滑块可带正电也可以带负电
C．
D．在时间t 内，滑块在水平方向的位移为
【答案】C
【解析】AB．滑块滑过边界MN 之后经时间，速度方向与水平面夹角30°，可知滑块受电场力向上，所以
滑块带负电，故AB 错误；
CD．在MN 左侧，带电滑块（可视为质点）以速度向右匀速运动，则有
结合题中
，解得
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滑块在MN 右侧，根据牛顿第二定律有
解得
，方向向上
经t 时间，根据速度的关系有
解得
水平方向做匀速直线运动，有
故C 正确，D 错误。
故选C。
二、多选题
5．（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图所示，在xOy 平面内存在着磁感应强度大小为B 的匀强磁场，第一、
二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。
、
为坐
标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m 的带正电粒子（不计重力），以与x 轴正向成45°角从P
点射出，恰好经原点O 到达Q 点，则下列对PQ 段运动描述正确的是（ ）
A．粒子运动的最短时间为
B．粒子运动的总路程可能为
C．粒子在Q 点速度方向与y 轴正向的夹角可能为45°
D．粒子从P 到O 的时间与从O 到Q 的时间之比可能为1：3
【答案】BCD
【解析】C．若粒子从P 点出发恰好经原点O 到达Q 点，运动轨迹可能如图所示：
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或
第一种情况粒子在Q 点速度方向与y 轴负向的夹角为45°；第二种情况粒子在Q 点速度方向与y 轴正向的
夹角为45°，选项C 正确；
A．根据粒子的运动轨迹图可知第一种情况粒子运动的时间最短，为
选项A 错误；
B．第一种情况粒子运动的总路程
第二种情况粒子运动的总路程粒子运动的总路程
选项B 正确；
D．根据粒子的运动轨迹图可知第一种情况粒子从P 到O 的时间与从O 到Q 的时间之比为1 1∶；
第二种情况粒子从P 到O 的时间为
粒子与从O 到Q 的时间为
因此第二种情况粒子从P 到O 的时间与从O 到Q 的时间之比为
选项D 正确。
故选BCD。
6．如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场
方向垂直于纸面向里，MN、PQ 是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q 的粒子（不计粒子重
力），在竖直平面内，沿着与MN 夹角为
的方向射入磁场中。则下列说法正确的是（ ）
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A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于
，粒子就会从PQ 射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是
C．MN 边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为
D．若在该空间再加一个匀强电场，粒子有可能做匀加速直线运动
【答案】BC
【解析】A．若带电粒子带负电，粒子恰好从PQ 射出，轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得粒子入射速度
入射速度只要大于
，粒子就会从PQ 射出，A 错误；
B．若带电粒子带正电，粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹为
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由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
运动时间
粒子在磁场中运动的最长时间可能是
，B 正确；
C．MN 边界上，从入射点下方射出的所有粒子（带负电），在磁场中运动时间均为
C 正确；
D．若在该空间再加一个匀强电场，带电粒子受电场力与洛伦兹力，由于洛伦兹力垂直于速度方向，且大
小为
若粒子做匀加速直线运动，则速度增加，洛伦兹力变大，合力不再与速度共线，所以若在该空间再加一个
匀强电场，粒子不可能做匀加速直线运动，D 错误。
故选BC。
三、解答题
7．如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S 点的粒子源可以沿纸面内与SO1（O1为
圆形磁场的圆心）的夹角为
的方向内均匀地发射速度为v0=10m/s、电荷量均为q=-2.0×10-4C、质
量均为m=1.0×10-6kg 的粒子，粒子射入半径为R=0.1m 的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射
N=2.0×105个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向
射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L 在
范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖
直宽度L 的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向
右、场强E=0.625N/C，边界由x 轴、曲线OA 和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁场方向
垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T，磁场的边界由x 轴、直线GF、y 轴构成，已知所有经过聚焦系统的
粒子均可以从F 点沿垂直x 轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是由两个开有小孔的平行
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金属板构成，两小孔的连线过P 点，上下两板间电势差U=-10kV，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。
求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B0；
（2）当L=R 时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0；
（3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻
力f 与其速度v 关系为
（k=0.2N·s·m-1），求粒子在样品中可达的深度d；
（4）曲线OA 的方程。
【答案】（1）0.5T；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）由洛伦兹力提供向心力得
解得圆形磁场的磁感应强度为
（2）临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S 点入射速度与
的夹角为
，则
解得
临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在S 点入射速度与
的夹角为
，则
解得
能进入控制系统的粒子数
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（3）对粒子在加速系统运用动能定理
解得
对粒子进入样品得过程运用动量定理
粒子在样品中可达的深度为
（4）设粒子从曲线OA 的
点进入电场，则粒子从直线GF 的
点射出电场，根据动能定理有
由洛伦兹力提供向心力得
曲线OA 的方程为
8．离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为
和
的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心
为坐标原点，沿圆筒轴线向右为
轴正方向建立坐标。
在
和
处，垂直于
轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿
轴正向、大小为
的匀强电场，同时
通过电磁铁在两圆筒间加上沿
轴正方向、大小为
的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒
间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，
可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。
已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿
轴方向单位长度的离子数）
，其中
为常
量，氙离子质量为
，电子质量为
，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。
（1）在
处的一个氙原子被电离，求其从右侧栅极射出时的动能；
（2）要使电子不碰到外筒壁，求电子沿径向发射的最大初速度；
（3）若在
的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为
，求
的关
系式，并画出
的图线；
（4）求推进器所受的推力。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
（4）
【解析】1）从右侧栅极射出时的动能
①
（2）粒子在筒内运动如图所示：
由几何关系可知
②
解得
③
根据洛伦兹力提供向心力
可得电子沿径向发射的最大初速度
④
（3）单位时间内刚被电离成的氙离子
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⑤
微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力
⑥
即
解得
⑦
图线如下图所示：
（4）则推进器所受的推力
⑨
9．如图所示，沿水平和竖直方向建立直角坐标系，沿x 轴放置一块长为10d 的绝缘板，y 轴左侧固定一内
壁光滑的半圆管道（内径很小），半圆直径为d，且与y 轴重合。第一象限内绝缘板的上方存在有界的匀
强电场和匀强磁场，电场强度
，方向竖直向上，磁场方向垂直于坐标平面向外，大小未知，竖直方
向边界未知。一带电量为q、质量为m 的绝缘小球A（直径略小于管道内径）静止在坐标原点O 处，质量
也为m 的不带电的小球B 以初速度v0（未知）向左运动，与A 球发生弹性正碰。
（1）若碰撞后A 球能过管道最高点，则v0至少多大？
（2）若场区边界y1=d，A 球通过最高点后能与B 球再次发生弹性正碰，并且使B 球恰能通过最高点，则磁
感应强度为多大？
（3）若场区边界
，A 球以
通过最高点后恰好从坐标为（4d，d）的P 点水平射出场区，
则磁感应强度应满足什么条件？
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【答案】（1）
；（2）
；（3）详见解析
【解析】（1）由动量守恒得
由能量守恒得
已知
，联立解得
由动能定理得
解得
（2）由于
，A 球在复合场区做圆周运动，所以
由题意得
带入解得
（3）设小球第一次从M 点进入场中，入射速度为vM，与水平边界夹角为θ。由平抛运动得，水平位移
竖直位移
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解得
则速度与水平方向夹角为
；
由A 球轨迹图（轨迹形状相同，只作一次在电磁场的运动）：轨迹与y 轴相切时，有
解得
粒子水平打在P 点应满足
解得
n=1，2，3…
由于
，所以
解得
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由题意得：
，即
解得
当n=7 时
当n=8 时
当n=9 时
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