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重难点10 带电粒子在复合场中的运动
三年考情分析
2025 考向预测
2024•（辽宁、吉林、黑龙江）T15•粒子由磁场进入电场
2023•辽宁T14•粒子由电场进入磁场
2022•辽宁T8•带电粒子在弧形有界磁场中的运动
2023•（吉林、黑龙江）T18•带电粒子在叠加场中的运动
2022•（吉林、黑龙江）T24•安培力与法拉第电磁感应综合
本专题属于重难点内容，主要考查带电粒子在磁
场或组合场（叠加场）中的运动问题，单独命题
时突出以有界磁场、电磁组合场、叠加场为载体,
结合带电粒子（物体）的各种运动情景进行分析,
设计问题。电磁组合场、叠加场结合现代科技的
应用，有时与动量结合，多以解答题或多项选择
题形式出现。
【考点概览】
【高分技巧】
一、带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力
FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向
总指向圆心，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力
1
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运动规律
匀速圆周运动
r＝，T＝
类平抛运动
vx＝v0，vy＝t
x＝v0t，y＝t2
2.“5 步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
二、带电粒子在叠加场中的运动
“4 步”突破带电粒子在叠加场中的运动问题
2
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（建议用时：40 分钟）
【考向一：带电粒子在组合场中的运动】
1．（2023·吉林、黑龙江·高考）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）
向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒
子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离
为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x
轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
3
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则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
2．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在芯片制造过程中，离子注入是芯片制造重要的工序。甲图是我国自
主研发的离子注入机，乙图是离子注入机的部分工作原理示意图。初速为零的离子经电场加速后沿水平方
向先通过速度选择器，再进入磁分析器，磁分析器是中心线半径为R 的四分之一圆环，其两端中心位置M
和N 处各有一个小孔，利用磁分析器选择出特定比荷的离子后经N 点打在硅片（未画出）上，完成离子注
入。已知速度选择器和磁分析器中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向均垂直纸面向外；速度选择
器中匀强电场的电场强度大小为E。整个系统置于真空中，不计离子重力。求：
（1）能从速度选择器中心线通过的离子的速度大小v；
（2）能通过N 打到硅片上的离子的比荷
，并判断该离子的带电性质。
（3）加速电场的电压U。
【答案】（1）
；（2）
，带正电荷；（3）
【详解】（1）离子通过速度选择器时，有
解得
4
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（2）离子在磁分析器中，有
解得
对离子受力分析可知，离子受到洛仑兹力指向圆心O，根据左手定则可知离子带正电荷；
（3）离子经加速电场，由动能定理可有
解得
3．（2024·吉林白城·一模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某
研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里
的匀强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为-q 的粒子从x 轴负半
轴M 点与x 轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，
最后从N 点与x 轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k 为已知常量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋
状，且粒子恰好从Q 点（图中未标出）垂直x 轴射出磁场，求粒子由P 点运动到Q 点的时间t。
5
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做反向类平抛运动，即在水平方向匀速直线，竖直方向匀减速直线，竖
直分速度减小到0，则
根据动能定理
联立解得
（2）带电粒子在电场中做圆周运动，根据牛顿第二定律
运动轨迹如图所示
由几何关系
解得
联立解得
（3）有阻力后，例子不再做圆周运动，但洛伦兹力仍提供向心力，列式为
6
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角速度ω 保持不变，且
解得
4．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的Oxy 坐标系中，y 轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B=1T，y 轴的左侧存在沿
轴负方向的匀强电场。P 点为x 轴上的点，
，一比荷
为10C/kg 的负粒子由P 点沿x 轴的正方向射入磁场，经过一段时间粒子通过y 轴进入电场，速度方向与y
轴的负方向成α=30°，粒子在电场中垂直x 轴经过Q 点。忽略粒子的重力。求：（结果可用分式或带根
号）
（1）粒子射入磁场的初速度大小以及电场强度E 的大小；
（2）粒子第一次经过y 轴到第三次经过y 轴的时间。
【答案】（1）4m/s，
；（2）
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出运动轨迹示意图，如图所示
7
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由几何关系得
解得
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
带电粒子在电场中运动时，沿y 轴方向做匀速直线运动，有
沿x 轴方向做匀变速直线运动，有
其中
解得
，
（2）带电粒子在电场中运动的时间为
8
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带电粒子再次进入磁场后转过的角度为300°，所用时间为
则带电粒子从开始运动到第三次经过y 轴所用的时间为
5．（2024·吉林·一模）如图所示，水平虚线MN 的下方存在竖直向上的匀强电场
（
大小未知），虚
线上方有一以MN 上一点O 为圆心、R 为半径的半圆形区域，该区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场和水
平方向的匀强电场E（E 大小未知，图中均未画出），磁场的磁感应强度大小为B，O 点正下方固定一粒子
源S，能源源不断地产生初速度为零的同种正粒子，经过一段时间粒子由O 点进入半圆区域，粒子在半圆
区域的轨迹为直线，在半圆区域内运动的时间为
，粒子的重力以及粒子间相互作用均忽略不计。
（1）求半圆区域内匀强电场的电场强度E 的大小和方向；
（2）若仅将半圆区域内的磁场撤去，结果粒子在半圆区域中运动的时间变为
，求粒子的比荷以及S、O
两点的电势差；
（3）若将半圆区域内的电场撤去，且将虚线MN 下方的电场强度
增大到原来的16 倍，求粒子在半圆形
区域运动的时间。
【答案】（1）BR
t0
，水平向右；（2）q
m = 4√3
Bt0
，U 1= √3 B R
2
24t0
；（3）t = √3? t0
18
【详解】（1）带正电粒子经过
点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动，所以粒子所受洛伦
兹力与电场力二力平衡，由左手定则可知粒子所受洛伦兹力方向水平向左，所以粒子所受电场力方向水平
向右，电场强度
的方向水平向右，粒子在半圆形区域内匀速运动的时间为
，则速度为
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v = R
t0
根据平衡条件有
解得
E = BR
t0
（2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S 处静止释放，粒子在半圆形区域内做类平抛运动，粒子
在垂直于MN 方向上做匀速直线运动，在平行于MN 方向上做初速度为零的匀加速直线运动，如图所示
粒子运动到半圆形区域的a 点，垂直于MN 方向的位移大小为
x = v ⋅t0
2 = R
2
由数学知识可得粒子在平行于MN 方向上的位移大小为
L=√R
2?(
R
2)
2
= √3
2 R
粒子在平行于MN 方向上做匀加速直线运，则有
L= 1
2 a2(
t0
2)
2
，a2= qE
m
结合上述解得粒子的比荷
q
m = 4√3
Bt0
粒子从S 到O 过程，根据动能定理有
结合上述解得S、
之间的电势差
U 1= √3 B R
2
24 t0
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（3）将虚线下方的电场强度
增大到原来的16 倍，粒子仍从S 处静止释放，由
q E0d = 1
2 mv1❑
2
可知粒子进入半圆形区域的速度为
v1= 4 v = 4 R
t0
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
令粒子从b 点射出半圆形区域，如图所示
设粒子在半圆形区域内运动的圆心角为
，由余弦定理有
cos? = 2r
2? R
2
2r
2
=? 1
2
解得
粒子在磁场中圆周运动的周期
T = 2? r
v1
结合上述解得
粒子在半圆形区域内运动的时间
t = 120
?
360
? T
结合上述解得
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t = √3? t0
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6．（2023·辽宁·高考）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。金属
板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量
为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，并
沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
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设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
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（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在该
磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。
则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）工程师在制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以
为原点建立空间直角坐标系
，一粒子源不断释放质量为m，电量为
的带正电
粒子，初速度视为零，经过加速电压U 后，以一定速度恰好沿着半径为R 的圆弧轨迹通过辐射状电场，接
着垂直平面
射入棱长为L 的正立方体区域，入射位置可调节，不计粒子重力及其相互作用。
（1）求辐射状电场中离子运动轨迹处电场强度E 的大小；
（2）若仅在正方体区域中加上沿x 轴正方向的匀强磁场，让粒子对准MN 边中点H 入射，电量为q 的粒子
恰好在
边射出。若使所有粒子都能到达
平面内的
区域，求所加磁感应强度B 的大小及n
的最大值；
（3）若在正方体区域中同时加上沿x 轴正方向场强为
的匀强电场和（2）中的匀强磁场，让粒子
对准
平面中心
点入射，求电量为q 的粒子离开正方体区域时的坐标（结果保留根式和
）。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）粒子经过加速电场后速度为
，根据动能定理有
解得
在辐射状电场中满足
解得
（2）由（1）问可知，带电量为
的粒子进入正方体区域的速度为
电量为q 的粒子恰好在
边射出，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
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带电量为
的粒子进入正方体区域的速度为
由洛伦兹力提供向心力得
可得
当
最大时，
有最小值，若使所有粒子都能到达
平面内的
区域，则
的最小值为
解得的最大值为
（3）由题可知，粒子在平行于
的平面内做圆周运动，而在
方向做匀加速直线运动。对电量为
的
粒子，
，若不考虑
方向的匀加速运动，由几何关系可知偏转角为
粒子在磁场中运动的周期为
则粒子在区域中运动的时间为
在
方向，粒子做匀加速直线运动，有
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则粒子会从
出射；离开时，在
轴方向的坐标为
根据几何关系，在
轴方向的坐标为
在
轴方向的坐标为
所以，粒子离开时的坐标为（
，
，
）。
8．（2024·吉林·二模）如图所示，在三维坐标系
中，
平面左侧区域有沿y 轴正方向的匀强电场；
平面右侧与垂直于y 轴足够大的荧光屏之间的区域有沿y 轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y 轴交点位
置的坐标为
。一质量为m、电荷量为
的粒子从坐标为
的P 点以大小为
的初速度沿z
轴负方向射出，经电场偏转后从O 点进入磁场，再经过磁场偏转后击中荧光屏，粒子再次经过y 轴的位置
离O 点距离为
，不计粒子的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标及匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若在
平面与荧光屏之间的区域加上一平行于y 轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问
中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。
【答案】（1）
；（2）（
，
，0），
；（3）见解析
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【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动,根据题意
根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子经过
点时速度大小为，根据动能定理
解得
设与
轴负方向的夹角为
，则
解得
粒了从
点进入磁场后，沿平行y 轴方向做匀速直线运动，速度大小
在平行
平面内做匀速圆周运动，速度大小为
设做匀速圆周运动的周期为T，根据题意
设圆周运动的半径为r，则
解得
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粒子在磁场中运动的时间为
则粒子打在荧光屏上的位置坐标为（
，
，0），由牛顿第二定律
解得
（3）若所加电场方向沿y 轴正方向，则粒子在电场和磁场的叠加场中运动的时间为
，则
解得
若所加电场方向沿y 轴负方向，如果粒子做匀减速运动到荧光屏速度刚好为零时，由
解得
由此可知，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问中所求位置，则粒子在电场和磁场的叠加场中运动的时间为
，则
解得
9．（2024·辽宁、吉林、黑龙江·高考）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如
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图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区
电场足够宽，各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为
m 的粒子。如图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，
乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向
的匀强电场，电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产
生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常系
数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的
电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对乙粒子，如图所示
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由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
联立解得，磁感应强度的大小为
（2）由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P 点到O 点，由运动学公式
由牛顿第二定律
联立可得Ⅲ区宽度为
（3）甲粒子经过O 点时的速度为
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则
可得
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为
，乙粒子在Ⅳ区运动时间为
，则上式中
对乙可得
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整理可得
对甲可得
则
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
10．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图甲所示，真空中
平面直角坐标系的第一、四象限内存在垂直纸
面且变化周期为
的磁场（图甲中未画出）和沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。将一质量
为
、电荷量为
的带正电小球（可视为质点）从第二象限内的
点沿
轴正方向水平拋出，小球第一次
经过
轴时恰好经过
点，此时速度大小为
，方向与
轴正方向的夹角为45°，设此时为
时刻，此后
磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示（规定磁场方向垂直纸面向里为正方向），
（
不是已
知量）。重力加速度大小为
。求：
（1）小球抛出点
的位置坐标；
（2）
时刻小球的位置坐标；
（3）①定性画出小球第一次经过
轴（即坐标原点）到第三次经过
轴的轨迹（用尺规作图并标明圆心）；
②若在第一、四象限内垂直于
轴放置一个足够大的挡板，粒子运动过程中恰好能够垂直打在挡板上并被
吸收，求挡板
坐标的所有可能值。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）①见解析；②
（n=0，1，2，
3…）
【详解】（1）小球开始做平抛运动，由于经过
点时速度方向与
轴正方向的夹角为
，小球到达
点
时，沿
轴方向与沿
轴方向的分速度大小
竖直方向上有
，
水平方向上有
解得
，
所以
点的坐标为
。
（2）由于电场力和重力等大反向，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二
定律得
根据图乙可知，磁感应强度大小
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解得
小球做匀速圆周运动的周期
解得
可知在第一个
时间内逆时针转过半个圆周，在第二个
时间内
根据图乙可知，磁感应强度大小
解得
结合左手定则可知小球在第二个
时间内顺时针转过
圆周，由几何关系得
时刻小球的位置坐标
，
综上可得
时刻小球的位置坐标为
。
（3）结合上述可知
可知在
时间内，小球刚好转过
。之后磁场强弱和方向都变了，则偏转方向变了，由洛伦兹力提供
向心力，由牛顿第二定律得
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根据图乙可知
解得
由于
解得
在
时间内，小球转过
，同理得，小球在
时间内与
时间内的运动轨迹大小一样，只
是偏转方向不一样，
时间内与
时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。综上所
述，得到小球一个周期的轨迹图如图所示
由几何关系得
由图可知，若挡板竖直放在
中点，或者
中点，粒子都可以垂直打在挡板上。考虑到周期性，可得
解得
25
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（n=0，1，2，3…）
【考向二：带电粒子在叠加场中的运动】
11．（2024·辽宁·模拟预测）某学校安装了反渗透RO 膜过滤净水器，经过过滤净化的直饮水进入了教室。
净水器如果有反渗透RO 膜组件，会产生一部分无法过滤的自来水，称为“废水”，或称“尾水”。“尾
水”中含有较多矿物质及其他无法透过反渗透RO 膜的成分，不能直接饮用，但可以浇花、拖地。该学校
的物理兴趣小组为了测量直饮水供水处“尾水”的流量，将“尾水”接上电磁流量计，如图所示。已知流
量计水管直径为d，垂直水管向里的匀强磁场磁感应强度大小为B，稳定后M、N 两点之间电压为U。则（
）
A．M 点的电势低于N 点的电势
B．“尾水”中离子所受洛伦兹力方向由M 指向N
C．“尾水”的流速为
D．“尾水”的流量为
【答案】A
【详解】AB.根据左手定则，正离子所受洛伦兹力方向由M 指向N，向N 侧偏转，负离子所受洛伦兹力方
向由N 指向M，向M 侧偏转，M 点的电势低于N 点的电势，故A 正确，B 错误；
C.正、负离子达到稳定状态时，有
可得流速
故C 错误；
D.“尾水”的流量
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故D 错误。
故选A。
12．（2024·黑龙江·一模）1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器
由两个铜质D 形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氘核（
）加速，所需的高频电源的频率为f，磁感
应强度为B，已知元电荷为e，下列说法正确的是（ ）
A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B．高频电源的电压越大，氘核最终射出回旋加速器的速度越大
C．氘核的质量为
D．该回旋加速器接频率为f 的高频电源时，也可以对氦核（
）加速
【答案】D
【详解】A．根据周期公式
可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而不变，故A 错误；
B．设D 形盒的半径为R，则氘核最终射出回旋加速器的速度满足
可得
可知氘核最终射出回旋加速器的速度与高频电源的电压无关，故B 错误；
C．根据周期公式
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可得氘核的质量为
故C 错误；
D．因为氘核（
）与氦核（
）的荷质比相同，所以该回旋加速器接频率为f 的高频电源时，也可以
对氦核（
）加速，故D 正确。
故选D。
13．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）如图甲所示，用霍尔传感器研究通电螺线管内的磁感应强度的分布。
记录磁传感器探测管前端插入螺线管内部的距离d 与相应的磁感应强度B，得到的图像如图乙所示。霍尔
传感器的原理可简化为图丙所示的装置：一块宽为a、厚为b，长为c 的长方体霍尔元件，元件内的导电粒
子是电荷量为e 的自由电子，单位体积内自由电子数目为n，当通入方向向右的电流I，霍尔元件处于垂直
于上表面、方向向下的匀强磁场B 中，元件的前、后表面间出现电压U，则下列说法正确的是（ ）
A．插入线圈时，应将霍尔元件的上表面向上
B．前表面的电势比后表面的高
C．图乙中的最大磁感应强度为
D．图乙中的最大磁感应强度为
【答案】BD
【详解】A．插入线圈时，穿过霍尔元件的磁感应强度垂直上表面向下，而螺线管内部的磁感线为水平方
向，所以插入线圈时，应将霍尔元件的上表面向右，故A 错误；
B．由于电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则，电子所受洛伦兹力垂直纸面向里，电子打在
后表面，前表面的电势比后表面的电势高，故B 正确；
CD．根据平衡条件有
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解得
故C 错误，D 正确。
故选BD。
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场
和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为
。一束质量均为
、电荷量均为
的粒子，以不同速率沿
着两板中轴线
方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为
的乙粒子在板间的运
动轨迹如图中曲线所示，
为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在
和
之间变化。
研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运
动的一部分，对应小段圆弧的半径叫该处曲率圆半径。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说
法正确的是（ ）
A．两板间电场强度的大小为
B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
C．乙粒子的运动轨迹在
处对应的曲率圆半径为
D．乙粒子从进入板间运动至
位置的过程中，在水平方向上做匀速运动
【答案】B
【详解】A．速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动，则
解得两板间电场强度的大小为
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选项A 错误；
B．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功
最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有
整理得到
故B 正确；
C．由题意，乙粒子的运动轨迹在A 处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大为
洛伦兹力与电场力的合力提供向心力
所以对应圆周的半径为
故C 错误。
D．由题意，速率为
的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛
伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进
入板间运动至A 位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故D 错误；
故选B。
15．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图所示，在坐标系O－xyz 中存在磁感应强度大小为
、
方向竖直向下（z 轴负方向）的匀强磁场，在（0，0，h）处固定一电荷量为
的点电荷，在xOy
平面内有一质量为m、电荷量为
的微粒绕原点O 沿图示方向以角速度
做匀速圆周运动。若微粒的圆
周运动可以等效为大小为
的环形电流，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AC．该微粒受到重力、洛伦兹力、库仑力三个力的作用，方向如下图所示
库仑力大小为
洛伦兹力大小为
由几何关系可得
，
微粒沿在z 轴方向上受力平衡，即
微粒在平面内做圆周运动，根据牛顿第二定律得
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又
联立，解得
解得
，
（舍去）
故AC 错误；
BD．微粒圆周运动的周期为
等效电流强度为
故B 正确；D 错误。
故选B。
16．（多选）（2024·辽宁大连·一模）如图（a），S 为粒子源，不断沿水平方向发射速度相同的同种带负
电粒子，MN 为竖直放置的接收屏。当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子
恰好沿直线打到MN 上O 点；当只存在一种场时，粒子打在MN 上的P 点或Q 点，P、O、Q 三点的位置关
系如图（b）所示，OP 间距离为OQ 间距离的
。已知电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，S 到屏
MN 的距离为d、不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（ ）
A．只加磁场时，粒子打在MN 上的P 点
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B．粒子源发射出粒子的速度大小为
C．粒子的比荷为
D．OP 间距离为
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则，带负电粒子在磁场中向下偏转，故只加磁场时，粒子打在MN 上的Q 点，故
A 错误；
B．当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN 上O 点，则
解得粒子源发射出粒子的速度大小为
故B 正确；
CD．只加电场时，粒子做类平抛运动，则
只加磁场时，根据洛伦兹力提供向心力，则
解得
根据几何关系有
根据题意有
联立解得
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，
，
故C 正确，D 错误。
故选BC。
17．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）在中国古代，人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用
以辨别方向，如今在科学研究中，科学家常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，某一竖直方
向存在上、下宽度分别为
和d 的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场沿水平方向垂直纸
面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从电场内紧贴上
边界的O 点由静止释放，运动到磁场的下边界的P 点（图甲中未画出）时粒子的运动轨迹正好与下边界相
切。若以上电场和磁场同时存在于一足够大的区域，如图乙所示，重新让粒子从O 点由静止释放，经过时
间t 粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中粒子从O 点运动到P 点的时间为
B．乙图中粒子经过N 点时速度大小为
C．乙图中O、N 两点的竖直距离为d
D．乙图中O、N 两点的水平距离为
【答案】ABD
【详解】A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有
洛伦兹力充当向心力，有
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由几何关系可得
综上可得
粒子在电场中的运动时间为
在磁场中的运动时间为
甲图中粒子从
点运动到
点的时间为
故A 正确；
BC．将粒子从O 到N 的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量
、
，再把粒子受到的洛伦兹力
分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为
，
设粒子在最低点N 的速度大小为
，ON 的竖直距离为y。水平方向由动量定理可得
由动能定理可得
解得
，
故B 正确，C 错误；
D．竖直方向由动量定理可得
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其中
解得O、N 两点的水平距离为
故D 正确。
故选ABD。
18．（多选）（24-25 高三上·辽宁大连·期中）如图所示，空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，一带电荷量为q、质量为m 的带正电小球从磁场中某点P 由静止释放，其运动轨迹是一条
摆线。小球的运动可分解为竖直平面内沿逆时针方向、速度大小为v 的匀速圆周运动和水平向右、速度大
小为v 的匀速直线运动，P、Q 为相邻等高点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．小球从释放到第一次经过最低点所需时间为
B．小球运动到最低点时的速度为
C．PQ 间距为
D．小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为
【答案】AC
【详解】A．因小球初速度为零，分解为一个水平向右的速度和一个水平向左的速度，所以小球做匀速
圆周运动的起始点应为圆周的最高点，小球从释放到第一次经过最低点所需时间为匀速圆周运动周期的
，
即
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故A 正确；
B．小球因匀速直线运动的速度而受到的洛伦兹力恰好与重力等大反向，所以
得
小球运动到最低点时匀速圆周运动的速度与匀速直线运动的速度方向相同，矢量和为
，即
，故B 错
误；
C．小球由P 点运动到Q 点相当于圆周运动了一周，所用时间为
所以，PQ 间距为
故C 正确；
D．小球做匀速圆周运动的半径
满足
求得
小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为
故D 错误。
故选AC。
19．（2024·辽宁·一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系
，整个空间存在着磁感应强度大小
为
、方向垂直
平面向里的匀强磁场。一质量为
、带正电的微粒从原点
沿
轴负方向以初速度
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射入磁场，微粒带电量大小为
，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．微粒一定能运动到
轴上方区域
B．微粒运动轨迹最低点的纵坐标为
C．微粒运动过程中的最大速率为
D．微粒运动过程中的最小速率为
【答案】AC
【详解】A．根据补偿法，将微粒速度分解成
，
，如图所示
其中
则
，
微粒的运动可以看作速度大小为
的向右匀速直线运动与速度大小为
的匀速圆周运动的合运动，故微粒
一定能运动到
轴上方区域，故A 正确；
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B．速度大小为
的向右匀速直线运动不影响微粒运动轨迹的纵坐标，根据洛伦兹力提供向心力
微粒运动轨迹最低点的纵坐标为
故B 错误；
C．当
速度方向与
速度同向时，微粒运动过程中的速率最大，为
故C 正确；
D．当
速度方向与
速度反向时，微粒运动过程中的速率最小，为
故D 错误。
故选AC。
20．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，真空室中
轴右侧存在连续排列的4 个圆形边界磁场，
圆心均在
轴上，相邻两个圆相切，半径均为
，磁感应强度均为
。其中第1、3 个圆形边界的磁场方向
垂直于纸面向里，第2、4 个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4 个磁场右侧有一个粒子接收屏与
轴垂直，并与第4 个磁场相切，切点为
，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上
有一向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为
。现将一群质量均为
、电荷量均为
（
）的带电粒子从坐标原点
向第一、四象限各个方向发
射（不考虑平行于
轴方向发射的粒子），射出速度大小均为
。不计粒子重力，则下列说法正确
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的是（ ）
A．所有粒子从
点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为
B．所有粒子从
点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为
C．所有粒子从
点射出到最终被接收屏接收的时间不相同
D．所有被接收屏接收的粒子均从
点沿
轴正方向射出
【答案】BC
【详解】AB．根据
代入粒子速度得
根据左手定则，粒子在第1 个圆形磁场中做逆时针的圆周运动，由于粒子运动半径等于圆形磁场的半径。
根据几何关系，粒子入射点、出射点、圆形磁场圆心、圆周运动圆心构成菱形，故粒子在第1 个圆形磁场
的出射方向均沿y 轴正方向。粒子进入电场后先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，返回磁场
的速率与射出时相等。同理，粒子第二次射出磁场的位置均在圆形磁场切点，所有粒子在第1 个磁场中的
运动时间相等，均为
。粒子在第2 个磁场中的运动为顺时针，运动规律同理于第1 个磁场中的运动。最
终所有粒子均到达M 点。综上所述，所有粒子从
点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时
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间均为
所有粒子从
点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为
A 错误，B 正确；
C．所有粒子在电场和磁场中的运动时间都相同，在真空中的运动路程一般不同，时间不同，则运动的总
时间不同，C 正确；
D．由AB 选项可知，所有被接收屏接收的粒子到达
点的速度方向不同，只有沿
轴正方向射入的粒子
会沿
轴正方向射出，D 错误。
故选BC。
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