文档文本内容
计算题培优练4 带电粒子在组合场中的运动
[分值：25 分]
1.(11 分)(2025·安徽省一模)如图所示，沿x 轴方向每间隔d=0.1 m 就有匀强电场和匀强磁场的交替分布，坐
标原点处有一带正电粒子，由静止释放。已知匀强电场方向均向右，电场强度大小均为E=10 N/C；匀强磁
场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B=1 T，带电粒子比荷q
m=2 C/kg，粒子重力不计，求：
(1)(2 分)粒子通过第一个电场区域后的速度大小v1；
(2)(5 分)粒子通过第n 个磁场区域后竖直方向的速度大小vny；
(3)(4 分)粒子运动的水平位移的最大值xm。
答案 (1)2 m/s (2)0.2n m/s(n=1，2，3…)
(3)20 m
解析 (1)粒子通过第一个电场区域后，由动能定理Eqd=1
2mv1
2
解得v1=√
2 Eqd
m
=2 m/s
(2)设粒子通过第n 个电场区域后，速度大小为vn，粒子即将进入第n 个磁场区域，在磁场区域内，粒子做
匀速圆周运动，设轨迹半径为rn，根据洛伦兹力提供向心力qvnB=mvn
2
rn
，如图所示，由几何关系可得rnsin
β-rnsin α=d
竖直方向速度增量Δvny=vnsin β-vnsin α
联立以上各式可解得Δvny=qBd
m =0.2 m/s
Δvny是一个定值，即每通过一个磁场区域后，竖直方向的增量均为0.2 m/s，即粒子通过第n 个磁场区域后
竖直方向的速度大小为vny=nΔvny=0.2n m/s(n=1，2，3…)
(3)粒子通过n 个电场区域后由动能定理得nEqd=1
2mvn
2，解得vn=√
2nEqd
m
=2√n m/s
当粒子运动的水平位移最大时vx=0
此时vn=vny，联立上述各式解得n=100
粒子运动的水平位移的最大值xm=n·2d=20 m。
2.(14 分)(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、
周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0 时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置
水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的π
3 倍，粒子质量
为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)(3 分)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
(2)(6 分)求金属板的板间距离D 和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v；
(3)(5 分)求从t=0 时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
答案 (1)正电 π m
Bt0
(2)√
3 π t0U 0
8 B
π√
π U 0
24 Bt0
(3)π mU 0(π
2+16)
48 Bt0
解析 (1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；
粒子在磁场中运动的周期为T=2t0
①
根据T=2π m
qB
②
则粒子所带的电荷量q=π m
Bt0
③
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为π D
3 ，粒子在板间运动时π D
3 =vt0
④
出金属板间电场时竖直速度为零，
则竖直方向y=2×1
2 × U 0q
Dm (0.5t0)2
⑤
在磁场中时qvB=mv
2
r
⑥
其中y=2r=2mv
qB
⑦
联立解得v=π√
π U 0
24 Bt0
⑧
D=√
3 π t0U 0
8 B
⑨
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，
在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电
场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电
场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，
则W=1
2mv2+U 0
D q· D
3 =π
3mU 0
48 Bt0
+π mU 0
3 Bt0
=π mU 0(π
2+16)
48 Bt0
。
