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微专题 84 带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在匀强电场中一般做匀变速直线运动或匀变速曲线运动；在匀强磁场中一般做
匀速圆周运动。2.明确各段运动的性质，画出运动轨迹，特别注意各衔接点的速度方向、大
小，由电场进入磁场时往往粒子速度大小、方向都变化。
1. (多选)(2023·辽宁省丹东市质检)如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内有一虚线，虚
线与x轴正方向间夹角 θ＝30°。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 B＝
0.75×10－3 T。虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E＝20 N/C的匀强电场。一
比荷＝2×105 C/kg的带电粒子从y轴正半轴上的P点以速度v ＝300 m/s沿x轴正方向射入
0
磁场，粒子进入磁场后，从虚线上的M点(M点图中未画出)垂直虚线方向进入电场(不计重
力)，则( )
A．该带电粒子一定带正电
B．OM之间的距离为2 m
C．粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为0.98 m
D．粒子第一次穿过虚线后能击中x轴
答案 BC
解析 根据题目的描述可知，粒子进入磁场时受到的洛伦兹力竖直向下，根据左手定则可知，
带电粒子带负电，故A错误；粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则qvB＝，代入数据解得r
0
＝2 m，根据几何关系可知，O点为粒子做圆周运动的圆心，因此OM之间的距离也等于半
径，即为2 m，故B正确；将粒子进入电场后的速度分解为水平和竖直方向，将粒子的加速
度也分解为水平和竖直方向，则在竖直方向上：y＝，其中，a＝，联立解得y≈0.02 m，因
此粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为rsin 30°－y≈0.98 m，无法击中x轴，故
C正确，D错误。
2. (多选)(2023·河南开封市模拟)如图所示，MN是半径为R的圆形磁场区域的直径，MN上
方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，MN下方存在方向垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 2B。在M点有一单离子质量为 m、电荷量为＋
q(q>0)的离子源，离子从N点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与 MN成
30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N点射出磁场的离子速度可能是( )
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料A. B. C. D.
答案 AB
解析 根据洛伦兹力提供向心力qvB＝
离子在MN上方运动的半径为r＝
1
离子在MN下方运动的半径为r＝
2
若离子从MN上方通过N点有2nrsin 30°＋2(n－1)rsin 30°＝2R(n＝1,2,3，… )
1 2
解得v＝(n＝1,2,3，… )
即v＝，v＝，v＝，v＝，…
若离子从MN下方通过N点有2n(r＋r)sin 30°＝2R(n＝1,2,3，…)
1 2
解得v＝(n＝1,2,3，…)
即v＝，v＝，v＝，v＝，v＝，…，A、B正确，C、D错误。
3. (2024·湖南省阶段练习)如图所示，水平虚线的上方有竖直向上的匀强电场和匀强磁场(方
向未知)，水平虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，水平虚线上、下方的磁感应强度大
小相等。一带负电的粒子由竖直虚线上的 P点以水平向右的速度v 射入，该粒子刚好沿直
0
线向右运动，现将水平虚线上方的匀强磁场撤走，粒子仍从 P点以速度v 沿原方向射入，
0
粒子由水平虚线的M点(图中未画出)离开电场，且粒子在M点的动能为P点动能的2倍，
经过一段时间粒子再次回到P点。已知OP＝L，忽略粒子的重力。求：
(1)M点到O点的距离；
(2)上述过程中，粒子轨迹上的点到P点的最大距离；
(3)粒子由P点射入到返回P点的时间。
答案 (1)2L (2)(3＋2)L (3)(4＋3π)
解析 (1)设粒子在P点的动能为E ，则粒子在M点的动能为E＝2E
k0 k k0
则有mv2＝2×mv2
0
解得粒子在M点的速度为v＝v
0
粒子在M点竖直方向上的速度v＝＝v
y 0
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上OM＝vt
0
竖直方向上v＝at，L＝at2
y
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料联立解得OM＝2L
(2)撤去水平虚线上方的磁场前，粒子在水平虚线上方做匀速直线运动，由平衡条件得 qE＝
qBv
0
解得v＝
0
由题意作出撤去上方磁场后粒子的轨迹，如图所示
粒子在电场中运动时，沿竖直方向有L＝at2，qE＝ma
沿水平方向有2L＝vt
0
在水平虚线下方磁场中运动时，有qvB＝m
联立解得r＝2L
粒子进入水平虚线下方磁场时的速度与水平虚线的夹角为θ＝45°，又r＝2L，故轨迹圆的圆
心在竖直虚线上，则OO′＝2L
则粒子在磁场中运动时与P的最大距离为d＝(3＋2)L
(3)粒子从P运动到M的时间t＝
0
根据对称性可知，粒子在电场中运动的总时间为t＝2t＝
1 0
粒子在水平虚线下方磁场中运动的时间为t＝T
2
又T＝＝
联立解得t＝
2
故粒子从P点射入到返回P点的总时间为t＝t＋t＝(4＋3π)。
1 2
4．(2023·重庆市模拟)如图所示，在真空中的xOy平面内，有四个边界垂直于x轴的条状区
域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ、Ⅲ宽度均为d，内有沿－y方向的匀强电场E；区域Ⅱ、Ⅳ宽
度均为2d，内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场B 和B 。M是区域Ⅲ右边界与x轴的交点。
1 2
质量为m、电荷量为＋q的粒子甲以速度v 从O点沿x轴正方向射入电场E，经过一段时间
0
后，沿x轴正方向与静止在M点的粒子乙结合在一起，成为粒子丙进入区域Ⅳ，之后直接
从右边界上Q点(图中未标出)离开区域Ⅳ。粒子乙不带电，质量为2m，结合前后无电荷损
失，结合时间极短，已知E＝，粒子重力不计。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)求粒子甲离开区域Ⅰ时速度的大小v 和与x轴正方向的夹角θ；
1
(2)求磁感应强度B 的大小；
1
(3)若匀强磁场B 磁感应强度不同，则粒子丙在磁场B 中运动的时间不同，求粒子丙从M点
2 2
运动到Q点的最长时间t 。
m
答案 (1)2v 60° (2) (3)
0
解析 (1)设粒子甲在区域Ⅰ电场中的加速度为a，运动时间为t，离开区域Ⅰ时速度大小为
1 1
v，与x轴正方向夹角为θ，v 沿y轴负方向的大小为v，则
1 1 y
根据牛顿第二定律，有qE＝ma
1
水平方向：d＝vt
01
竖直方向：v＝at
y 11
由速度的合成与分解及几何关系，有v＝vtan θ，v＝
y 0 1
解得v＝2v，θ＝60°
1 0
(2)粒子甲运动到M点时速度沿x轴正方向，由运动的对称性，粒子甲在匀强磁场B 中做匀
1
速圆周运动的轨迹关于区域Ⅱ垂直于x轴的中线对称，设轨道半径为r，则
1
由对称性和几何关系：d＝rsin θ
1
洛伦兹力提供向心力：qvB＝
1 1
联立解得B＝
1
(3)设粒子甲在M点与粒子乙结合前速度大小为v，粒子丙在M点速度大小为v，则
2 3
由题意，知v＝v
2 0
以x轴正方向为正方向，根据动量守恒定律，有mv＝3mv
2 3
粒子丙在磁场B 中以速度v 做匀速圆周运动，且从右边界上Q点离开，则当匀速圆周运动
2 3
的半径r＝2d时，粒子丙在磁场B 中运动时间最长，设为t，则t＝×＝。
2 2 4 4
5. (2023·江苏扬州市模拟)如图所示的xOy平面内，x＜0的区域内有竖直向上的匀强电场。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料在0＜x≤2L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为 B ；处于第四象限的匀强磁
1
场，磁感应强度为B ，大小关系为B ＝2B ，均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为
2 2 1
＋q的粒子，在t＝0时刻，从P(－2L，－L)点以速度v 沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原
0
点进入第一象限，最终从x轴上的Q(2L,0)点射出磁场，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小E；
(2)磁感应强度B 的最小值；
1
(3)若B＝，整个过程粒子运动的时间t。
1
答案 (1) (2) (3)(2＋5π)
解析 (1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，将其分解为沿＋x方向的匀速直线运动和沿＋y
方向的匀加速直线运动。设粒子经过O点时的速度大小为v，其沿y轴分速度大小为v，速
y
度v与x轴正方向的夹角为θ，其运动轨迹如图所示，则有
a＝，2L＝vt，L＝at2 ，v＝at
01 1 y 1
tan θ＝，v＝
联立解得E＝，θ＝30°，v＝v，t＝；
0 1
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
qvB＝m
1
解得B＝
1
可见磁感应强度B 最小时，粒子运动半径最大，由几何关系可知粒子在第一象限磁场中由
1
O直接到Q点，其半径最大，则有r ＝＝＝2L
max
解得磁感应强度B 的最小值B ＝
1 1min
＝＝；
(3)当B＝时，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
1 1
解得粒子在第一象限中运动半径为r＝＝L，
1
轨迹的弦长为d＝2rsin θ＝r＝L
1 1 1
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料t＝·＝
2
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料设粒子在第四象限中的运动半径为r，同理可得r＝＝＝r
2 2 1
轨迹的弦长为d＝2rsin θ＝L
2 2
轨迹圆心角为360°－2θ＝360°－60°＝300°
t＝·＝
3
粒子由O到Q的运动轨迹如图所示，粒子最终从第一象限经过x轴上的Q点，粒子先是重
复O→M→N的运动，设重复次数为n，需满足关系：
n(d－d)＋d＝OQ＝2L
1 2 1
联立解得n＝4
则整个过程粒子运动的时间t＝t＋n(t＋t)＋t＝＋4(＋)＋＝(2＋5π)。
1 2 3 2
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