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第1 讲 不等式
1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式x - 4
x -1 ≥2 的解集是( )
A.{x|-2≤x≤1}
B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1}
D.{x|x>1}
2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则( )
A.a2+b2>2ab
B.1
a+1
b≥1
ab
C.a+b>√ab
D.1
a+1
b≤2
√ab
3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF1|·|MF2|的
最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.6
4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4 的是( )
A.y=x2+2x+4
B.y=|sin x|+
4
|sin x|
C.y=2x+22-x
D.y=ln x+ 4
ln x
5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A.a2+b2≥1
2
B.2a-b>1
2
C.log2a+log2b≥-2
D.√a+√b≤√2
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y 满足x2+y2-xy=1，则( )
A.x+y≤1
B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2
D.x2+y2≥1
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考
查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6 分.
考查方向：
一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间
的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应
用.
1.答案 C
解析 x - 4
x -1 ≥2 即为x +2
x -1≤0，即{
( x +2)( x -1)≤0，
x -1≠0，
故-2≤x<1，
故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
2.答案 C
解析 对于A，当a=b 时，a2+b2=2ab，故A 错误；
对于B，D，取a=1
2，b=1
4 ，此时1
a+1
b=2+4=6<
1
1
2 × 1
4
=8= 1
ab ，
1
a+1
b=2+4=6>
2
√
1
2 × 1
4
=4√2= 2
√ab ，故B，D 错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2√ab>√ab，故C 正确.
3.答案 C
解析 由椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤(
|M F1|+|M F2|
2
)
2
=32=9，当且仅当|
MF1|=|MF2|=3 时等号成立.
4.答案 C
解析 选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1 时，y 取得最小值，且ymin=3，所以选项A 不符合题
意.
选项B，因为y=|sin x|+
4
|sin x|≥2√
|sin x|·
4
|sin x|=4，所以y≥4，
当且仅当|sin x|=
4
|sin x|，即|sin x|=2 时不等式取等号，但是|sin x|=2 不可能成立，因此可知y>4，所以选项
B 不符合题意.
(或设|sin x|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+4
t 在(0，1]上单调递减可得ymin=1+4
1 =5，所以选项B 不符合题
意.)
选项C，因为y=2x+22-x≥2√2
x·2
2- x=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1 时不等式取等号，所以ymin=4，
所以选项C 符合题意.
选项D，当0<x<1 时，ln x<0，y=ln x+ 4
ln x <0，所以选项D 不符合题意.
综上，所给函数中最小值为4 的是选项C 中的函数.
5.答案 ABD
解析 因为a>0，b>0，a+b=1，
所以a+b≥2√ab，
当且仅当a=b=1
2时，等号成立，即有ab≤1
4 .
对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×1
4 =1
2，故A 正确；
对于B，2a-b=22a-1=1
2×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a-b>1
2，故B 正确；
对于C，log2a+log2b=log2ab≤log21
4 =-2，故C 错误；
对于D，由(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤2，得√a+√b≤√2，故D 正确.
6.答案 BC
解析 因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
(a，b∈R)，
由x2+y2-xy=1 可变形为
(x+y)2-1=3xy≤3(
x + y
2 )
2
，
解得-2≤x+y≤2，
当且仅当x=y=-1 时，x+y=-2，
当且仅当x=y=1 时，x+y=2，所以A 错误，B 正确；
由x2+y2-xy=1 可变形为
(x2+y2)-1=xy≤x
2+ y
2
2
，
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1 时取等号，所以C 正确；
因为x2+y2-xy=1 可变形为
(x - y
2)
2
+3
4 y2=1，
设x- y
2 =cos θ，√3
2 y=sin θ，
所以x=cos θ+√3
3 sin θ，
y=2√3
3
sin θ，
因此x2+y2=cos2θ+5
3sin2θ+2√3
3
sin θcos θ=1+√3
3 sin 2θ-1
3cos 2θ+1
3
=4
3 +2
3sin(2θ - π
6)∈[
2
3 ，2]，
所以当x=√3
3 ，y=-√3
3 时满足等式，
但是x2+y2≥1 不成立，所以D 错误.
考点一 不等式的解法
例1 (1)设集合A={x||x-a|<1}，B={x|
4
x -5 <-1}.若A∩B=∅，则实数a 的取值范围是( )
A.{a|0≤a≤6}
B.{a|4≤a≤6}
C.{a|a≤0 或a≥6}
D.{a|2≤a≤4}
答案 C
解析 由|x-a|<1 得，-1<x-a<1，
即a-1<x<a+1，
所以A={x|a-1<x<a+1}，
由4
x -5<-1 得，x -1
x -5<0，解得1<x<5，
所以B={x|1<x<5}，
因为A∩B=∅，所以a+1≤1 或a-1≥5，
解得a≤0 或a≥6，即实数a 的取值范围是{a|a≤0 或a≥6}.
(2)(2025·济南模拟)已知关于x 的不等式组{
x
2-2 x -8>0，
2 x
2+(2k +7)x +7 k <0仅有一个整数解，则实数k 的取值范
围为( )
A.[-5，3)
B.[2，3)
C.[2，3)∪[4，5)
D.[-5，3)∪(4，5]
答案 D
解析 由x2-2x-8>0，即(x-4)(x+2)>0，解得x<-2 或x>4，
由2x2+(2k+7)x+7k<0，即(2x+7)(x+k)<0，
当k=7
2时，不等式(2x+7)(x+k)<0 即为2(x + 7
2)
2
<0，无解；
当k>7
2时，不等式(2x+7)(x+k)<0 的解集为(-k ，- 7
2)，
结合题意，此时原不等式组的解集为(-k ，- 7
2)，且仅有一个整数解，
所以-5≤-k<-4，即4<k≤5；
当k<7
2时，不等式(2x+7)(x+k)<0 的解集为(- 7
2 ，-k)，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则-3<-k≤5，即-5≤k<3.
综上所述，实数k 的取值范围为[-5，3)∪(4，5].
[规律方法] 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪演练1 (2025·南通模拟)已知关于x 的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0 的解集为(x1，x2)，1
x1
+ 1
x2
<2，
则实数b 的取值范围是 .
答案 {b|b< 3
2 或b>6}
解析 因为关于x 的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0 的解集为(x1，x2)，
即关于x 的一元二次方程x2-bx+2b-3=0 的两根为x1，x2，
则{
x1+ x2=b，
x1 x2=2b-3，
Δ=b
2- 4(2b-3)>0，
所以{
1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
=
b
2b-3 <2，
b>6 或b<2，
解得b<3
2或b>6.
故实数b 的取值范围是{b|b< 3
2 或b>6}.
考点二 基本不等式
例2 (1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b 满足a+2b=1，则( )
A.ab 的最大值为1
8
B.a2+4b2的最小值为1
2
C.√a+√2b的最大值为2
D.2a+4b的最小值为2√2
答案 ABD
解析 对于A，因为a，b 是正数，所以1=a+2b≥2√2ab⇒ab≤1
8，当且仅当a=2b，即a=1
2，b=1
4 时取等
号，所以ab 的最大值为1
8，A 正确；
对于B，因为a，b 是正数，a+2b
2
≤√
a
2+ 4 b
2
2
⇒a2+4b2≥1
2，当且仅当a=2b，即a=1
2，b=1
4 时取等号，
a2+4b2的最小值为1
2，B 正确；
对于C，因为(√a+√2b)2=a+2b+2√2ab=1+2√2ab≤1+2√
1
4 =2，当且仅当a=2b，即a=1
2，b=1
4 时取等号，
√a+√2b≤√2，√a+√2b的最大值为√2，C 错误；
对于D，2a+4b=2a+22b≥2√2
a·2
2b=2√2
a+2b=2√2，当且仅当2a=22b，即a=2b，即a=1
2，b=1
4 时取等号，2a+4b
的最小值为2√2，D 正确.
(2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为( )
A.6
B.-6
C.8
D.-8
答案 B
解析 由x2+y2=2x2y2(xy≠0)，
两边同时除以x2y2，得1
y
2+ 1
x
2=2，
x2+9y2=(x2+9y2)×1
2(
1
x
2 + 1
y
2)
=1
2(10+ x
2
y
2 + 9 y
2
x
2 )
≥1
2(10+2√
x
2
y
2 · 9 y
2
x
2 )=8，
当且仅当x
2
y
2=9 y
2
x
2 ，即x2=3y2=2 时取等号，
所以2-x2-9y2=2-(x2+9y2)≤2-8=-6，
故2-x2-9y2的最大值为-6.
[规律方法] 基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
跟踪演练2 (1)若x>0，y>0，x+2y=5，则1
xy 的最小值为( )
A. 8
25
B.8
5
C. 4
25
D.4
5
答案 A
解析 因为x>0，y>0，x+2y=5，
所以5=x+2y≥2√2 xy，
所以xy≤25
8 ，当且仅当x=5
2，y=5
4 时等号成立，所以1
xy ≥8
25，即1
xy 的最小值为8
25.
(2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且1
x +1+
1
2 x + 4 y =1，则3x+4y 的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
答案 B
解析 因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0，
由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0，
3x+4y=(3x+4y+1)-1
=[(x+1)+(2x+4y)](
1
x +1 +
1
2 x + 4 y)-1
=2+
x +1
2 x + 4 y +2 x + 4 y
x +1
-1
≥2+2√
x +1
2 x + 4 y · 2 x + 4 y
x +1
-1=3，
当且仅当{
x +1
2 x + 4 y = 2 x + 4 y
x +1
，
1
x +1 +
1
2 x + 4 y =1，
x ≥0，y ≥0，
即{
x =1，
y =0 时等号成立，
所以3x+4y 的最小值是3.
考点三 不等式的综合应用
例3 (2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x 的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0 在(0，+∞)上恒成立，则
b+3
a的最小值为 .
答案 8
解析 因为关于x 的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0 在(0，+∞)上恒成立，
所以1
a是方程x2+bx-8=0 的根，
则(
1
a)
2
+b·1
a-8=0，即b=8a-1
a，且a>0，
所以b+3
a=8a+2
a≥2√8a· 2
a=8，当且仅当8a=2
a，即a=1
2，b=2 时取等号，故b+3
a的最小值为8.
[规律方法] 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几
何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
跟踪演练3 (多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C 的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，
n)是曲线C 上的任意一点，点O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.曲线C 关于直线y=x 对称
B.m+n 的最大值为2√6
C.该椭圆的离心率为√2
2
D.n 的最大值为2√2
答案 ABD
解析 将曲线C 方程中的x 与y 对调后，该方程不变，所以曲线C 关于直线y=x 对称，A 正确；
由题意知m2+n2-mn=6，因为m2+n2≥(m+n)
2
2
，
mn≤(m+n)
2
4
，所以m2+n2-mn=6≥(m+n)
2
4
，则m+n≤2√6，当且仅当m=n=√6时等号成立，所以m+n 的最
大值为2√6，B 正确；
联立方程{
x
2+ y
2- xy =6，
y = x，
解得顶点坐标为(√6，√6)和(-√6，-√6)，所以椭圆的长轴长为2a=4√3⇒a=2√3
，同理可得另外两个顶点坐标为(√2，-√2)和(-√2，√2)，所以椭圆的短轴长为2b=4⇒b=2，所以c=√a
2-b
2
=√12- 4=2√2，所以该椭圆的离心率e=c
a=2√2
2√3=√6
3 ，C 错误；
将m2+n2-mn=6 看作关于m 的一元二次方程，令Δ=n2-4(n2-6)≥0，解得-2√2≤n≤2√2，所以n 的最大值为2
√2，D 正确.
专题强化练
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·广安模拟)不等式3
x +1≥1 的解集是( )
A.{x|x<-1 或-1<x≤2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x≤2}
D.{x|-1<x≤2}
答案 D
解析 因为3
x +1≥1，所以3
x +1-1=2- x
x +1≥0，
即x -2
x +1≤0，可得{
( x -2)( x +1)≤0，
x +1≠0，
解得-1<x≤2，
故原不等式的解集是{x|-1<x≤2}.
2.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“1
a<1
b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若ab>0，a>b，则b-a<0，
则1
a-1
b=b-a
ab <0，
即1
a<1
b，充分性成立；
若ab>0，1
a<1
b，则1
a-1
b=b-a
ab <0，则b-a<0，即a>b，必要性成立，所以如果ab>0，那么“a>b”是“1
a<
1
b”的充要条件.
3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b 的最大值为( )
A.1
4
B.1
C.4
D.16
答案 B
解析 log2a·log2b≤(
lo g2a+lo g2b
2
)
2
=(
lo g2ab
2 )
2
=1，当且仅当log2a=log2b=1，即a=b=2 时取等号，故
log2a·log2b 的最大值为1.
4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0 有解，则实数a 的取值范围是( )
A.{a|a>- 15
4 }
B.{a|- 15
4 ≤a≤0}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥- 15
4 }
答案 D
解析 方法一 因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0 有解，
则a≥-x+1
x 在x∈[1，4]上有解，
又因为y=-x 和y=1
x 在[1，4]上单调递减，
所以f(x)=-x+1
x 在[1，4]上单调递减，
f(x)min=f(4)=-4+1
4 =-15
4 ，
即a≥-15
4 .
方法二 因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0 有解，
设g(x)=x2+ax-1，则g(x)max≥0，
即g(1)≥0 或g(4)≥0，解得a≥-15
4 .
5.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b 在c 上的投影向量相等，则
x2+y2的最小值为( )
A.2
B.1
C.1
2
D.√2
答案 A
解析 由题意得a·c
|c| · c
|c|=b·c
|c| · c
|c|，
可得a·c=b·c，
故x+1=3-y，即x+y=2，
所以x2+y2≥( x + y)
2
2
=2，
当且仅当x=y=1 时取等号，
所以x2+y2的最小值为2.
6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则4a3-a7=4(a1+2d)-(a1+6d)=3a1+2d=8，
解得a1=8-2d
3
，
由于{an}为正项等差数列，
则{
a1= 8-2d
3
>0，
d >0，
解得0<d<4，
a1a3=8-2d
3
·(
8-2d
3
+2d)=(8-2d )(8+ 4 d )
9
=2
9(8-2d)(4+2d)≤2
9·(
8-2d + 4 +2d
2
)
2
=8，
当且仅当8-2d=4+2d，即d=1，a1=2 时等号成立，所以a1a3的最大值为8.
7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和
体积都相等，则( )
A.2r<r1+r2
B.2r>r1+r2
C.r2=r1r2
D.r2<r1r2
答案 B
解析 不妨设圆柱和圆台的高为h，
由体积公式可知πr2h=1
3π(r1
2+r2
2+r1r2)h，
即r2=1
3 (r1
2+r2
2+r1r2)，
则4r2-(r1+r2)2=4
3 (r1
2+r2
2+r1r2)-(r1
2+r2
2+2r1r2)=1
3(r1-r2)2，
因为在圆台中，r1≠r2，所以1
3(r1-r2)2>0，
即4r2>(r1+r2)2，2r>r1+r2，故A 错误，B 正确；
由基本不等式，结合r1≠r2，得√r1r2<r1+r2
2
<r，
平方后得到r2>r1r2，故C，D 错误.
8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0 恒成立，则a 的取值集合为( )
A.{1}
B.(0，1]
C.[
1
e ，1]
D.[1，+∞)
答案 A
解析 设x+a=t，则x=t-a，t>0，
原不等式可化为(t-a)tln t≥0.
因为t>0，所以(t-a)ln t≥0，
当0<t<1 时，ln t<0，所以t-a≤0 在t∈(0，1)上恒成立，即a≥1；
当t=1 时，ln t=0，所以(t-a)ln t≥0 恒成立；
当t>1 时，ln t>0，所以t-a≥0 在t∈(1，+∞)上恒成立，即a≤1.
综上可得，a=1.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·汕头模拟)若关于x 的不等式ax2-bx+c>0 的解集为M={x|-1<x<2}，则下列选项正确的是( )
A.a<0
B.不等式cx2+bx+a>0 的解集为{x|1<x≤2}
C.4a+2b+c<0
D.函数y=ax2+bx+c 在(-∞，- 1
2]上单调递增
答案 ACD
解析 对于A，由题意得，方程ax2-bx+c=0 的两个实数根为-1 和2，且a<0，故A 正确；
由根与系数的关系得{
b
a =-1+2=1，
c
a =-1×2=-2，
即{
b=a，
c =-2a.
对于B，不等式cx2+bx+a>0 可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1>0，解得x>1 或x<-1
2，故B 错误；
对于C，因为b=a，c=-2a，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a-2a=4a<0，故C 正确；
对于D，y=ax2+bx+c 即y=ax2+ax-2a=a(x + 1
2)
2
-9a
4 ，因为a<0，所以该函数在(-∞，- 1
2]上单调递增，故
D 正确.
10.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是( )
A. 1
a-c < 1
a-b
B.ab2>cb2
C.a+b>c
D.a2+c2>b2
答案 AD
解析 对于A，1
a-c - 1
a-b=(a-b)-(a-c)
(a-c)(a-b) =
c -b
(a-c)(a-b)，
因为a>b>c，所以c-b<0，a-c>0，a-b>0，
即
c -b
(a-c)(a-b)<0，所以1
a-c < 1
a-b，故A 正确；
对于B，取a>b=0>c，此时ab2=cb2=0，故B 错误；
对于C，取a=-1>b=-2>c=-3，则a+b=c=-3，故C 错误；
对于D，若b=0，则a2+c2>b2=0 显然成立，
若b>0，则a2+c2≥a2>b2成立，
若b<0，则a2+c2≥c2>b2成立，
综上所述，只要a>b>c，就一定有a2+c2>b2，故D 正确.
11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是( )
A.1
a+1
b≤√2
B.ab≤2
C.a+b≤2√2
D.a2+b2≥4
答案 BC
解析 对于B，由a2+b2≥2ab，可得ab+2≥2ab，解得ab≤2，
当且仅当a=b=√2时，等号成立，故B 正确；
对于A，由a>0，b>0，得1
a+1
b≥2
√ab ，而ab≤2，所以2
√ab≥√2，所以1
a+1
b≥√2，当且仅当a=b=√2时，
等号成立，故A 错误；
对于C，由ab≤(a+b)
2
4
，a2+b2-ab=2，得(a+b)2-2=3ab≤3(a+b)
2
4
，解得(a+b)2≤8，即a+b≤2√2，当且仅
当a=b=√2时，等号成立，故C 正确；
对于D，由ab≤a
2+b
2
2
，a2+b2-ab=2，得a2+b2-2=ab≤a
2+b
2
2
，解得a2+b2≤4，当且仅当a=b=√2时，等号
成立，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点，点M 在C 上，则
1
|M F1|+
1
|M F2|的最小
值为 .
答案 2
3
解析 由题意得|MF1|+|MF2|=6，
所以
1
|M F1|+
1
|M F2|
=1
6×(
1
|M F1| +
1
|M F2|)(|MF1|+|MF2|)
=1
6(2+|M F2|
|M F1| +|M F1|
|M F2|)
≥1
6(2+2√
|M F2|
|M F1| ·|M F1|
|M F2|)=2
3，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3 时，取等号，
所以
1
|M F1|+
1
|M F2|的最小值为2
3.
13.(2025·赣州模拟)若关于x 的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0 的解集为(x1，x2)，且1
x1
+ 1
x2
=2，则实数m 的值为
.
答案 -1
解析 因为关于x 的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0 的解集为(x1，x2)，
所以x1+x2=-2(m-1)，x1x2=m2-m，
Δ=4(m-1)2-4(m2-m)>0，解得m<1，
因为1
x1+ 1
x2=
x1+ x2
x1 x2
=2，
所以-2(m-1)
m
2-m
=2，解得m=-1.
14.(2025·白银模拟)若正实数a，b 满足a+b=1，则a
2
a+1+ b
2
b+2的最小值是 .
答案 1
4
解析 方法一 设a+1=s，b+2=t，
则s+t=a+b+3=4，
∵a
2
a+1+ b
2
b+2=(s-1)
2
s
+(t -2)
2
t
=s-2+1
s +t-4+4
t =s+t+1
s +4
t -6=1
s +4
t -2，
∴1
s +4
t =1
4(
1
s + 4
t )(s+t)
=1
4(
t
s + 4 s
t +5)≥1
4(2√
t
s · 4 s
t +5)=9
4 ，
当且仅当s=4
3 ，t=8
3，即a=1
3，b=2
3时取等号，
∴a
2
a+1+ b
2
b+2≥9
4 -2=1
4 ，故所求最小值是1
4 .
方法二 ∵a+b=1，∴a+1+b+2=4，
∴a
2
a+1+ b
2
b+2=1
4(
a
2
a+1 + b
2
b+2)(a+1+b+2)
=1
4[a
2+ a
2(b+2)
a+1
+ b
2(a+1)
b+2
+b
2]
≥1
4[a
2+2√
a
2(b+2)
a+1
· b
2(a+1)
b+2
+b
2]
=1
4 (a2+2ab+b2)=1
4 (a+b)2=1
4 ，
当且仅当a=1
3，b=2
3时取等号，故所求最小值是1
4 .
(15 题5 分，16 题6 分，共11 分)
15.(2025·鞍山模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=ax(a>1)的图象上两个不同的点，则( )
A.loga y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B.loga y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C.loga y1+ y2
2
<x1+x2
D.loga y1+ y2
2
>x1+x2
答案 B
解析 由题意不妨设x1<x2，
因为函数y=ax(a>1)是增函数，
所以0<a
x1<a
x2，即0<y1<y2，
对于选项A，B，因为y1+ y2
2
=a
x1+a
x2
2
>√a
x1·a
x2=a
x1+ x2
2 >0，即y1+ y2
2
>a
x1+ x2
2 >0，
且函数y=logax 是增函数，
所以loga
y1+ y2
2
>logaa
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
，故B 正确，A 错误；
对于选项C，例如a=2，x1=-1，x2=-2，则y1=1
2，y2=1
4 ，
可得log2
y1+ y2
2
=log23
8=log23-3∈(-2，-1)，
即log2 y1+ y2
2
>-3=x1+x2，故C 错误；
对于选项D，例如a=2，x1=0，x2=1，则y1=1，y2=2，可得log2
y1+ y2
2
=log23
2∈(0，1)，
即log2
y1+ y2
2
<1=x1+x2，故D 错误.
16.(多选)(2025·成都模拟)已知集合S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy-3k≥0}(k>0)，则称集合S 为k-分集.
下列说法正确的是( )
A.当k=3 时，{(3，3)}是唯一的k-分集
B.对任意k>3，总存在至少一个k-分集
C.若S 是2-分集，则|x-y|>2√3
D.若S 是1-分集，则(x-2)2+(y-4)2<24
答案 AD
解析 由x>0，y>0，x+y=6，得xy≤(
x + y
2 )
2
=(
6
2)
2
=9，当且仅当x=y=3 时等号成立，即(xy)max=9.
对于A，当k=3 时，则S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy≥9}，又xy≤9，故S={(x，y)|x=y=3}={(3，3)}，
故A 正确；
对于B，当k>3 时，xy≥3k>9，不符合(xy)max=9，故B 不正确；
对于C，当k=2 时，xy≥6，所以|x-y|=√( x + y)
2- 4 xy≤√6
2- 4×6=√12=2√3，故C 不正确；
对于D，当k=1 时，xy≥3，又x>0，y>0，x+y=6，所以x(6-x)≥3，解得3-√6≤x≤3+√6，(x-2)2+
(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2(1+√6)2=14+4√6<24，故D 正确.
