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第 2 讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思
想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，
能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
{|log x|,0<x<2,
例1 (1)(多选)已知函数f(x)= 2 若f(x)=a有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且满足
x2-8x+13,x≥2, 1 2 3 4
x <x <x <x ，则下列命题正确的是( )
1 2 3 4
A.0<a<1
B.x x =1
1 2
[ 21)
C.x +x +x +x 的取值范围是 10，
1 2 3 4 2
D.2x +x 的取值范围是[2√2，3)
1 2
思路分析 方程f(x)=a的根→函数f(x)与y=a图象交点的横坐标→作出函数f(x)的图象→结合图象可得x ，
1
x ，x ，x 的关系.
2 3 4
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)=a的根可以转化为函数f(x)与y=a图象交点的横坐标，由图可知
0<a<1，故A正确；
由题意可知-log x =log x ，即log x x =0，解得x x =1，故B正确；
2 1 2 2 2 1 2 1 2
函数y=x2-8x+13图象的对称轴为直线x=4，所以x +x =8，又x x =1，
3 4 1 2
1
所以x +x +x +x =8+ +x ，
1 2 3 4 x 2
2
由图知1<x <2，
2
1 21 ( 21)
函数g(x )=8+ +x 在(1，2)上单调递增，g(1)=10，g(2)= ，所以x +x +x +x 的取值范围是 10， ，
2 x 2 2 1 2 3 4 2
2
故C错误；2 2
2x +x = +x ，函数h(x )= +x 在(1，√2)上单调递减，在(√2，2)上单调递增，h(√2)=2√2，h(1)=3，
1 2 x 2 2 x 2
2 2
h(2)=3，
所以2x +x 的取值范围是[2√2，3)，故D正确.
1 2
{-x2+2x,x≤0,
(2)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
ln(x+1),x>0,
A.(-∞，0] B.(-∞，1]
C.[-2，1] D.[-2，0]
思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象→结合图象可知直线y=ax介于切线l与x轴之间→利
用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，如图所示.
由图象可知，函数y=ax的图象是过原点的直线，
函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x，
求其导数可得y'=2x-2，
当x=0时，y'=-2，
故y=x2-2x在原点处的切线l的斜率为-2，
当直线y=ax介于l与x轴之间时符合题意，
故直线y=ax的斜率a∈[-2，0].
[规律方法] 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y=f(x)
与y=g(x)图象的位置关系.
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一
些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
例2 若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是( )
A.[0，2√2+2] B.[0，2]
C.[2√2-2，2√2+2] D.[2√2-2，2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB=90°→点C在劣弧AB上→作
a+b=⃗OD→求|⃗CD|的最值.答案 D
解析 ∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令⃗OA=a，⃗OB=b，⃗OC
=c，⃗OD=a+b，
∵(a-c)·(b-c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a+b-c|表示C，D两点间的距离|⃗CD|.
|⃗CD|的最大值是|⃗AD|=|⃗BD|=2，
|⃗CD|的最小值为|⃗OD|-2=2√2-2.
∴|a+b-c|的取值范围是[2√2-2，2].
[规律方法] 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑
直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式
——可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
x2 y2
例3 已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-4)2+
4 3 1 2
(y-3)2=1上任意一点，则|MN|-|MF |的最小值为 .
1
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|-|MF |的最小值转化为|MN|+|MF |-4→利用三角形性质|MN|≥|ME|-1及|
1 2
ME|+|MF |≥|EF |求得|MN|-|MF |的最小值.
2 2 1
答案 3√2-5
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点，
则|MF |+|MF |=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，
1 2
∴|MN|-|MF |=|MN|-(4-|MF |)=|MN|+|MF |-4≥|ME|+|MF |-5≥|EF |-5，
1 2 2 2 2
当且仅当M，N，E，F 四点共线时，等号成立.
2
∵F (1，0)，E(4，3)，
2
则|EF |=√(4-1) 2+(3-0) 2=3√2，
2∴|MN|-|MF |的最小值为3√2-5.
1
[规律方法] 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函
数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
