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第2 讲 函数的图象与性质
1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x 在区间[-2.8，2.8]的图象大致为( )
2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f(x)=5-2x，则f (- 3
4)等
于( )
A.-1
2
B.-1
4
C.1
4
D.1
2
3.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f
(
3
2 -2 x)，g(2+x)均为偶函数，则( )
A.f(0)=0
B.g(- 1
2)=0
C.f(-1)=f(4)
D.g(-1)=g(2)
4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x + π
2)为偶函数，则a= .
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值
约为10~12 分.
考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二
是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的
应用.
1.答案 B
解析 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，
又f(1)=-1+(e - 1
e)sin 1>-1+(e - 1
e)sinπ
6 =e
2-1- 1
2e >1
4 - 1
2e >0，
故可排除D.
2.答案 A
解析 由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R 成立，
于是f (- 3
4)=f (
3
4)=f (
11
4 )=5-2×11
4 =-1
2.
3.答案 BC
解析 方法一 (转化法)因为f (
3
2 -2 x)，g(2+x)均为偶函数，
所以f (
3
2 -2 x)=f (
3
2 +2 x)，
即f (
3
2 - x)=f (
3
2 + x)，
g(2+x)=g(2-x)，
所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，
则f(-1)=f(4)，故C 正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=3
2，x=2 对称，
又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，
所以g(
3
2)=0，g(3-x)=-g(x)，
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，
所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
所以g(- 1
2)=g(
3
2)=0，
g(-1)=g(1)=-g(2)，故B 正确，D 错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)+C(C 为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A 错误.
方法二 (特例法)因为f (
3
2 -2 x)，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=3
2对称，函数g(x)
的图象关于直线x=2 对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)=sin πx，则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos
2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.
4.答案 2
解析 ∵f(x)=(x-1)2+ax+sin(x + π
2)
=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x，
且函数为偶函数，
∴a-2=0，解得a=2.
经验证，当a=2 时满足题意.
考点一 函数的性质
例1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)={
- x
2-2ax -a，x<0，
e
x+ ln( x +1)，x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围是(
)
A.(-∞，0]
B.[-1，0]
C.[-1，1]
D.[0，+∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R 上单调递增，
且x≥0 时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足{
--2a
2×(-1) ≥0，
-a≤e
0+ ln1，
解得-1≤a≤0，
即a 的取值范围是[-1，0].
(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f (x + 3
2)，f(-1)=1，f(0)=-2，且f (x - 3
4)
为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3 的周期函数
D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2
答案 BCD
解析 对于A，因为f(x)是定义在R 上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A 错误；
对于B，因为f (x - 3
4)为奇函数，所以f (x - 3
4)=-f (- x - 3
4)，
由f(x)=-f (x + 3
2)可得，
f (x - 3
4)=-f (x - 3
4 + 3
2)=-f (x + 3
4)，
所以-f (- x - 3
4)=-f (x + 3
4)，
即f (- x - 3
4)=f (x + 3
4)，
所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B 正确；
对于C，由f(x)=-f (x + 3
2)可得，f(x+3)=-f (x + 3
2)=f(x)，所以f(x)是周期为3 的周期函数，故C 正确；
对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得，
f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D 正确.
[规律方法] (1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函
数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为
增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.
(2)函数的周期性和对称性的常用结论
①若f(x+a)=-f(x)(或f ( x +a)=
1
f ( x) ，其中f ( x)≠0)，则f(x)的一个周期为2|a|.
②若f(x)的图象关于直线x=a 和x=b 对称，则f(x)的一个周期为2|a-b|.
③若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b 对称，则f(x)的一个周期为4|a-b|.
④若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
⑤若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2
对称.
跟踪演练1 (1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin x+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f (
1
2)，c=f(ln 2)，则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
答案 A
解析 由f(x)=sin x+ex-e-x得，
f'(x)=cos x+ex+e-x，
∵ex+e-x≥2√e
x·e
- x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0 时等号成立，
而cos x∈[-1，1]，∴f'(x)=cos x+ex+e-x>0，
即f(x)在R 上单调递增，
∵-2<1
2=ln √e<ln 2，
∴f(-2)<f (
1
2)<f(ln 2)，即a<b<c.
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则( )
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinπ
6 x
答案 ABC
解析 由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，
f(1)=1，
令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，
可得f(0)=2，故A 正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，
则f(y)=f(-y)，
又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，
而f(x)=2sinπ
6 x 为奇函数，故D 错误；
令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，
则f(x)=f(x-1)-f(x-2)，
f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)
=-f(x-2)，
所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的一个周期为6，故C 正确；
由于f(x)为偶函数且一个周期为6，
故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，故B 正确.
考点二 基本初等函数
例2 (1)(多选)已知幂函数f(x)=(8m2-5)x
m
2，则( )
A.m=±√3
2
B.f(x)的定义域为R
C.f(x)为非奇非偶函数
D.不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为(
4
3 ，+∞)
答案 AC
解析 由幂函数f(x)=(8m2-5)x
m
2知，8m2-5=1，解得m=±√3
2 ，故A 正确；
f(x)=x
3
4=4√x
3，则f(x)的定义域为[0，+∞)，所以f(x)为非奇非偶函数，故B 错误，C 正确；
由f(x)=x
3
4知，函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，
由f(2x+1)>f(5-x)可得，0≤5-x<2x+1，解得4
3 <x≤5，即不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为(
4
3 ，5]，故D 错误.
(2)(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
答案 B
解析 方法一 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，
令m=2，则x=1，y=3-1=1
3，z=5-3= 1
125，此时x>y>z，A 有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C 有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D 有可能.
方法二 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，
则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.
当x>y 时，2t-2>3t-3，解得t<3 ln3-2ln 2
ln3- ln 2 <5；
当z>y 时，5t-5>3t-3，解得t>5ln5-3ln3
ln5- ln3
>5.
因此当x>z>y 时，t 无解，故选B.
[规律方法] (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问
题时，首先要看底数a 的取值范围.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)=2
a x
2- x +1的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，1
4]
B.[0，1
4]
C.(-∞，- 1
4]∪[
1
4 ，+∞)
D.[
1
4 ，+ ∞)
答案 B
解析 当a=0 时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；
当a≠0 时，因为函数f(x)=2
a x
2- x +1的值域为M，且满足(1，+∞)⊆M，
由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1 的最小值ymin≤0，
当a>0 时，依题意有y=ax2-x+1 的最小值4 a-1
4 a
≤0，即0<a≤1
4 ；
当a<0 时，不符合题意.综上，0≤a≤1
4 .
(2)(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：
小时)，其中k 为常数.在此条件下，已知训练数据量N 从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练
时间增加20 小时；当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单
位：小时)( )
A.2
B.4
C.20
D.40
答案 B
解析 设当N 取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，
由题意，T1=klog2106=6klog210，
T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，
T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，
因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，
所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，
所以当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 小时.
考点三 函数的图象
例3 (1)(2025·成都模拟)函数f(x)=sin π x
e
x+e
- x 的部分图象大致为( )
答案 D
解析 根据题意，函数f(x)的定义域为R，
且f(-x)=sin(- π x)
e
- x+e
x
=-sin π x
e
x+e
- x =-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；
又当x∈(0，1)时，πx∈(0，π)，所以sin πx>0，且ex+e-x>0 恒成立，
则f(x)>0，排除C，所以只有D 满足.
(2)已知函数f(x)={
|ln x|，x>0，
2
x，x ≤0，
若a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则cf(c)的取值范围为( )
A.(0，e]
B.(0，e)
C.[e，+∞)
D.(e，+∞)
答案 A
解析 因为f(x)={
|ln x|，x>0，
2
x，x ≤0，
当x>0 时，f(x)=|ln x|={
ln x，x ≥1，
- ln x，0< x<1，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f(
1
e)=f(e)=1；
当x≤0 时，f(x)=2x，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(0)=1，
所以f(x)的图象如图所示，又a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，不妨令f(a)=f(b)=f(c)=t，
结合图象可知，0<t≤1 且a≤0<1
e ≤b<1<c≤e，即0<f(c)≤1，
所以0<cf(c)≤e，即cf(c)的取值范围为(0，e].
[规律方法] (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用
一些特殊点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、
最值、交点、方程的根等问题.
跟踪演练3 (1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=
x
1-|x|
B.f(x)=
x
|x|-1
C.f(x)= |x|
1- x
2
D.f(x)= |x|
x
2-1
答案 D
解析 由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=
x
1-|x|和函数f(x)=
x
|x|-1为奇函数，故A，B 错误；
又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)= |x|
1- x
2>0，f(x)= |x|
x
2-1
<0，由题图可知当x∈(0，1)时，
f(x)<0，故C 错误，D 正确.
(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga(x + 1
a)的图象一定经过( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案 D
解析 当x=0 时，y=loga1
a=-1，则当0<a<1 时，如图1，函数图象经过第二、三、四象限；
当a>1 时，如图2，函数图象经过第一、三、四象限，
所以函数y=loga(x + 1
a)的图象一定经过第三、四象限.
专题强化练
[分值：85 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x 对称，则f (
1
3)+f(9)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 因为函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x 对称，所以f(x)=log3x，所以f (
1
3)+f(9)=log31
3
+log39=-1+2=1.
2.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln 3，则( )
A.b>a>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.a>c>b
答案 A
解析 由题意得，c=e-ln 3=e
ln 1
3=1
3<1=30<a=30.9<31=3=log28<log29=b，即c<a<b，故b>a>c.
3.(2025·西安模拟)若函数f(x)=2
x
2+ax -3在(1，+∞)上单调，则实数a 的取值范围是( )
A.[-2，+∞)
B.[-1，+∞)
C.(-∞，-2]
D.(-∞，-1]
答案 A
解析 因为函数y=2x在R 上为增函数，y=x2+ax-3 在(-∞，- a
2)上单调递减，在(- a
2 ，+ ∞)上单调递增，
且函数f(x)=2
x
2+ax -3在(1，+∞)上单调，
根据复合函数的单调性，可得-a
2≤1，即a≥-2，
所以实数a 的取值范围是[-2，+∞).
4.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b 为常数，若函数f(x)=(
1
a)
x -b
的图象如图所示，则
( )
A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B.g(x)的图象的对称轴在y 轴左侧
C.关于x 的方程g(x)=1 有两个不等实根
D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增
答案 D
解析 函数f(x)的图象在R 上为减函数，则0<1
a<1，即a>1，又图象经过点(-1，1)，即f(-1)=(
1
a)
-1-b
=1，
故得-1-b=0，解得b=-1，
于是g(x)=ax2-x+a+1 为开口向上的抛物线，对称轴为直线x= 1
2a，又1
2a∈(0，1
2)，故B 错误；
由g(x)在(
1
2a ，+ ∞)上单调递增，得g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，故D 正确；
令g(x)=ax2-x+a+1=0，
因为a>1，所以Δ=1-4a(a+1)<0，所以函数g(x)的图象与x 轴没有交点，与y 轴有唯一交点，即g(x)的图象
与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，方程g(x)=1 即为ax2-x+a=0，又a>1，故Δ=1-4a2<0，所以方程无实数根，故C 错误.
5.(2025·沧州模拟)已知a>0，且f(x)=ln 1+ax
1-3 x 为奇函数，则( )
A.f (
1
2a)>f (
1
3a)>0
B.f (
1
3a)>f (
1
2a)>0
C.f (
1
2a)>0>f (
1
3a)
D.f (
1
3a)>0>f (
1
2a)
答案 A
解析 方法一 因为f(x)的定义域为(- 1
a ，1
3)，f(x)为奇函数，所以a=3，则f(x)=ln1+3 x
1-3 x =ln(
2
1-3 x -1)
，
因此f(x)在(- 1
3 ，1
3)上为增函数，
f (
1
2a)=f (
1
6)，f (
1
3a)=f (
1
9)，且1
3>1
6>1
9>0>-1
3，
所以f (
1
6)>f (
1
9)>f(0)=0，
故f (
1
2a)>f (
1
3a)>0.
方法二 因为f(x)=ln 1+ax
1-3 x 为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，
故ln 1-ax
1+3 x +ln 1+ax
1-3 x =ln1-a
2 x
2
1-9 x
2 =0，
所以1-a
2 x
2
1-9 x
2 =1，所以a2=9，又a>0，所以a=3，
所以f(x)=ln1+3 x
1-3 x ，
又f (
1
2a)=f (
1
6)=ln 3，
f (
1
3a)=f (
1
9)=ln 2，
因为ln 3>ln 2>0，故f (
1
2a)>f (
1
3a)>0.
6.(2025·赣州模拟)已知a=log23+log32，b=log45+log54，则下列结论正确的是( )
A.a>b>2
B.a>2>b
C.b>a>2
D.2>a>b
答案 A
解析 设f(x)=x+1
x ，x>0，
易知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(1)=2，
且a=log23+log32=log23+
1
lo g23=f(log23)，
b=log45+log54=log45+
1
lo g45=f(log45)，
因为log23>log2√5=log45>1，
所以f(log23)>f(log45)>f(1)，即a>b>2.
7.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|
f(x0)|>M”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；
所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.
8.下列可以作为方程x3+y3=4xy 的图象的是( )
答案 D
解析 当x<0 时，x3=4xy-y3=y(4x-y2)<0，
若y<0，则4x-y2>0，即y2<4x<0，不成立，
故x<0，y<0 不可能同时成立，故A，B，C 错误.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·北京东城区模拟)已知f(x)={
g( x)，x>0，
- g( x)，x<0. 下列选项中，不能使f(x)既是奇函数又是增函数的是(
)
A.g(x)=x
B.g(x)=x2
C.g(x)=ex
D.g(x)=ln|x|
答案 ACD
解析 对于A 选项，函数f(x)的图象如图①中实线部分所示，符合题意；
对于B 选项，函数f(x)的图象如图②中实线部分所示，不符合题意；
对于C 选项，函数f(x)的图象如图③中实线部分所示，符合题意；
对于D 选项，函数f(x)的图象如图④中实线部分所示，符合题意.
10.(2025·白银模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正
确的是( )
A.函数y=f(x+1)-3 为偶函数
B.函数f(x)为减函数
C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称
D.f(3x-2)-3>0 的解集为(1，+∞)
答案 BC
解析 因为f(-x)+f(x+2)=6，所以f(-x+1)-3=-[f(x+1)-3]，
所以函数y=f(x+1)-3 为奇函数，
函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故A 错误，C 正确；
因为∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，即t[f(x+t)-f(x)]<0，当t>0 时，f(x+t)<f(x)，
当t<0 时，f(x+t)>f(x)，所以函数f(x)为减函数，故B 正确；
令x=-1，则f(1)+f(-1+2)=6，所以f(1)=3，
则f(3x-2)-3>0 等价于f(3x-2)>f(1)，
因为函数f(x)为减函数，
所以3x-2<1，即x<1，故f(3x-2)-3>0 的解集为(-∞，1)，故D 错误.
11.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则( )
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于点(0，0)中心对称
C.f(x)的图象关于直线x=1
2对称
D.f(2 025)=2 025
答案 ABD
解析 对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)+f(0)，因为f(1)=1，所以f(1)=f(1)+f(0)，解得f(0)=0，故A 正确；
对于B，令y=-x，则f(f(x-x))=f(x)+f(-x)，即f(f(0))=f(x)+f(-x)，
由A 可知，f(0)=0，所以f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，故B 正确；
对于C，由f(0)=0，f(1)=1，知f(0)≠f(1)，所以f(x)的图象不关于直线x=1
2对称，故C 错误；
对于D，令y=1-x，则f(f(x+1-x))=f(x)+f(1-x)=f(f(1))=f(1)=1，
即f(x)+f(1-x)=1，
又f(-x)=-f(x)，则有f(x)-f(x-1)=1，
即f(x)=f(x-1)+1，
所以f(2)=f(1)+1=2，f(3)=f(2)+1=3，…，f(2 025)=2 025，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知函数 f(x)=loga(3-x)+1
4 (a>0 且 a≠1) 的图象经过定点A，若幂函数y=g(x)的图象也经过该点，则g
(
1
2)= .
答案 4
解析 因为f(2)=1
4 ，所以A(2，1
4)，
设幂函数y=g(x)=xα，
因为幂函数y=g(x)的图象经过A(2，1
4)，
所以2α=1
4 ，解得α=-2，故g(x)=x-2，
因此g(
1
2)=(
1
2)
-2
=4.
13.(2025·河南名校学术联盟模拟)已知定义在R 上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足
f(x)=f(4-x)，f(x)在区间(-∞，2)上单调递减，f(0)=0，则关于x 的不等式f ( x)
2- x <0 的解集为 .
答案 (0，2)∪(4，+∞)
解析 由f(x)=f(4-x)得，f(x)的图象关于直线x=2 对称，
所以f(4)=f(0)=0，
由f(x)在(-∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，+∞)上单调递增，
画出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象及f ( x)
2- x <0 可得，
{
2- x>0，
0< x<4 或{
2- x<0，
x<0 或x>4，
解得0<x<2 或x>4，
故不等式f ( x)
2- x <0 的解集为(0，2)∪(4，+∞).
14.(2025·镇江模拟)已知A，B，C 是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A 在x 轴上，BC∥x 轴，BC=15
4 ，
则⃗AB·⃗AC= .
答案 7
4
解析 函数f(x)的大致图象如图所示，
因为点A 在x 轴上，所以A(1，0)，
因为BC=15
4 ，根据对称性，不妨设B(x，|log2x|)，
C(x + 15
4 ，|lo g2(x + 15
4 )|)，x>0，
则-log2x=log2(x + 15
4 )，所以1
x =x+15
4 ，
化简得4x2+15x-4=0，
解得x=-4(舍去)或x=1
4 ，
所以B(
1
4 ，2)，C(4，2)，
所以⃗AB=(- 3
4 ，2)，⃗AC=(3，2)，
所以⃗AB·⃗AC=-3
4 ×3+2×2=7
4 .
(每小题6 分，共12 分)
15.(多选)(2025·江西省新八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(x-2)=f(x-1)，且f(17)>f(25)，
f(18)>f(16)，则下列结论一定正确的是( )
A.f(x)=f(x+6)
B.f(2)+f(4)=0
C.f(20)<20
D.f(30)>30
答案 AC
解析 因为f(x)=f(x-1)-f(x-2)，
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，
所以f(x+1)=-f(x-2)，则f(x+4)=-f(x+1)，所以f(x+4)=f(x-2)，
则f(x+6)=f(x)，故A 正确；
设f(1)=a，f(2)=b，
则f(3)=b-a，f(4)=-a，f(5)=-b，f(6)=-b+a，
所以f(17)=f(5)=-b，f(25)=f(1)=a，f(18)=f(6)=-b+a，f(16)=f(4)=-a，
由f(17)>f(25)，得-b>a，即a+b<0，
由f(18)>f(16)，得-b+a>-a，即2a-b>0，
所以{
a+b<0，
2a-b>0，
所以f(2)+f(4)=b-a=1
3(a+b)-2
3(2a-b)<0，故B 错误；
f(20)=f(2)=b=2
3(a+b)-1
3(2a-b)<0<20，故C 正确；
f(30)=f(6)=-b+a=-1
3(a+b)+2
3(2a-b)>0，无法判断是否大于30，故D 不一定正确.
16.(多选)(2025·北京改编)关于定义域为R 的函数f(x)，以下说法正确的有( )
A.存在在R 上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.存在在R 上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.使得f(x)+f(-x)=cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
D.使得f(x)-f(-x)=cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
答案 BC
解析 对于A，若存在R 上的增函数f(x)，满足f(x)+f(2x)=-x，
则f(0)+f(2×0)=-0，即f(0)=0，
故当x>0 时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)，
故-2x>-x，即x<0，矛盾，故A 错误；
对于B，取f(x)=-1
3x，该函数为R 上的减函数且f(x)+f(2x)=-x，
故该函数符合题意，故B 正确；
对于C，取f(x)=1
2cos x+mx，m∈R，
此时f(x)+f(-x)=cos x，由m∈R 可得f(x)有无穷多个，故C 正确；
对于D，若存在f(x)，使得f(x)-f(-x)=cos x，
令x=0，则0=cos 0，但cos 0=1，矛盾，
故满足f(x)-f(-x)=cos x 恒成立的函数f(x)不存在，故D 错误.
