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专题 01 二次函数的图象和性质
目录
A题型建模・专项突破
题型一、根据二次函数的定义求参数......................................................................................................................1
题型二、二次函数的图象和性质..............................................................................................................................2
题型三、利用二次函数的增减性比较大小..............................................................................................................4
题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴......................................................................................................6
题型五、求二次函数在某区域的最值问题..............................................................................................................7
题型六、画二次函数的图象......................................................................................................................................9
题型七、二次函数的图象和性质综合问题............................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、根据二次函数的定义求参数
1．若函数 为二次函数，则实数 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为 （ ， 为常数）是
解本题的关键．
根据二次函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ．
故答案为：2．
2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为 ，二次函数最高次必须
为二次，据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：
3．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 （ 其中a、b、c为常数，且
）的函数叫做二次函数，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ 是关于 的二次函数，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．当 时， 是二次函数．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得 且 ，解之即可求解，掌握二次
函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型二、二次函数的图象和性质
5．关于二次函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当 时，y随x的增大而减小
C．若点 是抛物线上的点，则点 也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为 即可得到A选项错误；根据抛
物线的增减性即可得到B选项错误；根据点 是抛物线上的点得到 ，把 代入
得到 ，即可得到C选项正确；把抛物线 先向上平移2个单位长度，再向左平移3
个单位长度后得到 ，即可得到点 不在 图象上，得到D选项错误，问
题得解．
【详解】解：由二次函数 得对称轴为 ，故A选项错误，不合题意；
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴 右侧，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意；∵点 是抛物线上的点，
∴ ，
当 时， ，
∴点 也在抛物线上，故C选项正确，符合题意；
二次函数 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得
，
当 时，
∴点 不在 图象上，故D选项错误，不合题意．
故选：C
6．对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．函数的最大值为4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二
次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可进行解答．
【详解】解：A、∵ ，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意．
B、∵ ，
∴对称轴是直线 ，故B不正确，不符合题意；
C、∵函数开口向上，对称轴是直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，故C正确，符合题意；
D、∵ ，∴顶点坐标为 ，
∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
7．已知二次函数 ，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ）
A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线
C．该函数图像在 轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和
二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解： 二次函数 ，则顶点为 ，
该函数图象有最高点 ，故选项A错误，
该函数图像对称轴为直线 ，选项B错误；
该函数图象在 轴下方，故选项C正确；
该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；
故选：C．
8．关于抛物线 的图像与性质，下列结论错误的是（ ）
A．形状与抛物线 相同 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．该抛物线与 轴没有交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、抛物线 与抛物线 二次项系数相等，所以形状相同，该选项正确，
故不符合题意；
B、该抛物线对称轴为 ，该选项正确，故不符合题意；
C、该抛物线的对称轴为 ，开口向下，所以当 时， 随 的增大而减小，该选项正确，故不符
合题意；
D、因为 ，顶点坐标为 ，开口向下，所以与 轴有交点，故该选项错误，
故符合题意；
故选：D．
题型三、利用二次函数的增减性比较大小
9．抛物线 经过点 和 ，则它的对称轴为 ．
【答案】直线
【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一
半，由此得到答案．
【详解】解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴它的对称轴为直线 ，
故答案为：直线 ．
10．已知二次函数 图象上有两个不同点 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点 关于抛物线的对称轴对称，再求解
抛物线的对称轴为直线 ，从而可得答案.
【详解】解： 点 在二次函数 的图象上，
∴点 关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
故答案为： ．
11．已知抛物线 经过 ， 两点，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴 ，观察 和 ，得 与
关于对称轴 对称，据此即可作答．
【详解】解：依题意，因为抛物线 经过 ， 两点，且 和 两点的
纵坐标相等，
所以 和 关于对称轴 对称，
即 ，
故答案为： ．
12．已知抛物线 经过 和 两点，则a值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过 和 两点可得抛物线对称轴为
直线 ，进而求解．
【详解】解： 抛物线 经过 和 两点
∵
抛物线的对称轴为直线 ，
∴
，
∴
解得 ．故答案为：5．
题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴
13．若点 、 、 在二次函数 的图像上，则 、 、 的大小
关系为 ．（用“ ”符号连接）
【答案】
【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点 、 、 在二次函数 的图像上，且 ，
∴ ；
故答案为：
14．若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则关于 ， ， 的大小
关系是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
，
故答案为： ．
15．已知二次函数 、且有 、则 、 按从大到小的
顺序排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 的
值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上， ，∴当 时， 值最小．
当 时， ；
当 时， ，
∴ ．
故答案为： ．
16．已知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 之间的大
小关系是 （用“ ”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型五、求二次函数在某区域的最值问题
17．已知函数 ，当 时，该函数的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
将二次函数进行配方，利用二次函数的图像和性质确定最大值．
【详解】解： ，
，
当 时，该函数有最大值，最大值是 ，
故答案为： ．
18．已知二次函数 ，当 时，y的最大值为9，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函
数的顶点式可得在 内，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
则可得当 时， 取得最大值，由此即可得．
【详解】解：将二次函数 化成顶点式为 ，对称轴为直线 ，∴抛物线开口向上，在 内，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而
增大，
∵ 离二次函数的对称轴比 离二次函数的对称轴更远，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
又∵当 时， 的最大值为9，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1．
19．已知函数 ，当 时， 有最大值 ，最小值 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键．
直接利用配方法求出二次函数最小值 ，进而利用二次函数增减性得出 的值，即可得出答案．
【详解】解： ，
整理得： ，
故当 时， 有最小值 为 ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值 为 ；
故 ；
故答案为： ．
20．已知抛物线 ．当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，得到二次函数的最大值为 ，结合题意，得
到 且 到1的距离小于等于 到1的距离，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∴当 时，函数值有最大值 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∵当 时， 且 ，
∴ 且 到1的距离小于等于 到1的距离，
∵ 和 关于直线 对称，∴ ；
故答案为： ．
题型六、画二次函数的图象
21．已知：二次函数 中的 和 满足如表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 3 0 0 8 …
(1)可求得 的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当 时 的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)图见解析，
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当 和 所对应的函数值相等，从而得到 的值；
（2）设交点式 ，然后把把 代入得求出 的值即可；
（3）描点作图，由函数图象可直接得到 的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
当 和 所对应的函数值相等，
；
故答案为： ；
（2）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
，
即抛物线解析式为 ；
（3）解：如图：
由图象可得，当 时， ．
22．已知二次函数 ，解决以下问题：
(1)将其化成 的形式：______；
(2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图；
0 1 2 3
6
(3)增减性：当 ______时， 随 增大而增大；当 ______时， 随 增大而减小．
【答案】(1)
(2)填表见解析；画图见解析
(3) ；
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可；
（2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可；（3）根据函数的增减性，得出答案即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：填表如下：
0 1 2 3
6 3 2 3 6
描点，连线，画出函数图象，如图所示：
（3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小．
23．已知二次函数 的图象过点 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为 ；
②当 时，y随x增大而减小；
③当 时，y的取值范围为 ；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．【答案】(1)
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确
理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，（3）解：① ，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为 ，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线 ，则当 时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当 时，y的取值范围为 ，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积 ，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
24．已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
①函数 时， 的取值范围是____________；
②方程 的根是_______________；
③试写出此函数的一条性质；
④已知点 ， ， 都在此二次函数的图象上，则 的大小关系是_________
（用“＜”连接）．
【答案】(1)见解析；(2)① ；② ；③当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；
④ ．
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）利用画函数图象的步骤即可求解；
（ ）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可．
【详解】（1）解：列表：
0 1 2 3 4
描点，连线，如图，
；
（2）解：①根据图象可知，函数 时， 的取值范围是 ；
②方程 即 的根是 ；
③根据图象可知，此函数的一条性质为：当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增
大；
④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ．
题型七、二次函数的图象和性质综合问题
25．二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 的最大值与最小值的差．【答案】(1) ；
(2)① ， ；②
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可；
（ ）①把 代入（ ）所得函数解析式，求出 的值即可求解；②由①可得 ，再根据二次
函数的性质求出 的最大值与最小值，进而相减即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得 ，
∴二次函数的解析式解析式为 ；
（2）解：①把 代入 ，得 ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∴这个函数“倍值点”的坐标为 ， ；
②由①可得， ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时， 有最小值为 ；当 时， 有最大值为 ，
即 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
26．已知二次函数 ，记 的最大值为 ，最小值为 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 时，求 的值；
(3)若 总成立，则写出 的取值范围为_______．
【答案】(1)8
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，涉及二次函数的性质、分类讨论思想以及不等式恒成立的条
件．
（1）将 代入求出解析式，再解答即可；（2）先求出二次函数顶点坐标为 ，分 ， 或 分别讨论即可；
（3）根据（2）中最值解答即可．
【详解】（1）解：当 时，函数为 ，
对称轴为直线 ，因此，最值在端点处：
当 时， ；
当 时， ．
故 ．
（2）解：二次函数 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
情况1： ，即 ，
最小值 ；
到1距离更远时，最大值 ， ，
解得： 或 （舍去）．
到 距离更远时，最大值 ， ，
解得： （舍去）或 ．
情况2： 或 ，
当 时：在 范围内，y随x增大而增大，
则 ，
则 ，
解得： （舍去，因 ）．
当 时：在 范围内，y随x增大而减小，
则 ，
则 ，
解得： （舍去，因 ）．
综上， 或 ．
（3）解：函数 恒成立，即最小值 ：
顶点在 范围内 时， 恒成立；
顶点在 范围外 或 ：
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
综上， 的取值范围为 ．27．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为 ，其中 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；
(2)若 为此二次函数图象上不同的两个点，当 时， ，求m的值；
(3)若点 在此二次函数图象上，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）理解题意得 ，因为 ，故建立方程组，再解得 ，即可作答．
（2）先整理得对称轴为直线 ，结合 ，说明 关于对称轴 对称，
得 ，解得： ；
（3）把点 代入 得 ，则对称轴 ，整理得 ，因为当
时，y随x的增大而增大，得 且 ，解得： ，即可作答．
【详解】（1）解：把点 代入到二次函数的表达式 中，
得
化简得： ，
依题意联立方程组： ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵二次函数的表达式为 ；
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
说明 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：∵点 在此二次函数 图象上，
∴ ，对称轴 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ 且 ，
∴
∴
解得： ，
∴
∵
∴ ．
28．已知二次函数 （ 的实数）
(1)二次函数图象的对称轴是______．
(2)当 时，
①若将平面内一点 向右平移 个单位，则与抛物线上的点 重合；向左平移 个单位，则与抛物
线上的点 重合，求 的值．
②如果点 在抛物线上，且到 轴的距离小于等于 ，那么我们称点 是 轴的“亲密点”，求所有
“亲密点”的 的取值范围．
(3)对于二次函数图象上的两点 ， ，当 ， 时，均满足 ，直
接写出 的取值范围．【答案】(1)直线
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）根据二次函数 的对称轴公式 代入可得；
（2）①根据平移可得 ， ，关于对称轴对称，可得 ，求出 的
值，再代入当 时的二次函数的解析式求出 的值即可；
②根据点 到 轴的距离小于等于 ，确定 的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的 的取值范
围；
（3）二次函数图象的对称轴直线为 且开口向上，当 时 随 值增大而减小，可知 的最小值，
然后分类讨论即可；
【详解】（1）解：∵二次函数 （ 的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，
故答案为：直线 ；
（2）①当 时，二次函数为 ，
∵点 向右平移 个单位，则与抛物线上的点 重合；向左平移 个单位，则与抛物线上的点 重
合，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ；
②∵点 在抛物线 上，且到 轴的距离小于等于 ，
∴抛物线 的图象开口向上， ，∴顶点处 有最小值：当 时， ，
顶点处 有最大值：当 时， ，
当 时， ，
∴ 的取值范围是 ；
（3）当 ， 时，需满足 ，则 ，
∵点 ， 是二次函数 图象上的两点，
∴ ，
∵二次函数 图象的对称轴是直线 ，开口向上，当 时， 随 值增大而减小，
又∵ ，
∴当 时， 有最小值是 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
∴解得 ，
当 时，则 ，解得： ，
当 时，则 ，解得： ，
∴综上所述， 的取值范围为 ．
一、单选题
1．抛物线 的对称轴为（ ）．
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解．
【详解】解：抛物线的表达式为 ，其中 ， ，代入对称轴公式得： ，
因此，抛物线的对称轴为直线 ，
故选A．
2．抛物线 的对称轴是 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．利用抛物线对称轴公
式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ，
故选：C．
3．已知二次函数 的图象经过点 ，若 ,则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据抛物线 ，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为 ，当 或当
时， ，得出离对称轴越远，函数值越大，结合 ，得出点 离对称轴要比点
离对称轴远， ，得出 ，则点 在对称轴的左边，点 在对称轴的右边，
得出不等式 求解，综合得出答案即可．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为 ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴当 或当 时， ，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴点 离对称轴要比点 离对称轴远， ，
∴ ，
∴点 在对称轴的左边，点 在对称轴的右边，∴ ，
解得： ，
综上所述， ，
故选：B．
4．对于二次函数 的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当 时，y随x增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．根据
题目中的二次函数的解析式以及二次函数的性质逐项判断各个选项中的说法是否正确，即可解题．
【详解】解：
A、 ，
开口向上，选项错误，不符合题意；
B、 ，
称轴为直线 ，选项正确，符合题意；
C、 当 时， ，
顶点坐标为 ，选项错误，不符合题意；
D、 对称轴为直线 ，二次函数开口向上，
当 时，y随x增大而增大，选项错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题
5．二次函数 的图象上有两点 ， ，则此抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的
关键．根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案．
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴该抛物线的对称轴是直线
故答案为：
6．点 是二次函数 图象上的两个点，则 （填“ ”，“
”或“ ”）【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．
求出二次函数的图象的对称轴，根据二次函数的性质即可判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴 对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．若 是y关于x的二次函数，则 ．
【答案】2
【分析】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关键．根据 （a是不为0
的常数）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵ 是y关于x的二次函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：2．
8．当 时，二次函数 的最小值为0，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
分两组情况讨论，当 时，则当 时，有最小值求得 当 时，则 时，y有最
小解得 即可解题．
【详解】解： ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线：
若 ，则
当 时，y有最小值， 解得：
若 ，在 时， y随x的增大而减小，
时，y有最小值，解得： （不合题意，舍去），
综上：
故答案为： ．
三、解答题
9．已知二次函数 ．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
(2)观察图象，若点 ， ， 是这条抛物线上的三个点，请用“ ”连接 ， ， 的大
小关系______；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键．
（1）分别求出 、 、 、 和 时， 的值，再利用描点法画出函数图象即可得；
（2）观察函数图象即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，填入表格如下：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下：
．
（2）解：由函数图象可知， ，验证如下：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
故答案为： ．
10．已知二次函数 （ ， 为常数， ），其图象与 轴交于点 ， （ 在 的左
侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，且图象的对称轴为直线 ．
(1)求二次函数解析式及顶点 的坐标；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数 的图象；(3)连接 ， ，根据图象直接回答问题：
面积为______；
关于 的方程 的解为______；
若该二次函数图象上有两点 和 ，则 ______ （从符号 ， ， ， ， 中选择
一个填空）；
当 时，则 的取值范围是______．
【答案】(1)二次函数解析式为 ，顶点 的坐标为 ；
(2)画图见解析；
(3) ； ， ； ； ．
【分析】（ ）利用待定系数法求解析式即可；
（ ）通过画函数图象方法即可求解；
（ ） 通过面积公式直接求解即可；
根据图象分析即可求解；
通过图象上的点离对称轴越远则 的值越小即可求解；
根据图象分析即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，
【详解】（1）解：∵与 轴交于点 ，图象的对称轴为直线 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
由 ，
∴顶点 的坐标为 ；
（2）解：列表：描点，连线，如图，
（3）解： 如图，
∴ 面积为： ，
故答案为： ；
根据图象可知 ，
∴点 关于 得对称点为 ，
∴关于 的方程 的解为 ， ；
由二次函数解析式为 ， ，对称轴为直线 ，
则图象上的点离对称轴越远则 的值越小，
∵ ，
∴ ，故答案为： ；
根据图象可知：
当 时，则 的取值范围是 ，
故答案为： ．
11．已知，点 在抛物线 上．
(1)若 ，且抛物线经过点 ，求抛物线的表达式．
(2)若点 也在该抛物线上．
①当函数的最小值为0时，求 的值；
②若在 时，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ，② 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①由题意得点C为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，再求得抛物线的对称轴为直线 ，得到
，据此求解即可；
②分两种情况讨论，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点 ．
将 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：①∵抛物线经过点 ，且函数的最小值为0，
∴点C为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
对于 ，令 ，得 ，
∴该抛物线经过点 ．∵点 和 在该抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ；
②由①得抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴ ，此时 在 轴左侧，
∵抛物线经过点 ，
∴ ，无解，此情况不存在；
当 时， ，
∴ ，
∵抛物线经过点 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
综上， 或 ．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
(1)若该抛物线的对称轴为直线 ，求其顶点坐标；
(2)已知该抛物线的对称轴位于 轴右侧．
①当 时， 的最小值为 ，求 的值；
②若 都是该抛物线上的点，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① 的值为 ，② 的取值范围为： 或 ．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质的应用；
（1）根据抛物线的对称轴求解 ，进一步可得顶点坐标；
（2）①如图，该抛物线的对称轴位于 轴右侧，可得 ，当 时，顶点 的纵坐标
最小，当 时，当 时， 最小，再进一步求解即可；
②由题意可得 ， ， ，抛物线的对称轴为直线， ，由 ，可得： ， ，整
理得： ，设 ，如图，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标为： ．
（2）解：①如图，该抛物线的对称轴位于 轴右侧，
∴ ，
当 时，顶点 的纵坐标最小，
∴ ，
解得： （ 舍去）；
当 时，
当 时， 最小，
∴ ，
解得： ，不符合题意，舍去，
综上：当 时， 的最小值为 ， 的值为 ；
②∵ 都是抛物线 上的点，
∴ ， ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得： ，∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
解得： ，
综上： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
设 ，如图，
当 时，
解得： 或 ，
∴当 时， 或 ，
∵ ，
∴ 的取值范围为： 或 ．
