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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十二章 二次函数·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的一般顶点式为 ，其中顶点坐标为
，根据顶点式可直接写出顶点坐标即可得解．
【详解】解：由题意得，二次函数 的顶点坐标是 ．
故选：D．
2．下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如 （ ）的函数是二次
函数，逐一验证各选项即可．
【详解】A． ，分母含 ，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义；
B． ，若 ，则变为一次函数 ，不一定是二次函数；
C．展开得 ，为一次函数；
D．展开得 ，符合 （ ），是二次函数．
故选：D．
3．下列函数中，当 时，y随x的增大而减小的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题
的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答．
【详解】A： 为一次函数，斜率 ，故当 增大时， 始终增大，不符合条件．
B： 是开口向下的抛物线，顶点在原点．当 时，函数在对称轴左侧随 增大而递增，不符合条
件．
C： 开口向下，顶点为 ．当 时，函数同样随 增大而递增，不符合条件．
D： 是开口向上的抛物线，顶点为 ．当 时，函数在对称轴左侧随 增大而递减，符合
条件．
故选：D．
4．二次函数 与 轴的交点个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．无法确定
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象与 轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，令 ，
则 ，然后通过根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解
题的关键．
【详解】解：令 ，则 ，
∴ ，
∴抛物线与 轴有 个交点，
故选： ．
5．已知 ， 两点都在抛物线 （ ）上，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二
次函数的增减性判断函数值大小．
先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质
时开口向上，对称轴右侧 随 增大而增大）比较函数值大小．
【详解】因为 ，
所以抛物线对称轴为直线 ，
点 到对称轴 的距离为 ；
点 到对称轴 的距离为 ，
因为 ，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧 随 的增大而增大，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，所以 ，
故选：A．
6．已知二次函数 的图象经过四个象限，则 的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】求出二次函数 的顶点坐标为 ，对称轴为 ，与y轴的交点坐
标为 ，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则 ，结合 可得 ，由此即可
得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解： ，
∵ ，
∴开口向上，
顶点坐标为 ，对称轴为 ，与y轴交点为 ，
∵二次函数 的图象经过四个象限，
∴ ，
解得 ，又∵
∴ ，
∴ 的值可以是2．
故选：A
7．已知二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，
逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中 （开口方向）、 （对称
轴与 共同决定）、 （与 轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解： 二次函数 图象中，开口向上，
．
对称轴 ，又 ，
，即 ．
抛物线与 轴交点在负半轴，
．
选项A： ， ， ，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴 ，由图象知对称轴 ，即 ，
又 ，两边乘 得 ， ，该选项错误．
选项C：当 时， ，即 ；当 时， ，，该选项正确．
选项D：当 时， ，由图象知 对应的函数值 ，
，该选项错误．
故选 ．
8．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，下
列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象与 轴的交点的纵坐标是
C．当 时，函数值 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；故A选项错误；
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴该函数图象与 轴的交点的纵坐标是 ，当 时， ，故B，C选项错误；
由图象可知，当 时， 随 的增大而增大；故D选项错误；故选D．
9．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位： ）与小球运动的时间t（单位： ）之间的函数关
系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40 ；
② 与 之间的函数关系式为 ；
③小球运动的时间为6 ；
④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识
点，读懂函数图象是解题的关键．
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为： ，
把 代入得 ，
解得 ，
函数解析式为 ，
故②错误；
③令 ， ，
解得： 或6，
小球的运动时间为 ，
故③正确；④把 代入解析式得， ，
解得： 或 ，
小球的高度 时，t为 秒或 秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选A．
10．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为 ，且隔断EF，GH分别与矩
形的两条邻边平行．设BC的长为 ，矩形ABCD的面积为 ，y关于x的函数图象如图②，则下列说
法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当 时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取
得最大值．
观察图2，得出当 时，函数值 最大，可判断A、B错误；根据题意确定 ，即判断C正确，
进而可判断D．
【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为 ，此时 ，故A，B选项错误；
当 时，矩形ABCD的面积取最大值4，
，，
故C选项正确，D选项错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线 的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解∶ 抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为： ．
12．已知二次函数 ，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增
大．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先化为顶点式，再求出二次函数图象的开口方向和对称轴方程，
再根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，函数值y随x的增大而增大．
故答案为： ．
13．将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．
根据左加右减，上加下减求解作答即可．
【详解】解：将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为
，即 ，
故答案为： ．
14．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则抛物线与 轴的另一个交点坐
标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出
另一个交点的坐标即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线为 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ；
故答案为： ．
15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数
来表示，已知 米，距离 点2米处的棚高 为 米，若借助横梁 建一个
门，要求门的高度为1.5米，则横梁 的长度是 米．
【答案】
【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函
数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当 时的自变量的值，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，抛物线经过 ， ，
故 ，
解得： ，
故抛物线解析式为：
由题意可得：当 时，
，
解得：
∴ 米．
故答案为：
16．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分 、
和 三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
又∵当自变量 时，函数有最大值为10，
∴当 即 时， 时取最大值，即 ，
解得 ，
当 即 时， 号时取最大值，即 ，
则∵ ，方程没有实数根，
当 时即 ， 时取最大值，即 ，
解得
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知关于x的函数 ．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式．
（1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可；
（2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可．
【详解】（1）解： 函数 为一次函数，
，或 ，
，或
当 时函数 ，
当 时函数 ，
此一次函数解析式为 或 ；
（2）解： x的函数 为二次函数．
，且
解得： ，当 时， ，
函数的解析式 ．
18．已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴是直线 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若 ， ， 是抛物线上的三个点，则 、 、 的大小关系是______．（用“
”连接）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数 的性质，熟记相关结论即可求解；
（1）令 ，则 ；得到抛物线 与 轴的交点为 ；推出 ；根据抛物线
的对称轴是直线 ，推出 ，即可求解；
（2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断；
【详解】（1）解：令 ，则 ；
∴抛物线 与 轴的交点为 ；
∴ ；
∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，解得： ；
∴此抛物线的解析式为： ；
（2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线 ．
∵ 且 ，
∴故答案为：
19．在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点 ．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（ ）个单位，图象恰好经过点 ，
求n的值．
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)
【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的
规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
（1）将点 代入函数解析式求出 ，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；
（2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将 代入求解即可．
【详解】（1）解：∵ 经过点 ，
∴ ．
解得： ．
∴二次函数的解析式为 ．
∴对称轴为直线 ．顶点的坐标为 ．
（2）解：二次函数的解析式化为 ．
∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移 个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为 ．
∵平移后图图象经过点 ，
∴ ．
解得： ．20．已知抛物线的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，交 轴于 、 两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求 、 点坐标，
(3)根据图象，当函数值 时，写出自变量 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握
二次函数的性质是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为 ，代入 ，求得 的值，即可求解；
（2）令 ，解方程即可求得 、 点坐标；
（3）根据函数图象以及 、 点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，
∴设抛物线解析式为
代入 ，得
解得：
∴
（2）解：当 时，解得：
∴ ，
（3）解：∵ ，
根据函数图象可得，当函数值 时，自变量 的取值范围为 ．
21．已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)取五点，填写列表，然后在图中画出函数的图象．
（要求：画出具有对称美的图象．）
x … …
y … …
(3)若 ，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．
（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）填表进而描点连线画出函数图象即可；
（3）先计算出当 时的函数值，再根据函数图象的顶点坐标即可求解．
【详解】（1）解；∵二次函数 的图象经过点 ， ．
∴
解得
∴该二次函数的解析式为
（2）填表如下：
x … …
y … 3 0 0 3 …
描点画图如下
（3）
，
解：当 时， ，
当 时， ，
，顶点坐标为 ，即 时，有最小值为 ，∴根据函数图象可得当 的y的取值范围为 ．
22．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，顶点为 ．
且该抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的表达式和顶点 的坐标．
(2)连接 交抛物线的对称轴于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 或 或 或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练
掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）先求得 所在直线的表达式为 ．得出 ，根据 求得 ，
进而根据 ，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得 解得
该抛物线的表达式为 ，
∴
顶点 的坐标为 ．
∴（2）存在．
设 所在直线的表达式为 ，
将点 ， 代入，得
解得
所在直线的表达式为 ．
∴
抛物线的对称轴为直线 ，
∵
当 时， ，
∴
．
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
即 或 ．
解 ，得 ， ；
解 ，得 ， ，
点 的坐标为 或 或 或 ．
∴
23．小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她
到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据：
花店 售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
(1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式；
(2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中，
①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何
定价？
【答案】(1)
(2)①当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大是450元；② 元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
（2）根据待定系数法求解；
（3）①根据配方法求解；
②根据“ ”列方程求解．
【详解】（1）解：∵日销售量与售价满足一次函数关系，
∴设售价为x元/盆，日销售量y盆，
直线过点 和点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答：日销售量与售价之间的一次函数关系式为 ．
（2）解：①设利润为w元，则 ，
即 ，∵ ，
∴开口向下，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 符合，
把 代入 ，
答：当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元；
②当 时
，
∵让利于民 ， 不符合题意舍去，
．
答：每天获得400元的利润，应定价为25元．
24．综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起
始段（ 段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（ 段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐
减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系
（如图1所示），以及路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系（如图2所示）．其中，图2中
段是抛物线 的一部分．已知小球初速度 ．【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段 的长度为_____ ；
任务2： 求小球在粗糙轨道（射线 对应部分）上运动时，速度 与时间 之间的函数关系
式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线 上）是否存在一节长为 的
轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点 之间的
距离；若不存在，请说明理由．
【答案】任务1： ；任务2： ； 行进的总路程为 ；任务3：轨道起点与点A之
间的距离为
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
任务1：由图2可以得出轨道初段 的总长；
任务2： 用待定系数法求出v与t的函数解析式； 先求出抛物线的解析式，由 中解析式求出运动停
止的时间，即可解答；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 秒行驶至轨道终点，由小球在通过
该段过程中，所用时间恰好为 ，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间
的距离．
【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段 的总长为
故答案为： ；
任务2： 设 ，则 ，
解得 ，
∴ ；
根据题意将 代入 得： ，
解得 ，
∴ ；
由 知小球在 段速度 与时间 之间的函数关系式为 ，
当 时，解得 ，
将 代入 得 ，
∴行进的总路程为 ；
任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 秒行驶至轨道终点，
由题意得： ，
解得： ，
当 时， ，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意），
∴轨道起点与点A之间的距离为 ．
25．如图 ，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为点 ，且经过原点．(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上，且位于直线 上方的一个动点，当点 在抛物线上，且横坐标为 时，
的面积为____________．
求 的面积的最大值．
(3)如图 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
若 ，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段 的长度总是定值，请你直接写出此定值．
【答案】(1) ；
(2) ； 当 时， 的面积的最大值为 ；
(3) ； ．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的
关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
（ ）由题意可知 ，解得 ，即可求函数的解析式；
（ ） 过点 作 轴交 于点 ，求出直线 的解析式为 ，分别求出 ，
，再求 的面积即可；
过 点作 轴交 于点 ，设 ，则 ， 的面积 ，当时， 的面积的最大值为 ；
（ ） 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，设抛物线向右平移 个单位，向上平
移 个单位，平移后的函数解析式为 ，可求 ，则新抛物线的解析式为
；
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，则平移后的函数解析式为 ，
当 时， ，根据根与系数的关系可得 ，
，则 ．
【详解】（1）解：∵函数图象经过原点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解： 过点 作 轴交 于点 ，
∵ 点横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ；
过 点作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ 的面积 ，
当 时， 的面积的最大值为 ；
（3）解： ∵ ，
∴ 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴平移后的函数解析式为 ，将点 代入，
可得 ，
解得 （舍）或 ，
∴新抛物线的解析式为 ，
故答案为： ；
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴平移后的函数解析式为 ，当 时， ，
∴ ， ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ．
