四川省树德中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性测试数学PDF版含答案（可编辑）_2026年04月高一试卷_260421四川省树德中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性测试

树德中学高 2025 级高一下学期 4 月阶段性测试数学试题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
考试时间：120分钟 满分：150分
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．计算下列各式，结果为 3的是（ ）
第一部分（选择题 共58分） tan30 1tan15
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
A． 2sin15 2cos15 B．cos215sin15cos75 C．
1tan230
D．
1tan15
目要求的.
10．下列说法正确的是（ ）
1．已知平面向量a  1,x,b  3,1，若a  ⊥b  ，则x
A．已知|a

|1，|b

|2，则b



a

2b
 
的最小值为6
1 1  
A．3 B．3 C． D． B．在ABC中，若ABBC0，则ABC为钝角三角形
3 3      
C．在ABC中，若点P满足PAPBPBPC PCPA，则P为ABC的垂心
9π 9π
2．点A(tan ,cos )在平面直角坐标系中位于     5π   3r
5 5 D．若|a|2 3，|b|2，a与b的夹角为 ，则a在b方向上的投影向量为- b
6 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数yAsinx. 像我们
π
3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间( ,π)上单调递减的是 平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发
2
声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部
x
A．ytanx B．ysin C．y|sinx| D．ycos2x 分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f,3f,4f 等，这些音叫谐音，因为振
2
1 1
4．下列命题中正确的是 幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是ysinx sin2x sin3x，
    2 3
A．若|a||b|，则a与b的方向相同或相反
B．若a    /  /  b  ，  b  //c  ，则a  //c  记 f n (x) k n 1 1 k sinkx  nN* ，则（ ）
C．若AB=DC，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点
   
D．若ab，则a//b
5．在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABAD,AB2DC, E为腰BC边的中点，F为对角线AC上的
      
点，且AF 2FC,若以ABa,ADb,则向量FE
5  1 5  1 1 1 1 1
A． a b B． a b C． a b D． a b
12 6 12 6 3 2 3 2
π 1 π
6．已知sin( ) 3cos ，则sin(2 )的值是
3 3 6
1 1 7 7
A． B． C． D．
3 3 9 9
3  π π
7．如图为函数ysin(2x π )的图象，P,R,S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部 A．y= f 2 (x)的最大值为 2 B．y f 3 (x)在    6 , 6   上单调递增
3
分上的第一个最大值点，则

Q

P

Q

R
 


Q

R

Q

S
 
的值为
C．y f
4
(x)的周期为2π D．nN*, f
n
(x) n x
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
π
12．已知圆心角为 的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为___________.
6
π
A．π2 B．π4 C．π22 D．π24 13．已知函数 f(x) 2cos(x )是奇函数，则tan的值为___________.
3
π  5π π         
8．已知函数 f(x)sin(2x )，若   ,  ，总存在唯一实数0,m，使得 f() f()0， 14．已知向量a1,0，b0,1，ccos,sin，0,2π .若ab[ac][bc]（其中 x 表示不
6  12 4
  
则实数 的取值范围为
超过x的最大整数，如：
3.1
3，1.7 2，则|ab2c|的取值范围为___________.
m
π π π 5π π π π 5π
A．  ,  B．[ , ) C．[ , ) D．  , 
4 3 4 12 4 3 4 12
2026-4 高一数学 第1页，共2页四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．(17分)已知数 f x 3sin(2x
π
)2sin2(x
π
)1（0）的相邻两对称轴间的距离为
π
.
3 1 6 12 2
15．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角的终边与单位圆交于点A(
2
,
2
)，射线OA绕点O (1)求 f x的解析式；
按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为 f()．
(2)将函数 f x的图象向右平移
π
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的
1
（纵坐标不变），
2π 6 2
(1)求 f()的表达式，并求 f( )的值；
3 π 2π
得到函数y gx的图象，求gx在x , 上的单调递增区间；
 
(2)若 f( π ) 5 ，π，0，求tan( π )的值． 6 3 
6 5 4 4 π 4π
(3)记方程gx
3
在x
 6
,
3  
上的根从小到大依次为x
1
，x
2
，…，x
n
，
若m x 2x 2x 2x x ，试求n与m的值.
1 2 3 n1 n
   
16．(15分)已知a1,1,|b|1, a与b的夹角45．
 
(1)求|a2b|的值；
       
(2)若向量 2ab 与 a3b 的夹角为锐角，求实数的取值范围．
19．(17分)已知平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b)（其中a,b为常数，且ab0），点O为坐标原点．
  
(1)已知点P在线段AB上靠近B点的四等分点上，请用向量OA,OB表示OP.
17．(15分)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在
(2)线段AB的n等分点按与A的距离由近到远分别记为P,P,P,,P ，其中nN,n2．
1 2 3 n1
涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度y     
(i)当n2026时，求 OAOPOP OP OB 的值（用含a,b的式子表示）；
与时间x的关系表： 1 2 n1
  
x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (ii)当ab1,n8时，求OP i (OP i OP j )

1in1,1 jn1,i,
jN
的最小值．
y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
(1)若某天这个港口的水面深度y与时间x的函数关系可用
 π
y Asin(x)B,A0,0, 0, 这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式；
 
 2
(2)依照(1)中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至
少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使
该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
2026-4 高一数学 第2页，共2页树德中学高 2025 级高一下学期 4 月阶段性测试数学试题参考答案
17．【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图，
1-8.BBCDA CDB 9.AD 10.ACD 11.BCD
12．π 13. 3 14.  10,2 2或  10, 64 2 
3
 
1 3 π
15．【详解】（1）由题意知，sin ，cos ，因为为锐角，所以 .
2 2 6
因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，
 π 2π π
所以 f coscos . 由已知数据结合图象可得A2.5，B5，T 12，  ，
 6 T 6
f   2π cos   2π  π cos 5π cos  π π cos π  3 . ............5分 故 f(x)2.5sin   π x  5.
 3   3 6 6  6 6 2 6 
 π 5  π π 5
（2）若 f   ，则cos  cos ， 又 f(0)2.5sin55，可取0，
 6 5  6 6 5
所以
2
因为π,0，所以sin 1cos2 1     5 5     2 5 5 ，所以tan c s o in s   2.............8分 f x2.5sin    π 6 x    5； ............5分
π
tantan π  π  1
则tan

  
π
4

  
4
π  1


2


2
1
 

3
1
. ............13分
（2）由题意可得y2.5sin
6
x

56.25，化简得sin
6
x


2
， ............8分
1tantan
4 π π 5π
所以 2kπ x 2kπ,kZ，解得112kx512k，kZ，
6 6 6
16.【详解】（1） a   11 2, a  b   21 2 1 又0x24，取k 0可得：1 x5，取k1，可得13≤x≤17， ............12分
2
a  2b    a  2b  2  a  24a  b  4b  2  244  10 ............6分 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，
所以卸货最多只能用4小时时间. ............15分
       
（2）因为向量 2ab 与 a3b 的夹角为锐角，
 π  π   π  π
                18．【详解】（1） f x 3sin2x 2sin2 x 1 3sin2x cos2x 
所以 2ab  a3b 0，且 2ab 与 a3b 不共线，  6  12  6  6
         3  π 1  π  π π
对于 2ab  a3b 0， 2 sin2x  cos2x 2sin2x 

2sin2x
 2  6 2  6  6 6
得2a  2  26  a  b  3b  2 4  26  30，解得16， ............12分
T π 2π
∵  ∴T π又∵T  π，∴1 ∴ f x2sin2x ............4分
        2 2 2
若 2ab 与 a3b 共线，
π   π  π
（2） f x2sin2x向右平移 个单位，得y2sin2x  2sin2x ;
      2 6   6  3
则存在2ab a3b ，得 ，解得 6，
3 再把横坐标缩小为原来的1（纵坐标不变），得 gx2sin  4x π  ............7分
2  3
           
所以若向量 2ab 与 a3b 的夹角为锐角，实数的取值范围为 1, 6  6,6 . ............15分
π 2π π π 7π
∵x , ，可得4x  , ，
   
6 3  3 3 3 
2026-4 高一数学 第3页，共2页π π π 3π 7π （ii）当ab1,n8时，
求增区间，则 4x  , , , ，
   
3 3 2  2 3   8i i   8 j j
OP  OA OB,OP  OA OB，
∴gx的单调递增区间 π , 5π , 11π , 2π ............10分 i 8 8 j 8 8
 6 24     24 3     16i j i j
∴OP OP  OA OB ，
i j 8 8
4  π 4  π 2
（3）由方程gx ，即2sin4x  ，即sin4x  ,
3  3 3  3 3      8i i 16i j i j
∴OP OPOP  OA OB OA OB
π 4π π π  π π  2 i i j  8 8  8 8 
因为x

,

，可得4x 

,5π ,设4x ，其中

,5π

，即sin ，
6 3  3 3  3 3  3 8i 16i j  ii j i4 ji2 12i64
  ，
2 π  64 32
结合正弦函数ysinx的图象，可得方程sin 在区间

,5π

有5个解，即n5，
3 3  i4 ji212i64
令Mj ，
其中 3π，  5π，  7π，  9π， 32
1 2 2 3 3 4 4 5
π π π π i47i212i64 i25i36
即4x  4x  3π，4x  4x  5π， 当i1,2,3时，MjM7  ，
1 3 2 3 2 3 3 3 32 32
π π π π 15
4x  4x  7π，4x  4x  9π， 当i2或3时，上式有最小值为 ，
3 3 4 3 4 3 5 3 16
11π 17π 23π 29π 4212464
解得x x  ，x x  ，x x  ，x x  ， 当i4时，Mj 1，
1 2 12 2 3 12 3 4 12 4 5 12 32
所以mx
1
2x
2
2x
3
2x
4
x
5
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
 20
3
π 当i5,6,7时MjM1 i21
3
1
2
i60 ，当i5或6时，上式有最小值为
1
1
6
5 ．
综上，n5，m 20π . ............17分 综上，O  P    O  P  O  P   的最小值为 15 ． ............17分
3 i i j
16
 3
19．【详解】（1）证明：已知点P在线段AB上靠近B点的四等分点上，则AP AB，则
4
  3   
OPOA OBOA ,
4
 1 3
OP OA OB. ............4分
4 4
 2025 1 
（2）（i）由题意得，OP  OA OB，
1 2026 2026
 2024 2   1  2025    
OP  OA OB,,OP  OA OB，∴OP OP OAOB，
2 2026 2026 2025 2025 2026 1 2025
对任意正整数m,n，且mn2026，
 2026m m   2026n n     
OP  OA OB,OP  OA OB，有OP OP OAOB，
m 2026 2026 n 2026 2026 m n
∴ O  A  O  P  O  P  O  P  O  B   2027 O  A  O  B  ，
1 2 2025 2
∴ O  A  O  P  O  P  O  P  O  B   2027 O  A  O  B   2027 a2b2 ． ............9分
1 2 2025 2 2
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