文档内容
上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2022-2023 学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数𝑦 =−2𝑥−3的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程中，有实数根的方程是( )
𝑥 1
A. 𝑥 +1=−1 B. 𝑥3+2=0 C. = D. 𝑥2−2𝑥 +3=0
𝑥2−1 𝑥2−1
3. 下列命题中是假命题的是( )
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
4. “𝑎是实数，|𝑎| ≥0”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
5. 在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，|𝐴𝐵|= 3，|𝐵𝐶|=1，则向量(𝐴𝐵+𝐵𝐶)的长度为( )
A. 2 B. 4 C. 3−1 D. 3+1
6. 下列说法正确的个数有( )
①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定
②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形
③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 如果关于𝑥的无理方程 2𝑥 +𝑚=𝑥有实数根𝑥 =1，那么𝑚的值为______ ．
8. 把二次方程𝑥2−4𝑥𝑦 +4𝑦2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是______ ．
9. 一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，
将朝上一面的点数记为𝑥，抛第二次，将朝上一面的点数记为𝑦，则点(𝑥,𝑦)落在直线𝑦 =−𝑥+4
上的概率为______ ．
第1页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
10. 已知：在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐷=𝑏，那么𝐶𝐴= ______ (用向量𝑎、𝑏的
式子表示)．
11. 如图，𝐸𝐹过矩形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线的交点𝑂，且分别交𝐴𝐵、𝐶𝐷于𝐸、
𝐹，那么阴影部分的面积与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积的比值是______ ．
12. 直线𝑙 1 ：𝑦 =𝑘 1𝑥 +𝑏与直线𝑙 2 ：𝑦 =𝑘 2𝑥在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
关于𝑥的不等式𝑘 2𝑥 >𝑘 1𝑥 +𝑏的解集为______．
13. 如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶，
∠𝐵 =60°，𝐵𝐶 =6𝑐𝑚，则梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为______ ．
14. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形．
15. 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于𝑂，𝐴𝐶 =8𝑐𝑚，∠𝐴𝑂𝐷 =120°，则𝐴𝐵 =
______ ．
16. 已知菱形的边长为13𝑐𝑚，一条对角线长为24𝑐𝑚，那么菱形的高为______ 𝑐𝑚．
17. 如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷于点𝑂，𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶，𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐶，
垂足分别为𝐸、𝐹，𝐴𝐷 =4，𝐵𝐶 =8，则𝐴𝐸 = ______ ．
第2页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
18. 如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为24，𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、
𝐵𝐶边上的点，且∠𝐸𝐷𝐹 =45°，如果𝐴𝐸 =8时，则𝐸𝐹的长为
______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
𝑥 6 1
解方程： + = ．
𝑥+3 𝑥2−9 𝑥−3
20. (本小题5.0分)
{𝑥2−5𝑥𝑦 +6𝑦2=0
解方程组：
𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0
21. (本小题6.0分)
在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信
息：
(1)乙单位捐款数比甲单位多一倍；
(2)乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；
1
(3)甲单位的人数是乙单位的 ．
4
你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？
22. (本小题6.0分)
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝑃是𝐴𝐷上一点，且𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝐷，
𝐴𝐵 =8𝑐𝑚，求平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长．
第3页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
23. (本小题9.0分)
某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始
实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
自来水单价(元/立方 污水处理单价(元/立
合 户年用水量(立方米)
米) 方米)
第一阶梯 0−220(含220) 2.25
第三阶梯 220−300(含300) 4 1.8
第三阶梯 300以上 6.99
注：应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民缴纳水费𝑦(元)关于户年用水量𝑥(立方米)的函数关如图所示，求第二阶梯(线段𝐴𝐵)的
表达式；
(3)如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
24. (本小题8.0分)
如图，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，过点𝐴作𝐷𝐸//𝐵𝐶(𝐷𝐸 <𝐵𝐶)，且𝐷𝐴 =𝐸𝐴，联结𝐵𝐷、𝐶𝐸．
(1)求证：四边形𝐷𝐵𝐶𝐸是等腰梯形；
1
(2)点𝐹在腰𝐶𝐸上，联结𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐺，若∠𝐹𝐵𝐷 =60°，求证：𝐶𝐺 = 𝐷𝐸
2
第4页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
25. (本小题8.0分)
已知：在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴 =90°，△𝐴𝐵𝐷沿直线𝐵𝐷翻折，点𝐴恰好落在腰𝐶𝐷
上的点𝐸处．
(1)如图，当点𝐸是腰𝐶𝐷的中点时，求证：△𝐵𝐶𝐷是等边三角形；
(2)延长𝐵𝐸交线段𝐴𝐷的延长线于点𝐹，联结𝐶𝐹，如果𝐶𝐸2=𝐷𝐸⋅𝐷𝐶，求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是矩
形．
26. (本小题11.0分)
已知边长为4 2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃是对角线𝐴𝐶上的一个动点(与点𝐴，𝐶不重合)，过点𝑃作
𝑃𝐸 ⊥ 𝑃𝐵，𝑃𝐸交射线𝐷𝐶于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，垂足为点𝐹．
(1)当点𝐸落在线段𝐶𝐷上时(如图所示)，设𝐴𝑃 =𝑥，△𝑃𝐸𝐹的面积为𝑦，求𝑦与𝑥之间的函数关
系式，并写出函数的定义域；
(2)在点𝑃的运动过程中，△𝑃𝐸𝐶能否为等腰三角形？如果能，试求出𝐴𝑃的长，如果不能，试
说明理由．
第5页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
第6页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：∵ 𝑦 =−2𝑥−3
∴ 𝑘 <0，𝑏 <0
∴ 𝑦 =−2𝑥−3的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限
故选：𝐴．
因为𝑘 =−2<0，一次函数图象过二、四象限，𝑏 =−3<0，图象过第三象限．
一次函数图象的四种情况：
①当𝑘 >0，𝑏 >0，函数𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏的图象经过第一、二、三象限，𝑦的值随𝑥的值增大而增大；
②当𝑘 >0，𝑏 <0，函数𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏的图象经过第一、三、四象限，𝑦的值随𝑥的值增大而增大；
③当𝑘 <0，𝑏 >0时，函数𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏的图象经过第一、二、四象限，𝑦的值随𝑥的值增大而减小；
④当𝑘 <0，𝑏 <0时，函数𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏的图象经过第二、三、四象限，𝑦的值随𝑥的值增大而减
小．
2.【答案】𝐵
【解析】解：因为算术平方根为非负数，所以𝐴中𝑥无解，
𝑥3+2=0，解得：𝑥 =−3 2，所以𝐵中方程有实数根，
由题意得：𝑥 =1，当𝑥 =1时，分母为0，所以𝐶中方程无解，
𝑥2−2𝑥 +3=0，
𝑥2−2𝑥 =−3，
(𝑥−1)2=−2，
一个数的平方为非负数，所以𝐷中方程无解．
故选：𝐵．
根据算术平方根的知识判断𝐴，根据立方根的知识判断𝐵，根据分式方程的知识判断𝐶，根据一元
二次方程的知识判断𝐷．
本题主要考查了算术平方根的知识、一元二次方程的知识、实数的知识、立方根的知识、分式方
程的知识．
第7页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
3.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(平行四边形判定定理)；故A不符合
题意．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符
合题意．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：𝐵．
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4.【答案】𝐴
【解析】
【分析】
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】
解：因为数轴上表示数𝑎的点与原点的距离叫做数𝑎的绝对值，
因为𝑎是实数，
所以|𝑎| ≥0．
故选：𝐴．
5.【答案】𝐴
【解析】解：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，|𝐴𝐵|= 3，|𝐵𝐶|=1，
∴ 𝐴𝐵 = 3，𝐵𝐶 =1，
∴ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=2，
∵𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶，
∴向量(𝐴𝐵+𝐵𝐶)的长度为2，
故选：𝐴．
根据矩形的性质得出𝐴𝐶的长即可求解．
第8页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
本题考查了矩形的性质，平面向量，熟练掌握平面向量三角形计算法则是解题的关键．
6.【答案】𝐶
【解析】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意；
②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意；
③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意；
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意；
故选：𝐶．
根据等腰梯形的判定和性质、梯形中位线定理逐一进行判定，选出正确选项．
此题主要考查了梯形的中位线定理、直角梯形、等腰梯形，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．
7.【答案】−1
【解析】解：两边同时平方可得：2𝑥 +𝑚=𝑥2
实数根1是方程的解，𝑥 =1代入方程，
可解得𝑚 =−1；
故答案为：−1．
把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将𝑥 =1代入方程即可求出𝑘值．
本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用
了平方法，属于基础题．
8.【答案】𝑥−2𝑦 +2=0，𝑥−2𝑦−2 =0
【解析】解：∵𝑥2−4𝑥𝑦 +4𝑦2=4，
∴ (𝑥−2𝑦)2−4=0，
∴ (𝑥−2𝑦 +2)(𝑥−2𝑦−2) =0，
∴ 𝑥−2𝑦 +2=0，𝑥−2𝑦−2 =0．
故答案为：𝑥−2𝑦 +2=0，𝑥−2𝑦−2 =0．
由于二次方程𝑥2−4𝑥𝑦 +4𝑦2=4分解因式可以变为(𝑥−2𝑦 +2)(𝑥−2𝑦−2) =0，由此即可求解．
此题主要考查了二元二次方程的解法，解题的关键是利用因式分解把高次方程变为一次方程解决
问题．
第9页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
1
9.【答案】
12
【解析】解：画树状图如下：
总情况数为：6×6=36，
当𝑥 =1时，𝑦 =−1+4=3，
当𝑥 =2时，𝑦 =−2+4=2，
当𝑥 =3时，𝑦 =−3+4=1，
当𝑥 =4时，𝑦 =−4+4=0，
当𝑥 =5时，𝑦 =−5+4=−1，
当𝑥 =6时，𝑦 =−6+4=−2，
所以，在直线𝑦 =−𝑥+4上的点的坐标为(1,3)(2,2)(3,1)共3个，
3 1
则点(𝑥、𝑦)落在直线𝑦 =−𝑥+4上的概率𝑃 = = ．
36 12
1
故答案为： ．
12
画出树状图，求出点的所有情况数，然后把自变量𝑥的值代入直线解析式求出在直线上的点的数目，
再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
10.【答案】−𝑏−𝑎
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷 =𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝑏，
∵𝐴𝐵=𝑎，
∴𝐵𝐴=−𝑎，𝐶𝐵=−𝑏，
∴𝐶𝐴=𝐶𝐵+𝐵𝐴=−𝑏−𝑎．
故答案为：−𝑏−𝑎．
第10页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
由在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，可得𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝑏，即可得𝐵𝐴=−𝑎，𝐶𝐵=−𝑏，又由𝐶𝐴=𝐶𝐵+𝐵𝐴，
即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
1
11.【答案】
4
【解析】解：由图可知：𝑂𝐵 =𝑂𝐷，∠𝑂𝐵𝐸 =∠𝑂𝐷𝐹，∠𝐸𝑂𝐵 =∠𝐹𝑂𝐷，
∴△ 𝐵𝐸𝑂≌△𝐷𝐹𝑂，
∴𝑆 △𝐷𝐹𝑂=𝑆
△𝐵𝐸𝑂
，
在△𝐴𝐵𝑂与△𝐴𝑂𝐷中，𝑂𝐵 =𝑂𝐷，高相等，
∴𝑆 △𝐴𝐵𝑂=𝑆
△𝐴𝑂𝐷
，
1 1
即𝑆 △𝐴𝐵𝑂= 𝑆 △𝐴𝐵𝐷= 𝑆 ▭𝐴𝐵𝐶𝐷 ，
2 4
1
阴影部分的面积=𝑆 △𝐴𝐸𝑂+𝑆 △𝐷𝐹𝑂=𝑆 △𝐴𝐸𝑂+𝑆 △𝐵𝐸𝑂=𝑆 △𝐴𝐵𝑂= 𝑆 ▭𝐴𝐵𝐶𝐷 ．
4
1
故答案为： ．
4
根据矩形的性质，将面积转换后求解即可．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决
问题．
12.【答案】𝑥 <−1
【解析】解：两个条直线的交点坐标为(−1,3)，且当𝑥 >−1时，直线𝑙
1
在直线𝑙
2
的上方，故不等式
𝑘 2𝑥 >𝑘 1𝑥 +𝑏的解集为𝑥 <−1．
故本题答案为：𝑥 <−1．
由图象可以知道，当𝑥 =−1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不
等式𝑘 2𝑥 >𝑘 1𝑥 +𝑏解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分
界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
13.【答案】30
第11页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【解析】解：∵在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴ 𝐴𝐷 =𝐵𝐶 =6，
∵ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶，∠𝐵 =60°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶 =30°，∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐵 =60°，
∴ 𝐴𝐵 =2𝐵𝐶 =12，∠𝐷𝐴𝐶 =30°，
∵ 𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴ ∠𝐷𝐶𝐴 =∠𝐵𝐴𝐶 =30°，
∴ ∠𝐷𝐴𝐶 =∠𝐷𝐶𝐴，
∴ 𝐴𝐷 =𝐶𝐷 =6，
∴等腰梯形的周长为：𝐴𝐵 +𝐵𝐶 +𝐶𝐷 +𝐴𝐷 =12+6+6+6=30．
故答案为：30．
由在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶，∠𝐵 =60°，𝐵𝐶 =6，易求得𝐴𝐷 =𝐶𝐷 =𝐵𝐶 =6，
𝐴𝐵 =2𝐵𝐶 =12，继而求得答案．
此题考查了等腰梯形的性质、含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度
不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】菱
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用
三角形的中位线定理是解题的关键．
1 1
作出图形，根据三角形的中位线定理可得𝐸𝐹 =𝐺𝐻 = 𝐴𝐶，𝐹𝐺 =𝐸𝐻 = 𝐵𝐷，再根据矩形的对角
2 2
线相等可得𝐴𝐶 =𝐵𝐷，从而得到四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是
菱形解答．
【解答】
解：如图，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，
∵ 𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐴𝐷边上的中
点，
1 1
∴ 𝐸𝐹 =𝐺𝐻 = 𝐴𝐶，𝐹𝐺 =𝐸𝐻 = 𝐵𝐷(三角形的中位线等于第
2 2
第12页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
三边的一半)，
∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶 =𝐵𝐷，
∴ 𝐸𝐹 =𝐺𝐻 =𝐹𝐺 =𝐸𝐻，
∴四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形．
故答案为菱．
15.【答案】4𝑐𝑚
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于𝑂，
𝐴𝐶 =8𝑐𝑚，
∴ ∠𝐴𝐷𝐶 =90°，𝐴𝐶 =𝐵𝐷 =8𝑐𝑚，
1 1
∴ 𝑂𝐴 =𝑂𝐶 = 𝐴𝐶 =4𝑐𝑚，𝑂𝐵 =𝑂𝐷 = 𝐵𝐷 =4𝑐𝑚，
2 2
∴ 𝑂𝐴 =𝑂𝐵，
∵ ∠𝐴𝑂𝐷 =120°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐵 =180−∠𝐴𝑂𝐷 =60°，
∴△ 𝐴𝑂𝐵是等边三角形，
∴ 𝐴𝐵 =𝑂𝐴 =4𝑐𝑚，
故答案为：4𝑐𝑚．
1 1
由矩形的性质得∠𝐴𝐷𝐶 =90°，𝐴𝐶 =𝐵𝐷 =8𝑐𝑚，则𝑂𝐴 =𝑂𝐶 = 𝐴𝐶 =4𝑐𝑚，𝑂𝐵 =𝑂𝐷 =
2 2
𝐵𝐷 =4𝑐𝑚，所以𝑂𝐴 =𝑂𝐵，由∠𝐴𝑂𝐷 =120°，求得∠𝐴𝑂𝐵 =60°，则△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，所以
𝐴𝐵 =𝑂𝐴 =4𝑐𝑚，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等边三角形的判
定与性质等知识，证明𝑂𝐴 =𝑂𝐵并且求得∠𝐴𝑂𝐵 =60°是解题的关键．
120
16.【答案】
13
【解析】解：如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =13𝑐𝑚，
𝐵𝐷 =24𝑐𝑚，
∴ 𝐵𝑂 =12𝑐𝑚，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，
由勾股定理得：𝐴𝑂 = 𝐴𝐵2−𝐵𝑂2=5𝑐𝑚，
∴ 𝐴𝐶 =2𝐴𝑂 =10𝑐𝑚，
第13页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
1
∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸 = 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，
2
1
∴ 13𝐴𝐸 = ×10×24，
2
120
解得：𝐴𝐸 = (𝑐𝑚)，
13
120
故答案为： ．
13
直接利用菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理得出菱形的一条对角线的长，再结合菱形面积
求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，正确得出菱形面积是解题关键．
17.【答案】6
【解析】解：延长𝐵𝐶至𝐺，使𝐷𝐺//𝐴𝐶，
∵ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴四边形𝐴𝐷𝐺𝐶为平行四边形，
∴ 𝐷𝐺 =𝐴𝐶，
∵ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，
∴ 𝐷𝐺 ⊥ 𝐵𝐷，
又∵等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴ 𝐴𝐶 =𝐵𝐷，
∴ 𝐷𝐺 =𝐵𝐷，
∴△ 𝐷𝐵𝐺为等腰直角三角形，
∴ 𝐵𝐺2=2𝐵𝐷2，
∴ (𝐵𝐶 +𝐴𝐷)2=2𝐵𝐷2，
∴ 𝐵𝐷 =𝐷𝐺 =6 2，
∵ 𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐺，
∴ 𝐷𝐹 =𝐹𝐺，
∴ 2𝐷𝐹2=(6 2)2，
∴ 𝐷𝐹 =6，
∵ 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶，𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐶，
∴ 𝐴𝐸 =𝐷𝐹 =6．
第14页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
故答案为：6．
作辅助线，延长𝐵𝐶至𝐺，使𝐷𝐺//𝐴𝐶，由𝐴𝐷//𝐵𝐶，可知四边形𝐴𝐷𝐺𝐶为平行四边形，所以
𝐷𝐺 =𝐴𝐶，而等腰梯形中两对角线相等，所以𝐷𝐺 =𝐵𝐷，而𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐺，则△𝐷𝐵𝐺为等腰直角三角
形，则可利用勾股定理求𝐷𝐺，又根据等腰直角三角形的性质可知𝐷𝐹 =𝐹𝐺，再利用勾股定理可求
得𝐹𝐺，从而得到结论．
本题考查了矩形的性质和判定以及等腰梯形的性质和最基本辅助线作法，此题的关键是作辅助线，
然后利用等腰梯形的性质和等腰直角三角形求解．
18.【答案】20
【解析】解：如图，延长𝐵𝐶到𝐺，使𝐶𝐺 =𝐴𝐸，连接𝐷𝐺，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ 𝐴𝐷 =𝐷𝐶，∠𝐴 =∠𝐷𝐶𝐺 =90°，
∴△ 𝐷𝐴𝐸≌△𝐷𝐶𝐺(𝑆𝐴𝑆)，
∴ 𝐷𝐸 =𝐷𝐺，∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐶𝐷𝐺，
∵ ∠𝐴𝐷𝐶 =90°，∠𝐸𝐷𝐹 =45°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸 +∠𝐶𝐷𝐹 =45°，
∴ ∠𝐶𝐷𝐹 +∠𝐶𝐷𝐺 =45°，
∴ ∠𝐸𝐷𝐹 =∠𝐺𝐷𝐹 =45°，
∵ 𝐷𝐹 =𝐷𝐹，
∴△ 𝐸𝐷𝐹≌△𝐺𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴ 𝐸𝐹 =𝐹𝐺，
∵ 𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =24，𝐴𝐸 =𝐶𝐺 =8，
∴ 𝐵𝐸 =24−8=16，
设𝐸𝐹 =𝑥，则𝐵𝐹 =𝐵𝐶 +𝐶𝐺−𝐹𝐺 =24+8−𝑥=32−𝑥，
在𝑅𝑡 △𝐵𝐸𝐹中，由勾股定理得，
𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=𝐸𝐹2，
即162+(32−𝑥)2=𝑥2，
解得𝑥 =20，
即𝐸𝐹 =20，
故答案为：20．
第15页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
利用正方形的性质，全等三角形的判定可得△𝐷𝐴𝐸≌△𝐷𝐶𝐺，进而证出△𝐸𝐷𝐹≌△𝐺𝐷𝐹，得到
𝐸𝐹 =𝐹𝐺，设𝐸𝐹 =𝑥，在𝑅𝑡 △𝐵𝐸𝐹中，由勾股定理列方程求解即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角
形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
19.【答案】解：去分母得，𝑥(𝑥−3) +6=𝑥 +3，
去括号得，𝑥2−3𝑥 +6=𝑥 +3，
移项，合并同类项得，𝑥2−4𝑥 +3=0，解得𝑥 1=1，𝑥 2=3，
当𝑥 =1时，𝑥2−9=1−9=−8≠0，故𝑥 =1是原方程的解；
当𝑥 =3时，𝑥2−9=9−9=0，故𝑥 =3是原方程的增根．
综上可知，𝑥 =1是原分式方程的解．
【解析】先把分式方程化为整式方程，再求出𝑥的值，代入最减公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意进行验根．
{𝑥2−5𝑥𝑦 +6𝑦2=0①
20.【答案】解： ，
𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0②
由①，得(𝑥−2𝑦)(𝑥−3𝑦) =0，
∴ 𝑥−2𝑦 =0或𝑥−3𝑦 =0．
{𝑥−2𝑦 =0 {𝑥−3𝑦 =0
∴原方程组可化为 𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0 或者 𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0 ．
{ 2
𝑥 =−
{𝑥−2𝑦 =0 1 5 {𝑥 2 =4
解方程组 𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0 得 1， 𝑦 =2 ；
𝑦 =− 2
1 5
{ 3
𝑥 =−
{𝑥−3𝑦 =0 3 5 {𝑥 4 =3
解方程组或者 𝑥2+𝑦2+𝑥−11𝑦−2 =0 得 1， 𝑦 =1 ．
𝑦 =− 4
3 5
{ 2 { 3
𝑥 =− 𝑥 =−
1 5 {𝑥 2 =4 3 5 {𝑥 4 =3
∴原方程组的解为： 1，
𝑦 =2
， 1，
𝑦 =1
．
𝑦 =− 2 𝑦 =− 4
1 5 3 5
【解析】利用因式分解的办法把方程组中的①化为两个一次方程，再与方程组中的第二个方程组
成新的方程组，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可．
本题考查了二元二次方程组，掌握方程组的解法及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
第16页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
21.【答案】解：设甲单位平均每人的捐款𝑥元，则乙单位平均每人的捐款(𝑥−100)元，
6000 1 12000
根据题意得， = ⋅ ，
𝑥 4 𝑥−100
解得，𝑥 =200；
∴甲单位平均每人的捐款200元，乙单位平均每人的捐款100元，
甲单位30人，乙单位120人，
6000+12000
∴这两个单位总的平均每人捐款数= =120元，
30+120
答：这两个单位总的平均每人捐款数为120元．
【解析】设甲单位平均每人的捐款𝑥元，则乙单位平均每人的捐款(𝑥−100)元，然后根据单位的人
数是乙单位的四分之一列方程求解．
本题考查分式方程的应用，关键是设出甲单位的人数的平均捐款，表示出乙，然后以人数作为等
量关系列方程求解．
22.【答案】解：∵ 𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝐷，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃 =∠𝐶𝐵𝑃，∠𝐷𝐶𝑃 =∠𝐵𝐶𝑃，
又∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴ 𝐴𝐵//𝐵𝐷，𝐴𝐵 =𝐶𝐷，𝐴𝐷 =𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵 =∠𝐶𝐵𝑃，∠𝐷𝑃𝐶 =∠𝐵𝐶𝑃，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃 =∠𝐴𝑃𝐵，∠𝐷𝐶𝑃 =∠𝐷𝑃𝐶，
∴ 𝐴𝑃 =𝐴𝐵 =8𝑐𝑚，𝐷𝑃 =𝐶𝐷 =8𝑐𝑚，
∴ 𝐴𝐷 =𝐴𝑃 +𝐷𝑃 =16𝑐𝑚，
∴平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长=2(𝐴𝐵 +𝐶𝐷) =32𝑐𝑚．
【解析】根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等证得△𝐴𝐵𝑃和△𝐶𝐷𝑃是等腰三角
形，进而求出𝐴𝐷，即可求出行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意知，全年应缴纳水费为220×(2.25+1.8)=891(元)，
答：她家全年应缴纳水费891元；
(2)设第二阶梯(线段𝐴𝐵)的表达式为𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏，
将点(220,891)和点(300,1355)代入𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏得：
第17页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
{220𝑘 +𝑏 =891
，
300𝑘 +𝑏 =1355
{𝑘 =5.8
解得 ，
𝑏 =−385
∴第二阶梯(线段𝐴𝐵)的表达式为𝑦 =5.8𝑥−385；
(3)由(1)知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由(2)知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵ 891<1181<1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯(线段𝐴𝐵)的表达式为𝑦 =5.8𝑥−385，
∴当𝑦 =1181时，5.8−385=1181，
解得𝑥 =270，
答：他家全年用水量是270立方米．
【解析】(1)根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)，
即可得出结论；
(2)根据图象数据和(1)的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出𝑥的值即
可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
24.【答案】证明：(1)∵△ 𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐴𝐵 =𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵 =60°
∵ 𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴ ∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐸𝐴𝐶，
∵ 𝐷𝐴 =𝐸𝐴，
∴△ 𝐷𝐵𝐴≌△𝐸𝐶𝐴(𝑆𝐴𝑆)，
∴ 𝐵𝐷 =𝐶𝐸，
∵ 𝐷𝐸//𝐵𝐶(𝐷𝐸 ≠𝐵𝐶)，
∴四边形𝐷𝐵𝐶𝐸是等腰梯形．
第18页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
(2)∵ ∠𝐹𝐵𝐷 =60°，∠𝐴𝐵𝐶 =60°，
∴ ∠𝐹𝐵𝐷 =∠𝐴𝐵𝐶，
∴ ∠𝐷𝐵𝐴 +∠𝐴𝐵𝐺 =∠𝐶𝐵𝐺 +∠𝐴𝐵𝐺，
∴ ∠𝐷𝐵𝐴 =∠𝐶𝐵𝐺，
∵ 𝐴𝐵 =𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐴𝐶𝐵 =60°，
∴△ 𝐷𝐵𝐴≌△𝐺𝐵𝐶(𝐴𝑆𝐴)，
∴ 𝐶𝐺 =𝐴𝐷，
1
∵ 𝐴𝐷 =𝐴𝐸 = 𝐷𝐸，
2
1
∴ 𝐶𝐺 = 𝐷𝐸．
2
【解析】(1)由等边三角形的性质得到𝐴𝐵 =𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵 =60°，由平行线的性质推出
∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐸𝐴𝐶，又𝐷𝐴 =𝐸𝐴，即可证明△𝐷𝐵𝐴≌△𝐸𝐶𝐴(𝑆𝐴𝑆)，得到𝐵𝐷 =𝐶𝐸，又
𝐷𝐸//𝐵𝐶(𝐷𝐸 ≠𝐵𝐶)，即可证明四边形𝐷𝐵𝐶𝐸是等腰梯形．
1 1
(2)由△𝐷𝐵𝐴≌△𝐺𝐵𝐶(𝐴𝑆𝐴)，得到𝐶𝐺 =𝐴𝐷，又𝐴𝐷 =𝐴𝐸 = 𝐷𝐸，因此𝐶𝐺 = 𝐷𝐸．
2 2
本题考查等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，关键
是证明△𝐷𝐵𝐴≌△𝐸𝐶𝐴，△𝐷𝐵𝐴≌△𝐺𝐵𝐶．
25.【答案】证明：(1)由折叠得：∠𝐴𝐷𝐵 =∠𝐵𝐷𝐸，∠𝐴 =∠𝐷𝐸𝐵 =90°，
∵点𝐸是腰𝐶𝐷的中点，
∴ 𝐵𝐸是𝐷𝐶的垂直平分线，
∴ 𝐷𝐵 =𝐵𝐶，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶 =∠𝐴𝐷𝐵，
∵ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐶 +∠𝐶 =180°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸 +∠𝐶 +∠𝐴𝐷𝐵 =180°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶 =∠𝐴𝐷𝐵 =60°，
∴△ 𝐵𝐶𝐷是等边三角形；
(2)过点𝐷作𝐷𝐻 ⊥ 𝐵𝐶，垂足为𝐻，
第19页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
∴ ∠𝐷𝐻𝐵 =∠𝐷𝐻𝐶 =90°，
∵ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴 =90°，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶 =180°−∠𝐴 =90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐻𝐷是矩形，
∴ 𝐴𝐷 =𝐵𝐻，𝐴𝐵 =𝐷𝐻，
由折叠得：∠𝐴 =∠𝐷𝐸𝐵 =90°，𝐴𝐵 =𝐵𝐸，
∴ ∠𝐵𝐸𝐶 =180°−∠𝐷𝐸𝐵 =90°，𝐷𝐻 =𝐵𝐸，
∵ ∠𝐵𝐸𝐶 =∠𝐷𝐻𝐶 =90°，∠𝐵𝐶𝐸 =∠𝐷𝐶𝐻，
∴△ 𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐻(𝐴𝐴𝑆)，
∴ 𝐷𝐶 =𝐵𝐶，𝐶𝐸 =𝐶𝐻，
∵ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴ ∠𝐷𝐹𝐸 =∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐹𝐷𝐸 =∠𝐸𝐶𝐵，
∴△ 𝐹𝐷𝐸∽△𝐵𝐶𝐸，
𝐶𝐸 𝐵𝐶
∴ = ，
𝐷𝐸 𝐷𝐹
∵ 𝐶𝐸2=𝐷𝐸⋅𝐷𝐶，
𝐶𝐸 𝐷𝐶
∴ = ，
𝐷𝐸 𝐶𝐸
𝐵𝐶 𝐷𝐶
∴ = ，
𝐷𝐹 𝐶𝐸
∴ 𝐷𝐹 =𝐶𝐸，
∴ 𝐶𝐻 =𝐷𝐹，
∴ 𝐴𝐷 +𝐷𝐹 =𝐵𝐻 +𝐶𝐻，
∴ 𝐴𝐹 =𝐵𝐶，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是平行四边形，
第20页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
∵ ∠𝐴 =90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是矩形．
【解析】(1)由折叠得：∠𝐴𝐷𝐵 =∠𝐵𝐷𝐸，∠𝐴 =∠𝐷𝐸𝐵 =90°，从而可得𝐵𝐸是𝐷𝐶的垂直平分线，
进而可得𝐷𝐵 =𝐵𝐶，再利用等腰三角形的性质可得∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶，从而可得∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶 =∠𝐴𝐷𝐵，
然后利用平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐶 +∠𝐶 =180°，从而可得∠𝐵𝐷𝐸 +∠𝐶 +∠𝐴𝐷𝐵 =180°，进而可
得∠𝐵𝐷𝐸 =∠𝐶 =∠𝐴𝐷𝐵 =60°，最后利用等边三角形的判定，即可解答；
(2)过点𝐷作𝐷𝐻 ⊥ 𝐵𝐶，垂足为𝐻，根据垂直定义可得∠𝐷𝐻𝐵 =∠𝐷𝐻𝐶 =90°，再利用平行线的性
质可得∠𝐴𝐵𝐶 =90°，从而可得四边形𝐴𝐵𝐻𝐷是矩形，进而可得𝐴𝐷 =𝐵𝐻，𝐴𝐵 =𝐷𝐻，再利用折叠
的性质可得：∠𝐴 =∠𝐷𝐸𝐵 =90°，𝐴𝐵 =𝐵𝐸，从而可得∠𝐵𝐸𝐶 =90°，𝐷𝐻 =𝐵𝐸，然后利用𝐴𝐴𝑆证
明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐻，从而可得𝐷𝐶 =𝐵𝐶，𝐶𝐸 =𝐶𝐻，再证明8字模型相似三角形△𝐹𝐷𝐸∽△𝐵𝐶𝐸，
𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐶
从而可得 = ，最后根据已知可得 = ，从而可得 = ，进而可得𝐷𝐹 =𝐶𝐸，再根据等
𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐶𝐸
量代换可得𝐶𝐻 =𝐷𝐹，从而利用等式的性质可得𝐴𝐹 =𝐵𝐶，进而可得四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是平行四边形，
再根据矩形的判定即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，等边三角形的判
定与性质，直角梯形，翻折变换(折叠问题)，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
26.【答案】解：(1)过点𝑃作𝑃𝐺 ⊥ 𝐵𝐶于𝐺，过点𝑃作𝑃𝐻 ⊥ 𝐷𝐶于𝐻，连接𝐵𝐷，交𝐴𝐶于点𝑂，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝑃𝐺 ⊥ 𝐵𝐶，𝑃𝐻 ⊥ 𝐷𝐶，
∴ ∠𝐺𝑃𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐴𝐶𝐷 =∠𝐻𝑃𝐶 =45°，
∴ 𝑃𝐺 =𝑃𝐻，∠𝐺𝑃𝐻 =∠𝑃𝐺𝐵 =∠𝑃𝐻𝐸 =90°，
∵ 𝑃𝐸 ⊥ 𝑃𝐵，
即∠𝐵𝑃𝐸 =90°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐺 =90°−∠𝐺𝑃𝐸 =∠𝐸𝑃𝐻，
第21页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
在△𝑃𝐺𝐵和△𝑃𝐻𝐸中，
{∠𝑃𝐺𝐵 =∠𝑃𝐻𝐸
𝑃𝐻 =𝑃𝐺 ，
∠𝐵𝑃𝐺 =∠𝐸𝑃𝐻
∴△ 𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐻𝐸(𝐴𝑆𝐴)，
∴ 𝑃𝐵 =𝑃𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ ∠𝐵𝑂𝑃 =90°．
∵ 𝑃𝐸 ⊥ 𝑃𝐵，
∴ ∠𝐵𝑃𝐸 =90°，
∴ ∠𝑃𝐵𝑂 =90°−∠𝐵𝑃𝑂 =∠𝐸𝑃𝐹，
∵ 𝐸𝐹 ⊥ 𝑃𝐶，
∴ ∠𝑃𝐹𝐸 =90°，
∴ ∠𝐵𝑂𝑃 =∠𝑃𝐹𝐸，
在△𝐵𝑂𝑃和△𝑃𝐹𝐸中，
{∠𝑃𝐵𝑂 =∠𝐸𝑃𝐹
∠𝐵𝑂𝑃 =∠𝑃𝐹𝐸，
𝐵𝑃 =𝑃𝐸
∴△ 𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐹𝐸(𝐴𝐴𝑆)，
∴ 𝐵𝑂 =𝑃𝐹，𝐸𝐹 =𝑃𝑂，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为4 2的正方形，
1 1
∴ 𝐴𝑂 =𝑃𝐹 = 𝐵𝐷 = ×4 2× 2=4，
2 2
∵ 𝐴𝑃 =𝑥，
∴ 𝐸𝐹 =4−𝑥，
1 1
∴ 𝑦 = 𝑃𝐹⋅𝐸𝐹 = ×4×(4−𝑥)=8−4𝑥(0<𝑥 ≤2)，
2 2
即𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦 =8−4𝑥(0<𝑥 ≤2)；
(2)①若点𝐸在线段𝐷𝐶上，
第22页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
∵ ∠𝐵𝑃𝐸 =∠𝐵𝐶𝐸 =90°，
∴ ∠𝑃𝐵𝐶 +∠𝑃𝐸𝐶 =180°，
∵ ∠𝑃𝐵𝐶 <90°，
∴ ∠𝑃𝐸𝐶 >90°．
若△𝑃𝐸𝐶为等腰三角形，则𝐸𝑃 =𝐸𝐶，
∴ ∠𝐸𝑃𝐶 =∠𝐸𝐶𝑃 =45°，
∴ ∠𝑃𝐸𝐶 =90°，与∠𝑃𝐸𝐶 >90°矛盾，
∴当点𝐸在线段𝐷𝐶上时，△𝑃𝐸𝐶不可能是等腰三角形；
②若点𝐸在线段𝐷𝐶的延长线上，
若△𝑃𝐸𝐶是等腰三角形，
∵ ∠𝑃𝐶𝐸 =135°，
∴ 𝐶𝑃 =𝐶𝐸，
∴ ∠𝐶𝑃𝐸 =∠𝐶𝐸𝑃 =22.5°，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵 =180°−90°−22.5° =67.5°，
∵ ∠𝑃𝑅𝐶 =90° +∠𝑃𝐵𝑅 =90° +∠𝐶𝐸𝑅，
∴ ∠𝑃𝐵𝑅 =∠𝐶𝐸𝑅 =22.5°，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃 =67.5°，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃 =∠𝐴𝑃𝐵，
第23页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
∴ 𝐴𝑃 =𝐴𝐵 =4 2，
∴ 𝐴𝑃的长为4 2．
【解析】(1)过点𝑃作𝑃𝐺 ⊥ 𝐵𝐶于𝐺，过点𝑃作𝑃𝐻 ⊥ 𝐷𝐶于𝐻，如图1.证△𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐻𝐸，得出
𝑃𝐵 =𝑃𝐸，连接𝐵𝐷，证△𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐹𝐸，则有𝐵𝑂 =𝑃𝐹，𝐸𝐹 =𝑂𝐵然后得出关系式即可；
(2)可分点𝐸在线段𝐷𝐶上和点𝐸在线段𝐷𝐶的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的
𝐴𝑃的长．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
第24页，共25页
学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
第25页，共25页
学科网（北京）股份有限公司
