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专题 22.4 二次函数 y=a(x−h) 2的图象与性质
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
教学目标
2. 掌握 与 之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。
1. 重点
（1） 型二次函数的性质；
（2） 型二次函数的图象；
教学重难点 （3） 与 之间的平移规律；
2. 难点
（1）函数图象的共存问题；
（2）函数图象上的点的特征；
（3） 与 之间的平移。知识点01 y=ax2与y=a(x−ℎ) 2 的之间的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 左右 平移和 上下 平移；
左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上
进行加减，规律为 上加下减 。
2. 与 之间的平移：
由函数的平移可知：
①若 ，可将 向 右 平移 ℎ 个单位得到函数 。
②若 ，可将 向 左 平移 ℎ 个单位得到函数 。
【即学即练1】
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为：y＝（x+1）2．
故选：A．
知识点02 y=a(x−ℎ) 2 的图象与性质
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
的绝对值越大，开口越 小
开口大小
的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ h ， 0 ） （ h ， 0 ）
x=
ℎ
x=
ℎ
对称轴
离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练1】
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的顶点坐标为（﹣h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：C．
【即学即练2】
3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，当x＝0时，y＝﹣1，
∴抛物线一定经过第三，四象限．
故选：D．
【即学即练3】
4．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣3）2∴顶点坐标为（3，0）．
故选：A．
【即学即练4】
5．已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大．【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴该函数图象开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：增大．
【即学即练5】
6．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝3
C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【答案】C
【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3时y随x增大而增大，
x＞﹣3时y随x增大而减小．
故选：C．
【即学即练6】
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象，
①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数 y＝b（x+k）2的图象开
口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数 y＝b（x+k）2的图象开
口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数 y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意；
④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数 y＝b（x+k）2的图象开
口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意；
故选：B．
【即学即练7】
8．若A（﹣1，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y 、y 、y
1 2 3 1 2 3
的大小关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
∵点C离着对称轴最远，点A在对称轴上，
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
题型01 y=a(x−h) 2的性质
【典例1】二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） ．
【答案】（1，0）．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【变式1】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（ ）
A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1
C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1
【答案】B
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2，
∴顶点坐标为（1，0），对称轴为x＝1．
故选：B．
【变式2】对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：因为二次函数的表达式为y＝5（x+3）2，
所以抛物线的开口向上．
故A说法正确；
又抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，
故B说法正确；
因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），
故C说法正确；
因为抛物线对称轴为直线x＝﹣3，且开口向上，
所以当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．
故D说法不正确；
故选：D．
【变式3】已知二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数），当x＞3时，y随x的增大而减小，则a的取值范
围是 a ≤ 3 ．
【答案】a≤3．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝a，
而抛物线开口向下，
所以当x＞a时，y随x的增大而减小，
又因为x＞3时，y随x的增大而减小，
所以a≤3．
故答案为：a≤3．
题型02 y=a(x−h) 2的图象
【典例1】二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，0），
故选：B．
3
【变式1】在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y=− (x−1) 2 的图象大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
【答案】D
3
【解答】解：∵y＝﹣x+1的图象过第一、二、四象限，y=− (x−1) 2 的开口向下，顶点在点（1，
2
0），
∴同时符合条件的图象只有选项D．
故选：D．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝m（x+n）2和一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象
大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象开始：
A、由图可知，一次函数中，m＜0，n＞0，
∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＜0可知，抛物线开口向下；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n
＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数中，m＞0，n＞0，
∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＞0可知，抛物线开口向上；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n
＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数中，m＞0，n＜0，
∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＞0可知，抛物线开口向上；由n＜0可知，抛物线对称轴x＝﹣n
＞0，对称轴在y轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；
D、由图可知，一次函数中，m＜0，n＞0，
∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＜0可知，抛物线开口向下；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n
＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
题型03 y=a(x−h) 2的图象上的点的特征
【典例1】点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ）在二次函数y＝（x+1）2的图象上，则（ ）
1 2A．y ＜0＜y B．y ＜0＜y C．0＜y ＜y D．0＜y ＜y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】D
【解答】解：∵点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ）在二次函数y＝（x+1）2的图象上，
1 2
∴y ＝（﹣3+1）2＝4，y ＝（﹣2+1）2＝1，
1 2
∴0＜y ＜y ．
2 1
故选：D．
【变式1】已知二次函数y＝（x﹣1）2，（0，y ），（2，y ），（3，y ）为该二次函数图象上的点，则
1 2 3
y ，y ，y 为的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＝y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＝y D．y ＜y ＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【答案】A
【解答】解：由条件可知该抛物线图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
开口向上的抛物线，离对称轴的距离越远，函数值越大可得：
∵|0﹣1|＝|2﹣1|＜|3﹣1|，
∴y ＝y ＜y ，
1 2 3
故选：A．
【变式2】抛物线y＝2（x﹣1）2的图象经过点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（4，y ），则y ，y ，y 大
1 2 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
【答案】D
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴离对称轴越远的点，函数值越大．
∵点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（4，y ）是抛物线y＝2（x﹣1）2上的点，且|﹣3﹣1|＝4，|1﹣1|＝
1 2 3
0，|4﹣1|＝3，0＜3＜4，
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：D．
【变式3】若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（2，y ）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【答案】D
【解答】解：∵y＝a（x+1）2（a＜0），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
∴C（2，y ）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣4，y ），
3 3
∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y ＞y ＞y ，
2 1 3
故选：D．
题型04 y=ax2与y=a(x−h) 2之间的平移
【典例1】二次函数y＝2（x+3）2的图象是由函数y＝2x2的图象向 左 （左、右、上、下）平移3个
单位长度而得到．
【答案】左．
【解答】解：由“左加右减”的原则，将二次函数 y＝2x2的图象向左平移3个单位长度，所得函数解析
式为y＝2（x+3）2．
故答案为：左．
【变式 1】在平面直角坐标系中，若抛物线 y＝（x+3）2平移后经过原点 O，则平移的方式可能是
（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度
D．向右平移3个单位长度
【答案】D
【解答】解：由抛物线y＝（x+3）2向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：y＝x2，此时抛物线y＝x2
经过原点．
故选：D．
1 1
【变式2】将抛物线y= x2 平移后得到抛物线y= (x−1) 2 ，则平移的方式是（ ）
2 2
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】D
1
【解答】解：由“左加右减”的法则可知，将抛物线 y= x2 向右平移 1 个单位得到抛物线
2
1
y= (x−1) 2 ，
2
故选：D．
【变式3】将函数y＝x2的图象向左、右平移后，得到的新图象的解析式不可能是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+4
【答案】C
【解答】解：将函数y＝x2的图象向左平移1个单位得到y＝（x+1）2；
将函数y＝x2的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2，即y＝x2+4x+4；
将函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4；将函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝（x+2）2﹣1，即y＝x2+4x+3．
故选：C．
1．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【答案】B
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）．
故选：B．
2．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1
【答案】A
【解答】解：y＝3x2向左平移1个单位长度得到y＝3（x+1）2，
故选：A．
3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2
【答案】D
【解答】解：A和B的对称轴为y轴，C的对称轴为直线x＝﹣1，D的对称轴为直线x＝1，
故选：D．
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过原点 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
【答案】D
【解答】解：把（0，0）点代入，二次函数，发现﹣（0﹣2）2≠0，
∴图象不经过原点，故A不正确；
对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，y＝﹣（x﹣
2）2二次项系数a＝﹣1，
∴图象开口向下，故B不正确；
二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝h，y＝﹣（x﹣2）2中，h＝2，
∴对称轴是直线x＝2，故C不正确；
∵a＝﹣1＜0，二次函数开口向下，
∴函数有最大值，当x＝h＝2时，y取最大值k＝0，即最高点是（2，0），故D正确．
故选：D．
5．由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（ ）A．向左平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度
C．向下平移4个单位长度
D．向上平移4个单位长度
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移4个单位长度得到抛物线y＝（x+4）2，
故选：A．
6．如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确．
故选：D．
7．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 …
则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（ ）
A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6
【答案】C
【解答】解：设y＝ax2+bx+c，将点（1，1）、（2，6）、（﹣2，﹣2）代入得：
{
a+b+c=1
) {
a=1
)
4a+2b+c=6 ，解得 b=2 ，
4a−2b+c=−2 c=−2∴y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），开口向上，
当x＝﹣4时，y＝6，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴当﹣4＜x＜0时，﹣3≤y＜6；
故选：C．
8．已知（﹣3，y ）、（0，y ）和（1，y ）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y 、y 和y 的大小关系为（
1 2 3 1 2 3
）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
（﹣3，y ）距离对称轴1个单位长度，
1
（0，y ）距离对称轴2个单位长度；
2
（1，y ）距离对称轴3个单位长度，
3
根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
9．设函数y =−(x−a ) 2，y =−(x−a ) 2，直线x＝1的图象与函数y ，y 的图象分别交于点 A（1，
1 1 2 2 1 2
c ），B（1，c ），得（ ）
1 2
A．若1＜a ＜a ，则c ＜c B．若a ＜1＜a ，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若a ＜a ＜1，则c ＜c D．若a ＜a ＜1，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 2 1
【答案】C
【解答】解：由题意可得：
A．若1＜a ＜a ，如图所示，
1 2
则c ＞c
1 2
B．若a ＜1＜a ，如图所示，
1 2则c ＞c
1 2
则c ＜c ，
1 2
故B选项不合题意，
C．若a ＜a ＜1，如图所示，
1 2
∴c ＜c ，故C选项正确，D选项不正确；
1 2
故选：C．10．设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x ，x ，而x 是直线与x轴交点
1 2 3
的横坐标，那么x 、x 、x 的关系是（ ）
1 2 3
1 1
= +
A．x ＝x +x B．x
3 1 2 3 x x
1 2
C．x x ＝x x +x x D．x x ＝x x +x x
1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 1 2
【答案】C
【解答】解：由题意得x 和x 为方程kx+b＝ax2的两个根，即ax2﹣kx﹣b＝0，
1 2
k b
∴x +x = ，x x =− ；
1 2 a 1 2 a
k
1 1 x +x a k
∴ + = 1 2= =− ；
x x x x b b
1 2 1 2 −
a
b
∵直线与x轴交点的横坐标为：x =− ，
3 k
1 1 1
= +
∴ ．
x x x
3 1 2
∴x x ＝x x +x x ．
1 2 2 3 3 1
故选：C．
11．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为 y ＝（ x ﹣ 3 ） 2 ．
【答案】y＝（x﹣3）2．
【解答】解：由平移特征可知：平移后所得的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，
故答案为：y＝（x﹣3）2．
12．下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与 y＝﹣2x2的相同；乙：顶点在
x轴上；丙：对称轴是直线x＝﹣3．请你写出这个二次函数 y ＝﹣ 2 （ x + 3 ） 2 ．
【答案】y＝﹣2（x+3）2．
【解答】解：设函数解析式为y＝a（x﹣h）2，根据题意得，a＝﹣2，h＝﹣3，
二次函数解析式是：y＝﹣2（x+3）2，
故答案为：y＝﹣2（x+3）2．
13．如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是
a ＞ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴a＞0，
故答案为a＞0．14．若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（2，y ）在二次函数y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y ．
2 3 2 1 3
【答案】y ＜y ＜y ．
2 1 3
【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则y的值越大，
∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|2﹣（﹣1）|＝3，
∴1＜2＜3，
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
x +x
15．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x ，x 时，函数的值相等，则当x取 1 2时，函数的值是
1 2
5
27 ．
【答案】27．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2，
x +x
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x= 1 2=5，
2
∵当x分别取x ，x （x ≠x ）时，函数值相等，
1 2 1 2
x +x
∴当x= 1 2=2时，此时函数值为27，
5
故答案为：27．
1 1
16．请在同一坐标系中画出二次函数①y= x2 ；②y= (x−2) 2 的图象．说出两条抛物线的位置关系，
2 2
指出②的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：，
①向右平移两个单位得到②，
②的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，0）．
17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成
的三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2或x＝0，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
1
∴S△PQO =
2
×3×2＝3．
18．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值；（2）写出它的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）将y＝ax2的图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到新图象，求新图象的函数
表达式．
4
【答案】（1）y= ；
3
（2）图象开口向上；对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）；
1 4 1
（3）y= x2+ x+ ．
3 3 3
【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2，
得，a•32＝3，
1
解得a= ，
3
1
所以这个二次函数的表达式为y= x2 ；
3
1 4
当x＝﹣2时，y= ×(−2) 2= ；
3 3
1 1
（2）∵y= x2，a= ＞0，
3 3
∴图象开口向上；对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
（3）把该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
1 1 4 1
得到的抛物线的函数表达式为：y= (x+2) 2−1，即y= x2+ x+ ．
3 3 3 3
19．若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交于点A（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出它的顶点坐标和开口方向；
（3）当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大．
【答案】（1）y＝﹣3（x+1）2；
（2）它的顶点坐标为（﹣1，0），开口向下；
（3）x＜﹣1．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2，
把A（0，﹣3）代入得a×（0+1）2＝﹣3，
解得a＝﹣3，
所以抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）2；
（2）它的顶点坐标为（﹣1，0），开口向下；
（3）当x＜﹣1时，y随x增大而增大．20．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求b的值；
（3）若点D（2，y ），E（3，y ）在此抛物线上，比较y 与y 大小．
1 2 1 2
【答案】（1）y＝﹣（x+1）2；
（2）b＝﹣4；
（3）y ＞y ．
1 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，
∴A（﹣1，0），则OA＝1，
∵OA＝OB，
∴B（0，﹣1），代入y＝a（x+1）2中，
得：﹣1＝a（0+1）2，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2；
（2）将C（﹣3，b）代入y＝﹣（x+1）2中，
得：b＝﹣（﹣3+1）2，
解得：b＝﹣4；
（3）∵抛物线y＝﹣（x+1）2的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y ＞y ．
1 2
