文档内容
第1讲 函数的图象与性质（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................4
【考点一】函数的概念与表示.........................................................................................................4
【考点二】函数的图象...................................................................................................................5
【考点三】函数的性质...................................................................................................................7
【专题精练】.................................................................................................................................9
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识
别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.
2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相
结合命题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
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学科网（北京）股份有限公司5．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
13．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
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学科网（北京）股份有限公司C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
14．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
16．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
考点突破
【考点一】函数的概念与表示
核心梳理：
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
一、单选题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 满足 ，则 （
）
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江·模拟预测）对于 ， 满足 ，且对于
，恒有 ．则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 和 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则
（ ）．
A． 是增函数 B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·北京大兴·三模）已知 ，若 ，则 .
6．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
规律方法：
(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
【考点二】函数的图象
核心梳理：
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学科网（北京）股份有限公司1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、
对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
一、单选题
1．（2023·湖南张家界·二模）函数 的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京顺义·二模）若函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义 表示 中的最小者，设函数
，则（ ）
A． 有且仅有一个极小值点为 B． 有且仅有一个极大值点为3
C． D． 恒成立
4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·天津红桥·一模）设函数 ，若 有四个实数根 ， ， ， ，
且 ，则 的取值范围 ．
6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于 的方程 恰有三个不同实数解，则实数 的值为
．
规律方法：
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排
除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、
最值、交点、方程的根等问题．
【考点三】函数的性质
核心梳理：
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
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学科网（北京）股份有限公司2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
一、单选题
1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数 ，若 ， 是锐角 的两个内角，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 和 都是
奇函数，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于 对称
C． 是周期函数 D．
4．（2023·山东烟台·二模）定义在 上的函数 满足 ， 是偶函数， ，
则（ ）
A． 是奇函数 B．
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学科网（北京）股份有限公司C． 的图象关于直线 对称 D．
三、填空题
5．（2024·河南·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .且
， ，当 ， ，则 .（用数字
作答）
6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在 上的函数 满足：对任意 都有
，且当 时， 恒成立.下列结论中可能成立的有 .
① 为奇函数；
②对定义域内任意 ，都有 ；
③对 ，都有 ；
④ .
规律方法：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.
(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.
专题精练
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·三模）已知 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024·陕西·一模）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域为B，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形 ，其中边 在 轴上，点 与坐标原
点重合，若正方形沿 轴正向滚动，先以 为中心顺时针旋转，当 落在 轴上时，再以 为中心顺时针
旋转，如此继续，当正方形 的某个顶点落在 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点
滚动时形成的曲线为y=f (x)，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数 ，在R上单调递增，则实数a的取值范围
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函
数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
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学科网（北京）股份有限公司C． 的周期为4 D．
三、填空题
12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知 是定义在 ，且满足 ，当
时， ，若函数 在区间 上有10个不同零点，则实数 的取值范围是
．
13．（2024·上海·三模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值是
14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式 对任意的实数x恒成立，则 的最大值为 .
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