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专题7.3.3 余弦函数的性质与图像
教学目标
1．掌握余弦函数图象的平移法与“五点法”绘制，能画出
上的简图。
2．熟知余弦函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性与对称性。
3．能运用余弦函数性质判断单调区间、求最值，解决基础应用问题。
教学重难点
重点：余弦函数图象的“五点法”绘制步骤，两种图象绘制方法的应用；余弦函数的
周期性、奇偶性、单调性及最值等核心性质。
难点：精准选取“五点法”关键点，把握图象的对称性与凸凹方向；灵活运用余弦函
数单调性求区间，理解对称性的代数表达。
知识点1：余弦函数的图象
方法1：要得到
的图象，只需把
的图象向_______平移_______个单位长度即可，这是由
于
_______.
方法2：用“五点法”：画余弦曲线
在
上的图象时，所取的五个关键点分别为
，
_______，
，
，_______，再用光滑的曲线连接．
温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的_______、_______以及图象与坐标轴的_______，
这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
（2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
【即学即练】
1．用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，
，π，
，2π
B．0，
，
，
，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，
，
，
，
2．用“五点法”作
，
的图象.
知识点2：余弦函数的图象性质
函数
图象
定义域
定义域
_______
值域
_______
周期性
奇偶性
_______
单调性
在
上单调递_______；在
(
)上单调递_______
最值
当
_______(
)时，
；当
_______
时，
对称性
对称中心为_______(
)；对称轴为直线_______(
)
【即学即练】
3．（多选）下列关于函数
的表述正确的是（ ）
A．在
上单调递减
B．当
时，函数
取得最大值2
C．函数
是偶函数
D．函数
的值域为
4．函数
的一个单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 五点作图法作余弦（型）函数的图像
【例1】作出函数
，
的大致图像.
【例2】当
时，曲线
与
的交点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-1】已知函数
．
(1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数
在一个周期内的图象；
0
(2)如何由
的图象变换得到
的图象？
【变式1-2】当
时，函数
与
的图象所有交点横坐标之和为 ．
【变式1-3】函数
在区间
上的零点个数为（ ）.
A．3
B．4
C．5
D．6
题型02 余弦（型）函数与不等式
【例3】已知
，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知函数
，则角
所处象限为（ ）
A．第一象限或第二象限
B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限
D．第二象限或第三象限
【变式2-1】已知
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【变式2-2】不等式组
的解集为 ．
【变式2-3】已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 余弦（型）函数的周期性
【例5】函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】下列函数中，最小正周期为
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】函数
的最小正周期（ ）．
A．与
有关，与
无关
B．与
有关，与
有关
C．与
无关，与
无关
D．与
无关，与
有关
【变式3-3】对于任意实数
，要使函数
在区间
上的值
出现的次
数不小于4 次，又不多于8 次，则
可以取（ ）
A．1 和2
B．2 和3
C．3 和4
D．2
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
题型04 余弦（型）函数的奇偶性
【例7】若函数
为奇函数，则
．
【例8】函数
在
上的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】下列函数中最小正周期为
，且为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】若
为偶函数，则实数a= ．
【变式4-3】已知函数
的大致图象如图，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 求余弦（型）函数的对称性
【例9】函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】函数
的对称轴方程为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式5-1】已知
是函数
图像的一条对称轴，若
，则
的值
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式5-2】（多选）函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
是函数的对称轴
D．
是函数的对称中心
【变式5-3】函数
在
上的零点个数为 ．
对于函数
的图象：
（1）对称中心：由
，得对称中心为
，即函数值为0 的
点；
（2）对称轴：由
，得对称轴
，即函数取得最值对应的与
轴垂直
的直线。
题型06 根据奇偶性或对称性求参数
【例11】将函数
图象上的所有点向左平移
个单位后，得到的函数图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】记函数
，
的最小正周期为
．若
，且
的图象关
于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【变式6-1】已知函数
是偶函数，且
，则
的最小值为 .
【变式6-2】已知函数
的图象在区间
上有且仅有一条对称轴，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知函数
的图象经过点
、
，
的最
小值为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 求余弦（型）函数的单调区间
【例13】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例14】下列函数中，不是周期函数，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】函数
的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】在下列区间中是函数
的一个递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】函数
的单调递减区间为 ．
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
题型08 利用单调性比较大小
【例15】下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例16】在三角形
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式8-1】（多选）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】设
，
，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 求余弦（型）函数的值域、最值
【例17】将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图
象，则当
时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例18】已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)求
在区间
上的值域.
【变式9-1】函数
且
，则函数
值域是 ．（用区间表示）
【变式9-2】在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于x 轴对称.若
，则
的最大值为 .
【变式9-3】已知函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．
题型10 求余弦（型）函数（二次、分式）的值域、最值
【例19】函数
，
的值域为 .
【例20】函数
的值域是 .
【变式10-1】设函数
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间
(2)求函数
的值域
【变式10-2】函数
的值域是 ．
【变式10-3】若关于x 的方程
在
内有两个不同的解，则（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
题型11 利用单调性、值域求参数
【例21】函数
恒有
，且
在
上单调递减，则
.
【例22】已知函数
的值域为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】已知函数
在区间
上单调递增，则正实数
的最大值为 .
【变式11-2】当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-3】已知函数
在闭区间I 上的最大值记为
，若实数k 满足
，则
.
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子
集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
一、单选题
1．“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象向左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的最小正周期为
，若
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的图象过点
，对任意
且
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．
在区间
上单调递减
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
7．已知函数
则（ ）
A．函数
与
有相同的最小正周期
B．函数
与
的图象至少有一条相同的对称轴
C．函数
与
的图象的对称中心之间的最小距离为
D．将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移
个
单位长度，可得到函数
的图象
三、填空题
8．函数
的定义域为 .
9．将
的图像向右平移
个单位可得到
的图像，则当
时，
的
图象与余弦曲线
共有 交点.
10．已知函数
在区间
上单调递增，且在区间
上恰有3 个零点，则
的取值范围是 .
四、解答题
11．已知函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求
的最大值，并写出
取得最大值时
的一个值.
12．设
，定义运算
求函数
的最值.
13．已知直线
和
是函数
图象的两条相邻对称轴．
(1)求
的解析式；
(2)求函数
的单调增区间；
(3)设
，记
在区间
上的最小值为
，求
．
