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专题7.3.2 正弦型函数的性质与图像
教学目标
1．掌握正弦型函数
的定义，理解
的实际意义。
2．熟知正弦型函数的定义域、值域、周期等性质，能求其单调区间。
3．会用五点法画正弦型函数一个周期内的简图。
4．掌握
对函数图像的影响及变换途径。
教学重难点
重点：正弦型函数的定义、各参数意义及核心性质；五点法绘图步骤与函数图像的平
移、伸缩变换规律。
难点：理解
对图像形状、位置的综合影响；以整体思想求正弦型函数的单调区
间。
知识点一．正弦型函数
1．定义：形如
（其中
都是常数，且
）的函数，通常称为正弦型函
数．
2．
的实际意义
（1）
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
（2）
在决定
时小球的位置中起关键性作用，称为初相；
（3）周期
表示小球完成一次运动所需要的时间，
表示1s 内能完成的运动次数，称为频率．
【即学即练】
1．函数
的周期，振幅，初相分别是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
【详解】
解：
函数
振幅是2，初相是
又
的系数是
，故函数的最小正周期是
对照四个选项知应选
故选：
．
【点睛】
本题考查
中参数的物理意义，解题的关键是理解
，
，
的意义，根据解析式及相关
公式求出此三个参数的值．属于基础题．
知识点二．
的性质
名称
性质
定义域
值域
周期
单调性
把
看作一个整体，
由
解出
的范围，可得单调递增区
间；
由
解出
的范围，可得单调递减区
间；
【即学即练】
2．函数
的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题得
，解得
，
则函数图象对称轴为
，
结合选项得
为函数图象的一条对称轴．
故选：A
3．若
，则函数
的值域为
【答案】
【详解】由
，得
，则
的值域为
.
故答案为：
.
知识点三．用五点法画
画
一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
【即学即练】
4．已知
，用“五点法”作出
在
上简图．
【答案】图象见解析
【详解】∵
，∴
，列表如下：
0
0
2
0
描点，连线，
在
上的图象如下：
知识点四．
对函数
图像的影响
1．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
．
②
的图像可由
的图像上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍得到．
2．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可由
的图像向左（或右）平移得到．
3．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可由
图像上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的
得到．
4．
型函数的性质
①正弦型函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到
5．函数
的图象经变换得到
的图象的两种途径
【即学即练】
5．要得到函数
的图象，需要把函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【详解】要得到函数
的图象，
要得到函数
的图象，
需要把函数
的图象向左平移
个单位长度；
故选：C
6．已知函数
的部分图象如图所示，则正实数
的值为 ．
【答案】4
【详解】由题意可得
，可得
，则
，所以
，
故答案为：4.
题型01 五点法画正弦型函数图象
【例1】已知函数
过原点
.
(1)求
的值；
(2)求函数
在
上的零点；
(3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据.
0
0
1
0
0
【答案】(1)
(2)
，
，
(3)表格见解析
【分析】
【详解】（1）依题意，
，即
，即
，
所以
.
（2）由（1）知，
，由
，得
，
当
时，
，则
或
或
，
解得
或
或
，
所以函数
在
上的零点为
，
，
.
（3）根据“五点法”作图，填表如下：
0
0
1
0
0
【例2】当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】当
时，曲线
与
的图象如图所示，
由图可知，当
时，曲线
与
的交点个数为4.
故选：B.
【变式1-1】用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，
，
，
，
B．0，
，
，
，
C．0，
，
，
，
D．0，
，
，
，
【答案】D
【详解】由“五点法”作图知，令
，
解得
，即为五个关键点的横坐标.
故选：D．
【变式1-2】
时，函数
与
的图象交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】在同一直角坐标系中，分别作出
与
的图象，
根据图象可知：
与
的图象在
有4 个交点，
故选：B
【变式1-3】已知函数
(1)求出函数
的单调减区间；
(2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数
在
上的大致图像；
(3)当
时，求曲线
与
的交点个数．（请直接写出答案）
【答案】(1)
；
(2)作图见解析；
(3)2.
【分析】
【详解】（1）函数
，由
，
得
，
所以函数
的单调减区间是
.
（2）列表：
0
1
2
0
0
1
描点，连线，画出
在
上的大致图象如图：
（3）在同一坐标系内作出函数
与
在
的图象，如图：
观察图象，曲线
与
的交点个数为2.
题型02 正弦型函数的周期性
【例3】已知函数
，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
A．2π，
B．
，
C．2π，
D．
，
【答案】B
【详解】由解析式可知
，
由周期公式可得最小正周期为
，初相为
.
故选：B
【例4】已知函数
的最小正周期为
，则正数
的值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】因为函数
的最小正周期为
，则
，
所以
，
故选：B
【变式2-1】若实数
，则“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数
的最小正周期为
，则
，解得
，
所以“
”时，可得“函数
的最小正周期为
”，
“函数
的最小正周期为
”，不能推出“
”.
所以“
”是“函数
的最小正周期为
”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-2】函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的最小正周期
，
故对于函数
，其最小正周期为
．
故选：A.
【变式2-3】已知函数
的最大值为2，最小值为0，则函数
的最小正周期
为 .
【答案】
【详解】由正弦函数的性质可知
，
故
的最大值为
，最小值为
，
则
解得
，
故
，
则其最小正周期
.
故答案为：
.
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
题型03 求正弦型函数的对称轴和对称中心
【例5】下列直线中，是函数
图象对称轴的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于选项A：因为
，不为最值，
所以
不是函数
的对称轴，故A 错误；
对于选项B：因为
，不为最值，
所以
不是函数
的对称轴，故B 错误；
对于选项C：因为
，为最大值，
所以
是函数
的对称轴，故C 正确；
对于选项D：因为
，不为最值，
所以
不是函数
的对称轴，故D 错误；
故选：C.
【例6】（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在
时取得最大值
C．函数
的一条对称轴为
D．函数
的一个对称中心为
【答案】AD
【详解】A 选项，
的最小正周期为
，故A 正确；
B 选项，
，取不到最值，故B 错误；
C 选项，
，取不到最值，
所以
不是函数
的对称轴，故C 错误；
D 选项，因为
，则
是
的一个对称中心，故D 正确.
故选：AD
【变式3-1】函数
的对称轴方程是
【答案】
，
【详解】
，
令
，得
，
，
所以函数
的对称轴方程为
，
.
故答案为：
，
.
【变式3-2】函数
的图象：
①关于点
对称；
②关于直线
对称；
③关于点
对称；
④关于直线
对称．
正确的序号为 ．
【答案】①④
【详解】关于函数
的图象，
令
，求得
，可得它的图象关于点
对称，故①正确；
令
，求得
，不是最值，故它的图象不关于直线
对称，故②不正确；
令
，求得
，可得它的图象不关于点
对称，故③不正确；
令
，求得
，可得它的图象关于直线
对称，故④正确，
故答案为：①④．
【变式3-3】函数
的图象的对称中心的坐标是 .
【答案】
，
【详解】方法一：图象变换法：
函数
的对称中心是形如
的点，其中
为整数.
变换后的函数分析：函数
是由原函数
经过横向压缩3 倍、
向左平移
个单位，再向上平移1 个单位得到的.
对称中心的变换：
横向压缩3 倍后，原对称中心的横坐标
变为
向左平移
个单位后，横坐标变为
.
向上平移1 个单位后，纵坐标变为1.
函数
的图像的对称中心的坐标为：
,
.
方法二：利用正弦函数的性质直接求解法:
求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程
，解得
,纵坐标恒为1.
最终，函数
的图象的对称中心的坐标为：：
,
.
故答案为：
,
.
对于函数
的图象：
（1）对称中心：由
，得对称中心为
，即函数值为0 的点；
（2）对称轴：由
，得对称轴
，即函数取得最大值对应的
与
轴垂直的直线。
题型04 已知正弦型函数的奇偶性或对称性求参数
【例7】函数
的图象关于点
中心对称，则
的值不可能为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】因为函数图象关于点
对称，所以
，所以
，又
，
故
，解得
，所以
为正整数（
），所以
，因此可得：
的值
可能为
，
故选：C.
【例8】已知函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知得
，得
．
令
得
；令
得
；令
得
；令
得
；令
得
，
，即
的取值范围为
．
故答案为：
.
【变式4-1】已知函数
的图象关于直线
对称，则
的取值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】由题意，
，得
，
当
时，
，
故选：B.
【变式4-2】已知函数
是偶函数，则
的值可以是（ ）．
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
为偶函数，所以
在
处取到最值，
所以
（
），
故选：C．
【变式4-3】已知函数
（
，
）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，
且对
，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
图象的相邻两条对称轴间的距离为3，
可得
，所以
，所以
，
又由
，可得
为
的一条对称轴，
所以
，解得
，
又因为
，所以
.
故选：D
题型05 根据函数图象求正弦型函数的解析式
【例9】函数
在一个周期内的图象如图所示，则
的解析式
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设函数
的最小正周期为
，且
，则
，
由图象可知：
，且
，
即
，解得
，可得
，
又因为函数
的图象过点
，则
，
即
，且
，则
，
可得
，解得
，
所以
.
故选：D.
【例10】（多选）已知函数
的图象如图所示，
，
为曲线
与
轴的交点，
的面积为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由图象及
的面积为1，得
，则
，
则函数
的周期
，解得
，
由
，得
，即
，
又
，则
，此时
，则
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 错误；
，则
，故D 正确.
故选：AD.
【变式5-1】已知函数
（
，
）的部分图象如图所示，则函数
的表达式为
.
【答案】
【详解】由图象可知
，则
，所以
，得
，
所以
，
将
代入
，得
，即
，
所以
，解得
，又
，则
，
所以
.
故答案为：
.
【变式5-2】（多选）函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
为偶函数
【答案】AB
【详解】由图可得
，所以
，故A 正确；
由图可得
，所以
，
由图可得
，
且
为
在增区间零点，则
，即
，
又
，故
，故
，故B 正确、C 不正确；
则
，则
，所以
为奇函数，故D 不正确.
故选：AB.
【变式5-3】函数
的部分图象如图所示，
是正三角形，其中
两点为图象与
轴的交点，
为图象的最高点，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】B
【详解】
是图象的最高点，所以
的纵坐标为
，又
是正三角形，可得
，
.
又
，
，
，
，则
，
，又
，
，
.
，
又
的周期为4，
.
故选：B
给出
的图象的一部分，确定
，
，
的方法：
（1）第一零点法：如果从图象可直接确定
和
，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个
点）的数据代入“
”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得
）；
（2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数
，
，
。这里需要注意的是，
要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式；
（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式
，再根据图象平移规律确
定相关的参数。
题型06 求正弦型函数的单调性
【例11】下列区间是函数
单调递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知
，
令
，
，
解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
，
令
，则
，
由
，
故选：C.
【例12】求函数
在
的单调递增区间 .
【答案】
和
【详解】因为
，令
，
，
解得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
，
所以函数
在
的单调递增区间为
和
.
故答案为：
和
【变式6-1】已知函数
的最小正周期为
，则
的单调递增区间为
.
【答案】
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，解得
，
所以函数
，
所以有
，
解得单调递增区间为
.
故答案为：
【变式6-2】函数
，
的单调减区间为 .
【答案】
和
【详解】由题意知
，所以函数
的单调减区间就是
的单调增区间，
已知
得单调增区间为
，
得
，解得
，
当
时，增区间为
，当
时，增区间为
，
所以
在
上的单调增区间为
和
，
即
在
上的单调减区间为
和
，
故答案为：
和
.
【变式6-3】函数
与函数
的交点为
，则函数
的一个减区
间是（其中
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
在
上，所以
；
把
代入
可得
或
，
；
因为
，所以
，即
，
令
，
，解得
，
；
当
时，一个减区间为
.
故选：C
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
题型07 求正弦型函数的值域与最值
【例13】已知函数
的最小正周期为2，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
的最小正周期为2，
所以
，解得：
，即
，
当
时，
，
当
时，函数
取得最大值，最大值为
；
当
时，函数
取得最小值，最小值为
，
所以函数
的值域为
.
故选：A.
【例14】函数
的最大值为 ．
【答案】3
【详解】函数
，
当且仅当
，即
时，
，
所以所求最大值为3.
故答案为：3
【变式7-1】已知函数
的最小正周期为
.
(1)求函数
的对称轴；
(2)求函数
在
上的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)
的最大值为2，最小值为
【分析】
【详解】（1）因为周期
，则
，
令
；
解得：
.
所以函数
的对称轴为
；
（2）因为
，则
，
所以
，
即
.
所以函数
的最大值为2，最小值为
.
【变式7-2】已知函数
.
(1)求
的对称中心及
的单调减区间；
(2)求
在区间
上的最值及取得最值时的
的值.
【答案】(1)
；
(2)
时，
；
或
时，
【分析】
【详解】（1）对于函数
，
令
，解得
，
所以
的对称中心为
，
由
，解得
，
所以
的单调减区间为
；
（2）当
时，
，
所以
，所以
所以当
，即
时，
取得最小值，即
；
所以当
或
，即
或
时，
取得最大值，
即
.
【变式7-3】已知函数
(1)求函数
在区间
上的单调递减区间；
(2)求函数
在区间
上的值域．
【答案】(1)
、
、
(2)
【分析】
【详解】（1）由函数
的单调递减区间为
，
则对于函数
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
.
在区间
上的单调递减区间为：
当
时，可得
；当
时，可得
；当
时，可得
.
所以函数
在区间
上的单调递减区间为
、
、
.
（2）由
，则
，所以
，
，
令
，则
，
所以
值域为
.
题型08 已知单调性或值域求参数
【例15】已知函数
，满足
，且在区间
上单调递增，则
的
可能取值是（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【详解】设函数
的最小正周期为
，
因为
在区间
上单调递增，可得
，
解得
，所以
，可排除选项A；
由函数
，因为
，可得
，
所以
，解得
，
若
，可得
，因为
，可得
，此时
，
当
时，可得
，此时
在
先减后增，不符合题意，所以B 错误；
若
，可得
，不存在
的
的值，不符合题意，所以C 错误；
若
，可得
，因为
，可得
，此时
，
当
时，可得
，此时
在
单调递增，符合题意，所以D 正确.
故选：D.
【例16】若函数
在区间
上恰好有5 个最大值，4 个最小值，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，由
，得
，
由函数
恰好有5 个最大值，4 个最小值，
得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
【变式8-1】已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递增，
设
的最小正周期为
，则
，即
，即
，解得
，
当
，则
，
又
，所以
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式8-2】已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，由
，得：
，
原题转化为
在
上的值域为
，
作出
的图象，
由
，结合图象，
可得：
，
解得：
.
故选：C
【变式8-3】已知函数
在区间
上不单调，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】当
时，
，依题意，
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子
集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
题型09 三角函数的图象变换
【例17】为了得到
的图象，只需要把
图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的2 倍
B．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的
倍
C．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的2 倍
D．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的
倍
【答案】A
【详解】对于A：将
图象上所有的点向左平移
个单位长度得到
，
再将纵坐标变为原来的
倍，得到
，A 正确；
对于B：将
图象上所有的点向右平移
个单位长度得到
，
再将纵坐标变为原来的
倍，得到
，B 错误；
对于C：将
图象上所有的点向右平移
个单位长度得到
，
再将纵坐标变为原来的
倍，得到
，C 错误；
对于D：将
图象上所有的点向右平移
个单位长度得到
，
再将纵坐标变为原来的
倍，得到
，D 错误；
故选：A.
【例18】为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【详解】因为函数
，又函数
，
所以只需将函数
的图象向右平移
个单位即可得到函数
的图象.
故选：D
【变式9-1】要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【详解】因为
，
所以，将
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象.
故选：B
【变式9-2】将函数
的图象经过平移得到
的图象，直线
为
的图象在
轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【详解】
当
时，
，且
，
又
为
的图象在
轴右侧的首条对称轴，
，解得
，
，
，
故
可以向左平移
个单位得到
，
也可以向右平移
个单位得到
．
故选：C．
【变式9-3】若函数
的图象为曲线
，则（ ）
A．曲线
关于点
对称
B．将曲线
沿着
轴向右平移
个单位长度得到曲线
C．将曲线
沿着
轴向下平移2 个单位长度得到曲线
D．将曲线（多选）
上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
【答案】ABC
【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D.
对于A：因为
，所以曲线
关于点
对称，故A 正确；
对于B：将曲线
沿着
轴向右平移
个单位长度得到曲线
，故B 正确；
对于C：将曲线
沿着
轴向下平移2 个单位长度得到曲线
，故C 正确；
对于D：将曲线
上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
，与选
项D 中曲线
的方程不符，故D 错误．
故选：ABC.
题型10 求图象变换前后的解析式
【例19】将函数
的图象
上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到图象
，
再将
向右平移
个单位，得到函数
的图象，则
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的图象
上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），
得到
的图象，
再将
向右平移
个单位，得到
的图象.
故选：D
【例20】函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，且满足
，都有
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】易知函数
,
由
，
可知函数
为奇函数，可得
,
可得
,
所以
.
故选：A
【变式10-1】将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原
来的
，纵坐标伸长到原来的
倍，得到函数
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度，则
，
横坐标缩短到原来的
，则
，
纵坐标伸长到原来的
倍，则
.
故选：A
【变式10-2】把函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D
【变式10-3】将函数
的图象向左平移
个单位，得到的函数图象关于直线
对称，
则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，
由得到的函数图象关于直线
对称，则
，
所以
的可能取值为
，
故选：A.
题型11 正弦型函数的图象性质综合
【例21】将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
所具有的性
质是（ ）
A．图象关于直线
对称
B．图象关于点
成中心对称
C．
的一个单调递增区间为
D．曲线
与直线
的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【答案】D
【详解】由题意
，
对于A，
，所以图象不关于直线
对称，故A 错误；
对于B，
，所以图象不关于点
成中心对称，故B 错误；
对于C，当
时，
，由复合函数单调性可知此时
单调递减，故C 错误；
对于D，若
，则
或
，
所以曲线
与直线
的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
.
故选：D.
【例22】已知函数
在
上有两个不同的零点
，则
.
【答案】
/
【详解】由
，得
，
则
在
上有两个不同的解
.
当
时，
，
令
，则
，
有两个不同的解
.
易得
关于
对称，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
【变式11-1】已知函数
，则
在区间
内的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知求
在区间
内的零点，
所以令
，得
，
又因为
，
所以只能是
，得
，
在区间
内，当
时，有
，
所以共有个零点，故D 正确.
故选：D.
【变式11-2】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．将
图象上的所有点向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称
C．
在
上有两个零点
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为
，
所以
的图象关于
对称，所以
在
上不单调，A 错误；
对于B，由上知，
的图象关于
对称，
所以
的图象向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称，B 正确；
对于C，由
得函数
的零点为
，
令
，解得
，
所以
，即
在
上有两个零点，C 正确；
对于D，因为
，
，
，
所以
因为
的最小值周期
，
所以
，D 正确.
故选：BCD
【变式11-3】设函数
（
）的图象与直线
相交的连续的三个公共点从左到右依
次记为
，
，
，若
，则正实数的值为 .
【答案】
/0.5
【详解】作出函数
，的大致图象，如图，令
，
，
解得
，
，
则函数
的图象与直线
连续的三个公共点
，
，
，（可以同时往左或往右移
动正整数倍周期长度）
即
，
关于直线
，
对称，
，
由于
，故
，
而
，
关于直线
，
对称，
故
点横坐标为
，
将
点横坐标代入
，得
．
故答案为：
.
一、单选题
1．已知函数
，
为函数的零点，
为函数图象的对称轴，且二者
之间没有零点和对称轴，则函数在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【详解】因为
为函数的零点，
为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，
所以该函数的最小正周期为
，
因为
，所以
，即
，
由
，
因为
，所以令
，
，即
，
当
时，
，
所以当
时，函数有最小值
，
即当
时，函数有最小值
.
故选：B.
2．已知函数
，若存在互不相同的
，使得
，则
的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的值域为
，
所以存在互不相同的
，使得
，
即
同时使得
，即
因为
由于区间
内存在正弦函数取最小值时的
的取值依次是
，
所以
，
故选：D.
3．已知函数
为偶函数
，其图象与直线
的某两个交点的横坐标为
，若
的最小值为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
的图象与直线
的两个交点横坐标为
的最小值为
，
所以
周期是
，
由
求得
，
只有选项A 适合，
故选：A．
4．关于函数
，有以下三种说法：
①图象的对称中心是点
；
②图象的对称轴是直线
；
③函数的最小正周期是
．
其中正确的说法是（ ）．
A．①②③
B．②③
C．①③
D．③
【答案】D
【详解】
，
令
，
，解得
，
，即函数图象对称中心是
，
令
，
，解得
，
，图象的对称轴是直线
，
函数的最小正周期是
．易知①②均错，③对，
故选：D．
5．将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则
不可能的
取值为（ ）．
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到
的图象，因为它是偶函数，
所以
，
，即
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
故选：C．
6．已知函数
在区间
上单调，且满足
，若函数
在
上有且仅有4 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
且
，
故函数
关于
对称，且函数
在
取得最值，
又函数在区间
上单调，
，
令
，则
，当
时，
函数
在
上有且仅有4 个零点，且
，即
把
代入得
，
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
二、多选题
7．已知函数
（其中
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
中心对称
D．
在
上的值域为
【答案】ABD
【详解】A：由函数图象可知该函数过点
，且最低点坐标为
，
于是有
，设该函数的最小正周期为
，则有
，
因为
，
所以由
，所以本选项正确；
B：由上可得
，
，即
，
因为该函数过
，
所以有
，
又因为
，
所以令
，
，
即
，所以本选项正确；
C：因为
，
所以
的图象不关于点
中心对称，因此本选项不正确；
D：当
时，令
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因此
在
上的值域为
，故本选项正确，
故选：ABD
8．已知函数
的最小正周期为
，将
的图象向右平移
个单位长度得到
函数
的图象，则（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上单调递增
D．曲线
与直线
，
，
所围成封闭图形的面积为4π
【答案】BC
【详解】对于A，由题意得
的最小正周期为
，则
，解得
，
则
，将
的图象向右平移
个单位长度，
得到
，
因为
，所以
，故A 错误，
对于B，由题意得
，故B 正确，
对于C，令
，
解得
，当
时，
，
则函数
在区间
上单调递增，
即
在区间
上单调递增，故C 正确，
对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内，
则曲线
与直线
，
，
所围成封闭图形的面积转化如下，
变为一个长为
，宽为2 的矩形的面积，由矩形面积公式得
，故D 错误.
故选：BC
三、填空题
9．若
，使得
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
，
，
，
，
令
则
，
，
，即
，
，解得：
，
实数
的取值范围为
．
故答案为：
10．已知函数
在区间
上有三个零点
，（
），则
的值为 .
【答案】
【详解】由
得
，
，
所以函数在
的对称轴为
和
，
函数
时周期为
的正弦函数，
由正弦函数单调性可知，
在
单调递增，
单调递减，
递增，
要想函数存在三个零点，则在三个区间内各有一个零点，
即
关于对称轴
对称，
关于对称轴
对称，
所以
.
故答案为：
.
11．已知函数
，若
的图象在
上有且仅有两条对称轴，则
的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
，
因为
的图象在
上有且仅有两条对称轴，
所以
，
解得
，所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
四、解答题
12．设函数
，
图象的一个对称中心是
.
(1)求
的值；
(2)当
时，求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
又
图象的一个对称中心是
，所以
，
解得
，又
，所以
.
（2）由（1）可得
，
因为
，所以
，所以
，
即
，即函数
的值域为
.
13．已知函数
．
(1)求
；
(2)证明：函数
的图象关于点
对称；
(3)当
时，求函数
的所有零点的和．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】
【详解】（1）已知函数
，则
．
（2）由
，
所以函数
的图象关于点
对称．
（3）令
，即
，
所以
或
，
，解得
或
，
因为
，则
，
，
，
，
．
14．已知函数
的部分图像，如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图像向右平移
个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，
得到函数
的图像，求函数
在区间
上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】
【详解】（1）由题图得
，
因为
，∴
.
由
，得
，
所以
，解得
.
又因为
，∴当
时，
.
又由
，得
.
故
.
（2）将
的图像向右平移
个单位，
得到
的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，
得到
的图像.
由
，
，得
，
当
时，
；当
时，
，
因为
，所以函数
在区间
上的单调递增区间为
，
15．将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的
图象.
(1)求曲线
的对称中心的坐标；
(2)求
在
上的值域；
(3)若关于
的不等式
对
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意可得
，
令
，解得
，
则曲线
的对称中心的坐标是
；
（2）因为
，所以
，
则
，
故
在
上的值域为
；
（3）由（1）知
，设
，则
，
所以关于
的不等式
，
对
恒成立等价于关于的不等式
在
上恒成立，
所以
，解得
，
因为
在
上单调递增，又
，
，
所以
的取值范围是
．
