高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体,考查函数的定义域、最值与值
域、奇偶性和单调性; 2.利用函数的性质推断函数的图象; 3.利用图象研究函数性质、方程及不等
式的解集,综合性较强.
【真题体验】
1.(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数,当2≤x≤3 时,f(x)＝5－2x,则f
(−3
4)＝( )
A.－1
2
B.－1
4
C.1
4
D.1
2
答案 A
解析 法一 当x∈[－1,0]时,－x＋2∈[2,3],
所以当x∈[－1,0]时,
f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)
＝5－2(－x＋2)＝1＋2x,
所以f(−3
4)＝1－3
2＝－1
2.故选A.
法二 f(−3
4)＝f(
3
4)＝f(
3
4 ＋2)
＝5－2×(
3
4 ＋2)＝－1
2.
2.(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)＝
x
1−|x|
B.f(x)＝
x
|x|−1
C.f(x)＝|x|
1−x
2
D.f(x)＝|x|
x
2−1
答案 D
解析 由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)＝
x
1−|x|与f(x)＝
x
|x|−1均
为奇函数,排除A,B.
由题图可知当x>1 时,f(x)>0,易得当x>1 时,f(x)＝|x|
1−x
2<0,f(x)＝|x|
x
2−1>0,排除C,故选D.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝{
−x
2−2ax−a, x<0,
e
x＋ln( x＋1), x≥0在R 上单调递增,则a 的取值范围是(
)
A.(－∞,0]
B.[－1,0]
C.[－1,1]
D.[0,＋∞)
答案 B
解析 因为函数f(x)在R 上单调递增,
且当x<0 时,f(x)＝－x2－2ax－a,
所以f(x)＝－x2－2ax－a 在(－∞,0)上单调递增,所以－a≥0,即a≤0;
当x≥0 时,f(x)＝ex＋ln(x＋1),
所以函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R 上单调递增,
则－a≤f(0)＝1,即a≥－1.
综上,实数a 的取值范围是[－1,0].故选B.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y),f(1)＝1,则
22
∑
k=1
f(k)＝(
)
A.－3
B.－2
C.0
D.1
答案 A
解析 因为f(1)＝1,
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝1,
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1),
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②
由①②相加,得f(x＋2)＋f(x－1)＝0,
故f(x＋3)＋f(x)＝0,
所以f(x＋3)＝－f(x),
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝0,得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0),
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1,得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1),
所以f(2)＝－1.
由①式得f(x＋1)＝f(x)－f(x－1),
所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－2,
f(4)＝f(3)－f(2)＝－1,
f(5)＝f(4)－f(3)＝1,
f(6)＝f(5)－f(4)＝2,
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0,
根据函数的周期性知,
22
∑
k=1
f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3,故选A.
【热点突破】
热点一 函数的概念与表示
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则y＝f(g(x))中,由m≤g(x)≤n 解得x 的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n 得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.
例1 (1)(多选)给出以下四个判断,其中正确的是( )
A.函数y＝x−2
2 x＋1(x≥1)的值域为[−1
3 , 1
2)
B.若函数f(x＋1)的定义域为[－2,3],则函数y＝f (2 x＋1)
√x−1
的定义域为(1, 3
2]
C.函数f(x)＝x2的定义域A⊆R,值域B＝{4},则满足条件的f(x)有2 个
D.若函数f(x＋1
x)＝x2＋1
x
2,且f(m)＝4,则实数m 的值为√6
(2)已知函数f(x)＝{
x＋1, x≥0,
−2 x−1, x<0,若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围是 .
答案 (1)AB (2)(－2,0)∪(0,2)
解析 (1)对于A,当x≥1 时,2x＋1≥3,
则0<
1
2 x＋1≤1
3,
此时,y＝x−2
2 x＋1 ＝1
2 －
5
2(2 x＋1),
则－5
6≤－
5
2(2 x＋1)<0,
则y＝1
2 －
5
2(2 x＋1)∈[−1
3 , 1
2),
所以值域为[−1
3 , 1
2),故A 正确;
对于B,由函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]得f(x)的定义域为[－1,4],
在函数y＝f (2 x＋1)
√x−1
中,{
−1≤2 x＋1≤4 ,
x−1>0,
解得1<x≤3
2,故B 正确;
对于C,令f(x)＝x2＝4,可得x＝±2,故定义域A 可以为{－2},{2},{－2,2},共3 个,
即满足条件的f(x)有3 个,故C 错误;
对于D,f(x＋1
x)＝x2＋1
x
2 ＝(x＋1
x)
2
－2,
故f(x)＝x2－2,x∈(－∞,－2]∪[2,＋∞),
若f(m)＝4,即m2－2＝4,
则m＝±√6,故D 错误.
(2)由a[f(a)－f(－a)]>0,
若a>0,则f(a)－f(－a)>0,
即a＋1－[－2×(－a)－1]>0,解得a<2,
所以0<a<2.
若a<0,则f(a)－f(－a)<0,
即－2a－1－(－a＋1)<0,解得a>－2,
所以－2<a<0,
综上,a 的取值范围为(－2,0)∪(0,2).
规律方法 1.解决抽象函数定义域问题时,谨记f(g(x))中g(x)的值域与f(x)中x 的范围相同.
2.对于多段函数的解不等式(求值)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.
训练1 (1)(多选)(2025·衡阳模拟)定义在D 上的函数f(x),若满足:存在常数M>0,对任意x∈D,都有|
f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有界函数,下列函数中在其定义域上为有界函数的有( )
A.y＝2sin(2 x＋π
3)
B.y＝2x
C.y＝x
2＋1
x
D.y＝x－[x]([x]表示不大于x 的最大整数)
(2)(2025·连云港段测)已知函数f(x)＝{
lo g2 x , x>0,
2
x , x≤0, 若f(a)＝1,则a＝ .
答案 (1)AD (2)0 或2
解析 (1)由正弦函数的性质可知,
函数y＝2sin(2 x＋π
3)的值域为[－2,2],是有界函数,A 正确;
由指数函数的性质可知,函数y＝2x的值域为(0,＋∞),不是有界函数,B 错误;
y＝x
2＋1
x
＝x＋1
x ,由对勾函数的性质可知,函数值域为(－∞,－2]∪[2,＋∞),不是有界函数,C 错
误;
函数y＝x－[x]的值域为[0,1),是有界函数,D 正确.
(2)当a>0 时,log2a＝1,解得a＝2;
当a≤0 时,2a＝1,解得a＝0.
所以a＝0 或2.
热点二 函数的性质
1.函数的奇偶性
(1)定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.
3.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,则函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x),则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
考向1 奇偶性与单调性
例2 (2025·武汉调研)已知函数f(x)＝x2＋2x＋2－x,若不等式f(1－ax)<f(2＋x2)对任意x∈R 恒成立,则
实数a 的取值范围是 .
答案 (－2,2)
解析 函数f(x)＝x2＋2x＋2－x的定义域为R,
且f(－x)＝x2＋2－x＋2x＝f(x),
所以f(x)为偶函数.
当x≥0 时,g(x)＝x2是增函数,
对于h(x)＝2x＋2－x,任取x1,x2∈[0,＋∞),且x1>x2,
则h(x1)－h(x2)＝2
x1＋2
−x1－(2
x2＋2
−x2)
＝2
x1－2
x2＋1
2
x1 －1
2
x2＝(2
x1－2
x2)(1−
1
2
x1＋x2)
＝(2
x1－2
x2)·2
x1＋x2−1
2
x1＋x2
,
因为x1>x2≥0,所以2
x1－2
x2>0,
2
x1＋x2－1>0,
所以h(x1)－h(x2)>0,
所以h(x)＝2x＋2－x在[0,＋∞)上是增函数,
即y＝f(x)在[0,＋∞)上是增函数.
所以不等式f(1－ax)<f(2＋x2)对任意x∈R 恒成立转化为|1－ax|<2＋x2恒成立,
即－2－x2<1－ax<2＋x2,
即{
x
2＋ax＋1>0,
x
2−ax＋3>0 恒成立,
即{
Δ＝a
2−4<0,
Δ＝(−a)
2−12<0,解得－2<a<2,
即实数a 的取值范围是(－2,2).
考向2 奇偶性、周期性与对称性
例3 (多选)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且f(x－1)和g(2x＋1)都是
奇函数,且g(0)＝1
3,则下列说法正确的有( )
A.g(x)关于x＝－1 对称
B.f(x)关于(1,0)对称
C.g(x)是周期函数
D.
12
∑
i=1
ig(2i)＝4
答案 ACD
解析 因为f(x－1)为奇函数,所以f(x－1)＝－f(－x－1),所以f'(x－1)＝f'(－x－1),即g(x－1)＝g(－
x－1),所以g(x)的图象关于直线x＝－1 对称.故A 正确;
因为f(x－1)为奇函数,则其图象关于(0,0)对称,向左平移一个单位后得到f(x)的图象,则f(x)的图象
关于(－1,0)对称,故B 错误;
因为g(2x＋1)为奇函数,
则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1),
则有g(x＋1)＝－g(－x＋1),
所以g(x)＝－g(－x＋2),①
又g(x－1)＝g(－x－1),
则g(x)＝g(－x－2),②
由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2),
则g(x－2)＝－g(x＋2),
则g(x)＝－g(x＋4),g(x＋4)＝－g(x＋8),则g(x)＝g(x＋8),
所以8 是函数g(x)的一个周期,g(x)是周期函数,故C 正确;
因为g(0)＝1
3,g(x)＝－g(－x＋2),
g(x)＝－g(x＋4),
所以g(2)＝－g(－2＋2)＝－g(0)＝－1
3,
g(4)＝－g(0)＝－1
3,g(6)＝－g(2)＝1
3,
所以
12
∑
i=1
ig(2i)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×1
3＝4,故D 正确,故选ACD.
规律方法 1.若f(x＋a)＝－f(x)(或f(x＋a)＝
1
f ( x),其中f(x)≠0),则f(x)的周期为2|a|.
2.若f(x)的图象关于直线x＝a 和x＝b 对称,则f(x)的周期为2|a－b|.
3.若f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称,则f(x)的周期为2|a－b|.
4.若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b 对称,则f(x)的周期为4|a－b|.
训练2 (1)(2025·烟台模拟)定义在R 上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f(1)＝0,则不等式
x[f(x)－f(－x)]<0 的解集为( )
A.{x|－1<x<0 或x>1}
B.{x|－1<x<0 或0<x<1}
C.{x|x<－1 或x>1}
D.{x|x<－1 或0<x<1}
(2)(2025·厦门调研)已知函数f(x)、g(x)的定义域均为R,函数f(x)的图象关于点(－1,－1)对称,函数
g(x＋1)的图象关于y 轴对称,f(x＋2)＋g(x＋1)＝－1,f(－4)＝0,则f(2 030)－g(2 017)＝ .
答案 (1)B (2)－3
解析 (1)∵函数f(x)是R 上的奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,
∴函数f(x)在(－∞,0)上也是增函数.
∵f(－x)＝－f(x),∴f(－1)＝－f(1)＝0.
不等式x[f(x)－f(－x)]<0 可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0,
∴当x<0 时,可得f(x)>0＝f(－1),
∴x>－1,∴－1<x<0;
当x>0 时,可得f(x)<0＝f(1),
∴x<1,∴0<x<1.
综上,不等式x[f(x)－f(－x)]<0 的解集为{x|－1<x<0 或0<x<1}.故选B.
(2)因为函数f(x)的图象关于点(－1,－1)对称,
所以f(x)＋f(－2－x)＝－2,
令x＝－4,可得f(－4)＋f(2)＝－2,
又因为f(－4)＝0,所以f(2)＝－2.
由g(x＋1)的图象关于y 轴对称,
知函数g(x＋1)为偶函数,
所以g(－x＋1)＝g(x＋1),
在f(x＋2)＋g(x＋1)＝－1 中,
令x＝0,可得f(2)＋g(1)＝－1,
则g(1)＝－1－f(2)＝1,
由f(x＋2)＋g(x＋1)＝－1,
可得f(x)＋g(x－1)＝－1,
f(－x－2)＋g(－x－3)＝－1,
两式相加可得－2＋g(x－1)＋g(－x－3)＝－2,
即g(x－1)＋g(－x－3)＝0,
可得g(x－5)＋g(－x＋1)＝0,
由g(－x＋1)＝g(x＋1),
可得g(x－5)＋g(x＋1)＝0,
即g(x)＋g(x＋6)＝0,故g(x＋6)＝－g(x),
所以g(x＋12)＝－g(x＋6)＝g(x),
即函数g(x)的周期T＝12,
由f(x)＋g(x－1)＝－1,
可知f(2 030)＝－1－g(2 029),
所以f(2 030)－g(2 017)
＝－1－g(2 029)－g(2 017)
＝－1－g(1)－g(1)
＝－1－2g(1)＝－3.
热点三 函数的图象
1.作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、
对称变换和翻折变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等问题.
例4 (1)(多选)(2025·杭州质检)函数f(x)＝ax＋1
x
2＋a 的大致图象可能是( )
(2)(2025·渭南模拟)已知f(x)＝{
|sin π x|,0≤x≤2,
e
x , x<0,
若存在实数x1,x2,x3,x4,x5且x1<x2<x3<x4<x5,使
得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝f(x5),则
5
∑
i=1
xif(xi)的取值范围为 .
答案 (1)BCD (2)[−1
e
5 ,4)
解析 (1)当a＝0 时,f(x)＝1
x
2是偶函数,
当x>0 时,f(x)单调递减,此时对应的图象可能是C.
当a>0 时,f(x)为非奇非偶函数,取a＝1,
f(x)＝x＋1
x
2＋1,f(－1)＝0,
当x≠－1,f(x)＝x＋1
x
2＋1
＝
x＋1
( x＋1)
2−2( x＋1)＋2
＝
1
x＋1＋
2
x＋1 −2,
由单调性判断此时对应图象可能是B.
当a<0 时,易知f(x)为非奇非偶函数,f(x)在x＝±√−a处无定义,
取a＝－2,此时f(x)＝1−2 x
x
2−2 ,f(
1
2)＝0,
又f'(x)＝2 x
2−2 x＋4
( x
2−2)
2
>0,
所以当x<－√2时,f(x)>0 且f(x)单调递增,
当x>√2时,f(x)<0 且f(x)单调递增,
当－√2<x<√2时,f(x)单调递增,
此时对应图象可能是D.
对于A,由于图象无间断点,故a>0,
但此时f(x)在(－∞,0)上不可能恒正,故错误.故选BCD.
(2)作出f(x)＝{
|sin π x|,0≤x≤2,
e
x , x<0
的大致图象如图,
由题意知,x2＋x3＝1,x4＋x5＝3,x1<0,
所以
5
∑
i=1
xif(xi)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)f(x1)＝(x1＋4)f(x1)＝(x1＋4)e
x1.
令g(x)＝(x＋4)ex(x<0),
则当x<－4 时,g(x)<0;
当－4<x<0 时,g(x)>0.
且g'(x)＝(x＋5)ex,当x<－5 时,g'(x)<0,g(x)在(－∞,－5)上单调递减;
当－5<x<0 时,g'(x)>0,g(x)在(－5,0)上单调递增,
所以g(x)min＝g(－5)＝－1
e
5,
且g(x)<g(0)＝4,
所以
5
∑
i=1
xif(xi)的取值范围为[−1
e
5 ,4).
规律方法 1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质,如定义域、奇偶性、单调性等,特别是
利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
2.函数图象的应用主要体现为数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解有关不等式
恒成立、最值、交点、方程的根等问题.
训练3 (1)(2025·河北部分重点高中模拟)如图是下列四个函数中某个函数的部分图象,则该函数为(
)
A.f(x)＝
x
ln|x ＋2|
B.f(x)＝x＋1
e
x＋1−1
C.f(x)＝
x
3
( x＋1)
2
D.f(x)＝
x
( x＋1)
2
(2)(2025·西安质检)已知函数y＝f(x)是定义域为R 的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时,
f(－x)>2f(x),f(3)＝0,则不等式f(x)>0 的解集为 .
答案 (1)D (2)(－∞,－3)∪(－3,0)
解析 (1)对于A,当－2<x<－1 时,0<x＋2<1,所以ln|x＋2|<0,
则f(x)>0,不符合题中图象,A 错误;
对于B,f(0)＝1
e−1≠0,而题图中函数f(x)的图象过原点,B 错误;
对于C,函数f(x)＝
x
3
( x＋1)
2,
则f'(x)＝x
3＋3 x
2
( x＋1)
3 ,当x>0 时,f'(x)>0,
则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不符合题图,C 错误;
对于D,函数f(x)＝
x
( x＋1)
2,定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),且f(0)＝0,
f'(x)＝
1−x
( x＋1)
3,
当x<－1 时,f'(x)<0,
当－1<x<1 时,f'(x)>0,当x>1 时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,在(－1,1)上单调递
增,在(1,＋∞)上单调递减,符合题图,D 正确.
(2)依题意知f(0)＝0,
当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时,f(－x)>2f(x),
即－f(x)>2f(x),得f(x)<0,
由f(3)＝0,得f(－3)＝－f(3)＝0,
由此画出f(x)的可能图象如图所示,
由图可知,不等式f(x)>0 的解集为(－∞,－3)∪(－3,0).
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·长沙段测)下列四组函数中f(x)与g(x)是同一个函数的是( )
A.f(x)＝x,g(x)＝x
2
x
B.f(x)＝2lg x,g(x)＝lg x2
C.f(x)＝|x|,g(x)＝√x
2
D.f(x)＝(
1
2)
x
,g(x)＝x
1
2
答案 C
解析 对于A,f(x)＝x 的定义域是R,g(x)＝x
2
x 的定义域是{x|x≠0},所以不是同一个函数;
对于B,f(x)＝2lg x 的定义域是{x|x>0},g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0},所以不是同一个函数;
对于C,g(x)＝√x
2＝|x|＝f(x),两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同,所以是同一个函数;
对于D,f(x)＝(
1
2)
x
的定义域是R,g(x)＝x
1
2的定义域是{x|x≥0},所以不是同一个函数.
2.(2025·黄冈质检)若函数y＝f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是( )
A.[－8,3]
B.[－5,－1]
C.[－2,0]
D.[1,3]
答案 C
解析 由函数y＝f(x)的值域是[1,3]得1≤f(x)≤3,
所以1≤f(x＋3)≤3,
所以－3≤－f(x＋3)≤－1,
因此－2≤1－f(x＋3)≤0,
即函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是[－2,0].
3.(2025·石家庄调研)已知函数f(x)＝{
x
2＋2 x , x≤0,
ln( x＋1), x>0,则不等式f(x)≥0 的解集为( )
A.(－∞,－1]∪[1,＋∞)
B.(－∞,－2]∪[0,＋∞)
C.[1,＋∞)
D.[0,＋∞)
答案 B
解析 因为f(x)＝{
x
2＋2 x , x≤0,
ln( x＋1), x>0,
所以不等式f(x)≥0 等价于{
x≤0,
x
2＋2 x≥0 或{
x>0,
ln( x＋1)≥0,
解得x≤－2 或x＝0 或x>0,
所以不等式的解集为(－∞,－2]∪[0,＋∞).
4.(2025·成都诊断)已知函数f(x)＝{
x
2−2 x , x≥0,
−x
2＋2 x , x<0在区间(m,m＋1)上单调递增,则m 的取值范围是(
)
A.(－∞,0]
B.[0,1]
C.[－1,0]
D.(－∞,－1]∪[1,＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝{
x
2−2 x , x≥0,
−x
2＋2 x , x<0的图象如图,
函数的单调递增区间为(－∞,0],[1,＋∞),
则有m＋1≤0 或m≥1,
解得m≤－1 或m≥1,故选D.
5.(2025·重庆调研)函数f(x)＝x
2＋3
√x
2＋1的图象大致为( )
答案 A
解析 因为函数f(x)＝x
2＋3
√x
2＋1的定义域为R,所以排除C,D,
因为f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数,
图象关于y 轴对称,所以排除B.
6.(2025·大连质检)已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数,且f(x)在[－2,0]上单调递增.若f(2t－1)
＋f(t)<0,则实数t 的取值范围为( )
A.(−∞, 1
3)
B.[0, 1
3)
C.[−2, 1
3)
D.[−1
2 , 1
3)
答案 D
解析 因为f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数,
且f(x)在[－2,0]上单调递增,
所以f(x)在[－2,2]上单调递增,
又f(2t－1)＋f(t)<0,则f(2t－1)<－f(t),
所以f(2t－1)<f(－t),
所以{
−2≤2t −1≤2,
−2≤−t ≤2,
2t −1<−t ,
解得－1
2≤t<1
3,
故实数t 的取值范围为[−1
2 , 1
3).
7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x－1)＋f(x－2),且当x<3 时,f(x)＝x,则下列
结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100
B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000
D.f(20)<10 000
答案 B
解析 因为当x<3 时,f(x)＝x,
所以f(1)＝1,f(2)＝2.
对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2),
令x＝3,得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3;
令x＝4,得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5;
令x＝5,得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8;
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3 项起的各项:
3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…,
显然f(16)>1 000,所以f(20)>1 000,故选B.
8.(2025·南京检测)已知函数f(2x＋1)为奇函数,f(x＋2)为偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)＝log2x,则f
(
9
4)＝( )
A.2
B.－2
C.1
D.－1
答案 A
解析 由函数f(2x＋1)为奇函数,得f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0,
则f(x)的图象关于点(
2 x＋1＋(−2 x＋1)
2
,0),即(1,0)中心对称.
∵函数f(x＋2)为偶函数,
∴f(x＋2)＝f(－x＋2),
即函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称.
当x∈(0,1]时,f(x)＝log2x,
∴f(
9
4)＝f(2×2−9
4)＝f(
7
4)
＝－f(2−7
4)＝－f(
1
4)＝－log21
4＝2.
二、多选题
9.(2025·合肥调研)已知函数f(x)的定义域为R,当x>0 时,f(x＋2)·f(x)＝1,且当x≤2 时,f(x)＝x2－3x
＋4,则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)＝1
B.f(11)＝1
2
C.f(12)<10
D.f(13)>20
答案 BC
解析 当x>0 时,由f(x＋2)f(x)＝1 得f(x)＝
1
f ( x＋2) ＝
1
1
f ( x＋4)
＝f(x＋4),
则f(10)＝f(10－8)＝f(2)＝2,A 错误;
f(11)＝f(11－8)＝f(3)＝1
f (1) ＝1
2,B 正确;
f(12)＝f(12－8)＝f(4)＝1
f (2) ＝1
2<10,C 正确;
f(13)＝f(13－12)＝f(1)＝2<20,D 错误.
10.(2025·济南调考)已知函数f(x)对任意x∈R 都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2),若函数y＝f(x＋3)的图象关于
直线x＝－3 对称,且∀x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0,则下列结论正确的是(
)
A.f(2)＝0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是周期为4 的周期函数
D.f(3)<f(－4)
答案 AC
解析 因为y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3 对称,
所以y＝f(x)的图象关于y 轴对称,则f(x)是偶函数,B 错误;
在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中,
令x＝－2,得f(－2)＝2f(2),
又因为f(－2)＝f(2),所以f(2)＝2f(2),解得f(2)＝0,A 正确;
又f(x)＝f(x＋4)＋f(2)且f(2)＝0,
所以有f(x)＝f(x＋4),则f(x)是周期为4 的周期函数,C 正确;
∀x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0,则f(x)在[0,2]上单调递增,又f(x)是周期为4
的周期函数,且f(x)是偶函数,故f(0)＝f(－4),f(3)＝f(－1)＝f(1),因为f(1)>f(0),所以f(3)>f(－4),D 错
误.
11.(2025·广州模拟)定义:若存在非零常数k,T,使得函数f(x)满足f(x＋T)＝f(x)＋k 对定义域内的任意
实数x 恒成立,则称函数f(x)为“k 距周期函数”,其中T 称为函数的“类周期”.则下列说法正确的
是( )
A.一次函数均为“k 距周期函数”
B.存在某些二次函数为“k 距周期函数”
C.若“1 距周期函数”f(x)的“类周期”为1,且f(1)＝1,则f(x)＝x
D.若g(x)是周期为2 的函数,且函数f(x)＝x＋g(x)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数f(x)＝x＋g(x)在区
间[2n,2n＋2]上的值域为[2n,2n＋1]
答案 AD
解析 对于A,设一次函数为f(x)＝ax＋b(a≠0),则对非零常数T,f(x＋T)＝a(x＋T)＋b＝ax＋b＋aT
＝f(x)＋aT,其中k＝aT≠0,A 正确;
对于B,设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),
则对非零常数T,f(x＋T)＝a(x＋T)2＋b(x＋T)＋c＝ax2＋(2aT＋b)x＋aT2＋bT＋c,
若f(x)是“k 距周期函数”,则2aT＝0,则T＝0,不满足题意,B 错误;
对于C,设f(x)＝{
x , x∈Q ,
x＋2, x∉Q ,f(x)是“1 距周期函数”,且类周期为1,f(1)＝1,C 错误;
对于D,设x∈[2n,2n＋2],则x－2n∈[0,2],
即g(x)＝g(x－2n),
则f(x)＝x＋g(x)
＝(x－2n)＋g(x－2n)＋2n
＝f(x－2n)＋2n∈[2n,2n＋1],D 正确.
三、填空题
12.(2025·齐齐哈尔模拟)若f(x)＝1−ae
x
1＋e
x sin x 为偶函数,则a＝ .
答案 1
解析 由f(x)＝1−ae
x
1＋e
x sin x,
得f(－x)＝1−ae
−x
1＋e
−x sin (－x),
因为f(x)为偶函数,所以f(－x)＝f(x),
即1−ae
−x
1＋e
−x sin (－x)＝1−ae
x
1＋e
x sin x,
所以－1−ae
−x
1＋e
−x ＝a−e
x
1＋e
x ＝1−ae
x
1＋e
x ,解得a＝1.
13.设f(x)＝{
e
x−1, x≤0,
−x
2＋x , x>0,则f(f(－ln 2))＝ ;当x∈(－∞,m]时,f(x)的值域为(−1, 1
4],则m
的取值范围是 .
答案 e
−1
2－1 [
1
2 , 1＋√5
2 )
解析 ∵－ln 2<0,
∴f(－ln 2)＝e－ln 2－1＝1
2－1＝－1
2,
又－1
2<0,f(f(－ln 2))＝f(−1
2)＝e
−1
2－1;
当x≤0 时,f(x)∈(－1,0],
当x>0 时,f(x)∈(−∞, 1
4],
且当x＝1
2时,函数f(x)取得最大值1
4,
可得函数图象如图所示.
当f(x)＝－1 时,
－x2＋x＝－1,
解得x＝1＋√5
2
,
要使f(x)在x∈(－∞,m]上的值域是(−1, 1
4],则可得m∈[
1
2 , 1＋√5
2 ).
14.(2025·包头多校联考)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I
上的函数f(x),以及函数g(x)＝kx＋m(k,m∈R),切比雪夫将函数y＝|f(x)－g(x)|,x∈I 的最大值称为函
数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)＝x2(x∈[0,4]),g(x)＝4x＋m,则函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小
值时,m 的值为 .
答案 －2
解析 令t(x)＝f(x)－g(x)＝x2－4x－m＝(x－2)2－m－4,x∈[0,4],
令y＝|t(x)|＝|(x－2)2－m－4|,x∈[0,4],
因为x∈[0,4],所以(x－2)2∈[0,4],(x－2)2－4∈[－4,0],由y＝|(x－2)2－4－m|,
得ymax＝max{|m|,|m＋4|},
令|m|≥|m＋4|,即m2≥(m＋4)2,
解得m≤－2,
则ymax＝max{|m|,|m＋4|}
＝{
−m,m≤−2,
m＋4 ,m>−2,
因此当且仅当m＝－2 时,有(ymax)min＝2.
所以函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小值时,m 的值为－2
