文档文本内容
三角与向量中的新定义问题
高考定位 在新结构高考中，新定义压轴解答题已成为创新的主流，各知识板块
均可命题(甚至在未学习过的数学领域进行命题).本板块主要从三角函数、解三角
形及平面向量三个方面命制新定义解答题，虽创新力度不大，但综合程度较高，
思维较灵活.
【题型突破】
题型一 与三角函数有关的新定义问题
例1 已知定义域为R 的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋
h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x 是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有
性质P？若存在，求出ω，φ 的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝
sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.
求证：f(2π)＝2π.
(1)解 因为f(x)＝2x，
则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，
又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x 具有性质P；
因为g(x)＝cos x，
则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cos x，
又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，
故g(x)＝cos x 不具有性质P.
(2)解 若函数f(x)具有性质P，则f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)，即f(0)＝sin φ＝0，
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin(ωx)；
所以必有f(2π)＝0 成立，
即sin(2ωπ)＝0，因为<ω<，
所以3π<2ωπ<5π，
所以2ωπ＝4π，则ω＝2，此时f(x)＝sin 2x，
则f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＝sin 2x，
则f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x，
即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立，
所以存在ω＝2，φ＝0 使函数f(x)具有性质P.
(3)证明 由函数f(x)具有性质P 及(2)可知，f(0)＝0，
由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π 为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，
即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；
由f(0)＝0，f(2π)＝kπ 以及题设可知，
函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z 且k>0；
当k>2，f(x)＝π 及f(x)＝2π 时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，
这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1 或k＝2；
当k＝1 时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，
此时函数g(x)的值域为[0，1]，
而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，
此时函数g(x)的值域为[－1，0]，
函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，
与函数g(x)是以2π 为周期的周期函数矛盾，故k＝2，
即f(2π)＝2π，命题得证.
反思感悟 解决三角函数新定义问题的思路
(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
训练1 对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，
存在x2∈D2，使得f(x1)＋g(x2)＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为
x1的像.
(1)若f(x)＝2sin，x∈R；g(x)＝3cos，x∈R，
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－6)，并说明理由；
(2)若f(x)＝2sin，x∈；g(x)＝3cos，x∈[0，π]，且f(x)与g(x)具有关系M，求x1＝
的像；
(3)若f(x)＝2sin，x∈；g(x)＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系
M(5)，求实数a 的取值范围.
解 (1)f(x)与g(x)不具有关系M(－6)，
理由如下：x∈R 时，f(x)＝2sin∈[－2，2]，
g(x)＝3cos∈[－3，3]，
所以f(x1)＋g(x2)∈[－5，5]，－6∉[－5，5]，
则f(x)与g(x)不具有关系M(－6).
(2)由题意可知f(x1)＋g(x2)＝
＝2sin＋3cos
＝＋3cos，
所以cos＝⇒3x2＋
＝±＋2kπ，
又x2∈[0，π]，所以3x2＋∈，
解之得x2＝或或，
即x1＝的像为或或.
(3)对于x∈，
则2x＋∈，
所以f(x)＝2sin∈[－1，2]，
即∀x1∈，f(x1)∈[－1，2]，
因为f(x)与g(x)具有关系M(5)，
所以要满足题意需∃x2∈R，
使得[－1，2]⊆5－g(x2)即可.
令5－g(x)＝2sin2x－asin x＋3(x∈R)，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
设h(t)＝2t2－at＋3(t∈[－1，1])，
①若≤－1，即a≤－4 时，
h(t)∈[h(－1)，h(1)]＝[5＋a，5－a]，
则⇒a≤－6，
②若≥1，即a≥4 时，h(t)∈[h(1)，h(－1)]＝[5－a，5＋a]，
则⇒a≥6，
③若－1<≤0，即－4<a≤0 时，
h(t)∈＝，
则⇒或显然无解，
④若0<<1，即0<a<4 时，
h(t)∈＝，
则⇒或显然无解，
综上所述，a≥6 或a≤－6.
题型二 与解三角形有关的新定义问题
例2 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形
叫做倍角三角形.如图，△ABC 的面积为S，三个内角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且sin C＝.
(1)证明：△ABC 是倍角三角形；
(2)若c＝9，当S 取最大值时，求tan B.
(1)证明 因为sin C＝＝＝，
又sin C≠0，所以＝1，
则b2＝c2－ab，
又由余弦定理知，b2＝a2＋c2－2accos B，
故可得2ccos B＝a＋b，
由正弦定理，2sin Ccos B＝sin A＋sin B，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入上式可得sin Ccos B＝sin Bcos C＋sin B，
即sin Ccos B－sin Bcos C＝sin B，
sin(C－B)＝sin B，
则有C－B＝B，C＝2B，
故△ABC 是倍角三角形.
(2)解 因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B>0，
故0<B<，则tan B∈(0，)，
又c＝9，＝，
则a＝＝＝，
则S＝×acsin B＝asin B
＝××sin B＝·
＝·
＝×(sin 2B＋cos 2Btan B)
＝
＝×，
设x＝tan B∈(0，)，f(x)＝，
则f′(x)＝
＝，
令f′(x)＝0 得x2＝2－3 或者x2＝－2－3(舍)，
且当0<x2<2－3 时，f′(x)>0，
当2－3<x2<3 时，f′(x)<0，
则f(x)在(0，)上单调递增，
在(，)上单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值，
此时S 也取最大值，故tan B＝.
反思感悟 本题第(1)问中由条件sin C＝正确选用S＝absin C，即可消去sin
C，得到边的等式，再结合正余弦定理，从而推证三角形内角的关系.第(2)问中，
利用(1)中的结论C＝2B，结合正弦定理表示出边a，代入面积公式，化为关于
tan B 的关系式，最后结合换元法利用导数解决.本例看似简单，但解答运用知识
点较多，需灵活运用相关知识解决.
训练2 法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外
构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形
的三个顶点”.在△ABC 中，A＝60°，以AB，BC，AC 为边向外作三个等边三角
形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3.
(1)求∠O1AO3；
(2)若△O1O2O3的面积为，求三角形中AB＋AC 的最大值.
解 (1)由于O1，O3是正△ABC′，△AB′C 的外接圆圆心，故也是它们的中心，
所以在△O1AB 中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，
又∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°.
(2)由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，
则S△O1O2O3＝m2sin 60°＝m2＝，
解得O1O3＝m＝2.
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
在等腰△BO1A 中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，∠AO1B＝120°，
则＝，
解得O1A＝，同理得O3A＝，
在△O1AO3中，由余弦定理得O1O＝O1A2＋O3A2－2O1A·O3A·cos 120°，
即4＝＋－2··，
即b2＋c2＋bc＝12，即(b＋c)2－bc＝12，
故(b＋c)2－12＝bc≤，
解得b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2 时取等号，故三角形中AB＋AC 的最大值为4.
题型三 与平面向量有关的新定义问题
例3 设O 为坐标原点，定义非零向量OM＝(a，b)的“相伴函数”为f(x)＝asin x
＋bcos x(x∈R)，向量OM＝(a，b)称为函数f(x)＝asin x＋bcos x 的“相伴向量”.
记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设函数h(x)＝2sin－cos，求证：h(x)∈S；
(2)记OM＝(0，2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)＝f(x)＋2|sin x|－1，
x∈[0，2π]与直线y＝k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(3)已知点M(a，b)满足a2－4ab＋3b2<0，向量OM的“相伴函数”f(x)在x＝x0处
取得最大值.当点M 运动时，求tan 2x0的取值范围.
(1)证明 h(x)＝2－＝cos x－sin x，
∴取OM＝满足条件，
∴h(x)∈S.
(2)解 由题知f(x)＝0·sin x＋2·cos x＝2cos x.
g(x)＝2cos x＋2|sin x|－1＝
可求得g(x)在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且g(0)＝1，g＝3，g(π)
＝－3，g＝3，g(2π)＝1，
∵g(x)图象与y＝k 有且仅有四个不同的交点，
∴1≤k<3.
(3)解 f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
tan φ＝，
∵x∈R，
∴当x＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即x0＝－φ＋2kπ 时，f(x)取得最大值.
此时tan 2x0＝tan(π－2φ)＝－tan 2φ
＝－，
令tan φ＝＝m，
则由a2－4ab＋3b2<0 知3m2－4m＋1<0，
解之得<m<1，
tan 2x0＝－＝，
因为y＝m－在m∈上单调递增，
所以tan 2x0＝－＝在m∈上单调递减，
从而tan 2x0∈.
反思感悟 此类问题关键在于理解平面向量与三角函数的内在联系，注意利用三
角函数的知识求解.
训练3 定义函数f(x)＝asin x＋bcos x 的“积向量”为m＝(a，b)，
向量m＝(a，b)的“积函数”为f(x)＝asin x＋bcos x.
(1)若向量m＝(a，b)的“积函数”f(x)满足＝tan，求的值；
(2)已知|m|＝|n|＝2，设OP＝λm＋μn(λ>0，μ>0)，且OP的“积函数”为g(x)，其
最大值为t，求(t－2)(λ＋μ)的最小值，并判断此时m，n 的关系.
解 (1)由题意知向量m＝(a，b)的“积函数”为f(x)＝asin x＋bcos x，
所以＝
＝＝，
令＝tan α，上式化为tan＝tan，
所以α＋＝kπ＋，α＝kπ＋，k∈Z，
即＝tan α＝tan＝.
(2)设m＝(2cos α，2sin α)，n＝(2cos β，2sin β)，
因为OP＝λm＋μn
＝(2(λcos α＋μcos β)，2(λsin α＋μsin β))，
所以g(x)＝2(λcos α＋μcos β)sin x＋2(λsin α＋μsin β)cos x
＝2λ(cos αsin x＋sin αcos x)＋2μ(cos βsin x＋sin βcos x)
＝2λsin(x＋α)＋2μsin(x＋β)，
令h(x)＝2λsin(x＋α)＋2μsin(x＋β)≤2λ＋2μ，
此时存在x0，满足
当且仅当x＝x0时，等号成立，其中k1，k2∈Z，
所以α－β＝2(k1－k2)π，即m＝n，
所以α＝β＋2kπ，k∈Z，
所以h(x)＝2λsin(x＋α)＋2μsin(x＋β)＝2(λ＋μ)sin(x＋α)≤2(λ＋μ)，
所以t＝2(λ＋μ)，
此时(t－2)(λ＋μ)＝＝－，
所以(t－1)(λ＋μ)的最小值为－，此时m＝n.
【精准强化练】
1.(2024·长沙一中适考)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：
“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意
大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得
∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于
或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且cos 2B＋cos 2C－cos
2A＝1.
(1)求A；
(2)若bc＝2，设点P 为△ABC 的费马点，求PA·PB＋PB·PC＋PC·PA.
解 (1)cos 2B＋cos 2C－cos 2A＝1，
即1－2sin2B＋1－2sin2C－1＋2sin2A＝1，
故sin2A＝sin2B＋sin2C，
由正弦定理可得a2＝b2＋c2，
故△ABC 为直角三角形，即A＝.
(2)由(1)A＝，所以三角形ABC 的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
设|PA|＝x，|PB|＝y，|PC|＝z，
由S△APB＋S△BPC＋S△APC＝S△ABC与bc＝1 得xy·＋yz·＋xz·＝bc＝1，
整理得xy＋yz＋xz＝，
则PA·PB＋PB·PC＋PA·PC
＝xy·＋yz·＋xz·
＝－×
＝－.
2.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
当x 取其定义域D 中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数
y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一
个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为
R 的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T 为周期的函数，则称h(x)为
正弦周期函数，且称T 为其正弦周期.
(1)验证g(x)＝x＋cos 是以6π 为周期的正弦周期函数.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周
期函数是否存在最小正周期，并说明理由.
(3)已知存在这样一个函数f(x)，它是定义在R 上严格增函数，值域为R，且f(x)
是以T 为周期的正弦周期函数.若f(0)＝－，f(T)＝，且存在x0∈(0，T)，使得f(x0)
＝，求f(2T)的值.
解 (1)sin[g(x＋6π)]＝sin
＝sin
＝sin
＝sin ＝sin (g(x))，
所以g(x)＝x＋cos 是以6π 为周期的正弦周期函数.
(2)f(x)＝|sin x|－|cos x|，易知π 是它的一个周期，
因为f(x＋π)＝|sin(x＋π)|－|cos(x＋π)|
＝|－sin x|－|－cos x|＝|sin x|－|cos x|＝f(x)，
下面证明π 是f(x)的最小正周期，
x∈时，f(x)＝sin x－cos x 单调递增，
x∈时，f(x)＝sin x＋cos x 单调递减，
又f＝－
＝|cos x|－|sin x|，
f＝－
＝|cos x|－|－sin x|＝|cos x|－|sin x|，
所以f＝f，
即函数图象关于直线x＝对称，
所以当0<T<π 时，T 不可能是函数f(x)的周期，
假设函数有小于π 的正周期，则≤T<π，
取0<a<π－T，x∈(0，a)与x∈(T，T＋a)时，函数单调性相同，但(T，T＋a)⊆，
而f(x)在这两个区间上单调性相反，假设错误.
所以T＝π 是f(x)的最小正周期.
(3)因为sin (f(x))是周期函数，T 是它的一个周期，
sin (f(0))＝sin ＝1，sin (f(T))＝sin ＝1，
又由题意sin (f(x0))＝sin ＝1，0<x0<T，
因为sin f(x0＋T)＝1，sin (f(2T))＝1，f(x)是增函数，
所以f(T)<f(x0＋T)<f(2T)，
又sin t＝1 时，t＝2kπ＋，k∈Z，
f(x0＋T)∈{t|t＝2kπ＋，k∈Z}，
f(2T)∈{t|t＝2kπ＋，k∈Z}，
因为f(x)是严格递增函数，
所以{…，0，x0，T，T＋x0，2T，…}
与是一一对应的，
因此f(x0＋T)＝，f(2T)＝.
