文档内容
拔高点突破 01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：托勒密问题............................................................................................................................3
题型二：与三角有关的新定义函数....................................................................................................5
题型三：n倍角模型与倍角三角形.....................................................................................................7
题型四：双曲正余弦函数....................................................................................................................9
题型五：射影几何问题......................................................................................................................10
题型六：正余弦方差..........................................................................................................................12
题型七：曼哈顿距离和余弦距离......................................................................................................13
题型八：费马问题..............................................................................................................................14
题型九：布洛卡点问题......................................................................................................................15
题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形......................................................................17
03过关测试.........................................................................................................................................20在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的
深入理解以及灵活应用。以下是一些常用的解题方法：
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。
解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题
策略。通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力。
题型一：托勒密问题
【典例1-1】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终
于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如
图，在凸四边形 中，
(1)若 ， ， ， （图1），求线段 长度的最大值；
(2)若 ， ， （图2），求四边形 面积取得最大值时角 的大小，并求出四
边形 面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点 是 外接圆上异于 的点，求 的最大值.
【典例1-2】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图， ， ， ， 四点共圆， 为外接圆直径， ， ， ，求 与 的长
度；
（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四
个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的
面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：（i）见图1，若 ， ， ， ，求线段 长度的最大值；
（ii）见图2，若 ， ， ，求四边形 面积取得最大值时角 的大小，并求
出此时四边形 的面积．
【变式1-1】克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多
发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸
四边形 中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即 ，当
四点共圆时等号成立.已知凸四边形 中， .
(1)当 为等边三角形时，求线段 长度的最大值及取得最大值时 的边长；
(2)当 时，求线段 长度的最大值.
【变式1-2】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且 ，B为半圆上任意一点，以 为
一边作等边 ，设 .(1)当 时，求四边形 的周长；
(2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段 的长取最大值时，求 ；
(3)当 为何值时，四边形 的面积最大，并求此时面积的最大值.
题型二：与三角有关的新定义函数
【典例2-1】对于定义域为R的函数 ，若存在常数 ，使得 是以 为周期的周期函
数，则称 为“正弦周期函数”，且称 为其“正弦周期”.
(1)判断函数 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 是以 为“正弦周期”的“正弦周期
函数”，若 ，且存在 ，使得 ，求 的值；
(3)已知 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 和 ，使得对任意
，都有 ，证明： 是周期函数.
【典例2-2】知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大
小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底
边与腰的比叫做顶角的正对 ．如图，在 中， ．顶角 的正对记作 ，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1) 的值为（ ）
A． B． C． D．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______．
(3)已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【变式2-1】已知函数 ，称向量 为 的特征向量， 为 的特征函数.
(1)设 ，求 的特征向量；
(2)设向量 的特征函数为 ，求当 且 时， 的值；
(3)设向量 的特征函数为 ，记 ，若 在区间 上至少有40个零点，
求 的最小值.
【变式2-2】定义函数 为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：
容易证明 为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：
.可得： 也为函数 的周期.但是
否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究 的单调性：函数 在是严格减函数，在 上严格增函数，再结合 ，可以确定： 的最
小正周期为 .进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数 为“余正弦”函数，根据阅
读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
题型三：n倍角模型与倍角三角形
【典例3-1】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式．对于 ，我
们有
可见 也可以表示成 的三次多项式．
(1)利用上述结论，求 的值；
(2)化简 ；并利用此结果求 的值；
(3)已知方程 在 上有三个根，记为 ，求证： .
【典例3-2】（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三
角形叫做倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且
.(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
【变式3-1】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式，对于 ，我
们有
．
可见 可以表示为 的三次多项式．
(1)对照上述方法，将 可以表示为 的三次多项式；
(2)若 ，解关于x的方程 ．
【变式3-2】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式.对于 ，我们
有
，可见 也可以表示成 的三次多项式.以上推
理过程体现了数学中的逻辑推理和数学运算等核心素养，同时也蕴含了转化和化归思想.
(1)试用以上素养和思想方法将 表示成 的三次多项式；
(2)化简 ，并利用此结果求 的值.
【变式3-3】由倍角公式 ，可知 可以表示为仅含 的二次多项式.（1）类比 公式的推导方法，试用仅含有 的多项式表示 ；
（2）已知 ，试结合第（1）问的结论，求出 的值.
题型四：双曲正余弦函数
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲
余弦函数，记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知
三角函数满足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系：
．定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【典例4-2】在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余
弦函数，其中双曲正弦函数： ，双曲余弦函数： .（e是自然对数的底数，
）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性
微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算 的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ______，并加以证明；(3)若对任意 ，关于 的方程 有解，求实数 的取值范围.
【变式4-1】（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，
莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数
，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种
性质：①平方关系： ；②两角和公式： ，③导数：
定义双曲正弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
(3)无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
题型五：射影几何问题
【典例5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 ．对于四个有序点 ，定义比值
叫做这四个有序点的交比，记作 ．(1)证明： ；
(2)已知 ，点 为线段 的中点， ，求 ．
【典例5-2】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，定义比值
叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)若点 分别是线段 的中点，求 ；
(2)证明： ；
(3)已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 .
【变式5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从 点出发，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，若
， ，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)当 时，称 为调和点列，若 ，求 的值；(2) 证明： ；
①
②已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 ， .
题型六：正余弦方差
【典例6-1】定义: 为实数 对 的“正弦方
差”.
(1)若 ，则实数 对 的“正弦方差” 的值是否是与 无关的定值，并证明你
的结论
(2)若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关的
定值，求 值.
【典例6-2】对于集合 和常数 ，定义：
为集合A相对的 的“余弦方差”.
(1)若集合 ，求集合A相对 的“余弦方差”；
(2)若集合 ，是否存在 ，使得相对任何常数 的“余弦方差”是一个
与 无关的定值？若存在，求出 的值：若不存在，则说明理由.题型七：曼哈顿距离和余弦距离
【典例7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人
脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间
的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点
， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
【典例7-2】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别
人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有
曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点 、 ，则其曼哈顿距离为
，余弦相似度为 ，余弦距离：
.
(1)若 、 ，求 、 之间的余弦距离；
(2)已知 ， 、 , ，若
, ，求 、 之间的曼哈顿距离.
【变式7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人
脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间
的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
(3)已知 ， 、 ， ，若
， ，求 、 之间的曼哈顿距离.
题型八：费马问题
【典例8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角
形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个
内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 ， ， 分别是
三个内角 ， ， 的对边
(1)若 ，
①求 ；
②若 ，设点 为 的费马点，求 的值；
(2)若 ，设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值．
【典例8-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角
形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点O即为费马点；当 有一个
内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 ，
， 所对的边分别为 ， ， ，且设点 为 的费马点．
(1)若 ， ．
①求角 ；
②求 ．
(2)若 ， ，求实数 的最小值．
【变式8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形
内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大
于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 分别是 三个内
角 的对边，点 为 的费马点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求实数 的最小值.
题型九：布洛卡点问题
【典例9-1】三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当 内一点 满足条件
时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角．如图，在 中，角 ，
， 所对边长分别为 ， ， ，记 的面积为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为(1)若 ．求证：
① ；
② 为等边三角形．
(2)若 ，求证： ．
【典例9-2】三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未
被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当
内一点 满足条件 时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角．
如图，在 中，角 所对边长分别为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ．
(1)若 ．求证：
① （ 为 的面积）；
② 为等边三角形．
(2)若 ，求证： ．
【变式9-1】若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点， 为
的布洛卡角．如图，已知 中， ，点 为 的布洛卡点， 为的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，
①求 的大小；
②若 ，求布洛卡角 的正切值；
(2)若 平分 ，试问是否存在常实数 ，使得 ，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形
【典例10-1】勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形
ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛
三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆
心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是
勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．
(1)求勒洛五边形ABCDE的周长 ；
(2)设正五边形ABCDE外接圆周长为 ，试比较 与 大小，并说明理由．（注： ）【典例10-2】数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画
法：先画等边三角形 ，再分别以点 为圆心，线段 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图
所示，已知 ，点 分别在弧 ，弧 上，且 .
(1)若 时，求 的值.
(2)若 时，求 的值.
【变式10-1】（2024·高三·江苏镇江·期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人
以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ，再分别以点 ， ， 为圆心，线段 长为半
径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知 ， 为 中点，点 ， 分别在弧 ，弧 上，
设 .
(1)当 时，求 ；
(2)求 的取值范围.【变式10-2】（2024·高三·江苏南京·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以
任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的
顶点”．如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．以
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的面积．
【变式10-3】法国著名军事家拿破仑・波拿巴提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构
造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在非直角
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．分别
以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， ．
(1)求 ；(2)若 ， 的面积分别为 ， ，且 ，求 的面积．
1．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了
制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆 的直径为2cm， 为直径延长线上的点， 2 cm， 为半圆
上任意一点，且三角形 为正三角形.
(1)当 时，求四边形 的周长；
(2)当 在什么位置时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若 与 相交于点 ，则当线段 的长取最大值时，求 的值.
2．由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝
cos(2x＋x)
＝cos2xcosx－sin2xsinx
＝(2cos2x－1)cosx－2(sinxcosx)sinx
＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx
＝4cos3x－3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P(t)，使得cosnx＝P(cosx)，这
n n些多项式P(t)称为切比雪夫多项式．
n
(1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(2)请求出P(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
4
(3)利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值．
3．（2024·高三·上海杨浦·期中）若实数 ， ，且满足 ，则称x､y是“余
弦相关”的.
(1)若 ，求出所有与之“余弦相关”的实数 ；
(2)若实数x､y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x､y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x､z为“余弦相关”的，y､z也为
“余弦相关”的.
4．已知正弦三倍角公式： ①
（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用 表示 ）；
（2）若角 满足 ，求 的值.
5．定义 三边长分别为 ， ， ，则称三元无序数组 为三角形数．记 为三角形数的全集，
即 ．
(1)证明：“ ”是“ ”的充分不必要条件；
(2)若锐角 内接于圆O，且 ，设 ．
①若 ，求 ；
②证明： ．6．已知函数 ， .
(1)求 ， 的值并直接写出 的最小正周期；
(2)求 的最大值并写出取得最大值时x的集合；
(3)定义 ， ，求函数 的最小值.
7．在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：
定义 为角 的正矢（ 或 ），记作 ；定义 为角 的余矢
（Coversed或coversedsine），记作 ．
(1)设函数 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时，设函数 ，若关于 的方程 的有三个实
根 ，则：
①求实数 的取值范围；
②求 的取值范围．
8．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数 ，同时满足：① ；②
；③ 三个条件．
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若 ．比较 与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式9．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方
程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可以定义双曲
正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
10．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或
者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似
度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点 ，
，曼哈顿距离 .
余弦相似度： .
余弦距离： .
(1)若 ， ，求A，B之间的 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值.11．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个
角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当
三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.
试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
12．（2024·湖南长沙·一模）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内
求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的
三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于
或等于 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 .
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角
形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如
图，在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 .以 为边向
△
外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 .(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
14．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个
等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 中，内角 ，
， 的对边分别为 ， ， ，已知 .以 ， ， 为边向外作三
个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
15．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三
角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若 ．(1)求角A的大小；
(2)分别以 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 构成平面区域D，求平面区域D的“直
径”的取值范围．
