文档内容
拔高点突破 01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：托勒密问题............................................................................................................................3
题型二：与三角有关的新定义函数....................................................................................................8
题型三：n倍角模型与倍角三角形...................................................................................................13
题型四：双曲正余弦函数..................................................................................................................18
题型五：射影几何问题......................................................................................................................23
题型六：正余弦方差..........................................................................................................................29
题型七：曼哈顿距离和余弦距离......................................................................................................32
题型八：费马问题..............................................................................................................................36
题型九：布洛卡点问题......................................................................................................................42
题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形......................................................................47
03过关测试.........................................................................................................................................54在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的
深入理解以及灵活应用。以下是一些常用的解题方法：
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。
解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题
策略。通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力。
题型一：托勒密问题
【典例1-1】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终
于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如
图，在凸四边形 中，
(1)若 ， ， ， （图1），求线段 长度的最大值；
(2)若 ， ， （图2），求四边形 面积取得最大值时角 的大小，并求出四
边形 面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点 是 外接圆上异于 的点，求 的最大值.
【解析】（1）由 ， ， ， ，可得 ，
由题意可得 ，
即 ，
即 ，当且仅当 四点共圆时等号成立
即 的最大值为 ；
（2）如图2，连接 ，因为四点共圆时四边形的面积最大， ， ， ，
所以 ，即 ， ，
在 中， ，①
在 中，由余弦定理可得 ，②
由①②可得 ，
解得 ，而 ，可得 ，
所以 ，
此时 ．
所以 时，四边形 面积取得最大值，且最大值为 ．（3）由题意可知所以 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ,
故 ,
故 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
故 最大值为
【典例1-2】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图， ， ， ， 四点共圆， 为外接圆直径， ， ， ，求 与 的长
度；
（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四
个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的
面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：（i）见图1，若 ， ， ， ，求线段 长度的最大值；
（ii）见图2，若 ， ， ，求四边形 面积取得最大值时角 的大小，并求
出此时四边形 的面积．
【解析】（1）因为 为外接圆直径， ， ， ，
由同弧所对的圆周角相等，可得 ， ，
，所以 ，
而 ，
所以 ，
，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ；
即 ， ；
（2）（i）设 ，则 ，
由材料可知， ，
即 ，
解得 ，
所以线段 长度的最大值为 ．
（ii）由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形 的面积达到最大．
连接 ，在 中，由余弦定理得：
，①
在 中，由余弦定理得：
，②因为 A、B、C、 四点共圆，所以 ，从而 ，③
由①②③，解得 ，
因为 ，所以 ．
从而 ，
，
所以 ．
【变式1-1】克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多
发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸
四边形 中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即 ，当
四点共圆时等号成立.已知凸四边形 中， .
(1)当 为等边三角形时，求线段 长度的最大值及取得最大值时 的边长；
(2)当 时，求线段 长度的最大值.
【解析】（1）设 ，因为 ，所以 ，
所以 ，当 四点共圆时等号成立，因为 ， ，
在 中， ，
所以 ，所以 的边长为 ；
（2）设 ，在 中，
因为 ，
所以 ，所以 ，因为 .所以 ，
当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，故 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 .
【变式1-2】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且 ，B为半圆上任意一点，以 为
一边作等边 ，设 .
(1)当 时，求四边形 的周长；
(2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段 的长取最大值时，求 ；
(3)当 为何值时，四边形 的面积最大，并求此时面积的最大值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，即
，
于是四边形 的周长为 ；
（2）因为 ，且 为等边三角形， ， ，
所以 ，
所以 ，
即 的最大值为3，取等号时 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，所以 ，
所以 ；
（3）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，于是四边形 的面积为：
，
当 ，即 时，四边形 的面积取得最大值为 ．
所以，当 满足 时，四边形 的面积最大，最大值为 ．
题型二：与三角有关的新定义函数
【典例2-1】对于定义域为R的函数 ，若存在常数 ，使得 是以 为周期的周期函
数，则称 为“正弦周期函数”，且称 为其“正弦周期”.
(1)判断函数 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 是以 为“正弦周期”的“正弦周期
函数”，若 ，且存在 ，使得 ，求 的值；
(3)已知 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 和 ，使得对任意
，都有 ，证明： 是周期函数.
【解析】（1） ，则 ，
故 ，
所以 是正弦周期函数.
（2）存在 ，使得 ，故 ，
因为 是以 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以 ，又 ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，
故 ， ，
因为 ，所以 ，且 严格增，
由于 ， ，
故 ，解得 ，
则整数 ，
下证 .
若不然， ，则 ，由 的值域为R知，
存在 ， ，使得 ， ，
则 ，
，
由 严格单调递增可知 ，
又 ，
故 ，这与 矛盾.
故 ，综上所述， ；
（3）法1：若 ，则由 可知 为周期函数.
若 ，则对任意 ，存在正整数 ，使得 且 .
因为 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且 ，
所以 ，
故 ，所以 ，
若 ，则同理可证（取 为负整数即可）.
综上，得证.法2：假设 不是周期函数，则 与 均不恒成立.
显然 .
因为 不恒成立，所以存在 ，使得 ，
因为 ，所以存在 ，使得 且 ，
其中若 ，取 为负整数；若 ，取 为正整数.
因为 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且 ，
由正弦周期性得 ，
即 ，
所以 ，矛盾，假设不成立，
综上， 是周期函数.
【典例2-2】知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大
小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底
边与腰的比叫做顶角的正对 ．如图，在 中， ．顶角 的正对记作 ，这时
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1) 的值为（ ）
A． B． C． D．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______．
(3)已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【解析】（1）在等腰 中， ， ，则 为等边三角形，
所以， ，
故选：B.
（2）在等腰 中， ，取 的中点 ，连接 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 .
故答案为： .
（3） ，则 ，所以， ，
所以， ，因此， .
【变式2-1】已知函数 ，称向量 为 的特征向量， 为 的特征函数.
(1)设 ，求 的特征向量；
(2)设向量 的特征函数为 ，求当 且 时， 的值；
(3)设向量 的特征函数为 ，记 ，若 在区间 上至少有40个零点，
求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，
所以函数 的特征向量 ；
（2）因为向量 的特征函数为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）因为向量 的特征函数为 ，
所以 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 或 ，
则 或 ，
由 在区间 上至少有40个零点，
不妨设 ，
则 ，
则 ，
所以 的最小值为 .
【变式2-2】定义函数 为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：
容易证明 为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：
.可得： 也为函数 的周期.但是
否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究 的单调性：函数 在
是严格减函数，在 上严格增函数，再结合 ，可以确定： 的最
小正周期为 .进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数 为“余正弦”函数，根据阅
读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
【解析】（1） 的定义域为 .（2）对于函数 ，
，所以 是偶函数.
（3） ，
在区间 上递减， 在区间 上递增，所以 在 上递减.
在区间 上递增， 在区间 上递增，所以 在 上递增.
所以 的最小正周期为 ，
在 上是严格减函数，在 上是严格增函数.
结合 的单调性可知， 的值域为 .
题型三：n倍角模型与倍角三角形
【典例3-1】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式．对于 ，我
们有
可见 也可以表示成 的三次多项式．
(1)利用上述结论，求 的值；
(2)化简 ；并利用此结果求 的值；
(3)已知方程 在 上有三个根，记为 ，求证： .
【解析】（1） ，所以 ，
因为 ，
因为 ， ，
即 ，
因为 ，解得 （ 舍）.
（2），
故
；
（3）证明：因为 ，故可令 ，
故由 可得： ．
由题意得： ，因 ，故 ，
故 ，或 ，或 ，
即方程（*）的三个根分别为 ， ， ，
又 ，故 ，
于是，
.
【典例3-2】（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三
角形叫做倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且
.(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
【解析】（1）因为 ，
又 ,所以 ，
则 ，
又由余弦定理知， ，
故可得 ，
由正弦定理， ,
又 ,
代入上式可得 ,
即 ，
，
则有 ,
故 是倍角三角形.
（2）因为 ，所以 ,
故 ，则 ，又 ，
又 ，则 ,
则
,设 ， ，
则
令 得 或者 （舍），
且当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
在 上单调递减，
故当 时， 取最大值，
此时 也取最大值，
故 为所求.
【变式3-1】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式，对于 ，我
们有
．
可见 可以表示为 的三次多项式．
(1)对照上述方法，将 可以表示为 的三次多项式；
(2)若 ，解关于x的方程 ．
【解析】（1）
；（2）由 ，可得 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
整理可得 ，
解得 或 （舍去），
.
∴
【变式3-2】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式.对于 ，我们
有
，可见 也可以表示成 的三次多项式.以上推
理过程体现了数学中的逻辑推理和数学运算等核心素养，同时也蕴含了转化和化归思想.
(1)试用以上素养和思想方法将 表示成 的三次多项式；
(2)化简 ，并利用此结果求 的值.
【解析】（1）
（2）
从而 ，
故
【变式3-3】由倍角公式 ，可知 可以表示为仅含 的二次多项式.
（1）类比 公式的推导方法，试用仅含有 的多项式表示 ；
（2）已知 ，试结合第（1）问的结论，求出 的值.
【解析】（1） ，利用两角和的余弦公式及二倍角的余弦公式可得结果；（2）利用（1）的结论，结合诱导公式与平方关系可得结果.
试题解析：（1）
.
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
题型四：双曲正余弦函数
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲
余弦函数，记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知
三角函数满足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系：
．定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①导数： ， ，证明如下：
，
②二倍角公式： ，证明如下：；
③平方关系： ，证明如下：
；
（2）令 ， ， ，
①当 时，由 ，
又因为 ，所以 ，等号不成立，
所以 ，即 为增函数，
此时 ，对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ， ，则 ，可知 是增函数，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
所以当 时， ，则 在 上为减函数，
所以对任意 ， ，不合题意；
综上知，实数 的取值范围是 ；
（3）方法一、由 ，函数 的值域为 ，
对于任意大于1的实数 ，存在不为0的实数 ，使得 ，
类比双曲余弦函数的二倍角公式 ，
由 ， ， ，
猜想： ，
由数学归纳法证明如下：①当 时， 成立；
②假设当 为正整数）时，猜想成立，即 ，则
，符合上式，
综上知， ；
若 ，
设 ，则 ，解得： 或 ，即 ，所以 ，即 ．
综上知，存在实数 ，使得 成立．
方法二、构造数列 ，且 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 是以2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，解得 或 ，
所以 ，
综上知，存在实数 ，使得 成立．
【典例4-2】在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余
弦函数，其中双曲正弦函数： ，双曲余弦函数： .（e是自然对数的底数，
）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性
微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算 的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ______，并加以证明；
(3)若对任意 ，关于 的方程 有解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由已知可得， ， ，
所以 ，
所以 .
（2） ，证明如下：
左边 ，右边
.
所以，左边=右边，
所以 .
（3）原题可转化为方程 有解，即 有解.
令 ， ， ，
因为 在 上单调递增， ， ，
所以 .
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，即 .
【变式4-1】（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，
莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数
，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种
性质：①平方关系： ；②两角和公式： ，③导数：
定义双曲正弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
(3)无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
【解析】（1）平方关系： ；
和角公式： ；导数： ．
理由如下：平方关系，
；
和角公式： ，
故 ；
导数： ， ；
（2）构造函数 ， ，
由（1）可知 ，
①当 时，由 ，
又因为 ，故 ，等号不成立，
所以 ，故 为严格增函数，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ，
则 ，可知 是严格增函数，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 上为严格减函数，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数 的取值范围为 ．
（3）当 时，存在 ，使得 ，
由数学归纳法证明： ，证明如下：①当 时， 成立，
②假设当 （ 为正整数）时， ，
则 成立.
综上： .
所以 ，有 ，即 .
当 时， ，
而函数 的值域为 ，
则对于任意大于1的实数 ，存在不为0的实数 ，使得 ，
类比余弦二倍角公式，猜测 .
证明如下：
类比 时的数学归纳法，设 ，
易证 ， ， ， ， ，
所以若 ，
设 ，则 ，解得： 或 ，即 ，
所以 ，于是 .
综上：存在实数 使得 成立.
题型五：射影几何问题
【典例5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 ．对于四个有序点 ，定义比值
叫做这四个有序点的交比，记作 ．(1)证明： ；
(2)已知 ，点 为线段 的中点， ，求 ．
【解析】（1）在 、 、 、 中，
，
所以 ，
又在 、 、 、 中，
，
所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，
所以 .
（2）由题意可得 ，所以 ，即 ，所以 ，又点 为线段 的中点，即 ，
所以 ，又 ，则 ， ，
设 ， 且 ，
由 ，所以 ，
即 ，解得 ①，
在 中，由正弦定理可得 ②，
在 中，由正弦定理可得 ③，
且 ，
② ③得 ，即 ④
由①④解得 ， （负值舍去），即 ，
所以 .
【典例5-2】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，定义比值
叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)若点 分别是线段 的中点，求 ；
(2)证明： ；
(3)已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 .
【解析】（1）由已知 ， ，所以 .（2）在 ， ， ， 中，
，同理 ，
所以 ，
又在 ， ， ， 中，
，同理 ，
所以 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，所以 .
（3）方法一：
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
又点B为线段AD的中点，即 ，所以 ，
又 ，所以 ， ， ，
又已知 ，所以 .
设 ， ，由 ，得 ，
即 ，解得 ，…①
在 中，由正弦定理可得 ，得 ，…②
在 中，由正弦定理可得 ，得 ，…③
又 ，
得 ，即 ，…④
由①④解得 ， （负值舍去），即 ， ，所以 .
方法二：
因为 ，所以 ，设 ，则 ，
又B为线段AD的中点，所以 ，
又已知 ， ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，设 ，则 ，
由 ， 互补得
，即 ，
解得 ，所以 ， ，
所以 .
【变式5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从 点出发，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，若
， ，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)当 时，称 为调和点列，若 ，求 的值；
(2) 证明： ；
①
②已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 ， .【解析】（1）由 知： 两点分属线段 内外分点，
不妨设 ， ，
则 ， ，
由 知： ， ，
，即 .
（2）①在 中，
，
，
则
在 中，
，
，
则 ，
又 ，
，
即 ；
② ， ，即 ，又点 为线段 的中点，即 ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，且 ，
由 可知： ，
即 ，整理可得： ；
在 中，由正弦定理得： ，
在 中，由正弦定理得， ，
且 ，
则 ，即 ，
由 得： 或 （舍），即 ， .
题型六：正余弦方差
【典例6-1】定义: 为实数 对 的“正弦方
差”.
(1)若 ，则实数 对 的“正弦方差” 的值是否是与 无关的定值，并证明你
的结论
(2)若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关的
定值，求 值.
【解析】（1）“正弦方差” 的值是与 无关的定值 ；
证明：若 ，
则.
（2）若 ，
根据题意，
因为 的值是与 无关的定值，故可得 ，
因为 ，故 ，
由 可知， 或 ，即 或 ，
若 ，则 ， ，故舍去；
对 ， 两边平方后相加可得：
，即 ；
因为 ，故 或 或 ，
即 或 或 ；综上所述，当 ，解得 ，不满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
故 或 .
【典例6-2】对于集合 和常数 ，定义：
为集合A相对的 的“余弦方差”.
(1)若集合 ，求集合A相对 的“余弦方差”；
(2)若集合 ，是否存在 ，使得相对任何常数 的“余弦方差”是一个
与 无关的定值？若存在，求出 的值：若不存在，则说明理由.
【解析】（1）因为集合 ，
所以 .
（2）假设存在 ，使得相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值.
由“余弦方差”的定义得：.
要使 是一个 与无关的定值，应有 成立，
则 ，
即 ，
整理可得 .
又因为 ，
则 ， ， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以， ，
即 ，
整理可得 ， .
又因为 ，所以 ， ，
所以，假设成立，当 时，相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值，定值
为 .
题型七：曼哈顿距离和余弦距离
【典例7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人
脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间
的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点
， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
【解析】（1） ，
，故余弦距离等于 ；
（2）
；
故 ， ，则 .
【典例7-2】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别
人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有
曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点 、 ，则其曼哈顿距离为
，余弦相似度为 ，余弦距离：
.
(1)若 、 ，求 、 之间的余弦距离；
(2)已知 ， 、 , ，若
, ，求 、 之间的曼哈顿距离.
【解析】（1）因为 、 ，所以 ，
所以 、 间的余弦距离为 .（2）因为 ， ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，则 ，
所以 .
因为 ，
，所以 .
因为 ，
，
所以 .
因为 ，
所以 、 之间的曼哈顿距离是 .
【变式7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人
脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间
的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点
， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求的值
(3)已知 ， 、 ， ，若
， ，求 、 之间的曼哈顿距离.
【解析】（1） ，
，故余弦距离等于 ；
（2）
；
故 ， ，则 .
（3）因为 ， ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，则 ，
所以 .
因为 ，
，所以 .因为 ，
，
所以 .
因为 ，
所以 、 之间的曼哈顿距离是 .
题型八：费马问题
【典例8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角
形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个
内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 ， ， 分别是
三个内角 ， ， 的对边
(1)若 ，
①求 ；
②若 ，设点 为 的费马点，求 的值；
(2)若 ，设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值．
【解析】（1）①因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
②由三角形内角和性质可知， 的三个内角均小于 ，结合题设易知 点一定在 的内部．由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，解得 ．
所以
，
所以 ，
所以
．
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ，
即 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，则 ，所以 ，
点 为 的费马点，则 ，
设 ， ， ， ，
则由 得 ；
由余弦定理得 ，
，，
故由 得 ，
即 ，而 ，故 ，
当且仅当 ，结合 ，解得 时，等号成立，
又 ，即有 ，解得 或 （舍去），
故实数 的最小值为 ．
【典例8-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角
形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于 时，使得 的点O即为费马点；当 有一个
内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 ，
， 所对的边分别为 ， ， ，且设点 为 的费马点．
(1)若 ， ．
①求角 ；
②求 ．
(2)若 ， ，求实数 的最小值．
【解析】（1）①因为
，
，
又 ，
所以 ，
即 ．因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
②由三角形内角和性质可知， 的三个内角均小于 ，结合题设易知 点一定在 的内部．
由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，解得 ．
所以
，
所以 ，
所以
．
（2）由已知 中 ，
即 ，
故 ，由正弦定理可得 ，
故 直角三角形，即 ，
点 为 的费马点，则 ，
设 ， ， ， ，
则由 得 ；
由余弦定理得 ，
，，
故由 得 ，
即 ，而 ，故 ，
当且仅当 ，结合 ，解得 时，等号成立，
又 ，即有 ，解得 或 （舍去），
故实数 的最小值为 ．
【变式8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形
内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大
于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 分别是 三个内
角 的对边，点 为 的费马点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求实数 的最小值.
【解析】（1）由已知可得 ，
即 ，
所以 ，整理得 ，
所以由正弦定理可得 ，
所以 .（2）由（1）可得 ，所以 三个内角 都小于 ，
则由费马点的定义可知 ，
设 ， ， ，
由 得 ，
整理得 ，
所以 .
（3）由费马点的定义可知 ，
设 ， ， , ，
则由 得 ，
由余弦定理可得 ，
，
，
所以由 得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 结合 解得 时等号成立，
又 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 的最小值为 .题型九：布洛卡点问题
【典例9-1】三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当 内一点 满足条件
时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角．如图，在 中，角 ，
， 所对边长分别为 ， ， ，记 的面积为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为
(1)若 ．求证：
① ；
② 为等边三角形．
(2)若 ，求证： ．
【解析】（1）①若 ，
则
,
所以 ，
在 中，
分别由余弦定理得： ，
， ，
三式相加整理得 ，
即 ；
②由余弦定理可得 ，
则
，
当且仅当 且 时取等号，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即当且仅当 且 时取等号，
即当且仅当 为等边三角形时取等号，
所以 ，当且仅当 为等边三角形时取等号，
又由①知 ，
所以 为等边三角形.
（2）由（1）得 ，
所以 ,
由 ，
所以 ，
又由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由正弦定理可得
【典例9-2】三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未
被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当
内一点 满足条件 时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角．
如图，在 中，角 所对边长分别为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ．
(1)若 ．求证：
① （ 为 的面积）；
② 为等边三角形．
(2)若 ，求证： ．【解析】（1）①若 ，
则
，
所以 ，
在 中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得 ，
即 ，
所以 ；
②由余弦定理可得 ，
则
，
当且仅当 且 时取等号，
有 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即当且仅当 且 时取等号，
即当且仅当 为等边三角形时取等号，
所以 ，当且仅当 为等边三角形时取等号，
又由①知 ，
所以 为等边三角形；
（2）由（1）得 ，
所以
，所以 ，
又由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由正弦定理可得 ．
【变式9-1】若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点， 为
的布洛卡角．如图，已知 中， ，点 为 的布洛卡点， 为
的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，
①求 的大小；
②若 ，求布洛卡角 的正切值；
(2)若 平分 ，试问是否存在常实数 ，使得 ，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，
在 与 中， ， ，
所以 与 相似，则 ，即 ，
所以 ；
在 中， ，
因为 ，
所以
②在 中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，，
同理可得： ，
三式相加可得： 。
在 内，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
在 ， 内，同理可得：
， ，
三式相等： ，
因为点 在 内，则
由等比性质的： ，
所以： ，
由①知， ， ，
所以 ，
则
（2）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 ， ， 中，
分别由余弦定理可得： ，
，
，三式相加整理得： ，即 ，
因为 平分 ，则 ， ，
所以 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，
即 ，则 ，
所以若 平分 ，试问是否存在常实数 ，使得
题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形
【典例10-1】勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形
ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛
三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆
心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是
勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．
(1)求勒洛五边形ABCDE的周长 ；
(2)设正五边形ABCDE外接圆周长为 ，试比较 与 大小，并说明理由．（注： ）
【解析】（1）依题意，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1，
所以 ， ,
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
由正弦定理得： ，所以
，
所以劣弧 ，
所以勒洛五边形ABCDE的周长： .
（2） ，理由如下：
如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆，
由（1）知，易得 ，
所以由圆心角与圆周角的关系得： ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
即 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以正五边形ABCDE外接圆周长为：
，
因为 ，
所以 ，所以 .
【典例10-2】数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画
法：先画等边三角形 ，再分别以点 为圆心，线段 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图
所示，已知 ，点 分别在弧 ，弧 上，且 .
(1)若 时，求 的值.
(2)若 时，求 的值.
【解析】（1）（1）线段 长为半径画圆弧，可得 ,
；
由向量的数量积可得
（2）以点 为原心， 所在直线为 轴建立直角坐标系
则
所以.
【变式10-1】（2024·高三·江苏镇江·期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人
以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ，再分别以点 ， ， 为圆心，线段 长为半
径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知 ， 为 中点，点 ， 分别在弧 ，弧 上，
设 .
(1)当 时，求 ；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）当 时，设 与 的交点为 ，连接 ，则： ， ，
，
故 ，
即 .
（2）
， ，
，故 ，
则 .
即 的取值范围是 .
【变式10-2】（2024·高三·江苏南京·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以
任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的
顶点”．如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．以
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的面积．
【解析】（1）∵ ，∴ ，故 ，
所以 ，可得 或 （舍），
由 ，所以 .
（2）如图，连接 ，
由正弦定理得 ， ，则 ，
正 面积 ，
而 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
则 ， ，
所以 的面积为 .
【变式10-3】法国著名军事家拿破仑・波拿巴提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构
造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在非直角
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．分别
以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， ．(1)求 ；
(2)若 ， 的面积分别为 ， ，且 ，求 的面积．
【解析】（1） ，
由正弦定理有： ，
， ，即 ．
又 不是直角三角形， ，则 ．
， ，
， 且 ，则 ；
（2）因为 ， 的面积分别为 ， ，所以 ，
由余弦定理可得 ，即 ，解得 ．
连接 ， ，由几何性质知 ，且 ，
从而有 ，
故 的面积为 ．1．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了
制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆 的直径为2cm， 为直径延长线上的点， 2 cm， 为半圆
上任意一点，且三角形 为正三角形.
(1)当 时，求四边形 的周长；
(2)当 在什么位置时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若 与 相交于点 ，则当线段 的长取最大值时，求 的值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，
所以四边形 的周长为 .
（2）设 ，在 中， ，
四边形 的面积为
，
当 即 时，四边形 的面积取到最大值为 .
（3） ，且 为正三角形， ， ，
，即 的最大值为 ，取等号时， ，
.
不妨设 ，则 ，得 ，即 ，故 ，
在 中，由余弦定理得 ，故 为 的角平分线，由角平分线性质可得， ，故 ， .
四点共圆，
由相交弦定理 ，得 或 （舍去）.
在 中， ，
.
2．由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝
cos(2x＋x)
＝cos2xcosx－sin2xsinx
＝(2cos2x－1)cosx－2(sinxcosx)sinx
＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx
＝4cos3x－3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P(t)，使得cosnx＝P(cosx)，这
n n
些多项式P(t)称为切比雪夫多项式．
n
(1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(2)请求出P(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
4
(3)利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值．
【解析】（1）
（2）
（3）
（小于-1的值舍去）.
3．（2024·高三·上海杨浦·期中）若实数 ， ，且满足 ，则称x､y是“余
弦相关”的.
(1)若 ，求出所有与之“余弦相关”的实数 ；
(2)若实数x､y是“余弦相关”的，求x的取值范围；(3)若不相等的两个实数x､y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x､z为“余弦相关”的，y､z也为
“余弦相关”的.
【解析】（1） 代入得， ， ，
，又 ， 或
（2）由 得
，
，
，
故 ，
， ，
（3）证明：先证明 ，
反证法，假设 ，
则由余弦函数的单调性可知 ，
， ，
同理 ，相加得 ，与假设矛盾，故 .
，且
故 也是余弦
相关的，
，即 .
记 则 .
,
，故x､z为“余弦相关”的；
同理y､z也为“余弦相关”的
4．已知正弦三倍角公式： ①（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用 表示 ）；
（2）若角 满足 ，求 的值.
【解析】（1）
（2） ， ，
解得： ，即
5．定义 三边长分别为 ， ， ，则称三元无序数组 为三角形数．记 为三角形数的全集，
即 ．
(1)证明：“ ”是“ ”的充分不必要条件；
(2)若锐角 内接于圆O，且 ，设 ．
①若 ，求 ；
②证明： ．
【解析】（1） ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
同理可得 ， ，
则 成立，
取 ，则 为等腰直角三角形的三边，
但 ， ， 不能为三角形的三边，
故 推不出 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
（2）① ，则 ，
∴ ，又因为 ，∴ ，
而 均为三角形内角，∴ ，
记 ，
∴ ；
②由 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ， ，
x，y，z可组成三角形，∴ .
∴6．已知函数 ， .
(1)求 ， 的值并直接写出 的最小正周期；
(2)求 的最大值并写出取得最大值时x的集合；
(3)定义 ， ，求函数 的最小值.
【解析】（1） ，
又 ，而 的最小正周期为 ，
故 的最小正周期为 .
（2）因为 ，故 ，
故 ，此时 即 即 .对应的 的集合为 ；
（3）由（2）可知， ， ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
综上， ，故 .
7．在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：
定义 为角 的正矢（ 或 ），记作 ；定义 为角 的余矢
（Coversed或coversedsine），记作 ．
(1)设函数 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时，设函数 ，若关于 的方程 的有三个实
根 ，则：
①求实数 的取值范围；
②求 的取值范围．
【解析】（1）因为
，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）①因为，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 ，
当 时 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 ，则 ，则 在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
且 ， ， ， ， 的图象如下所示：
因为 有三个实数根，即 与 有三个交点，所以 ；
②由①可知 ， ，则 ，
所以 ， ，所以
，
令 ，则 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，当 时 ，
当 时 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .
8．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数 ，同时满足：① ；②
；③ 三个条件．
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若 ．比较 与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式
【解析】（1）由条件②可得 ；
由条件③可得 ．（2）由条件②）可得：
，
，
，
将上述 个等式相加，得 ；
由条件③可得：
，
，
将上述 个等式相加，得 ．
（3）由（2） ，所以 ，
则 ，
则
，
当且仅当 时， ，上式取得等号，
即 时，均有 ，
所以，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以 ．
9．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方
程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可以定义双曲
正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
【解析】（1） .
（2）依题意， ，不等式 ，
函数 在 上单调递增， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，于是 ， ，
因此 ， ，显然函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3） ， .
依题意， ，
，
当 时， ， ，即 ，
于是 ，而 ，因此 ，
当 时， ，则 ， ，
即 ，而 ，因此 ，
于是 ， ，所以 .
10．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或
者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似
度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点 ，
，曼哈顿距离 .余弦相似度： .
余弦距离： .
(1)若 ， ，求A，B之间的 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值.
【解析】（1） ，
，所以余弦距等于 ；
（2）由 得
,
同理：由 得 ，
故 ，
即 ，
则 .
11．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个
角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当
三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.
试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
【解析】（1） ，
，，
由正弦定理可得 ，
直角三角形，且 ；
（2）由（1）可得 ， 三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知： ，
设 ，
由 ，
得 ，
整理得 ，
；
（3） 点 为 的费马点，
，
设 ， ， ， ， ， ，
， ，
由余弦定理得 ，
，
，
故由 ，
得 ，
，而 ， ，
，当且仅当 时，又 ，
即 时，等号成立，
又 ， ，
解得 或 舍去），
故实数 的最小值为 ．12．（2024·湖南长沙·一模）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内
求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的
三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于
或等于 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 .
【解析】（1）由已知 中 ，
即 ，
故 ，由正弦定理可得 ，
故 直角三角形，即 .
（2）由（1） ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知： ，
设 ， ， ，由
得： ，整理得 ，
则
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角
形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如
图，在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 .以 为边向
△
外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 .(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【解析】（1） ，则 ，
故 ，所以 ，
可得 （负值舍），由 ，所以 .
（2）如图，连接 ，由正弦定理得 ， ,则 ，
正 面积 ，
而 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
则 ，
，所以 的周长为
14．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个
等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 中，内角 ，， 的对边分别为 ， ， ，已知 .以 ， ， 为边向外作三
个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解析】（1）由 ，
得 ，
即 ，
即
即 ，∵ ，∴ ，
由正弦定理得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
（2）如图，连接 ､ ，则 ， ，正 面积 ，∴ ，
而 ，则 ，
∴ 中，由余弦定理得： ，
有 ，则 ，
在 中， ， ，由余弦定理得 ，则 ，
∴ ， ，∴ ，所以 的周长为 .
15．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三
角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角A的大小；
(2)分别以 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 构成平面区域D，求平面区域D的“直
径”的取值范围．
【解析】（1）在锐角 中，由 ，得 ，由正弦定理得， ，即 ，
又 ，
从而 ，而 ，则 ，又 ，
所以 ．
（2）如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为 、 上任意一点， ，
，
即PQ的长小于等于 周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于 周长的一半，因此区域D的“直径”为 的周长l
的一半，
由正弦定理得： ， ， ，
则 ，
由 为锐角三角形，得 ，即 ，
则 ， ，于是 ，
所以平面区域D的“直径”的取值范围是 .
