1
专题突破练2 三角函数的图象与性质
必备知识夯实练
1.(2024 北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=π
2
,则ω=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2025 海南学业水平诊断)先将函数f(x)=sin(4x+π
4
)的图象向右平移1
2
个最小正周期,再
将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则
g(x)=( )
A.sin(2x-3 π
4
)
B.sin(8x-3 π
4
)
C.sin(2x+3 π
4
)
D.sin(8x+3 π
4
)
3.(2025 北京海淀一模)已知函数y=√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A,B,C,D
四点在同一个圆上,则ω=( )
A.1
B.1
2
C.π
D.π
2
4.(2022 新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sin(ωx + π
4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π
3 <T<π,且
y=f(x)的图象关于点(
3 π
2 ,2)中心对称,则f(
π
2)=( )
A.1
B.3
2
C.5
2
D.3
2
5.(2025 北京,8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在区间[0,π
4
]
上存在零点,则ω 的最小值为( )
A.8
B.6
C.4
D.3
6.(2025 辽宁大连模拟)若函数y=sin(2x+π
3
)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函
数y=cos 2x 的图象,则a 的最小值为( )
A. π
12
B.5 π
12
C.7 π
12
D.11π
12
7.(多选题)(2025 广东揭阳模拟)如图,函数f(x)=√3tan(2x+φ)(|φ|<π
2
)的部分图象与坐标轴
分别交于点D,E,F,且△DEF 的面积为π
4
,则下列选项正确的是( )
A.点D 的纵坐标为1
B.f(x)在(-π
6 , π
6
)内单调递增
C.点(5 π
12
,0)是f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)的图象可由y=√3tan x 的图象上各点的横坐标变为原来的1
2
(纵坐标不变),再将图象
向左平移π
6
个单位长度得到
8.(多选题)(2025 江苏苏州模拟)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数
为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x-cos x 构成“互为生成函数”的有( )
A.f1(x)=√2(sin x+1)
B.f2(x)=√2(sin x-cos x)
C.f3(x)=√2cos x
3
D.f4(x)=2cos x
2
(sin x
2
+cos x
2
)
9.(2023 新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线y=1
2
与曲线y=f(x)的两个
交点,若|AB|=π
6
,则f(π)= .
关键能力提升练
10.(2023 全国甲,理10)已知函数f(x)的图象由函数y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单
位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=1
2
x-1
2
的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
11.(2025 湖南沅澧共同体一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的图象如图所
示,图象与x 轴的交点为M(5
2
,0),与y 轴的交点为N,最高点P(1,A),且满足NM⊥NP.若将
f(x)的图象向左平移1 个单位长度得到的图象对应的函数为g(x),则g(-2)=( )
A.√10
B.0
C.√10
2
D.-√10
2
4
12.(多选题)(2025 广东广州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象
如图所示,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
,纵坐标不变,再将所得图
象向左平移π
6
个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列选项正确的是( )
A.φ=-π
6
B.函数g(x)的图象关于直线x=π
4
对称
C.若函数y=f(2x)在区间[0,m]上恰有4 个不同的零点,则m 的取值范围为[5 π
3 , 13 π
6
)
D.函数y=f(2x)g(x)的图象关于点(- π
24 , 1
4
)对称
13.(2025 广东中山模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
),-5 π
18
是函数f(x)的一个零点,
直线x=2π
9
与x=8 π
9
是f(x)图象的两条对称轴,则当ω 取最小值时,f(x)在[-5 π
18 , π
6 ]上的最
大值为 .
核心素养创新练
14.(2025 北京海淀模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
),①由函数f(x)图象上的一
个最高点与两个相邻零点构成的三角形的面积为π
4
;②将函数f(x)的图象向左平移π
6
个单
位长度后关于y 轴对称;③函数f(x)的图象关于直线x=π
6
对称.从以上三个条件中任选两
个作为已知条件,则可以求出的f(π
8
)的值是 .
5
答案：
1.B 解析 ∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值,|x1-x2|min=π
2
,∴最小正周期为2× π
2
=π,∴ω=2π
π
=2.故选B.
2.A 解析 函数f(x)=sin(4x+π
4
)的最小正周期为T=2π
4 = π
2
,将函数f(x)的图象向右平移1
2
个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-π
4
)+π
4
]=sin(4x-3 π
4
)的图象,再将所得图象上所有点
的横坐标变为原来的2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,故g(x)=sin(1
2 ·4x-3 π
4
)=sin(2x-3 π
4
).故选A.
3.D 解析 连接BC 交x 轴于点E,
由于A,B,C,D 四点在同一个圆上,且A,D 和B,C 均关于点E 对称,故E 为圆心,故|AE|=|
BE|.
设函数y=√3sin(ωx+φ)的最小正周期是T,则|AE|=1
2
T=1
2 · 2π
ω = π
ω
,|BE|=
√( 1
4 T )
2
+(√3)
2=√(
π
2ω)
2
+3,
故√(
π
2ω)
2
+3= π
ω,又ω>0,解得ω=π
2 .故选D.
4.A 解析 ∵y=f(x)的图象关于点(
3 π
2 ,2)中心对称,∴b=2,且sin(3 π
2 ω+π
4 )=0,
∴3 π
2 ω+π
4
=kπ,k∈Z,解得ω=2k
3 - 1
6
,k∈Z.
∵T= 2π
|ω|
,ω>0,2π
3
<T<π,∴2π
3 < 2π
ω
<π,∴2<ω<3.
6
∴当k=4 时,ω=5
2
符合题意.
故f(x)=sin(
5
2 x + π
4)+2.
∴f(
π
2)=sin(
5 π
4 + π
4)+2=1.
故选A.
5.C 解析 f(x)=√2sin(ωx+π
4
),当x∈[0,π
4
]时,ωx+π
4 ∈[π
4 , π
4 ω+π
4
].
∵f(x)在[0,π
4
]上存在零点,∴π
4 ω+π
4 ≥π,解得ω≥3.又f(x+π)=f(x),∴π 为f(x)的一个周期.
设f(x)的最小正周期为T,则π=kT,k∈N*.又T=2π
ω
,∴π=k· 2π
ω
,k∈N*,∴2k=ω,k∈N*,∴ω 的
最小值为4.故选C.
6.D 解析 函数y=sin(2x+π
3
)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函数y=sin[2(x-
a)+π
3
]=sin[2x+(π
3
-2a)]的图象,所以函数sin[2x+(π
3
-2a)]=cos 2x=sin(2x+π
2
),因此π
3
-2a=2kπ+π
2
,k∈Z 或π
3
-2a+π
2
=(2k+1)π,k∈Z.解得a=-kπ- π
12
,k∈Z.因为a>0,所以k<- 1
12
,
令k=-1,可得a=11π
12 .故选D.
7.ABC 解析 函数f(x)的最小正周期是π
2
,由题图知EF=π
2
,所以S△DEF=1
2 ×EF×OD=π
4 ×
OD=π
4
,则OD=1,即点D 的纵坐标为1,故A 正确;
f(0)=√3tan φ=1,且|φ|<π
2
,所以φ=π
6
,即f(x)=√3tan(2x+π
6
),
对于B,当x∈(-π
6 , π
6
)时,2x+π
6 ∈(-π
6 , π
2
)⊆(-π
2 , π
2
),所以f(x)在(-π
6 , π
6
)内单调递增,故B 正
确;
对于C,f(5 π
12
)=√3tan π=0,所以点(5 π
12
,0)是f(x)图象的一个对称中心,故C 正确;
7
对于D,将y=√3tan x 的图象上各点的横坐标变为原来的1
2
(纵坐标不变),得y=√3tan 2x 的
图象,再将图象向左平移π
6
个单位长度得y=√3tan(2x+π
3
)的图象,显然D 错误.故选ABC.
8.ACD 解析 f(x)=sin x-cos x=√2sin(x-π
4
).将f(x)的图象向左平移π
4
个单位长度后,再向
上平移√2个单位长度可以得到函数f1(x)的图象,故A 正确;因为f2(x)=√2(sin x-cos
x)=2sin(x-π
4
),其振幅为2,显然只通过平移变化无法得到,故B 错误;可将f(x)的图象向左
平移3 π
4
个单位长度后得到函数f3(x)的图象,故C 正确;因为f4(x)=2cos x
2
(sin x
2
+cos x
2
)=2sin x
2
cos x
2
+2cos2 x
2
=sin x+1+cos x=√2sin(x+π
4
)+1,可将f(x)的图象向左平移π
2
个单位
长度后,再向上平移1 个单位长度得到函数f4(x)的图象,故D 正确.故选ACD.
9.-√3
2
解析 对比正弦曲线y=sin x 的图象易知,点(
2π
3 ,0)对应“五点法”中的第五点,
所以2π
3 ω+φ=2π ①.
由题目中图象知|AB|=xB-xA=π
6
,线段AB 的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x 在y 轴右
边的第1 条对称轴直线x=π
2
,所以由sin(ωx+φ)=1
2
,得{
ω x A+φ = π
6 ,
ω xB+φ = 5 π
6 ,
两式相减,得ω(xB-
xA)=4 π
6
,即π
6 ω=4 π
6
,解得ω=4,代入①,得φ=-2π
3
,所以f(x)=sin(4x-2π
3
),所以f(π)=sin(4π-
2π
3
)=-sin2π
3
=-√3
2 .
10.C 解析 由题意知f(x)=cos[2(x+π
6 )+π
6 ]=cos(2 x + π
2)=-sin 2x.
在平面直角坐标系中画出y=-sin 2x 与y=1
2
x-1
2
的图象草图,如图所示.
8
由图可知,两函数图象有3 个交点.故选C.
11.D 解析 由题图知,函数f(x)的最小正周期T 满足T
4 = 5
2
-1=3
2
,解得T=6,所以ω=
2π
6 = π
3
,则f(x)=Asin(π
3
x+φ).由函数f(x)的图象与x 轴的交点为M(5
2
,0),得π
3 × 5
2
+φ=kπ(k∈Z),则φ=-5 π
6
+kπ(k∈Z),因为|φ|<π
2
,所以φ=π
6
,即f(x)=Asin(π
3
x+π
6
),则
f(0)=Asinπ
6 = A
2
,所以f(x)的图象与y 轴的交点为N(0, A
2
),则⃗NP=(1, A
2
),⃗NM=(5
2
,- A
2
).因为
NM⊥NP,所以⃗NM ·⃗NP= 5
2 - A
2
4
=0,即A2=10,又A>0,所以A=√10,所以f(x)=√10sin(π
3
x+π
6
),所以若将f(x)的图象向左平移1 个单位长度得到的图象对应的函数为g(x),则g(x)=√10
sin(π
3
x+π
2
)=√10cosπ
3
x,所以g(-2)=√10cos(-2π
3
)=-√10
2 .故选D.
12.BCD 解析 设函数f(x)的最小正周期是T,由题图知A=1,3T
4 = 5 π
6
-(-2π
3
)=3 π
2
,T=2π=
2π
ω
,则ω=1,f(x)=sin(x+φ),令5 π
6
+φ=π
2
+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-π
3
,k∈Z,又|φ|<π
2
,得φ=-π
3
,f(x)=sin(x-π
3
),所以A 错误;函数f(x)=sin(x-π
3
)图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
,纵
坐标不变,得到y=sin(2x-π
3
)的图象,再将所得图象向左平移π
6
个单位长度,得到函数
g(x)=sin 2x 的图象,令2x=π
2
+kπ,k∈Z,则函数g(x)的图象关于直线x=π
4 + k π
2
,k∈Z 对称,
所以B 正确;要使函数y=f(2x)=sin(2x-π
3
)在区间[0,m]上恰有4 个不同的零点,因为
9
0≤x≤m,所以-π
3 ≤2x-π
3 ≤2m-π
3
,则3π≤2m-π
3
<4π,即m 的取值范围为[5 π
3 , 13 π
6
),所以C 正
确;因为y=f(2x)g(x)=sin(2x-π
3
)sin 2x=1
2
sin22x-√3
2
sin 2xcos 2x=1-cos 4 x
4
- √3
4
sin 4x=1
4 - 1
2
sin(4x+π
6
),令4x+π
6
=kπ,k∈Z,得x=- π
24 + k π
4
,k∈Z,函数y=f(2x)g(x)的图象关于点(- π
24 , 1
4
)
对称,所以D 正确.故选BCD.
13. √3
2
解析 设f(x)的最小正周期为T,由题意知2π
9
-(-5 π
18
)=2k1+1
4
T(k1∈N),所以
2k1+1
4
· 2π
ω = π
2
(k1∈N),解得ω=2k1+1(k1∈N),又8 π
9 - 2π
9 = k2
2
T(k2∈N*),所以k2
2 · 2π
ω = 2π
3
(k2∈N*),解得ω=3k2
2
(k2∈N*),ω 既需要满足ω=2k1+1(k1∈N),又需要满足ω=3k2
2
(k2∈N*),所以此时ω 取3,当ω=3 时,8 π
9
-(-5 π
18
)=2k3+1
4
· 2π
3
,解得k3=3∈N,所以ω 的最小
值为3,此时f(x)=sin(3x+φ).由于-5 π
18
是函数f(x)的一个零点,所以f(-5 π
18
)=sin(-5 π
6
+φ)=0,
解得φ=kπ+5 π
6
(k∈Z),又|φ|<π
2
,所以k=-1,φ=-π
6
,故f(x)=sin(3x-π
6
).
由x∈[-5 π
18 , π
6
],得3x-π
6 ∈[-π,π
3
],故当x=π
6
时,函数f(x)取得最大值,且f(x)max=sinπ
3 = √3
2 .
14. √2+√6
4
解析 若选择条件①②:设T 为函数f(x)的最小正周期,由①可知三角形的面
积S=1
2 ×1× T
2 = π
4
,解得T=π,所以ω=2π
T
=2,所以f(x)=sin(2x+φ).
由题意得f(x+π
6
)=sin(2x+π
3
+φ)的图象关于y 轴对称,即π
3
+φ=π
2
+kπ,k∈Z,即φ=π
6
+kπ,k∈Z,由|φ|<π
2
可得φ=π
6
,则f(x)=sin(2x+π
6
),则f(π
8
)=sin(π
4 + π
6
)=
√2
2 × √3
2 + √2
2 × 1
2 = √2+√6
4
.
10
若选择条件①③:由①可知f(x)=sin(2x+φ),由③得f(π
6
)=sin(π
3
+φ)=±1,所以π
3
+φ=π
2
+kπ,k∈Z,即φ=π
6
+kπ,k∈Z,由|φ|<π
2
可得φ=π
6
,所以f(x)=sin(2x+π
6
),所以f(π
8
)=√2+√6
4
.
若选择条件②③:由③得f(π
6
)=sin(π
6 ω+φ)=±1,所以π
6 ω+φ=π
2
+k1π,k1∈Z.
由②得f(x+π
6
)=sin(ωx+π
6 ω+φ)关于y 轴对称,即π
6 ω+φ=π
2
+k2π,k2∈Z,无法确定ω 和φ,
即无法确定f(π
8
)的值.
