1
专题突破练21 函数的图象与性质
必备知识夯实练
1.(2025 辽宁沈阳二模)已知f(x-1)=ex,则f(2)=( )
A.e
B.2e
C.e2
D.e3
2.(2022 天津,3)函数y=| x
2-1|
x
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
3.(2025 广东揭阳模拟)已知函数f(x)=ex-e-x,则函数y=f(x-1)+1 的图象( )
A.关于点(1,1)对称
B.关于点(-1,1)对称
C.关于点(-1,0)对称
D.关于点(1,0)对称
4.(2025 辽宁葫芦岛模拟)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=
f ( x )
lo g2( x +2)的
定义域为( )
A.[-1,2]
B.(-1,2]
C.[-1,5]
D.(-1,5]
5.(2025 江苏泰州一模)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(x)在[-2,2]上单调递
增.设a=f(7
4
),b=f(7
2
),c=f(-13),则下列选项正确的是( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
6.(多选题)(2025 湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-2|x|(x<a),若函数F(x)=f(x)-x 存在两个零
点,则实数a 的取值可能是( )
2
A.-1
B.1
C.2
D.3
7.(多选题)(2025 山东青岛一模)已知狄利克雷函数D(x)={
1, x∈Q,
0, x∉Q. 设函数f(x)=D(x)·sin
πx,则下列选项正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是周期函数
C.f(x)的值域是[-1,1]
D.f(x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3 个
8.(2023 全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x + π
2)为偶函数,则a= .
9.(2025 上海浦东模拟)已知函数f(x)={
( 1
2 )
x -3, x ≤0,
x
2, x>0,
则不等式f(x)≤1 的解集为 .
关键能力提升练
10.(2025 山东济南一模)已知函数f(x)={
e
- x -1, x ≤0,
1-e
x, x>0, 则f(2x)+f(x-3)>0 的解集是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(-3,+∞)
11.(多选题)(2025 广东汕头一模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x+2)=-
f(x),当0≤x≤1 时,f(x)=tanπ
4
x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=1 对称
B.f(4
3
)=√3
C.f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增
D.当x∈[0,201]时,方程f(x)=√3
3
的所有解的和为9 0502
3
12.(多选题)(2025 山东济宁二模)已知函数f(x)=cos x-sin(cos x)-1,则下列结论正确的是(
)
A.f(x)的图象关于y 轴对称
B.2π 是f(x)的一个周期
C.f(x)在[0,π]上单调递增
3
D.f(x)<-√2
2
13.(2025 河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)满足对∀x∈R 都有f(x)+f(-x)=0 成立.当x≥0 时,
f(x)=x2+2x,则不等式f(f(x))+f(x+1)<0 的解集为 .
核心素养创新练
14.(2025 北京海淀模拟)对于函数f(x)﹐若集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有k 个元素,则称函
数f(x)是“k 阶准偶函数”.已知函数f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤a,
2 x, x>a.
(1)若a=0,则函数f(x)是“ 阶准偶函数”;
(2)若函数f(x)是“1 阶准偶函数”,则a 的取值范围是 .
4
答案：
1.D 解析 令x-1=2,得x=3,
所以f(2)=f(3-1)=e3.故选D.
2.A 解析 函数y=f(x)=| x
2-1|
x
的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=|(- x )
2-1|
- x
=-| x
2-1|
x
=-
f(x),函数f(x)为奇函数,C,D 错误;又当x<0 时,f(x)=| x
2-1|
x
≤0,B 错误.故选A.
3.A 解析 因为f(x)=ex-e-x,x∈R,
所以f(-x)=e-x-ex=-f(x),即f(x)的图象关于原点对称,函数y=f(x-1)+1 的图象可由f(x)的图象
先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,所以函数y=f(x-1)+1 的图象关
于点(1,1)对称.故选A.
4.D 解析 对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,
所以函数f(x)的定义域为[-1,5].
对于函数y=
f ( x )
lo g2( x +2),
需{
-1≤x ≤5,
x +2>0,
lo g2( x +2)≠0,
即{
-1≤x ≤5,
x +2>0,
x +2≠1,
解得-1<x≤5.
所以函数y=
f ( x )
lo g2( x +2)的定义域为(-1,5].故选D.
5.D 解析 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),则f(x)的图象关于直线x=2 对称,
所以f(x)=f(4-x)=-f(-x),
则f(x+4)=-f(x),
则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
所以f(x)的周期是8,
所以b=f(7
2
)=f(1
2
),c=f(-13)=f(3)=f(1),
因为f(x)在[-2,2]上单调递增,所以b=f(1
2
)<c=f(1)<a=f(7
4
).
故选D.
6.BCD 解析 F(x)=f(x)-x={
x
2+ x, x<0,
x
2-3 x, x ≥0,F(x)的大致图象如图.
5
则F(x)在R 上共有3 个零点,
即F(x)=0 在R 上有3 个根,分别是x1=-1,x2=0,x3=3.
又因为函数F(x)=f(x)-x 在x∈(-∞,a)内存在两个零点,故a∈(0,3].
故选BCD.
7.ABD 解析 D(x)的定义域为R,当x 为有理数时,-x 是有理数,
则D(-x)=D(x)=1,
当x 为无理数时,-x 是无理数,则D(-x)=D(x)=0,即D(x)为偶函数,
故f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sin πx·D(x)=-f(x),f(x)是奇函数,故A 正确;
对于任意的2k,k∈Z,且k≠0,当x 为有理数时,x+2k 也是有理数,则D(x+2k)=D(x)=1,
当x 为无理数时,x+2k 也是无理数,则D(x+2k)=D(x)=0,
f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sin πx=f(x),
即函数f(x)是周期函数,故B 正确;
函数D(x)的值域为{0,1},当x 为无理数时,f(x)=0,
当x 为有理数时,f(x)=sin πx,πx 不能取到一个周期中的所有实数,所以f(x)=sin πx 取不到
[-1,1]的全部,故C 错误;
f(x)=D(x)·sin πx=0,当x 为有理数时,f(x)=sin πx,得出在区间[-1,1]上的零点分别是-1,0,1,即
有3 个有理数零点,故D 正确.故选ABD.
8.2 解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1,
∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos x+1,
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,
解得a=2.
9.[-2,1] 解析 因为f(x)≤1,
若x≤0,则(1
2
)x-3≤1,即(1
2
)x≤4=(1
2
)-2,解得-2≤x≤0;
若x>0,则x2≤1,解得0<x≤1.
综上,不等式f(x)≤1 的解集为[-2,1].
10.A 解析 当x>0 时,f(x)=1-ex,此时-x<0,则f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);
当x<0 时,f(x)=e-x-1,此时-x>0,则f(-x)=1-e-x=-f(x);
且当x=0 时,f(0)=0,所以f(x)为奇函数,
6
易知f(x)为R 上的单调递减函数,则由f(2x)+f(x-3)>0,得f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),则2x<3-x,解
得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1).故选A.
11.AC 解析 由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知,f(x)的图象关于直线x=1 对称,所以A 正确;
所以f(4
3
)=f(2
3
)=tanπ
6 = √3
3
,所以B 错误;
奇函数f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,由f(x+4)=-
f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期为4 的函数,
所以f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增,所以C 正确;
因为曲线f(x)关于直线x=1 对称,f(2
3
)=√3
3
,且f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以方程f(x)=√3
3
在[-1,1]上有一根2
3
,再结合对称性可得f(x)=√3
3
在[1,3]上有一根4
3
,即一
个周期内有两根,且和为2,故f(x)=√3
3
在[0,201]上所有根的和为2×(1+5+9+…+201)-
(202-2
3
)=10 1002
3
,所以D 错误.故选AC.
12.ABD 解析 对于A,因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-
x))-1=cos x-sin(cos x)-1=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y 轴对称,故A 正确;
对于B,因为f(x+2π)=cos(x+2π)-sin(cos(x+2π))-1=cos x-sin(cos x)-1=f(x),所以f(x)的一个
周期是2π,故B 正确;
对于C,f'(x)=-sin x+sin xcos(cos x)=sin x[cos(cos x)-1],因为x∈[0,π],所以sin x≥0,又
cos(cos x)-1≤0,所以f'(x)≤0,当且仅当x=0,或x=π 或x=π
2
时,f'(x)=0,所以f(x)=cos x-
sin(cos x)-1 是[0,π]上的单调递减函数,故C 错误;
对于D,因为-1≤cos x≤1,令t=cos x,则y=t-sin t-1,求导得y'=1-cos t,由于cos t∈[-1,1],所
以y'=1-cos t≥0,所以y=t-sin t-1 单调递增.
当t=1 时,y 取得最大值1-sin 1-1=-sin 1;
当t=-1 时,y 取得最小值-1-sin(-1)-1=sin 1-2.
因为sin 1>sinπ
4 = √2
2
,
所以-sin 1<-sinπ
4
=-√2
2
,
7
即f(x)<-√2
2
,故D 正确.
故选ABD.
13.(-∞,3-√13
2
) 解析 因为对∀x∈R 都有f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是R 上的奇函数,
又当x≥0 时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,显然f(x)在(0,+∞)内单调递增,故函数f(x)在R 上单调
递增.
当x<0 时,-x>0,则f(-x)=x2-2x,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x;
由f(f(x))+f(x+1)<0,可得f(f(x))<-f(x+1)=f(-x-1),
故得f(x)<-x-1,
则有{
x ≥0,
x
2+2 x<- x -1
或{
x<0,
- x
2+2 x<- x -1,
即{
x ≥0,
x
2+3 x +1<0 或{
x<0,
x
2-3 x -1>0,
解得x<3-√13
2
,
所以不等式f(f(x))+f(x+1)<0 的解集为(-∞,3-√13
2
).
14.(1)2 (2)[-2,-1)∪[1,2) 解析 (1)当a=0 时,函数f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤0,
2 x, x>0,
当x>0 时,f(x)=2x,f(-x)=(1
2
)-x=2x,根据题意得2x=2x,解得x=2 或x=1,
则集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有2 个元素,故f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤0,
2 x, x>0
是“2 阶准偶函数”.
(2)若函数f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤a,
2 x, x>a
是“1 阶准偶函数”,则集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1 个元
素,当a=0 时,f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤0,
2 x, x>0
是“2 阶准偶函数”,不符合题意;
8
当a<0 时,函数f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤a,
2 x, x>a
的图象如图①所示,
图①
图②
根据“1 阶准偶函数”的定义得f(x)=2x,f(-x)=(1
2
)-x=2x,
由题意知f(x)=f(-x),所以2x=2x,解得x=1 或x=2,要使得集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1 个
元素,则需要满足-2≤a<-1.
当a>0 时,函数f(x)={
( 1
2 )
x, x ≤a,
2 x, x>a
的图象如图②所示,
根据“1 阶准偶函数”的定义得当0<x≤a 时,f(x)=(
1
2)
x
,f(-x)=(
1
2)
- x
=2x,
由题意知f(x)=f(-x),当(1
2)x=2x时,解得x=0,不符合题意;当x>a 时,f(x)=2x,f(-x)=(
1
2)
- x
=2x,
由题意f(x)=f(-x)得2x=2x,解得x=2 或x=1,要使得集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1 个元素,
则需要满足1≤a<2.
综上,若函数f(x)是“1 阶准偶函数”,则a 的取值范围是[-2,-1)∪[1,2).
