文档文本内容
专练 21 三角函数的图象与性质
授课提示：对应学生用书43页
[基础强化]
一、选择题
1．如图，函数y＝tan 的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(
)
A． B．
C．π D．2π
答案：A
解析：在y＝tan 中，令x＝0，可得D(0，1)；令y＝0，解得x＝－(k∈Z)，故E，F.所
以△DEF的面积为××1＝.故选A.
2．函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．1
C．2－ D．－2
答案：C
解析：∵0≤x≤9，∴－≤x－≤π，
∴－≤2sin ≤2，∴函数的最大值与最小值之和为2－.
3．已知函数f(x)＝2a cos (a≠0)的定义域为，最小值为－2，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．－1或2 D．1或2
答案：C
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴－≤cos ≤1，又f(x)的最小值为－2，
当a＞0时，f(x) ＝－a＝－2，∴a＝2.
min
当a＜0时，f(x) ＝2a，∴a＝－1.
min
4．[2024·新课标Ⅰ卷]当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(
)
A．3 B．4
C．6 D．8
答案：C
解析：令3x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，
1 1 1
又x∈[0，2π]，所以x＝，，，，，.
令3x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，
2 2 2
又x∈ [0，2π]，所以x＝，，，，，，
如图，作出函数y＝sin x与y＝2sin (3x－)在[0，2π]上的大致图象，由图可知，两函数
图象共有6个交点．故选C.5．设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：方法一 设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－且>－(－π)，所以
<T<，又因为|ω|＝，所以<|ω|<.由题图可知f＝0，且－是函数f(x)的上升零点，所以－＋＝
2kπ－(k∈Z)，所以－ω＝2k－(k∈Z)，所以|ω|＝|3k－1|(k∈Z).又因为<|ω|<，所以k＝0，所
以|ω|＝，所以T＝＝＝.故选C.
方法二(五点法) 由函数f(x)的图象知，ω×＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正
周期为，故选C.
6．[2022·新高考Ⅰ卷，6]记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝
f(x)的图象关于点中心对称，则f＝( )
A．1 B．
C． D．3
答案：A
解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点
(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－＋k，k∈Z.令2＜－＋k＜3，解得
＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin (＋)＋2＝1.
故选A.
7．已知函数f(x)＝sin x＋a cos x(a∈R)满足f(0)＝f，则函数g(x)＝(－1)sin x＋f(x)的
图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
答案：D
解析：由f(0)＝f，得sin 0＋a cos 0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(x)＝sin x＋cos x，
所以g(x)＝(－1)sin x＋f(x)＝(－1)sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝2sin .令x＋＝kπ＋
(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，令k＝－1，得函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝－.故选D.
8．已知函数f(x)＝a sin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数
g(x)＝sin x＋a cos x的图象( )
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
答案：A
解析：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f(0)＝f，∴1＝a＋，解得a＝，
∴g(x)＝sin x＋cos x＝sin ，
又g＝sin ＝取得最大值，故A正确，通过逐个检验，可知B、C、D均不正确．9．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确
的有( )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案：BC
解析：对于A，令f(x)＝0，则2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k ∈Z)，令g(x)＝0，则2x－
1 1 1
＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k ∈Z)，因此f(x)与g(x)无相同零点，故A错误；对于B，f(x)与
2 2 2
g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都是＝π，故C正确；对
于D，令2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k ∈Z)，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k ∈Z)，故
3 3 3 4 4 4
f(x)与g(x)的图象无相同的对称轴，故D错误．故选BC.
二、填空题
10．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．
答案：
解析：∵f(x)＝sin (x＋φ)＝sin (x＋φ)，
∴f(x) ＝.
max
11．设函数f(x)＝cos (ω>0)，若f(x)≤f对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为
________.
答案：
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴f＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
则ω的取值范围是________．
答案：[2，3)
解析：方法一 函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1
在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函
数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).
方法二 函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间
[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，
2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，
2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围
是[2，3).
[能力提升]
13．(多选)[2024·九省联考]已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则( )
A．函数f(x－)为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间(，)单调递增
D．f(x)的最小值为－2
答案：AC
解析：f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)
＝sin 2x cos ＋sin cos 2x＋cos 2x cos －sin 2x sin
＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x
＝－sin 2x，
即f(x)＝－sin 2x，
对于A，f(x－)＝－sin (2x－)＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z x＝＋，k∈Z，故B错误；
对于C，x∈(，)，2x∈(，π)，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正
⇒
确；
对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－，]，故D错误．故选AC.
14．[2023·全国甲卷(理)]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位
长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos ＝cos ＝－sin
2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．
故选C.
15．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)
的零点，则ω的最小值为________．
答案：3
解析：因为T＝，ω>0，所以ω＝.由f(T)＝，得cos (2π＋φ)＝，即cos φ＝.又因为
0<φ<π，所以φ＝.因为x＝为f(x)的零点，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又
因为ω>0，所以当k＝0时ω取得最小值，ω的最小值为3.
16．[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝
f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
答案：－
解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω
＋φ＝2π①.
由题知|AB|＝x －x ＝，，两式相减，得ω(x －x )＝，即ω＝，解得ω＝4.
B A B A
代入①，得φ＝－，
所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
