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考前突破 07 阅读理解、函数与几何探究、综合实践题（4 大必考题
型）
题型一：函数与图象探究题
题型二：阅读理解题
题型三：几何探究题
题型四：综合与实践
题型一：函数与图象探究题
【中考母题学方法】
1．（2022·湖北襄阳·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析
图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
… …
x ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5
… …
… …
y ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8
… …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
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(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
(2) 的图象关于 轴对称轴（答案不唯一）
(3)① 或 ；② 或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时， ，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
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（2）观察函数图象可得： 的图象关于y轴对称，
故答案为： 的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴ 的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息
是解题的关键．
2．（2020·重庆·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象
特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 的图象并探究该函数的性质．
x ⋯ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ a -2 -4 b -4 -2 ⋯
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（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= ．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，
错误的用“×”作答）：
①函数 的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数 有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集．
【答案】（1） ， ，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．
【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
（3）找出函数 的图象比函数 的图象低时对应的x的范围即可．
【详解】（1）当 时， ；当 时， ；
∴ ， ，
故答案为： ， ．
所画图象，如图所示．
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（2）①观察图象可知函数 的图象关于y轴对称，故该说法正确；
②观察图象可知，当x=0时，函数 有最小值，最小值为 ，故该说法正确；
③观察图象可知，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错
误．
（3）不等式 表现在图象上面即函数 的图象比函数 的图象低，因
此观察图象，即可得到 的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，
利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
3．（2021·湖北荆州·中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究，在经历列表、
描点、连线步骤后，得到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
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（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程 的解为：__________；
③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出平移过程，并直
接写出当 时，自变量 的取值范围．
【答案】（1）①关于y轴对称；② ；③ ；（2）将函数 的图象
先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数 的图象，当
时，自变量 的取值范围为 或 ．
【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则
可看作直线y=-1与函数 的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数
的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
【详解】解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1与函数 的图象交点问题，如图所示：
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∴方程 的解为 ；
故答案为 ；
③由题意可看作直线y=a与函数 的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ；
故答案为 ；
（2）由题意得：将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函
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数 的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当 时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点（A在
B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线 与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F， 于点G，若
E为GA的中点，求m的值．
（3）直线 与抛物线交于 ， 两点，其中 ．若 且 ，结
合函数图象，探究n的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】（1）由 中，得 ， ， ，利用待定系数法即可得，直线CA的
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解析式为 ；
（2）根据直线 与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得 ，
且 ， ， ，从而 ， ，而 是等腰直角三角形，
可得 ， 是等腰直角三角形，即可列 ，解得m=2
或m=3（舍去）；
（3）由 得： 或 ，①若 ，即 ，根据 且
，可得 ，且 ，即解得 ；②若 ，即 ，可得：
且 ，即解得 ，综合可得结果．
【详解】解：（1）在 中，
令 得 ，
令 得 或 ，
∴ ， ， ，
设直线CA的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线CA的解析式为 ；
（2）∵直线x=m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，
∴ ，且 ， ， ，
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∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵E为GA的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ 时，D与A重合，舍去，
∴ ；
（3）由 得： 或 ，
①若 ，即 ，
∵ 且 ，
∴ ，且 ，
解得 ；
②若 ，即 ，
可得： 且 ，
解得 ．
综上所述，n的取值范围是 或 ．
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【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，用含m的代数式表示相
关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用是解题的关键．
5．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象可以由函数 的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数 的图象的坐标系中画出函数 的图象．
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(2)【探究发现】
①将反比例函数 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数 的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数 的图象先___________，再___________得到函数 的图象．
②函数 图象的对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数 的图象即可；
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：
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（2）①函数 的图象可以看作是由函数 的图象向左平移1个单位长度，
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
（3）①函数 的图象可以看作是由函数 的图象向右平移2个单位长度；
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
②根据平移的性质，函数 图象的对称中心的坐标为 ．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长
度）；
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，
数形结合是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究
了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温 ；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降至
饮用，口感最佳；某种绿茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位： ），普洱茶茶水的温度为 （单位：
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），绿茶茶水的温度为 （单位： ）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
(1)可以用函数刻画 与x、 与x之间的关系，在同一平面直角坐标系 中，已经画出 与x的函数图
象，请画出 与x的函数图象；
(2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________ 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度
约为__________ （结果保留小数点后一位）；
(3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为 时，再继续放置 ，测得其温度为 ，则m__________60
（填“>”“=”或“﹤”）．
【答案】(1)见详解
(2)5.5；66.0
(3)>
【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答．
（2）结合图象以及题干“某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；某种绿茶
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用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可．
（3）相比较：某种普洱茶用 的水冲泡，放置 ，此时测得其温度为接近 ，以及结合图象，进
行作答即可．
【详解】（1）解：依题意，得 与x的函数图象，如图所示：
（2）解：∵某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；某种绿茶用 的水冲
泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至 饮用，大概时间轻为5.5 ，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
故答案为：5.5；66.0．
（3）解：∵某种普洱茶用 的水冲泡，放置 ，此时测得其温度为接近 ，
∴当普洱茶茶水的温度为 时，再继续放置 ，测得其温度为 ，则
故答案为：>．
2．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研
究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数 的图象与性质，
探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
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y … b …
（2）描点并连线．
（3）观察图象并填空：
① ，
②写出该函数的一条性质：
③图象与x轴围成的三角形面积为
④当 时，直接写出x的取值范围
【答案】（2）见解析；（3）① ， ；②当 时，y随x增大而增大（或）当 时，y随x增大而
减小（或）当 时，y取最小 ；③16；④ 或
【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键．
（2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象；
（3）①把给的任一点的坐标代入求出 ，然后把x=2代入解题即可；
②观察图象得到性质即可；
④先根据 求出自变量x的值，然后借助图象回答即可．
【详解】（2）如图
（3）①把x=0， 代入得 ，解得 ，
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∴当x=2时， ，
故答案为： ， ；
②当 时，y随x增大而增大 （或）当 时，y随x增大而减小 （或）当 时，y取最小
③令 ，则 ，解得 ， ，
∴图象与x轴围成的三角形面积为 ，
故答案为：16 ；
④令 ，则 ，解得 ， ，
∴由图像可知，当 时，直接写出x的取值范围 或 ．
3．（2024·河南商丘·二模）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质，小明根据学习函
数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
-
x 0 1 2
2
-
y 0 m 0
4
其中
(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
(4)进一步探究函数图象发现：
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①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程 有 个互不相等的实数根；
②若关于x的方程 有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是
【答案】(1)
(2)见解析
(3)由函数图象知当 或 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小(答案不唯
一)
(4) 2，2；
【分①析】本题②主要考查了求函数值，画函数图象以及从函数图象上获取信息等知识．
（1）直接把 代入函数式即可求出m的值．
（2）根据表格数据，直接描点连线即可．
（3）根据函数图象回答即可．
（4）①②根据函数图象回答即可．
【详解】（1）解：当 时， ．
故答案为： ．
（2）函数图象如下所示：
（3）由函数图象知当 或 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小．(答案不唯一)
（4）①由函数图象知， 函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程 有2个互不相等
的实数根；
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故答案为：2，2．
②由函数图象知，函数 的图象与直线 、 有两个交点，
当 时，函数 的图象与直线 有3个交点，
即 时，关于x的方程 有3个互不相等的实数根，
故答案为： ．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析
图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
列表：下列是x与y的几组对应值，其中 ________；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 2 0 m 0 2 4 6 8 …
描点：根据表中的数值描点 ；
连线：请用平滑的线顺次连接各点，在图中画出函数图象；
(2)探究函数性质
请写出函数 的一条性质：________________；（写一条即可）
(3)运用函数图象及性质
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根据图象，求不等式 的解集．
【答案】(1) ，图见解析
(2)函数 的图象有最低点 （答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查通过列表，描点，连线，画函数图象，通过函数图象研究函数的性质；
（1）把 代入 即可求出m的值；直接描点，用平滑的曲线的进行连线即可画出函数图
象；
（2）根据图象即可求解；
（3）图象法解不等式即可．
【详解】（1）把 代入 ，得
，
∴ ．
如图，
故答案为： ；
（2）函数 的图象有最低点 （答案不唯一）．
故答案为：函数 的图象有最低点 （答案不唯一）；
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（3）由图象可知不等式 的解集是 ．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数
的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程：
(1)初步感知：函数 的自变量取值范围是 ；
(2)作出图象：①列表：
0 1 2 3
2 3 5
表中 ， ；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图
象；
(3)研究性质：
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数 转化为 ，他判断该函
数图象就是反比例函数 通过某种平移转化而来，反比例函数 是中心对称图形，对称中心为
，则函数 的对称中心为 ；
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(4)拓展应用：当 时，关于 的方程 有实数解，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ，0；②见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．
熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）由题意知， ，求解作答即可；
（2）①将 ， 分别代入求解即可；②描点连线即可；
（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数 的对称中心为 ，然后作答即可；
（4）由题意知，当 时，函数 中， ，把 ， 代入函数 得，
，解得 ，把 ， 代入函数 得 ，解得 ，然后作答即可．
【详解】（1）解：∵函数
∴ ，解得 ，
∴函数 的自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ．
（2）① 时， ，
．
当 时， ，
，
故答案为： ，0；
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②函数图象如图所示：
（3）函数 的对称中心为 ，
故答案为： ；
（4）当 时，函数 中， ，
把 ， 代入函数 得， ，解得 ，
把 ， 代入函数 得 ，解得 ，
当 时，关于 的方程 有实数解， 的取值范围是 ．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的
图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图，
列表：下表是 与 的几组对应值，其中 ；
−2
−2
描点：根据表中各组对应值 ，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
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(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．
(3)利用函数图象，解不等式 ．
【答案】(1)−2，见解析
(2)图象关于 轴对称
(3) 或 x<1
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程；
（1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象；
（2）依据函数的图象关于 轴对称；
（3）先解方程求的交点坐标的横坐标，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
函数图象如图，
故答案为：−2；
（2）观察图形得出函数的性质：图象关于 轴对称；
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故答案为：图象关于 轴对称；
（3）作出直线 ，
当x>0时，则令 ，整理得 ，
解得 或x=1，
当 时，则令 ，整理得 ，
解得 ，
观察图象可知，当 或 x<1时，直线 在函数 的图象的下方，
故不等式 的解集为 或 x<1．
7．（2024·山东济南·二模）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长
的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即
那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
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（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出 的图象，则函数 的图象可以看成是函数 的图象向
上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线 ，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值
为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m
的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
【答案】（1） 一；（2）①图见解析；②图见解析，
（3）① ，8；②0个交点时， ；2个交点时，
（4）
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等
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知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据x、y是边长求解即可；
（2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数 的图象，的图象即可，
根据图象平移规则：上加下减求解即可；
（3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解；
（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．
【详解】解：（1）∵x、y是边长，∴ ， ，
故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，
故答案为：一；
（2）①列表：
x 1 2 4 8
y 4 2 1
描点、连线得函数 的图象如图：
②列表：
x 0 1
y 0
描点、连线得函数 的图象如图，
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由 得，函数 的图象可以看成是函数 的图象向上平移 个单位长度得到，
故答案为： ；
（3）由 得 ，
由 ， 得 ，此时 ，
解得 ，
∴当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ，周长m的值为
8，
故答案为： ，8；
②如图，
由①并结合图象知：0个交点时， ；2个交点时， ；
（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则 ， ，
∴ ， ，
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由 得 ，
由题意，该方程有实数根，
则 ， 解得 ，
故答案为： ．
8．（2024·山东济南·二模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象
特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数
的图象并探究该函数的性质，
x 0 1 2 3 4
y … 3 6 a b
(1)【图象初探】列表，写出表中 的值： ______， ______；并观察表格中数据的特征，在所给的
平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数 的结论正确的是_______．
①函数 的图象关于y轴对称．②函数 的图象不经过第三、四象限．③当 时，函数
有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
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(3)【学以致用】写出直线 与函数 有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【答案】(1) ， ，补全该函数的图象见解析
(2)①②③
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．
（1）分别将 ， 代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；
（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；
（3）仿照函数 ，作出图象，结合图象可知函数 的函数值的取值范围为 ，进而
结合图象即可求解．
【详解】（1）当 时， ，当 时， ，
即： ， ，
补全该函数的图象如下：
故答案为： ， ；
（2）由表格中的数据知：图象关于 轴对称，故①是正确的；
∵ ，
∴ ，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为6；
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由图象得，当 时， 随 的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
（3）类比函数 ，作出 的图象如图所示，
由图象可知，函数 的函数值的取值范围为 ，
结合图象可知，直线 与函数 有两个交点时， ．
9．（2024·辽宁·模拟预测）一次数学课上，张老师让同学们在网格纸上画出函数 的图象，
下面是小宇同学通过列表、描点、连线画函数图象的过程的一部分，请你完善探究过程，并解决相关问题．
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x … 0 4 8 16 …
y … 0 a 15 16 b 12 0 …
(1)绘制函数图象：
①如表是y与x的几组对应值，则表中 ________， ________；
②在如图1所示的平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出表中剩余坐标对应的x点，
并画出这个函数图象；
(2)如图2，小宇同学准备了若干张等腰直角三角形纸片，其中 ， ．
探究一：若按照如图3方式将两张等腰三角形纸片摆放在平面直角坐标系中，其中点D在x轴上，边
所在直线始终与x轴平行，点F和点 重合，D，E，F三点按顺时针顺序排列，请通过计算说明当 ，
全部落在x轴上方抛物线内部（不包括边界）时，最左边三角形纸片顶点E的横坐标m的取值范
围是多少？
(3)探究二：如图4，若等腰直角 在平面内平移运动，并且边 所在直线始终与x轴平行，抛物线始
终与边 相交于点Q，且D，E，F三点按顺时针顺序排列，抛物线始终与直线 交于点P．（运动时，
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点P不与点E，F两点重合）
①当 时，等腰直角 左右平移时，求出点E横坐标m的最大值；
②在①条件下，当 时，求出点E的坐标．
【答案】(1)①12；15；②图象见解析
(2)
(3)① ，② 或
【分析】（1）①把 ， 代入函数关系式计算即可；②先描点，再画图即可；
（2）过D作 交 于点H；求解 ，可得当 时， ，可得 ，
．求解 ，再进一步可得答案；
（3）①过P作 于点J，求解 ．可得 ，可得D的纵坐标为 ．
再进一步可得答案；②过Q作 于点T，求解 ． ，可得 ．Q点纵坐标
为 ．求解Q点横坐标为 或 ．从而可得答案；
【详解】（1）解：①当 时，
，
当 时，
；
②如图所示．
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；
（2）解：过D作 交 于点H；
∵ ， ，
∴ ．
在 中，
，
∴ ．
当 时， ，
∴ ， ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①过P作 于点J，
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∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ，
∴D的纵坐标为 ．
当 时， ， ，
∴当D坐标为 时，
点D与点Q重合，m最大值为 ．
②过Q作 于点T，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
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，
∴ ，
∴ ．
∴Q点纵坐标为 ．
当 时， ，
， ．
∴Q点横坐标为 或 ．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查的是求解二次函数值，画二次函数的图象，平移的性质，二次函数的图象与性质，锐角
三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
题型二：阅读理解题
【中考母题学方法】
1．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国
古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 的中心 ，
作 ，将它分成4份．所分成的四部分和以 为边的正方形恰好能拼成以 为边的正方形．若
，求 的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 的边长为定值 ，小正方形
的边长分别为 ．已知 ，当角 变化时，探究 与 的关系
式，并写出该关系式及解答过程（ 与 的关系式用含 的式子表示）．
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【答案】（1）见详解；（2）EF= 或 ；（3）c+b=n，理由见详解
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得
到结论；
（2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解；
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知： ，结合勾
股定理，可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面
积的和．
∴c2＝ ab×4＋（b−a）2，
化简得：a2＋b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
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设EF=a，FD=b，
∴a+b=12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴ ， ， ，
当EF>DF时，
∵ ，
∴a-b=5，
∴ ，解得：a= ，
∴EF= ；
同理，当EF<DF时，EF=
故EF= 或
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵ ，
∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，
∴ ，即： ，
∵图形③是直角三角形，
∴ ，
∴ ，即：c+b=n，
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【点睛】本题主要考查勾股定理及其证明
过程，相似三角形的判定和性质，找准图形中线段长和面积的数量关系，是解题的关键．
2．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个
实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b，c均
不为0)的解．求证：x，x，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
（3）若A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰
1 2 3
好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可
得答案；
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（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；
（3）先求出三点的纵坐标y，y，y，然后由“和谐三数组”可得y，y，y 之间的关系，进而可得关于m
1 2 3 1 2 3
的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x ，x，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
（3）∵A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，
1 2 3
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y，y，y 恰好构成“和谐三数组”，
1 2 3
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
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解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征
和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例
函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形 中，若 ，由勾股定理，
得 ，同理 ，故 ．
【探究发现】如图2，四边形 为平行四边形，若 ，则上述结论是否依然成立？请加以
判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知 为 的一条中线， ．求证： ．
【尝试应用】如图4，在矩形 中，若 ，点P在边 上，则 的最小值为
_______．
【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：
【分析】探究发现：作 于点E，作 交 的延长线于点F，则 ，证
明 ， ，利用勾股定理进行计算即可得到答案；
拓展提升：延长 到点C，使 ，证明四边形 是平行四边形，由【探究发现】可知，
，则 ，得到 ，即可得到结论；
尝试应用：由四边形 是矩形， ，得到 ， ，
设 ， ，由勾股定理得到 ，根据二次函数的性质即可得到答案．
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【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：
作 于点E，作 交 的延长线于点F，则 ，
∵四边形 为平行四边形，若 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
拓展提升：延长 到点C，使 ，
∵ 为 的一条中线，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
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∵ ．
∴由【探究发现】可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
尝试应用：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴
，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， 的最小值是
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌
握勾股定理和数形结合是解题的关键．
4．（2020·山东日照·中考真题）阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三
角函数的定义：sinA＝ ，sinB＝ ，可得 ＝ ＝c＝2R，即： ＝ ＝ ＝2R，（规
定sin90°＝1）．
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探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：
（用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，
又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为
45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（ ≈1.732，sin15°＝ ）
【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用： ；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出
，同理得出 ，从而得出答案；
初步应用：根据 ，得出 ，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝
x，则BC＝ ，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】解：探究活动： ，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
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∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作 、
的中点．
操作：如图2，连接 、 交于点P，连接 交 于点M，延长 交 于点N，则M、N分别为
、 的中点．
理由：由 可得 及 ，所以 ， ．所以，
．同理，由 及 ，可得 ， ．所以
．所以 ，则 ， ，即M、N分别为 、 的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3， ，点E、F在直线 上．
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①作线段 的中点；
②在①中作图的基础上，在直线 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整
数）的线段．如图4， ，已知点 、 在 上，他利用上述方法作出了 ．点E、F在
直线 上，请在图4中作出线段 的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5， 是 的中位线．请在线段 上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；
（2）见解析；
（3）见解析
【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在 上方任取一点 ，得到 ， 与交 于
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点 ， 交 于点 ，连接 ， 交于点 ，作射线 交 ， 分别于 ， ，点 即为所求点；
②作射线 交 于点 ，作射线 交 于点 ，点 即为所求；
（2）根据上述作法，有两种作法；
[探索发现]如作法一，根据相似可知，连接 ， 交于点 ，则 ，即点 是 的三等分点
之一，由此可以得出过点 作 的平行线；同理可得点 是 的三等分点之一，则 ，即点
为所求作点．
【详解】解：[实践操作]
（1）①如图，
点 即为所求作的点；
②如图，
点 即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
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作法二、
点 ， 即为所求作的点；
[探索发现]（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
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作法四、
作法五、
点 即为所求的点．
【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部
分中 ， 为中点是解题关键．
6．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若 ，则
．
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证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，
∴
∴ ，
若 时，当 ，则 ．
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺
时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知
．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出 的值；
(3)求直线 的解析式．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）首先求出点 ，然后设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，得到
，然后代入 求解即可；
（2）首先根据 ， 得到 ， ，求出 ， ，然后利用正切值的概念求
出 ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ，然后由
即可求出 ；
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（3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用 求出 ，进而
得到 ，然后设直线 的解析式为 ，利用待定系数法将 和 代入求解即可．
【详解】（1）将 代入 得， ，
∴ ，
∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴解得 ， ，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴ 应舍去，
∴ ，
∴ ，
∴将 代入 ，解得 ；
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴将 和 代入得， ，
∴解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是正确理解材料的内容．
7．（2021·广西·中考真题）【阅读理解】如图1， ， 的面积与 的面积相等吗？为什么？
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解：相等，在 和 中，分别作 ， ，垂足分别为 ， ．
，
．
，
四边形 是平行四边形，
．
又 ， ，
．
【类比探究】问题①，如图2，在正方形 的右侧作等腰 ， ， ，连接 ，求
的面积．
解：过点 作 于点 ，连接 ．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】问题②，如图3，在正方形 的右侧作正方形 ，点 ， ， 在同一直线上，
，连接 ， ， ，直接写出 的面积．
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【答案】① ；② ．
【分析】①过点 作 于点 ，连接 ，可得 ，根据材料可知 ，再由等腰
三角形性质可知 ，即可求出 ；
②连接CE，证明 ，即可得 ，由此即可求解．
【详解】：①过点 作 于点 ，连接 ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ；
② ，
过程如下：如解图3，连接CE，
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∵在正方形 、正方形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根
据平行线找到等底等高的三角形．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）阅读理解
教学实践活动： 班测量雷峰塔高度实践的相关数据
活 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处， 的连线交地面于Q
动 点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒
1 使得 ，在E点的仰角为30°，则 ___________．
如图，小组2设计了此测量方法，若 的长度为 ，已知
活 ， ，则可以得到塔的高度大约为___________．
动
（ ）
2
总结与取优
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老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高
4米的小树 ，发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线
上，测得 米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置
一个平面镜，沿 后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此
时 米，测量者眼睛到地面的距离 为1.6米，求出塔高 ．
【答案】活动1： ；活动2： 米；总结与取优：42米
【分析】活动一：过点E作 于点M，根据 求出 根据 求出
，进而求出 即可；
活动二：设塔的高度为 ，用 表示出 ，进而用 求出x即可；
总结与取优：先证明 ，求出 的长，再证明 即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确理解题意并构造直角三角形是解题关键．
【详解】解：活动一：过点E作 于点M，
∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ；
活动二：设塔的高度为 ，
在 中， ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ,
∴
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即塔的高度大约为44.35米．
故答案为：44.35；
总结与取优：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∵
∴
解得：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，
即 ，
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解得： ，
∴塔高 为42米．
2．（2024·广东深圳·一模）综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到
最高处时的形状是抛物线 的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若
摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的
水平距离 米处，绳子刚好经过她的头顶．
【阅读理解】
（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）
【问题解决】
（2）体育龙老师身高 米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；
（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多
可供几人齐跳.
【答案】（1） ；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供 人齐跳
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）求出函数的最大值，进行判定即可；
（3）令 ，得 ，求出 ， ，根据 ，得出最多可供
人齐跳．
【详解】解：（1）依题意，抛物线 经过 ， ， ，
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可列方程组 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线开口向下，
当 时，
有最大值 ，
∵ ，
∴他不适合参加本次运动；
（3）令 ，得 ，
解得 ， ，
∵ ， ，
∴最多可供 人齐跳．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的
值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．
3．（2024·河北邯郸·二模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移
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动到点 称为一次甲方式；从点 移动到点 称为一次乙方式．例点 从原点 出发连续
移动2次：都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动到点 ；若按1次甲方
式和1次乙方式，最终移动到点 ．
【应用】点 从原点 出发连续移动 次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，
按甲方式移动了 次．
(1)当 时，若点 恰好落在直线 上，求 的值；
(2)无论 怎样变化，点 都在自变量 的系数为定值的直线 上， ， ，
①若点 、点 位于直线 的两侧，求 的取值范围；
②若点 关于直线 的对称点落在 轴上，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)① ；② ．
【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质．
（1）根据平移方式，求得点 的坐标为 ，代入求解即可；
（2）①根据平移方式，求得点 的坐标为 ，代入求得 ，令 ，
求得直线 的解析式为 ，分别经过点 、点 即可求得 的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：已知 ，其中，按甲方式移动了 次，则按乙方式移动了 次，
根据平移方式，点 的坐标为 ，
由题意得 ，
解得 ；
（2）解：①设这条直线 的解析式为 ，点 按甲方式移动了 次，又点 从原点 出发连续移动
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次，则点 按乙方式移动了 次，
∴点 按甲方式移动了 次后得到的点的坐标为 ，点 按乙方式移动了 次，得到点
的坐标为 ，
由题意得 ，即 ，
∵无论 怎样变化，点 都在自变量 的系数为定值的直线 上，
∴ ，
解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
若点 、点 位于直线 的两侧，
情况一：直线 恰好经过 ，代入得 ，即 ，
情况一：直线 恰好经过 ，代入得 ，即 ，
∴若点 、点 位于直线 的两侧， 的取值范围是 ；
②点 关于直线 的对称点 落在 轴上，
记直线 与 轴、 轴的交点为 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ，与直线 交于点 ，如图，
根据题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
根据轴对称的性质得， ，
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∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ 且 ，
∴点 与点 重合，
∴ ，
∴ ．
4．（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在
三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知 ， ， 分别是 三边的三等分点，且 ，依次连接 、
、 ，则 与 的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知 ，E， 分别是 三边的 等分点，且 ，依次连接 、
、 ，则 与 的面积比是 ．
【答案】阅读理解： ；探究思考：是定值，定值为 ；发现结论：
【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关
键．
阅读理解：由中位线可得 ，进而证明 ， ，同理可证
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， ，即可求解；
探究思考：取 中点G， 中点H， 中点I，连接 ， ， ，先证 ，推出
，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得 ，同理推出
， ，即可求解；
发现结论：取G、H、I分别是 三边的n等分点，且 ，先证 ，推出
，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得 ，同
理可得 ， ，即可求解．
【详解】解：阅读理解：
是 的中位线，
，
又 ，
，
，即 ，
同理可证 ， ，
，
，
故答案为： ；
探究思考:
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如图，取 中点G， 中点H， 中点I，连接 ， ， ，
，
， ， ，
，
又 ，
，
，即 ，
，
，
同理可证 ， ，
，
综上可知， 与 的面积比是定值，定值为 ；
发现结论：
如图，取G、H、I分别是 三边的n等分点，且 ，
，
， ， ，
， ，
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，
，即 ，
，
，
同理可证 ， ，
，
，
故答案为： ．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活
动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．
一、收集资料，阅读理解
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（ ，约前408年—前355年）发现：将一条线段 分割成
长、短两条线段 ，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即 （此时线段
叫做 的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄
金比，点 叫做线段 的黄金分割点．
黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕
像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众
看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之
比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄
金三角形（顶角为 的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙
无比的黄金分割吧！
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二、动手操作，直观感知
任务一：如图1，已知正方形 ，点 是 的中点．连结 ，以点 为圆心， 为半径作弧，与
的延长线交于点 ，过点 作 于 ，与 的延长线交于点 ，则所得到的四边形 是
黄金矩形．
①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；
②写出黄金矩形 的两边 与 之比，即 ______（结果保留根号）
三、探究延伸，灵活运用
任务二：如果正 边形的中心角等于 ，其外接圆半径为 ，则 ______，其边长 与 的关系式为
______；（用三角函数表示）
任务三：如图2，在 中，已知 ，求 的值．（结果保留根号）
请结合上述材料，解决下面问题：
(1)补全任务一①、②所缺的内容；
(2)根据任务二，写出 ______，边长 与R的关系式为______；（用三角函数表示）
(3)完成任务三问题的解答．
【答案】(1)①见解析；②
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(2)5；
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正多边形的中心角，解直角三角形；
（1）①根据题意补全图形，即可求解；
②设正方形 的边长为 ，则 ， ，勾股定理求得 ，进而求得
，再求比值，即可求解；
（2）根据 ，进而解直角三角形，即可得出 与 的关系；
（3）延长 至 ，使得 ，连结 ．过点 作 的平分线 ，交 于点 ，证明
，根据相似三角形的性质得出 ；法1：设 ，则 ，根据比
例式得出 ，进而得出 ，根据正弦的定义即可求解；法2：由题意知 是
的比例中项，由任务一结论，可知 ，又 ，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：①将图1补充完整如图所示．
②解：设正方形 的边长为 ，则 ，
∴ ，
∵
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∴
∴
（2）
如图所示，
依题意， ， ，
过点 作 于点 ，
∴
在 中，
∴ ，
∴
（3）如图，延长 至 ，使得 ，连结 ．
，即 ，则 垂直平分
又
过点 作 的平分线 ，交 于点 ，则 ，
则
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法1：设 ，则
又
即
，解得
为正数，
．
法2：由题意知 是 的比例中项，
由任务一结论，可知 ，
又 ，
．
6．（2024·吉林长春·模拟预测）阅读理解：
(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可
以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一：“定点+定长”：如图1，在 中， ， ，D是 外一点，且
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，求 的度数．
解：若以点A（定点）为圆心， （定长）为半径作辅助圆 ，（请你在图1上画圆）则点C、D必在
上， 是 的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得到 ______°．
②类型二：“定角+定弦”：如图， 中， ， ， ，P是 内部的一个动
点，且满足 ，求线段 长的最小值．
解：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ______，（定角）
∴点P在以 （定弦）为直径的 上，请完成后面的过程．
(2)【问题解决】
如图3，在矩形 中，已知 ， ，点P是 边上一动点（点P不与B，C重合），连接
，作点B关于直线 的对称点M，则线段 的最小值为______．
(3)【问题拓展】
如图4，在正方形 中， ，动点E，F分别在边 上移动，且满足 ．连接 和
，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长．
【答案】(1)① ② ，后面过程见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）①根据 得到点B，点C，点D在以点A为圆心， 为半径的圆上，再根据圆
周角定理求出答案；
②根据图形结合推理过程直接解答即可；
（2）连接 ，由对称性得到 ，得到点M在以点A为圆心， 为半径的圆上运动，当点
M在线段 上时， 有最小值，利用勾股定理求出 ，即可得到 的最小值；
（3）连接 交于点O，证明 ，得到 ，推出 ，得到点P
的运动路径是以 为直径的圆弧 ，根据弧长公式求出点P的运动路径长为 ．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心， 为半径的圆上，
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如图1，∴ ，故答案为： ；
②∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴点P在以 （定弦）为直径的 上，
如图2，连接 交 于点P，此时 最小，
∵点O是 的中点，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，∴ ．
∴ 最小值为2，故答案为： ；
（2）解：如图3，连接 ，
∵点B，点M关于直线 对称，∴ ，
∴点M在以点A为圆心， 为半径的圆上运动，
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∴当点M在线段 上时， 有最小值，
∵ ， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为：4；
（3）解：如图4，连接 交于点O，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴点P的运动路径是以 为直径的圆弧 ，
∴点P的运动路径长为 ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾
股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键．
题型三：几何探究题
【中考母题学方法】
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 得到 ，
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连接 ，则 ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中， ，
， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连接
， ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形 为平行四边形，（3）
【分析】（1）根据等边三角的性质可得 ，再由旋转的性质可得
，从而可得 ，证明 ，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得 ，再根据旋转的性质可得
， ，从而可得 ，由平行线的判定
可得 ，证明 ，可得 ，利用等量代换可得 ，
再由平行线的判定可得 ，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作 于点O，
根据等腰三角形的性质可证 ，证明 ，可得 ，从而可
得当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，根据平行线的性质和平角的定义
可得 ，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，从而可得 ，再
利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∵ 为等边三角形，
∴ ，
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∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 为平行四边形，理由如下，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作
于点O，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转
的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最
小值为 的值是解题的关键．
2．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形 和矩形
EFGH，点 、 在边AB上（ ），且点 、 、 、 在直线AB的同侧；第二步，设置
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，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边 的中点 ，射线 与射线AD
相交于点 （点 、 不重合），射线 与射线 相交于点 （点 、 不重合），观测 、 的
长度．
(1)如图 ，小丽取 ，滑动矩形EFGH，当点 、 重合时， ______；
(2)小丽滑动矩形EFGH，使得 恰为边AB的中点．她发现对于任意的 总成立．请说明理
由；
(3)经过数次操作，小丽猜想，设定 、 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH， 总成立．小丽的
猜想是否正确？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)小丽的猜想正确，理由见解析．
【分析】（1）证 ，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；
（2）证 得 ，同理可得 ，由 ， ，得 ，进而有
，再根据矩形的性质即可得证；
（3）当 时，取AB的中点 ，连接MC、 ，由 ， 恰为边 的中点，得
，进而证 ，得 ，于是有 ，由平行线分线段成比
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例得 ，同理可证： ，于是有 ，从而即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形 和四边形EFGH都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如下图，
解：∵小丽滑动矩形EFGH，使得 恰为边AB的中点，
∴ ， ，
∵四边形 和四边形EFGH都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：小丽的猜想正确，当 时， 总成立，理由如下：
如下图，取AB的中点 ，连接MC、 ，
∵四边形 和四边形EFGH都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 恰为边 的中点， 是AB的中点，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴小丽的猜想正确．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点
的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形 是
正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问
题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．用
等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形 的边
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的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ，
，点N，M分别在边 上， ，用等式写出线段 的数量关
系，并说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析
(2) ；理由见解析
(3) ；理由见解析
【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证 ，进而证明
，推出 ，可得 ．
（2）在 上取 ，连接 ．依次证明 ， ，可得
．
（3）将 绕点A逆时针旋转 得 ，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得
，进而可得 ．
【详解】（1）解： ．理由如下：
由旋转的性质，可知 ， ， ， ，
∴ ，
∴E，B，C三线共线．
∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解： ．理由如下：
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如图，在 上取 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解： ．理由如下：
如图，将 绕点A逆时针旋转 得 ，
∴ ．
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∵ ，
∴ ，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确
作出辅助线是解题的关键．
4．（2024·福建莆田·二模）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在 中， ．点D为 边上一动点，连接 ，点
为 边上一动点，连接 ，以 为边，在 右侧作等边 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当点 运动到 的四等分点（靠近点 ）时，点 停止运动，此时点 从点 运动到点 ，
试判断点 从点 运动到点 的过程中线段 和 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点 从 的四等分点（靠近点 ）出发，向终点A运动，同时，点 从点 出发，向终点
运动，运动过程中，始终保持 ，求出 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明 且 ，从而证明三角形全等；
（2）过点 作 ，垂足为点 ，取 中点 ，连接 ，由四等分点证明 ，再根据三
线合一得到 ，进而证明 ，最后可得 是 的垂直平分线，根据垂直平分线的性
质得到 ；
（3）以 为边作等边三角形 ，连接 ，证明 ，则可得点 在以 为直径的圆弧
上运动，起点为 的中点 ，终点为点 ，连接 ，交圆弧于点 ，此时 取得最小值，即可求出
答案．
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【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，即 ，
又 ，
．
（2） ，理由如下：
过点 作 ，垂足为点 ，取 中点 ，连接 ，
，
，
，
点 是 的中点，
，
是等边三角形，
，
点 是 中点，点 是 四等分点，
，
，
，
由（1）得 ，
又 ，
，
，
，
，
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，
，
，
是 的垂直平分线，
．
（3）以 为边作等边三角形 ，连接 ，
， 是等边三角形，
，
，
，
，即当点 和点 运动过程中，始终保持 ，
则点 在以 为直径的圆弧上运动，起点为 的中点 ，终点为点 ，
由三角形三边关系可知 ，则 ，
连接 ，交圆弧于点 ，此时 取得最小值，
是等边三角形，点 是 中点， ，
，
，
，
则 的最小值为 ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题
的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题．
5．（2024·河南漯河·二模）在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形
和正方形 共顶点A，连接 ，取 的中点M，连接 ．试探究 的形状．
以下是智慧小组的探究过程．
【特例探究】如图1，点G在边 上．
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小明认为此时 是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路：
从M是 的中点入手，延长 交 于点N，如图2．
通过证明 ，得到 ， ．
由于 ， ，故 ________．
所以 是________．
再结合M是 的中点从而可得结论．
（1）横线处应填：________，________．
【类比探究】
（2）如图3，将正方形 绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究 的形状是否发生
变化，并就图3的情形说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知 ， ，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段
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的长．
【答案】（1） ，等腰直角三角形
（2） 仍是等腰直角三角形，不发生变化，理由见解析
（3） 或
【分析】（1）根据给定的信息，填空作答即可；
（2）过点C作 的平行线，交 的延长线于点P，连接 ，证明 ，得到
，推出 ，过点 作 于点 ，则： ，设 与 的交点为
，证明 ，推出 为等腰直角三角形，得到 ，且 ，即可得证；
（3）分点M在线段 的延长线上和点 在线段 的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）由于 ， ，故 ，
所以 是等腰直角三角形，
故答案为： ，等腰直角三角形；
（2）不发生改变，理由如下：
过点C作 的平行线，交 的延长线于点P，连接 ，如图所示．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
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过点 作 于点 ，则： ，设 与 的交点为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形；
（3）①当点M在线段 的延长线上时，如图所示．
由(2)，可知 是等腰直角三角形，
∴设 ，则 ，
在 中，由勾股定理，得 ，
解得 或 （舍去）．
∴ ．
②当点M在线段 的延长线上时，如图所示．
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同理，可得 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识
点，综合性强，难度较大，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键．
6．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在 中， ，分别以 为直角边构造等腰直角三角
形 和 ，连接 ，则 与 的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接 ，求证： ；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断 和 的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在 中， ， ， ，以 为直角边构造等腰直角
三角形 ，且 ，连接 ，试直接写出 的长度．
【答案】(1) 且
(2)见解析
(3) 和 的面积相等，理由见解析
(4)
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【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明 即可求解；
（2）在 中， ，在 中， ，再根据 ，
即可求解；
（3）如图所示，延长 到点 ，使得 ，连接 ，根据题意可证 ，再根据
三角形中线平分三角形面积可求解；
（4）如图所示，以 为边作等腰直角三角形 ，连接 ，设 交于点 ，证明 ，
易得 ，则可得 的长；延长CA，过点Q作 延长线于点T，则可求得 的长，在
中，由勾股定理可求得 的长，从而得到 的长．
【详解】（1）解：∵ ， 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，即 ，
故答案为： 且 ；
（2）证明：由（1）可知， 且 ，
在 中， ，
在 中， ，
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∵ ，
∴
，
∴ ；
（3）解： 和 的面积相等，理由如下，
如图所示，延长 到点 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
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∴ ，
在 中，点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 的面积相等；
（4）解：如图所示，以 为边作等腰直角三角形 ，连接 ，设 交于点 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，垂足为 ，
在 中， ，
∴ ，
如图所示，延长CA，过点Q作 延长线于点T，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
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∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股
定理等知识的综合，含30°角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
判定和性质是解题的关键．
7．（2024·广东深圳·模拟预测）【几何探究】
【教材呈现】如图1， ， ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则
；
【探究发现】如图2，在正方形 中，点 是 上动点，点 是 上一点，且 ，将
绕点 逆时针旋转，点 落在射线 上的点 处，点 对应点为点 ，连接 ．
（1）当点 为 中点时，求证： 为等腰直角三角形；
（2）如果点 为 上任意一点，试探究： 与 之间的数量关系，写出你的结论并加以证明；
【迁移运用】如图3，在菱形 中， ，点 是 上动点，点 是 上一点，且 ，
将 绕点 逆时针旋转，点 落在射线 上的点 处，点 对应点为点 ，连接 ，直接写出
与 之间的数量关系（用含有 的式子表示）．
【答案】教材呈现： ；（1）见解析；（2） 与 之间的数量关系： ；迁移运用：
与 之间的数量关系：
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【分析】教材呈现：根据题意可得 ，设 ，则 ，在 中，利用
勾股定理解得 的值，即可获得答案；
探究发现：（1）作 于点 ，交 于点 ，连接 ，设 ，则 ，结合
等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得， ；由旋转的性质可得 ，
， ， ， ，进而可得， ，然后证明
，进一步证明 ， ，即可证明结论；
（2）作 于点 ，交 于点 ，由（1）可知 ， ，进而可得
， ， ，易得 ， ，即可
证明结论；
迁移运用：过点 作 ，垂足为 ，设 ，则 ，易得
，由旋转的性质可得 ， ， ， ，
，进而可得 ；证明 ， ，再在直角三角形
中，利用三角函数可得 ，易得 ，然后证明 ，即可证明
结论．
【详解】教材呈现：
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，可有 ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：5；
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探究发现：
（1）如图，作 于点 ，交 于点 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点 为 中点，即 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，即 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形；
（2） 与 之间的数量关系： ．
证明如下：如下图，作 于点 ，交 于点 ，
由（1）可知 ， ，则 ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
迁移运用：
如下图，过点 作 ，垂足为 ，
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∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ,
∵旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴在 中，可有 ，
即 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、
解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
8．（2024·河南濮阳·三模）王老师带领同学们在探究几何问题变换时，与同学们一起探究下列问题，请你
思考解决．如图1，在正方形 中，点P是射线 上的一个动点，连接 ．
【观察发现】
（1） 与 的大小关系是（ ）
A．大于 B．小于 C．相等 D．不能确定
【探究迁移】
（2）如图2，作 ， 交 延长线于点E，判断 的形状并给出证明；
【拓展应用】
（3） ， 交直线 于点E，点P在运动的过程中，当 ， 时，直接写出
的长．
【答案】（1）C；（2） 是等腰三角形，理由见解析；（3） 的长是 或 ．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握等
腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由正方形的性质，得到 ， ，可证明 即可得出结论；
（2）由 得到 ，再由 ， ，得到 ，
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进而得到 ，则可判定 是等腰三角形；
（3）分两种情况：当点P在 上时，当点P在 的延长线上时，分别证明 是等腰三角形，
是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
（2） 是等腰三角形，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（3）当点P在 上时，如图：
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∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ；
当点P在 的延长线上时，如图：
由（2）可知， ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ 的长是 或 ．
9．（2024·广东惠州·二模）综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往
需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，根据条件填空：
① 的度数为 ；
②若 ，则 的长为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，且满足 ， ，
，求正方形 的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ， 为对角线，且满足
，若 ， ，请求出 的长．
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【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
① ②
【分析】（1）①根据旋转的性质易得 为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；
②结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得 ，求证 ，由全等三角形的性质可得 ，
易得 ，设正方形边长为 ，则 ， ，在 中由勾股定理可得 ，
代入求解即可获得答案；
（3）将 绕 逆时针旋转至 ，连接 ，首先证明 ，由相似三角形的性质可得
，再证明 ，由勾股定理可得 ，结合 即可获得答案．
【详解】解：（1）①将 绕点 逆时针旋转 得 ，
， ，
为等腰直角三角形，
；
② 为等腰直角三角形， ，
，
故答案为：① ；② ；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得 ，如图，
由旋转的性质可得 ， ， ， ，
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，
， ， 共线，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
设正方形边长为 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 或 （负值舍去），
正方形 的边长为 ；
（3）如图，将 绕 逆时针旋转至 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ， ， ， ，
，
又 ，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、
全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用
旋转的性质求解．
10．（2024·山西晋城·三模）综合与实践
问题情境：
在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形 中，E是对角线 上一点，以 为一边
作正方形 ，点F恰好在 边所在的直线上，连接 ，求证： ．
观察思考：
（1）如图1，当点F在 边上时，请解答老师提出的问题．
探索发现：
受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是 的中点，连接 ．
（2）如图2，在图1的基础上，试猜想 与 的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）当E是 的三等分点， 时，请直接写出 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ；（3） 或
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【分析】（1）由正方形的性质证明 即可；
（2）过点E作 的平行线交 的延长线于点M，过点E作 的平行线交 于点N，先证明
，再证明 ，即可求解；
（3）分类讨论，当点E靠近点A时和当点E靠近点C时，先证明出 ，求出 ，则
即可求解，再对 运用勾股定理求解即可．
【详解】证明：如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
证明：过点E作 的平行线交 的延长线于点M，过点E作 的平行线交 于点N，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵点H为 中点，
∴ ，
∴ ，
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∴ ， ，
即
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当点E靠近点A时，如图：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得 ，
∴ ；
当点E靠近点C时，如图：
此时 ，
同（2）可得
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的
性质，正确添加辅助线是解题的关键．
题型四：综合与实践
【中考母题学方法】
1．（2022·山西·中考真题）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·
奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷
调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
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调查
××中学学生读书情况
主题
调查
抽样调查 调查对象 ××中学学生
方式
您平均每周阅读课外书的时间大
约是（只能单选，每项含最小
值，不含最大值）
第一 A．8小时及以上；
项
B．6～8小时；
C．4～6小时；
数据
的收 D．0～4小时．
集、
整理
与描 您阅读的课外书的主要来源是
述 （可多选）
E．自行购买；
第二
项 F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查
……
结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
(2)估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
(3)该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一
条你获取的信息．
【答案】(1)参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
(2)1152人
(3)答案见解析
【分析】（1）用D类人数除以所占百分比即可得到总人数；再用总人数乘以F类所占百分比，即可求解；
（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
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（3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可．
【详解】（1）解： （人）．
（人）；
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）解： （人）．
答：估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1152人；
（3）解：答案不唯一．例如：
第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“4~6小时”的人数最多；②平均每周阅读课外书的时间在“0~4
小时”的人数最少；③平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占调查总人数的32%；
第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；②阅读的课外书的主要来源中
选择“向他人借阅”的人数最少．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
2．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣
折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数
学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上
的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？
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答： ；进一步计算出∠MNE＝ °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如
图②，则∠GBN＝ °；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于
点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折
痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，
9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ．
【答案】（1）是；等边三角形；60°；（2）15°；（3）见解析；（4）7、9
【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝
90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；
（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定
可证四边形SATA'是菱形；
（4）先求出AT的范围，即可求解．
【详解】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
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∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
【点睛】本题考查矩形和菱形的性质和判定,关键在于结合图形,牢记概念.
3．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在 中， 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ．
【发现结论】
结论1： ___________ ；
结论2：当图1中 时，如图2所示，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，
交 的延长线于点 ．则 与 的数量关系是___________．
【应用结论】
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（1）求证： ；
（2）在图2中连接 ， ，延长 交 于点 ，补全图形，求证： ．
【答案】【发现结论】结论1： ；结论2：相等（或 ）；【应用结论】（1）见解析；（2）见
解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、
等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出
， ，即可得出 ；
结论2：根据已知 ，和结论1 ，得出 ，根据角平分线的定义得出
，进一步推出 ，利用 证明 ，即可得出 ；
[应用结论]（1）根据过点 作 的垂线交 于点 ，得出 ，推出 ，
结合结论2： ，利用 证明 ，即可证明 ；
（2）连接 ， ，延长 交 于点 ，根据垂线的定义得出 ，由结论2得：
，由（1）过程得： ，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出
， ， ，根据对顶角相等得出 ，推出
，进一步得出 ， ，根据等角对等边得出
， ，即可证明 ．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵ 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ，
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∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
结论2：
∵ ，由结论1得 ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，过点 作 的垂线交 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：相等（或 ）；
[应用结论]（1）证明：∵过点 作 的垂线交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由结论2得： ，
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∴在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ， ，延长 交 于点 ，
∵过点 作 的垂线交 于点 ，
∴ ，
∵由结论2得： ，由（1）过程得： ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
4．（2020·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：
如图①，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到
（点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
猜想证明：
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（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）四边形 是正方形，理由详见解析；（2） ，证明详见解析；（3） ．
【分析】（1）由旋转可知： ， ,再说明 可得四边形 是矩
形，再结合 即可证明；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先根据等腰三角形的性质得到 ，再证 可
得 ，再结合 、 即可解答；
（3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中
运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最
后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形 是正方形
理由：由旋转可知： ， ，
又 ，
四边形 是矩形．
∵ ．
四边形 是正方形；
（2） ．
证明：如图，过点 作 ，垂足为 ，
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则 ，
．
四边形 是正方形，
， ．
，
．
．
∵ ，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
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∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cos∠1=
∴sin∠2= ,cos∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE= ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本
题的关键．
5．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践
(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形
为梯形， ， 是 边上的点．经过剪拼，四边形 为矩形．则
______．
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(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5
中， 是四边形 边上的点． 是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出： 与 的比值为______．
②证明：四边形 为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形 剪成4块，按图5的
方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①1；②见详解
(3)见详解
【分析】（1）由“角角边”即可证明；
（2）①由操作知，将四边形 绕点E旋转 得到四边形 ，故 ，因此 ；②由
两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）取 为中点为 ，连接 ，过点 ，点 分别作 ， ，垂足
为点 ，将四边形 绕点 旋转 至四边形 ，将四边形 绕点 旋转 至四边
形 ，将四边形 放置左上方空出，使得点C与点A重合， 与 重合， 与 重合，
点N的对应点为点 ，则四边形 即为所求矩形．
【详解】（1）解：如图，
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∵ ，
∴ ，
由题意得 为 中点，‘
∴ ’，
∵ ，
∴
故答案为： ；
（2）解：①如图，由操作知，点E为 中点，将四边形 绕点E旋转 得到四边形 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
②如图，
由题意得， 是 的中点，操作为将四边形 绕点E旋转 得到四边形
，将四边形 绕点H旋转 得到四边形 ，将四边形 放在左上方空出，
则 ， ，
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∵ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 三点共线，同理 三点共线，
由操作得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
（3）解：如图，
如图，取 为中点为 ，连接 ，过点 ，点 分别作 ， ，垂足
为点 ，将四边形 绕点 旋转 至四边形 ，将四边形 绕点 旋转 至四边
形 ，将四边形 放置左上方空出，使得点C与点A重合， 与 重合， 与 重合，
点N的对应点为点 ，则四边形 即为所求矩形．
由题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，
由操作得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
同理 三点共线，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
如图，连接 ，
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∵ 为 中点，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由操作得， ，而 ，
∴ ，
同理， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
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∴四边形 能放置左上方空出，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解
题意是解题的关键．
6．（2024·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：如图1，矩形 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分
与线段 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同
花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2， 米， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与 交于点O，点P是抛物线的顶
点，且 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 上确定点C，使 ，用篱笆沿线段 分隔出 区域，种植串串红；
第二步：在线段 上取点F（不与C，P重合），过点F作 的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿
将线段 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在
第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为x轴，
所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时 与 的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2
设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 上．直接写出符
合设计要求的矩形周长的最大值．
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【答案】(1)图见解析，
(2) 的长为4米， 的长为2米
(3)矩形周长的最大值为 米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据 垂直平分 ，得出 ，根据 设抛物线的函
数表达式为 ，将 代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为 ，可得 ， ， ，根据
求出m的值即可；
（3）由矩形周长 ，即可求解．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵ 所在直线是 的垂直平分线，且 ，
∴ ．
∴点B的坐标为 ，
∵ ，
∴点P的坐标为 ，
∵点P是抛物线的顶点，
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∴设抛物线的函数表达式为 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得： ．
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为 ，
∵ ，交y轴于点F，
∴ ， ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ，
根据题息，得 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ．
∴ ，
答： 的长为4米， 的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为 ，
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， ，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴ ， ，
设直线 解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
同理可得，直线 的表达式 ，
设点 、 、 、 ，
则矩形周长 ，
故矩形周长的最大值为 米．
7．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，
，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
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(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老
师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD
中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求
出 的大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形
ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．
知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明
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△AFE≌△ECP，得AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明
△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与
G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
【详解】（1）解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
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由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝ ，
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∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与
性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江衢州·一模）综合与实践
矩形种植园最大面积探究
实践基地有一长为12米的墙 ，研究小
组想利用墙 和长为40米的篱笆，在前
情境 面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．
假设矩形一边 ，矩形种植园的面积
为 ．
要探究面积 的最大值，首先应将另一边
用含 的代数式表示，从而得到 关于
分析
的函数表达式，同时求出自变量的取值范
围，再结合函数性质求出最值．
思考一：将墙 的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边 为墙
的一部分）．
探究
思考二：将墙 的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙 为边
的一部分）．
（1）根据分析，分别求出两种方案中的 的最大值；比较并判断矩形种植园
解决问题
的面积最大值为多少．
（2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积
类比应用
最大的方案示意图（标注边长）．
【答案】（1）方案1中 ，方案2中 ，矩形种植园面积最大为 ；（2）见解析
【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意，列出二次函数关系式，然后再求最值即可得出结果，
理解题意是解题关键．
（1）方案1：根据题意得出面积的函数关系式，然后利用其性质求解即可；方案2：设 ，然
后确定相应函数关系式求解即可；
（2）同（1）方法类似，确定函数关系式求解即可．
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【详解】（1）方案1：∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ，
方案2：设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
当 时， ．
∵ ，
∴矩形种植园面积最大为 ；
（2）图示如下：
（同（1）过程，可分别求得：
方案1：∵ ，则 ．
∴ （ ）．
∴当 时， ．
方案2： （ ）
∴当 为12时， 达到最大，最大值是48．
可见矩形种植园面积最大为 ，此时 ．
2．（2024·广东汕头·三模）综合与实践
问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的
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无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
A． B． C． D．
(2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；
(3)如图，有一张边长为 的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长
方体纸盒．
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为 ，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积．
【答案】(1)C
(2)卫
(3)①见解析 ②
【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用．
（1）根据正方体展开图的几种形状即可判断；
（2）根据正方体展开图即可判断；
（3）①按照要求画出图形即可；
②设正方形的边长为 ，根据纸盒底面积为 ，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能；
故选：C；
（2）解：与“小”字相对的字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”；
答案为：卫；
（3）解：①所画出的图形如图所示：
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②设正方形的边长为 ，
则 ，
解得 ， （不合题意舍去），
此时纸盒的体积为 ；
答：要剪去的小正方形的边长为 ，这个纸盒的体积为 ．
3．（2024·辽宁·模拟预测）综合与实践
【问题情境】数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们每人随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：
cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 n 0.0669
【问题解决】
(1)上述表格中： ，
(2)通过数据，同学们总结出了一些结论：
①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶 ”（填“小”或者
“大”）
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的 倍．”
(3)现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的
理由
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【答案】(1)3.75，2.0
(2)①小；②2.0
(3)荔枝树叶，见解析
【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【详解】（1）解：把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，
故 ；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故 ．
故答案为：3.75；2.0；
（2）解： 从树叶的长宽比的方差来比较， ，
芒果树叶的形状差别比荔枝树叶差别小，
荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，
荔枝树叶的长约为宽的2.0倍．
故答案为：小；2.0；
（3）解： ，
这片树叶更可能是荔枝树叶．
4．（2024·山东济南·一模）综合与实践．
(1)提出问题．如图1，在 和 中， ，且 ， ，连接 ，
连接 交 的延长线于点O． 的度数是________； _______．
(2)类比探究．如图2，在 和 中， ，且 ， ，连接 、
并延长交于点O．求 的度数及 的值
(3)问题解决．如图3，在等边 中， 于点D，点E在线段 上（不与A重合），以 为
边在 的左侧构造等边 ，将 绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为 的
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中点，N为 的中点．请说明 为等腰三角形．
【答案】(1) ； ；
(2) ，
(3)见解析
【分析】（1）证明 ，得到 ， ，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，推出 ， ，易证 ，进而
得到 ， ，即可得到答案；
（3）连接 、 ，延长 交 于点P，交 于点O根据等边三角形三线合一的性质，可证 、
分别是在 、 的中位线，得到 ， ，再证明 ，得
到 ，进而得出 ，即证明结论．
【详解】（1）解： ，
，
，
又 ， ，，
，
， ，
， ，
故答案为： ； ；
（2）解： ， ， ，
， ， ，
， ，
，
， ，
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， ；
（3）解：连接 、 ，延长 交 于点P，交 于点O．
在等边 中 ，
于点D，
为 的中点，
又 为 的中点，N为 的中点，
、 分别是在 、 的中位线，
， ．
，
．
在 和 中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角
形中位线定理，等边三角形的性质，掌握全等三角形和相似三角形的性质是解题关键．
5．（2024·山西朔州·二模）综合与实践
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综合与实践课上，老师让同学们画一个 ，使 ，点D为 的中点，连接 ．然后组
织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习．
动手操作（如图1）
第一步，在线段 上取一点E（点A和点D除外）；
第二步，以点D为圆心，以 为半径画弧交 于点F；
第三步，分别以E，F为圆心， 长为半径画弧，交于点G，连接 ， ．
猜想验证
（1）根据图1的操作，填空：
①四边形 的形状为________，依据的判定定理是________；② 与 的数量关系为________．
（2）以D为旋转中心，将四边形 按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断 与 的数量关系，
并加以证明．
问题解决
（3）如图3，若 ， ， ，以D为旋转中心，将四边形 按顺时针方向旋转，
使点F在 的下方，连接 ，且点F，E，C在同一条直线上．求 的面积．
【答案】（1）①菱形；四条边相等的四边形是菱形；②相等（或 ）；（2） ，证明见解
析；（3）
【分析】（1）①根据作图可知 ，故根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
的菱形；
②根据直角三角形的性质可得 ，再结合菱形性质即可解答；
（2）根据直角三角形的性质可得 ，再结合菱形性质证明 即可解答；
（3）连接 ，与 的交于点H．在 中，根据 从而得出 ， ，再根据直角三角形
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性质得出 ， ，根据旋转性质得出 ，结合菱形性质得
出 ， ，在 中，算出 ， ，得出 ，再证明 ，即可解答；
【详解】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形；
②相等（或 ）；
证明：∵在 中，点D是 的中点，
∴ ，
由作图知 ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：相等；
（2） ．
证明：∵在 中，点D是 的中点，
∴ ，
由图1知 ，
∴ ，
即 ．
∵四边形 是菱形，
∴ ．
在 和 中，
．
∴ ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，与 的交于点H．
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∵在 中， ， ，
∴ ， ， ．
∵在 中，D是 的中点，
∴ ，
∴ ．
由旋转可知 ．
又∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ， ．
在 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角
形，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
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6．（2024·广东东莞·模拟预测）综合与实践．
【问题驱动】如何验证勾股定理？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1．
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积 小正方形的面积 个直角三角形的面积．
从而得到数学等式： ，化简证得勾股定理： ．
【初步运用】
(1)如图1，若 ，求小正方形的面积与大正方形的面积的比值；
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若 ， ，求此时空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质，
（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积 小正方形的面积 个直角三角形的面积计算即可；
掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
又∵用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，
∴ ，
∴小正方形面积为： ，大正方形面积为： ，
∴小正方形的面积与大正方形的面积的比值： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
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∴空白部分的面积为： ，
∴此时空白部分的面积为 ．
7．（2024·江西·二模）综合与实践
课本再现
（1）如图1， 都是等边三角形．
① 与 有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系．
数学小组发现在图1的四边形 中， 的长度与 之间存在一定的关系，可考虑通过旋转构造
特殊三角形之间的全等或相似求解．
特例感知
②若 ，则 ．
请你尝试解决以下问题：
类比应用
（2）如图2，在四边形 中， ， ，求 的
长．
（3）如图3，在四边形 中， ， ，直接
写出 的长．
【答案】（1） ，理由见解析； ；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，掌握
相关知识是解题的关键．
（1） 都是等边三角形，得出 ，由旋转即可得出
；
先求出 ，因为 是等边三角形，可得 ，再应用勾股定理即可求解；
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（2）以 点为旋转中心，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，由旋转的性质可得
， ， ， ，过 作 交 延长线于点 ，进一步
得到 为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解；
（3）将 绕着点 逆时针旋转 且延长得到 ， 使 ，连接 ，过点 作 垂直
的延长线于点 ，证明 ，进一步得到 ， ，即可
求解．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ 可以看成是 绕点 旋转得到的，其中点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵
∴以 点为旋转中心，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，如图：
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∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
过 作 交 延长线于点 ，如图：
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
（3）如图， 将 绕着点 逆时针旋转 且延长得到 ， 使 ，
连接 ，
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∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 垂直 的延长线于点 ，
∴ ，
∴
，
，
，
∴ 是直角三角形， ，
．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践
数学活动课上，同学们将直角三角形 和 的直角顶点 重合，来研究几何知识．
实践操作：
（一）如图①， 和 是等腰直角三角形， ， ， ；
（二）在图①中，取 中点 ，连接 并延长交 于点 ，延长 至点 ，使 ，连接 、
，得到图②．
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（三）如图③， 和 是直角三角形， ， ；
问题解决：
（一）在图①中，若 ， ，
则 ； ＝ ； °；
（二）在图②中，（1） 与 的位置关系为 ；
（2）证明 ．
（三）在（1）问条件下，图②中 ；
拓展延伸
（四）在图③中，若 ，则 ．（用含 的代数式表示）．
【答案】（一） ， ， ；（二）（1）垂直；（2）见解析；（三） ；（四）
【分析】（一）如图①，作 于 ，则 ， ， ，
则 ， ， ， ，则
，由 和 是等腰直角三角形， ，可得
，然后作答即可
（二）（1）证明 ，则 ， ，
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，证明 ，则 ，
， ，进而可得 ，
（2）证明过程同理（1）；
（三）证明四边形 是平行四边形，则 ，由 ，可得
，计算求解即可；
（三）解： ，如图③，取 中点 ，延长 至点 ，使 ，
连接 、 ， 同理 ， ， ，则 ，
由 ，可证 ，则 ，可得 ，同理，四边形
是平行四边形，则 ，如图③，作 于 ，则 ，
， ， ，由
，然后求解作答即可．
【详解】（一）解：如图①，作 于 ，
∴ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（二）（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为：垂直；
（2）证明过程同理（1）；
（三）解：由（1）可知， ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（三）解：由题意知， ，
如图③，取 中点 ，延长 至点 ，使 ，连接 、 ，
同理 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
同理，四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图③，作 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质等知识．熟练掌握正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性
质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2024·广西贺州·三模）综合与实践
【课本再现】
（1）如图①，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点．在实验与探究中，
小州发现通过证明 ，可得 ．请帮助小州完成证明过程．
【类比探究】
（2）如图②，若四边形 是矩形， 为对角线 上任意一点，过 作 ，交 于点 ，当
时，求证： ．
（3）如图③，若四边形 是平行四边形， 为对角线 上任意一点，点 在 上，且
，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ， ，证明
即可；
（2）过点 作 于点 ，反向延长 交 于点 ，证明 ，可得
，证明 ， ，可得结论；
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（3）过 作 ， 交 于点 ，证明 ，可得 ，再证明
，可得 ， ，结论得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 ， 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ．
（2）过点 作 于点 ，反向延长 交 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
（3）过 作 ， 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，∠OBG是公共角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判
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定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．掌握正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质
是解题的关键．
10．（2024·辽宁大连·三模）综合与实践：
【研究背景】
面对竞争激烈且快速发展变化的现代社会，青少年学业负担和生活压力日益加重，导致一个时期以来青少
年的心理健康水平和心理素质状况出现下滑趋势．良好的心理健康教育是培养高素质创造性人才的必要前
提，对中小学生进行心理健康教育是教育现代化的必然要求，也是教育工作者的职责所在．自改革开放以
来，学生心理健康教育就受到关注，部分大中小学校从实践角度尝试开展心理健康教育工作．1999年，中
共中央、国务院颁布的《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》为各级学校学生心理健康教育提供
了依据．进入新世纪，中小学生心理健康教育政策在发展中日趋成熟．育才中学的几名同学受到了心理研
究课的启发，决定调查该校学生的总体心理状态．
【方案规划】
（1）该组迅速确立小胖为组长，鉴于各种条件的限制，小胖认为最好通过____（选填“普查”“抽查”
或“大数据收集”）的形式收集数据．
【实施方案】
（2）小胖带领小组成员从同年级学习成绩优异的同学中收集到了一些数据，并且经过分析后得出结论：
育才学校学生的心理问题比较严重．请问他得出的结论是否正确?请说明理由．
【二次调查】
经过询问老师，小胖发现了之前调查的某些不足之处，并且进行优化．他所获得的部分数据如下所示（其
中心理程度使用了心理程度指数进行评估，0—60为风险较大，60—90为风险较小，90—100为心理状态良
好）：
班级/班 1 2 3 4
心理问题风险率/% 75 69 60 76
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图2：育才中学所有班级心理问题风险率统计表
请回答：
（3）得分区间70—80的人数为_____；扇形统计图中被墨水覆盖部分的百分率为______；
（4）根据图2，请你求出育才中学学生心理程度指数的平均数和方差；
【整理数据，得出结论】
（5）根据以上调查结果，请你给育才中学的同学们提出一些建议（不多于50字）．
【答案】（1）抽查；（2）结论不正确；理由见解析；（3）16； ；（4）平均数：70；方差： ；
（5）见解析
【分析】（1）根据条件的限制可以判断是抽查；
（2）从所调查的范围看，抽查没有普遍性，样本没有代表性，不能很好地反映总体的特性；
（3）由风险较高的人数及占比可求得总人数，进而可求得得分区间70—80的人数；由风险程度的和为1
即可求得心理程度良好的百分比；
（4）根据平均数与方差的公式即可求解；
（5）根据求得的平均数与方差、统计数据进行回答即可．
【详解】解：（1）根据条件的限制，采用普查合适；
故选：普查；
（2）调查的结论不正确；从所调查的范围看，只选取了同年级成绩较好的学生调查，导致调查缺乏代表
性，样本不能很好地反映总体的特性，故调查结论不正确；
（3）抽取的总人数为： （人），
则得分区间70—80的人数为： （人）；
被墨水覆盖部分的百分率为 ；
故答案为：16； ；
（4）平均数为： ，
方差为： ；
（5）从平均数来看，育才中学学生心理程度较低，有待进一步加强心理健康教育，改善心理健康．（合
理即可）
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求平均数与方差，调查方式的选择等知识；掌
握这些知识是解题的关键．
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11．（2024·广东佛山·一模）综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游
客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示
（ 、 、 、 在同一平面内）。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究．
【测量与整理】通过操作，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶 与伞柄顶端点 重合，两边主骨
架的端点 与 重合，此时 ；如图3，在撑开过程中，骨架 的中点 到点 的距离始终等于
的一半， ；如图4，当伞完全张开时， ．
【计算与分析】
(1)伞从折叠到完全张开时，求骨架 的端点 到支点 的距离；
(2)当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图2可求得 的长度，如图4， 得到 的长度，即可求得 ；
（2）连接 ， ，过点 作 于 ，由等腰三角形的性质可得 为圆形伞的半径，然后证明
四边形 是矩形，可得 ，由勾股定理解得 ，最后由圆的面积公式可求解．
【详解】（1） ，
如图2可知，
如图4，
答：骨架 的端点 到支点 的距离为 ．
（2）如图4，连接 ， ，过点 作 于 ，
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又
为圆形伞的半径
又 点是 中点， 等于 一半
，
又 ，
四边形 是矩形
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角
和定理，二项式化简，圆的面积公式，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（2024·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的
面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1）， 的高 和 的高 相等，则
同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，
下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．
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如图（2）， 和 的面积相等，求证： ．
证明：分别过点 、点 作 和 底边 上的高线 ， ．
【应用】（2）把图（3）的四边形 改成一个以 为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，
并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）分别过点 、点 作 和 底边 上的高线 ， ，利用三角形的面积公式
与已知条件得到 ，则 ，再利用平行四边形的判定与性质解答即可；
（2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可；
（3）连接 ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，利用等底同高的三角形的
面积相等的性质得到 ，由（1）的证明过程可知： ；利用等底同高的三角形面积相等
的性质得到 ，则 ，化简即可得出结论．
【详解】证明：分别过点 、点 作 和 底边 上的高线 ， ，如图，
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的面积 ， 的面积 ， 和 的面积相
等，
，
．
， ，
∴ ，
四边形 为平行四边形，
∴ ；
（2）1．连接 ，
2．过点 作 ，交 的延长线于点 ，
3．连接 ，
则 为所画的三角形．如图，
理由：∵ ，
与 为同底等高的三角形，
， ，
．
四边形 改成一个以 为一边的三角形，并保持面积不变；
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知： 中，点 为 的中点，点 为 的中点．
求证： ， ．
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证明：连接 ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
点 为 的中点，
，
与 为等底同高的三角形，
．
点 为 的中点，
，
与 为等底同高的三角形，
，
．
由（1）的证明过程可知： ， ．
点 为 的中点，
，
与 为等底同高的三角形，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，四边形的面积，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离相
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等，三角形的中位线定理的证明，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
13．（2024·广东·三模）综合与实践：
数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动．
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是 ，则这个三角形是黄金三角形．
【动手操作】如图1是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是 ，并制作了相同
五角星如图2所示， 的度数为 ，且 ，于是猜测 是黄金三角形．
【解决问题】
(1) ________°；
(2)求证： 是黄金三角形；
(3)如图3，在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】(1)36
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，
理解和运用“黄金三角形”的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质求解；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质证明；
（3）延长 至点D，使得 ，连接 ，证明 是线段 的垂直平分线，证明等腰 是
黄金三角形，根据黄金三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，整理得 ，
解得 ， （不符合题意舍去），
∴ ，
∴ 是黄金三角形；
（3）解：如图1，延长 至点D，使得 ，连接 ，则 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
由黄金三角形定义可知，等腰 是黄金三角形，
∴ ，即 ，
解得 ．
14．（2024·宁夏银川·模拟预测）综合与实践：
问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的
研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图 ， ，其
中 ， ， ， ．
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操作与发现：
（1）如图 ，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形 是矩形，
请你证明这个结论．
操作与探究：
（2）创新小组在图 的基础上，将 纸片沿 方向平移至如图 的位置，其中点 与 的中点重合，
连接 ， ，经过探究后发现四边形 是菱形，请你证明这个结论．
（3）创新小组在图 的基础上又进行了探究，将 纸片绕点 逆时针旋转至 与 平行的位置，
如图 所示，连接 ， ，创新小组经过观与推理后发现四边形 是矩形，请你证明这个结论．
提出问题：
（4）请你参照以上操作，在图 的基础上，通过平移或旋转 构造出的图形，在图 中画出这个图形，
标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的知识、矩形的知识，解（1）的关键是判断四
边形 是平行四边形；解（2）的关键是判断出 ；解（3）的关键是判断出 是等边三角
形；（4）画出图形是解答关键．
（1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形 是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出 ，再判断出四边形 是平行四边形，进而判断出 ，即可得出结论；
（3）先求出 ，进而判断出 是等边三角形，即可判断出四边形 是平行四边形，即
可得出结论；
（4）把 平移 的长度可得到四边形 为平行四边形．
【详解】（1）证明： ，
， ，
在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
∴平行四边形 是矩形；
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（2）证明：在 中， ，
，
与平移可知， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 与 的中点重合， ，
，
，
在平行四边形 中， ，
平行四边形 是菱形；
（3）证明：在 中， ，
，点 是 中点， ，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形；
（4）解：构图方法：
如图所示，将 向下平移 的长度，得到四边形 为平行四边形．理由如下，
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由平移可得： ， ，
四边形 为平行四边形．
15．（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践
(1)【操作发现】如图①，将正方形纸片 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折
痕为 ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使 与 重合，折痕为 ，则 的度数为 ；
(2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿 折叠，点C的对应点恰好落在折痕
上的点N处，若 ，求线段 的长；
(3)【迁移应用】如图③，在矩形 中，点E，F分别在边 ， 上，将矩形 沿 ， 折叠，
点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为 的三等分点， ，
，请求出线段 的长．
【答案】(1)45°
(2)
(3) 或2
【分析】（1）由正方形的性质得 ，再由折叠的性质得： ，
即可求解；
（2）证 是等腰直角三角形，得 ，则 ，进一步求出
，由含 角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出 ，最后根据线段的和差关系求解即可．
（3）分两种情形：当 ，当 ，分别求解即可．
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【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ；
（2）∵四边形 是正方形，
，
由折叠的性质得： ，
，
由（1）得： ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3中，在 上取一点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，
得正方形 ，
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当 时， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由（1）可知 ，
设 ，则 ，
，
，
．
当 时，同法可得 ．
综上所述，满足条件的 的值为 或2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、
含 角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出
是解题的关键．
16．（2024·河南商丘·模拟预测）综合与实践：手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方
形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多
的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？
【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为 的小正方形，再折叠成
一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为 ，求 的最大值．
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【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究．
（1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
324 512 588 576 a 384 252 128 36
表中a的值是__________．
（3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大
致图象．
【解决问题】
（4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数）
②若要制作一个容积为 的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数）
【答案】（1） ；（2）500；（3）见解析；（4）① （答案不唯一）；
② （答案不唯一）或
【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键．
（1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得 的取值范围；
（2）将 代入计算即可得；
（3）先描出其余各点，再顺次连接即可画出函数 的大致图象；
（4）①根据函数图象即可得；
②根据函数图象即可得．
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【详解】解：（1）由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
则 ．
（2）当 时， ，即 ，
故答案为：500．
（3）画出函数 的大致图象如下所示：
（4）①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为 （答案不唯一）；
②由函数图象可知，当 时， （答案不唯一）或 ．
17．（2024·山东潍坊·模拟预测）综合与实践
问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞
行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
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问题提出：
科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高
度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述．
（1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的
取值范围）．
问题延伸：
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究
发现解决下列问题．
（2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组
在安全线上设置回收区域 ．
（3）活动小组需要飞机落到 内（不包括端点 ），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度
的变化范围．
【答案】（1） ； （2） （3）大于 且小于
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解题目中的数量关系，掌握二次函数图象的性质是
解题的关键．
（1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设 ，运用待定系数
法即可求解；
（2）根据题意，令二次函数 中 ，即可求解；
（3）设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ，根据
进行计算即可求解．
【详解】解：（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
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设 ，把 代入一次函数解析式，把 ， 代入二次函数解析式，
由题意得： ， ，
解得： ， ，
∴ ， ；
（2）依题意，得 ，
解得， （舍）， ，
当 时， ，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ．
（3）设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
当 时， ；
当 时， ．
∴ ．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ．
18．（2024·贵州黔东南·模拟预测）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师出示了一个问题：将等边 和等边 纸板按图1所示的方式放置（顶点F与
顶点C重合，顶点E在 边上），E为边 的中点，连接 ， ，试猜想 与 的数量关系，并
说明理由．
数学思考：
（1）请解答老师提出的问题．
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深入探究：
（2）老师让同学们移动三角形纸板 ，并提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，将等边 纸板从图1位置沿着射线 方向平移，当 平分
时，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
②“智慧小组”提出问题：测得等边 纸板的边长为 ，如图3，将等边 纸板从图1位置沿
着射线 方向平移，连接 ，当点E与点A重合时停止移动，求 的取值范围．请你思考此问题，直
接写出结果．
【答案】（1） ，理由见解析
（2）①四边形 为平行四边形，理由见解析
② 的取值范围为
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，
等边三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）证明 ，得出
（2）①由平移的性质可知， ，证出 ，则可得出结论；
②当 时， 取得最小值，设 与 交于点 ．求出 ，当点F与点C重合或点E与点A
重合时， 取得最大值，如图3，过点D作 于点N，由勾股定理求出 的长，则可得出答案．
【详解】解：（1） ；
理由： ， 为等边三角形，
，
，
；
（2）①四边形 为平行四边形．
理由： ， 都是等边三角形， ，
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；
如图，令 与 的交点为 ，
由平移的性质可知 ，
四边形 是平行四边形，
，
；
平分 ， ，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
② ，
如图2，点D在直线l上移动 ，当 时， 取得最小值，设 与 交于点 ，
，
，
， ，
；
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当点F与点C重合或点E与点A重合时， 取得最大值，
如图3，过点D作 于点N，
在 中， ， ，
，
．
综上所述， 的取值范围为 ．
19．（2024·山西·三模）综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1， 中， ，BD为 边上的中线，
将 沿射线 的方向平移，得到 ，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线
段 经过点D时．连接 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
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（2）老师将图2中的 绕点F按逆时针方向旋转得到 ，其中点E，G的对应点分别为P，Q，
线段 分别与边BD交于点M，N．如图3，当 时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段 和 的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若 中， ，请直接写出此时四边形 的面积．
请解答上述两个小组提出的问题．
【答案】（1）四边形 是矩形，见解析；（2）① ，见解析；②
【分析】（1）四边形 是矩形，由平移的性质得到 ，从而得到
，根据 为 边上的中线，推出 ，进而证明 是等腰
三角形，推出 ， ，证明四边形 是平行四边形，再根据 ，即可证明四
边形 是矩形；
（2）①由平移的性质得到 ，从而得到 ，由（1）可得
，进而得到 ，在图3中，由旋转的性质得到 ，根据
平行线的性质推出 ，易证 ，再根据四边形 是矩形，推出 ，
即可证明 ；
②过点F作 ，垂足为H，过点N作 ，垂足为K，利用勾股定理求出 ，由①可求
，由平移和旋转的性质得到 ，
根据 ，易证 ，得到 ，由①知 ，从而得到
，利用三角形面积公式 ，求出 ，利用勾股定理求出
，从而得到 ，再根据 ，推出 ，利用余弦的
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定义得到 ，求出 ，最后根据四边形 的面积等
于 求解即可．
【详解】（1）四边形 是矩形，
理由如下：∵ 平移得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）① ，
证明：在图2中，∵ 平移得到 ，
∴ ，
∴
由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，
在图3中， 旋转得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
由图2可知，四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②过点F作 ，垂足为H，过点N作 ，垂足为K，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
由平移和旋转的性质得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 的面积等于
∴ ．
【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形判定与性质，
解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关
键．
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）综合与实践：数学活动课上，老师给大家出示了以八年级上册的一个例
题为母题延创设情境：
活动一（阅读经典）：如图，等腰 ，顶角 ，BD平分 ．求证： 和
都为等腰三角形．
这个例题大家都熟悉，这 是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰 分成三个等腰三角形，因
为底边与腰的比值等于 ，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰 的底边与
腰的比值过程：
由 和 都为等腰三角形可得 ，
设 ，
因为底角 ，则 ．
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所以 ，
所以 ，得
整理，得到 ，解得
所以等腰 的底边与腰的比值等于 ．
活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线
段的比值或锐角三角函数值．
活动二（实我研究）：如图，等腰 中， ．求边 与边AB的比值．
解：过点B作 于点H，截取 ，过D作 于点E．
（以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．）
活动三（问题解决）：在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请
解答问题：如图延长 到点D，使得 ，连接CD，求 ．
【答案】活动二（实践研究）： ；活动三（问题解决）：
【分析】活动二（实践研究）：过点B作 于点H，截取 ，过D作 于点E．则
，且 ．则 ．设 ，则
，可求得 即可；
活动三（问题解决）：由题意得 ，可得 ，结合活动二知 ，则
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，那么 ，利用勾股定理得
，在 中 即可．
【详解】解：活动二（实践研究）：
过点B作 于点H，截取 ，过D作 于点E．
．
于H， ，
，
．
，
．
∵ 于点E，
，
．
，
设 ，则 ，
．
活动三（问题解决）：
，
，
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，
由活动二可知 ，
，
由活动二知 ，则 ，
则 ，
中， ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理，以及解直角三角形，解
题的关键是熟悉等腰三角形的性质和二次根式的化简．
21．（2024·湖北恩施·模拟预测）综合与实践：
中， ，点D是 的中点，点E是线段 上一点（不与B、D重合）， 交 于点
F，点M是 的中点，连接 ．
【初步思考】
（1）如图1，若 ，连接 ．求证： 是等腰直角三角形；
【实践探究】（2）在（1）的条件下，当 等于多少时， ．
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【拓展延伸】（3）如图2，点E是 的中点，在线段 上截取 ，连接 ，试探究四
边形 的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）四边形 是平行四边形，理由见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定和性质、等
腰三角形的判定和性质等知识，
（1）证明 ， ，得到 ，即可得到结论；
（2）由 得到 ，证明 ， ，设 ，则 ，
得到 ，即可得到答案 ；
（3）过点F作 ，垂足为G，连接 交 于点P，证明四边形 是矩形，根据平行线分线
段成比例定理得到 ， ，即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵ ，点D是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ ，
∴
∴
同理可得，
∴
∴ 是等腰直角三角形；
（2）∵
∴
∵
∴CE平分
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∴ ， ，
设 ，则
∴
∴
（3）四边形 是平行四边形，理由如下：
过点F作 ，垂足为G，连接 交 于点P，
∵
∴
又 ，点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵点E是 的中点
∴
∵
∴
∴四边形 是矩形
∴
∴
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∴ ，
∴四边形 是平行四边形
22．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境
在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片 ，其中 ， ．
实践探究
（1）如图2，将矩形纸片 沿对角线 剪开，得到纸片 与 .将 纸片沿 方向
平移，连接 （ 与 交于点 ）， ， ，得到图3所示的图形.若 ，解答下列问题：
①请你猜想四边形 的形状，并证明．
②请求出平移的距离 ．
拓展延伸
（2）如图4，先将 纸片沿 方向进行平移，然后将 纸片绕点 顺时针旋转，使得
， 恰好经过点 ，求平移的距离 ．
【答案】（1）①四边形 是菱形，理由见解析；② ；（2）
【分析】（1）①由四边形 是矩形，可得 ， ，由平移的性质可得 ，
，推出四边形 是平行四边形，再结合 即可证明四边形 是菱形；②根据矩
形的性质可得 ， ，根据勾股定理可得 ，推出 ，
结合 ，可得 ，根据四边形 是菱形，可推出 ，最
后根据线段的和差即可求解；
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（2） ， ，可得 ，进而得到 ，设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：（1）①四边形 是菱形，
理由如下：
四边形 是矩形，
， ，
又由平移知对应线段平行且相等，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
②由题意可得： ， ，
在 中， ， ，
，
，
，
在 中， ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
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，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角
形的性质，平移的性质，解题的关键是综合运用这些知识．
23．（2024·全国·模拟预测）【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中 代表入射角， 代表折射角．学习小组查阅资料了
解到，若 ，则把 称为折射率．（参考数据： ， ）
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在 处，
光线可沿 照射到空容器底部 处，将水加至 处，且 时，光点移动到 处，此时测得
，四边形 是矩形， 是法线．
【问题解决】
(1)求入射角 的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可；
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（2）作 于点 ，利用勾股定理，折射率的定义解答即可．
【详解】（1）解：如图1， ，
，
入射角 约为 ．
图1
（2）解：如图2，作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
光线从空气射入水中的折射率，
光线从空气射入水中的折射率 ．
【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
24．（2024·湖南·模拟预测）综合与实践
“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
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提出问题：
如图1，在线段 同侧有两点B，D，连接 如果 ，那么A，B，C，D四点在同
一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的 ，在劣弧 上取一点E（不与A，C重合），连接 ，则
（依据1）
∵ ，
∴ ．
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的 上．（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．
反思归纳：
(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________．
依据2：________________．
如图3，在四边形 中， ，则 的度数为________．
(2)拓展探究：
(3)如图4，已知 是等腰三角形， ，点D在 上（不与 的中点重合），连接 ．作点
C关于 的对称点E，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ．求证：A，D，B，E四点共
圆．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)
(3)见解析
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【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）根据轴对称的性质得到 ， ， ， ，进而得到
，即可证明结论．
【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得：
依据1：圆内接四边形对角互补；
依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解： ，
点 ， ， ， 四点在同一个圆上，
，
，
，
故答案为： ；
（3）证明： ，
，
点 与点 关于 的对称，
， ，
， ，
，
，
， ， ， 四点共圆．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的定义、轴对称的性质，正确理解四点共
圆的条件是解题的关键．
25．（2024·辽宁·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 和 ，并且量得 ．
【操作发现】
（1）将图1中的 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 ，使 ，得到如图2所示的
，过点C作 的平行线，与 的延长线交于点E，请你判断四边形 的形状，并证明你的
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结论．
（2）创新小组将图1中的 以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 三点在同一条直线
上，得到如图3所示的 ，连接 ，取 的中点F，连接 并延长至点G，使 ，连接
，得到四边形 ，请你判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 沿着 方向平移，使点B与点A
重合，此时A点平移至A′点， 与 相交于点H，如图4所示，连接 ，直接写出线段 的长度．
【答案】（1）是菱形，证明见解析；（2）是正方形，证明见解析；（3） cm．
【分析】（1）先证 ，再证 ，则 ，得 ，然后证四
边形 是平平行四边形，即可得结论；
（2）先证 ，再证 ， ，进而证四边形 是平菱形，即可得出结论；
（3）先证 ，再求出 、 的长，然后求出 、 的长，即可求解．
【详解】解：（1）四边形 是菱形，证明如下：
由图1可知， 是矩形 的对角线， ， ，
，
在图2中，由旋转知， ， ，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
是菱形；
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（2） 是正方形，证明如下：
图1中，四边形 是矩形，
，
， ，
，
在图3中，由旋转知， ，
，
，
∵点 在同一条直线上，
，
由旋转知， ，
∵点F是 的中点，
， ，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
是菱形，
又 ，
∴菱形 是正方形；
（3）在 中， ， ，
， ，
由（2）结合平移知， ，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，
勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考
题型．
26．（2024·四川达州·二模）综合与实践
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[问题情境]
如图1，折叠矩形纸片 ，使点B落在对角线 上，点B的对应点记为 ，折痕与边 分别
交于点E，F．
[活动猜想]
（1）如图2，当点 与点D重合时，求证：四边形 是菱形；
[问题解决]
（2）如图3，当点 ， ，C在同一条直线上时，若 ， ，求 的长；
[深入探究]
（3）填空：①如图4，当 与 满足________时，始终有 与对角线 平行；（在横线上填写
与 的数量关系）．
②在①的条件下， 与 ， 分别交于点O，P，则三条线段 ， ， 之间满足的等量关系为
_______．
【答案】（1）菱形；（2） ；（3）① ，证明见解析；② ，理由见
解析
【分析】（1）由折叠可得： ， ，再证得 ，可得 ，利用菱形
的判定定理即可得出答案；
（2）利用勾股定理可得 ，再证明 ，可求得 ，进而可得 ，再
由 和 ，可求得 ， ，再根据 ，列式计算即可
求解；
（3）①设 ，则 ，利用折叠的性质和平行线性质可得：
，再运用三角形内角和定理即可求得 ，利用解直角三角形即可求得答案；
②过点 作 于 ，设 交 于 ，设 ， ，利用解直角三角形可得
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， ，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点 与点 重合时，四边形 是菱形．
理由：设 与 交于点 ，如图，
由折叠得： ， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
（2）解： 四边形 是矩形， ， ，设 ，
， ， ，
，
如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ，
由折叠得： ，
∵点 ， ， 在同一条直线上，
∴ ，
， ，
，
，
，
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，即 ，
，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）①当 时，始终有 与对角线 平行．
理由：如图，设 、 交于点 ，
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四边形 是矩形，
， ，
，
设 ，
则 ，
由折叠得： ， ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
；
② ，理由如下：
如图，过点 作 于 ，设 交 于 ，
由折叠得： ， ， ，
设 ， ，
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由①得： ，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等
腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉
及知识点多，综合性强，难度较大．
27．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践
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主题任
“我的校园我做主”草坪设计
务
学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：
任 校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，
务
具体要求：
背
景 （1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；
入
（2）两条小路必须设计成平行四边形；
项
探 九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：
究
环
节 驱
动
任 （1）直观猜想：方案中
务
一
小路的总面积大小关系 ， ；（请填“相等”或“不相等”）
验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：
纵向小路面 横向小路 纵横交叉
方案 小路总面积
积 面积 面积
驱
深
动 乙方案
入
任
探
务
究 甲方案
二
丙方案
（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积： ；
驱
动
任 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？
务
三
为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹
驱 锐角 ．
拓
动
展
任 （4）若 时，用含 的代数式拓表示四边形 的边长 ；
探
务
究 （5）若 时，请用含 的三角函数表示两条路重叠部分四边形 的面积，并写出
四
取值范围．
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【答案】（1）相等，不相等；（2） 平方米；（3）两条小路的宽度是1米；（4） x米；
（5）
【分析】（1）应用平移的性质即可求得答案；
（2）根据小路总面积 横向小路面积 纵向小路面积 重叠部分的面积，即可得出答案；
（3）表达出草地面积，建立方程求解即可；
（4）连接 ，过点 作 ，交 于 ，由 ，得出四边形 是圆内
接四边形，进而可得 ，即 ，再运用解直角三角形即可求得答案；
（5）连接 、 、 、 ，过点 作 ，交 于 ，可证得四边形 是正方形，边
长为 ，即可得出正方形 的面积；当 与 重合时， 最小，即 的值最小，而 的最大值
为1，即可求出答案．
【详解】解：（1）如图1，
，
， 不确定，
，
故答案为：相等，不相等；
（2） （平方米），
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故答案为： 平方米；
（3）由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：两条小路的宽度是1米；
（4）如图2，连接 ，过点 作 ，交 于 ，
， ，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，四边形 是平行四边形，
， ，
（米 ；
（5）如图3，连接 、 、 、 ，过点 作 ，交 于 ，
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则四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
由（4）知： ，
，
四边形 是矩形，
在 中， ，
同理可得 ，
，
四边形 是正方形，
两条路重叠部分四边形 的面积为 平方米；
如图4，当 与 重合时，
， ，
，
此时 最小，即 的值最小，
，
，
在 中， ，
，
．
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【点睛】本题是解直角三角形应用问题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，直角三角形的
性质，解直角三角形等，解题关键是理解题意，熟练运用解直角三角形解决问题．
28．（2024·山西大同·三模）综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1， 是等边三角形，点 是 边上一点，点
是直线 上一点，当点 与点A重合时，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
试判断 和 的数量关系并说明理由．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）“自强”小组通过合作交流提出以下问题：如图2，当点 在线段 上且 时，连接 ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，试判断 ， 与 的数量关系并说明理由．
（3）“开拓”小组通过借鉴“自强”小组的研究，提出问题：如图3，当点 在 的延长线上时，连接
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，交 于点 ，连接 ，若等边 的边长为6，
， ，求 的长．请你思考问题，直接写出结果．
【答案】（1） ，理由见解析（2） ，理由见解析（3）
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，牢
记相关判定与性质是解题关键，
（1）根据等边三角形的判定与性质证明 即可证出结论；
（2）作 ，交 于点M，根据等边三角形的判定与性质证明 即可证明结论；
（3）作 交 延长线于点P，延长 ，交 延长线于点Q，证明 是等边三角形，进而证
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明 ，求出 长，根据 求出 ，再根据 求出 ，即可求
出结论．
【详解】解：（1） ，理由如下：如图，
由题意得： ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2） ，理由如下：
如下图，作 ，交 于点M，
由题意得： ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
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，
，
，
，
，
，即 ，
，
；
（3）作 交 延长线于点P，延长 ，交 延长线于点Q，
由题意得： ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ,
，
，
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，即 ，
， ，
，
，
，即 ，
，
．
29．（2024·山西晋中·三模）综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片 ，点 在线段 上，点
在线段 上，且满足 ，连接 ．
数学思考：
(1)线段 与 的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接 交 于点 ，将 绕点 顺时针旋转，取线段 的中点并记为 ，连接
，猜想线段 与 之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将 绕点 顺时针旋转，若 ，当 三点共线时，直接写出线段
的长．
【答案】(1) ；
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(2) ，理由见解析
(3) 或
【分析】 连接 ，则 ， ， ，根据题意得 ，判定
，有 ， ，即可得到 ；
连接 ，由（1）知， 和 都是等腰直角三角形．可证得 ，有 ，
进一步证得 ，得到 ．在 中， 即可；
当点 在线段 上时，由题意得 ，得到 ．利用勾股定理得 ，即可
求得 ，利用（2）的结论即可求得 ；当点 在线段 上时，同上求得 ，利用（2）的结论即可
求得 ．
【详解】（1）解： ．理由如下：
连接 ，如图，
∵四边形 为正方形纸片，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
则
（2） ．
理由：如图1，连接 ．
图1
由（1）知， 和 都是等腰直角三角形．
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
．
在 中， ，
，
．
（3）线段 的长为 或 ．
情况1：如图2，当点 在线段 上时，
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图2
，
．
在 中， ．
是 的中点，
．
，且点 在同一条直线上，
，
在 中， ，
．
，
．
情况2：如图3，当点 在线段 上时，
图3
，
，
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在 中， ．
是 的中点，
．
，且点 在同一条直线上，
．
在 中， ，
．
，
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的判定和性质、解
直角三角形、勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉旋转的性质和相似三角形的性质，以及
作辅助线．
30．（2024·江苏盐城·二模）综合与实践
折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，
探究数学的奥秘．
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【折纸探究】
如图1，在矩形纸片 中，点 、 分别在边 和 上，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在
边上的点 处，点 落在点 处，连接 ，则 与 的位置关系为______；
折叠一：小明发现，当点 和点 重合时，连接 ，如图2，则有 ，请说明理由；
折叠二：如图3，若矩形 是一张A4纸 ，探究 、 和 三者之间的数量关系，并
说明理由；
【解决问题】
小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．
如图4，在矩形纸片 中，点 、 分别在边 和 上，连接 、 、 ， 平分 ，
， ，求 的值．（用含有 的代数式表示）
【答案】折纸探究： ；折叠一：见解析；折叠2： ，见解析；解决问题：
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【分析】折纸探究：由折叠的性质可得 ；折叠一：可证明 ，得结论 ；
折叠二：过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 ，得
，从而求出 、 和 的关系；解决问题：延长 到点 ，使得 ，连接
，交 于点 ，连接 ．易证 ，可转化为“折叠二”问题，得 ，
把 代入 ， 得
【详解】折纸探究： ，
折叠一：连 ，交 于点 ．
∵点 和点 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
折叠二：过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵点 和点 关于 对称，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ．
解决问题：
延长 到点 ，使得 ，连接 ，交 于点 ，连接 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
转化为“折叠二”问题，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，关键是
作适当的辅助线构造相似三角形．
31．（2024·山东临沂·二模）综合与实践
【提出问题】
在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形 中，点 是射线 上的一个动点，
过点 作 交正方形的外角 的平分线于点 ．求证： ．
（1）如图1，当点 在边 上时，小明的证明思路如下：
在 上截取 ，连接 ．
则易得 ， ，______．
． ．
补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）基础上，过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角形
，点 在射线 上．求证： ；
【拓展应用】
（3）过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角形 ，点 在射线
上．当 ， 时，请求出线段 的长．
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【答案】（1） ；（2）见解析；（3）3或7
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用等角的余角相等求得 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，同理 ，即可求解；
（3）分当 在线段 上和当 在 延长线上时两种情况讨论，利用全等三角形的性质结合等腰直角三
角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）在 上截取 ，连接 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
．
．
．
故答案为： ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ．
则 ，
是等腰直角三角形，
，则 ， ， ，
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，
；
（3） ，则 是等腰直角三角形，
，
，
，
；
当 在线段 上时，
，即 ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当 在 延长线上时，延长 ，使 ，连接 ，
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则 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
；
综上，线段 的长为3或7．
32．（2024·山东泰安·二模）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也
伴随着我们初中数学的学习．
在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借
助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，现在就让我们带着数学
的眼光，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
【实践操作】
如图，在矩形纸片 的对角线 上有一动点 （点 不与点 ，点 重合），小颖将矩形纸片
折叠，使点 与对角线 上的动点 重合，然后展开，折痕交 于点 ，交 于点 ，连接
， ．
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【问题解决】
(1)如图1，点 在对角线 的不同位置时，小颖发现 ， 会出现特殊性，比如它们可以是直
角三角形，等腰三角形等，而且很多线段之间存在着一些数量关系．若矩形纸片 的边长 ，
．
①当 为直角时，求线段 的长；
②当 为等腰三角形时，求线段 的长；
(2)如图2，连接 ，作 交 于点 ，求证： ．
【答案】(1) ； 或 或 ；
(2)证明见解析．
【分析】（ ） 由 垂直平分 ，得 ，根据四边形 是矩形，可得 ，再求
出 ，则 ，设 ，则 ，由勾股定理即可求解；
点 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，分第一种情况：
时，第二种情况： 时，第二种情况： 时进行讨论即可求解；
（ ）连接 ，由四边形 是矩形，得 ， ， ，可证
四点共圆，由圆周角定理得 ，故有 ，根据相似三角形的性质得
，即 ，再证明 ，得 ，由 ，则 即可．
【详解】（1） 当 为直角时，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
∴ ；
由题意得： 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
则以点 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，如图，
∴点 ， ， ，
设 所在直线解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 所在直线解析式为 ，
设 ， ，
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∴ ， ，
，
第一种情况： 时，
，解得： ，
∴ ；
第二种情况： 时，
，解得： （舍去）， ，
∴ ，
第二种情况： 时，
，解得 （舍去）， ，
∴ ；
（2）连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，且 为公共角，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，，解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
33．（2024·河南驻马店·三模）综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在 中，
， ， ， 为斜边 的中点，将与 全等的 绕点 旋转得到 ．
操作发现：
（1）如图①，顺时针旋转一定角度，记 和 分别与 交于点E，F，当 时，猜想 和
的数量关系为______，并证明你的猜想；
（2）如图②，继续旋转一定角度，当线段 经过点B时，连接 ，试判断四边形 的形状，并证
明你的结论；
实践探究：
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（3）在整个旋转过程中，当 在 下方，且 的直角边恰好与 垂直时，设线段 与直
线 交于点G，直线 交射线 于点H，连接 ，请直接写出 的长．
【答案】（1）相等，见解析；（2）平行四边形，见解析；（3） 或
【分析】对于（1），根据旋转的性质可知 ，再根据“等角对等边”得出答案；
对于（2），结合已知可得 ，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得 ，可得
结论；
对于（3），分两种情况讨论：①当 时，根据勾股定理，得 ，再根据中点定义得
，结合 ，得 ，即可求出 ，进而求出 ，然后
证明 ，可知 ，可求 ，最后根据 得出答案；
②当 时，设 交 于点I，可得 ，再说明 ，结合中点的定义求出 ，
然后证明 ，可得 ，即可求出 ，最后根据勾股定理得出答案.
【详解】（1） ；
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
根据旋转的性质，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是平行四边形．
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证明：由题意，得 ．
在 中，∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
根据旋转的性质，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3） 的长为 或 ．
分两种情况讨论：①当 时，
∵ ， ，
根据勾股定理，得 ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
在 中， ，由旋转的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
②当 时，如图，设 交 于点I，点G与点C重合，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 为 的中点，则
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
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∴ .
综上所述 的长为 或 .
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，中位线
的性质等，准确的画出图形是解题的关键，注意多种情况讨论．
34．（2024·山西吕梁·模拟预测）综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊
三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两
个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以
构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形 中， 为 边上一点，过点
B作 ，且 ，以点E为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点F，连接 并延长，
交 的延长线于点G，连接 ．
观察发现：
（1）①图1中 与 的数量关系为___________；
②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
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（2）如图1，试猜想 与 的位置关系，并给出证明．
拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形 中，其他条件不变，若射线 恰好经过 的中点O，且 ，
，请直接写出 的长．
【答案】（1）① ；②四边形 是平行四边形；理由见解析；（2） ；（3） 的长
为 ．
【分析】（1）①利用 证明 即可得到 ；②证明 ，得到 ，即
可证明四边形 是平行四边形；
（2）证明 和 ，根据等腰三线合一的性质即可得 ；
（3）连接 ，证明四边形 是矩形，得到 ，再推出 ，得到
是线段 的垂直平分线，则 ，设 ，再列式计算即可求解．
【详解】解：（1）① ；
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②四边形 是平行四边形；理由如下，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
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（2） ；理由如下，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）②得 ，
∴ ，
根据等腰三线合一的性质得 ；
（3）连接 ，
∵点O是 的中点，则点O也是 的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ 都是等腰直角三角形，
则四边形 是矩形，
∴ ，
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∴ ，
由 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段
垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
35．（2024·山西运城·三模）综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．
智慧小组准备了两张矩形纸片 和 ，其中 ，将它们按如图 所示
的方式放置，点 落在 上，点 落在 的延长线上，连接 和 ．
观察发现：
（1）如图 连接 ，则 和 的位置关系是__________， ___________．
操作探究：
（2）如图 ，将矩形 绕点 按顺时针方向旋转 （ ），试探究（1）中 和 的数
量关系是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在矩形 旋转的过程中，当 三点共线时，直接写出线段 的长．
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【答案】（1） ； ；（2）成立，见解析；（3） 或
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助
线是解题的关键．
（1）由矩形性质得到 的长度，求 的长度，用勾股定理求解
的长度， 可得，用勾股定理逆定理可判定 是直角三角形，故 ．
（2）连接 和 ，结合矩形性质和勾股定理可求 的长度，求得 ，且 ，
故 ，可得 、 ，求得 ，故 ，
得证；
（3）有两种情况，若当点 在 的延长线上，在直角三角形 中求 ，则 ，结合
（2）中 ，可求 ；若点 在线段 上，在直角三角形 中求 ，则 ，结
合（2）中 ，可求 ．
【详解】解：如下图，连接 ，延长 相交于 ，
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∵四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ， ，
∴在 中， ，
同理： ，
，
∴
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，．
故答案为：垂直， ；
（2）成立
理由：如下图，连接 和 ．
四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴
四边形 是矩形， ，
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∴ ，
∴
在 和 中，
， ，
∴ ．
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3） 的长为 或
情况一：如下图，当点 在 的延长线上时，
，
∴ 为直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
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由（2）得 ，
∴ ．
情况二：如图 ，当点 在线段 上时，
，
∴ 为直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
由（2）得 ，
∴ ．
综上所述，当 三点共线时，线段 的长为 或 ．
【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，
孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键．
36．（2024·广西南宁·二模）综合与实践
【问题情境】在《综合与实践专题》课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到
两个全等的三角形纸片，表示为 和 ，其中 ， ，将 和
按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）
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【数学思考】
（1）当 时，延长DE交AC于点G，求证：四边形BCGE是正方形；
【深入探究】
（2）老师将图2中的 绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点A作 交BE的延长线于点M，BM
与AC交于点N，则有 请你予以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当 时，过点A作 于点H，若 ，
，求AH的长．请你思考此问题，并写出求解过程．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；② ，过程见解析．
【分析】 先证明四边形 是矩形，再由 ≌ 可得 ，从而得四边形 是正方
形；
①由已知 可得 ，再由等积方法 ，再结合已知即
可证明结论；
②设AB，DE的交点为M，过M作 于G，则易得 ，点G是BD的中点；利用三角函数
知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】 证明： ，
，
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∵ ，
∴ ，
，
四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形；
证明：∵ 交BE的延长线于点M，
，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
，
∵ ，
∴ ，
由 得 ，
∴ ；
②解：如图，设AB，DE的交点为M，过M作 于点G，
∵ ≌ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得 ，
，
，
，
即 ，
，
∵ ， ， ，
∴ ∽ ，
，
，
∴ 的长为
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是适当添加的辅助线、构造相似三
角形．
37．（2024·河南新乡·模拟预测）综合与实践
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，将顶点都在格点上的 进行如下变换后（点A，B，C的对应点分别为
， ， ），以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形的是 ．（填写序号）
①将 向左平移3个单位长度；②作 关于x轴的对称图形；③将 绕点O旋转 ．
（2）探究迁移
如图2， 中， ，点 是 上一动点（点 不与点 重合），将 绕点
旋转 ，得到 ，连接 ， ， ．请仅就图2的情形解决以下问题：
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①判断四边形 的形状，并说明理由；
②若点 是 的中点， ，求 的长．
（3）拓展应用
如图3，在（2）的条件下， 在 上，将 沿 翻折，得到 ．若 ，当 和
重叠部分的面积是 时，请直接写出 的面积．
【答案】（1）①③；（2）①平行四边形，证明见解析，② ；（3）
【分析】（1）分别画出图形，再结合平移，旋转，轴对称的性质作答即可；
（2）①如图，连接 ，证明 共线， ， ，可得四边形 是平行四边形；②
如图，连接 ，证明四边形 是菱形，可得 ，证明四边形 是菱形；再进一步作答
即可；
（3）证明 ，记 的交点为 ，如图，证明 是等边三角形，过 作
于 ， 结合面积可得 ， ，证明 ，过 作
于 ，求解 ，再结合面积公式可得答案．
【详解】解：（1）①如图， 是平移后的三角形，
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∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
②如图， 是轴对称后的三角形，
此时 ，
∴四边形 不是平行四边形；
③如图， 是旋转后的三角形，
由中心对称的含义可得： ， ，
∴四边形 是平行四边形；
故答案为：①③
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（2）①如图，连接 ，
∵将 绕点 旋转 ，得到 ，
∴ 共线， ， ，
∴四边形 是平行四边形；
②如图，连接 ，
在 中， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形；
∴四边形 是菱形；而 ，
∴ ，
∴ ；
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（3）∵在 中， ， ，
∴ ， ， ，
结合旋转可得： ， ， ， ，
∴ ，
记 的交点为 ，如图，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过 作 于 ，
设 ，则 ， ，
∵ 和 重叠部分的面积是 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得： ，
∴ ，
过 作 于 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是平移，旋转，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30
度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，熟练的利用
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数形结合的方法解题是关键．
38．（2024·河南南阳·模拟预测）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋
转问题”．
问题情境：在菱形 中， ， 为边 上一点（与 、 不重合），连接 ，并将射线
绕点 在平面内顺时针旋转，记旋转角为 ．
【操作感知】
（1）小华取 ，如图1，射线 与射线 交于点 ，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案：
①线段 与 的数量关系是 ；
②线段 、 、 的数量关系是 ．
【猜想论证】
（2）小强取 ，如图2，射线 与射线 交于点 ，小强在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段 与 的数量关系与（1）①相同
但线段 、 、 的数量关系好像不再成立
我发现线段 、 、 之间好像具有与（1）②类似的数量关系
请你帮小强同学完成线段 、 、 之间数量关系的猜想并给出证明．
【拓展探究】
（3）小毅测量得到 ， ，如图3，在旋转过程中，设点 的对应点为 ，当点 落在边 所
在的直线上时，记点 到直线 的距离为 ，请直接写出 的值．
【答案】（1）① ；② ；（2） ,理由见解析 ；（3） 或
【分析】（1）①由“ ”可证 ，可得 ；
②由全等三角形的性质可得 ，由线段的和差关系可得结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
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（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）① 四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
由旋转可得： ，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
，
，
故答案为： ；
（2） ．理由如下：
证明：在 上截取 ，连接 ，
四边形 是菱形， ，
， ，
，
，
又 ，
为等边三角形，
， ，
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， ，
，
由旋转的性质可得： ，
，
，
，
，
；
（3）如图3，当点 在线段 的延长线上时，过点 作 直线 于 ，
， ，
，
，
，
，
，
， ；
当点 在 的延长线上时，过点 作 于 ，
， ，
，
，
，
，
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，
， ；
的值为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，
直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
39．（2024·广西南宁·三模）综合与实践
【问题情境】四边形 是边长为5的菱形， 与 相交于点O，将 绕点B按顺时针方向旋
转得到 ，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为 α．
【观察思考】
（1）如图1，当点F第一次落在对角线 上时，求 与 的数量关系以及α的度数．
【探究证明】
（2）如图2，当 ，且 时， 与 交于点G．试判断四边形 的形状，并说明理
由．
【拓展延伸】
（3）如图3，连接 ，在旋转过程中，当 与菱形 的一边平行时，且 ，请直接写
出线段 的长．
【答案】（1） ， ；（2）四边形 为菱形，理由见解析；（3） 或10或
【分析】（1）设 交 于点O，由菱形的性质可得 ， ，再由旋转的性质得
，可得 ，即可求解；
（2）由菱形的性质得 ，再由旋转的性质得 ， ，证得四边形 是平
行四边形即可得证；
（3）分三种情况：①当 时，证明四边形 是菱形，过点D作 于点H，设 ，
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则 ，由菱形的性质求得 ，则 ， ，再利用勾股定理求得 ，再利用勾
股定理求得 ，即可求解；②当 时，则 ，证E、B、C三点共线，即可求解；
③当 ，且 在 上方时，过点E作 于点G，则 ，由锐角三角函数定
义求得 ， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，设 交 于点O，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， ，
由旋转的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 为菱形，理由如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 为菱形；
（3）①如图，当 时，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
过点D作 于点H，
则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∵四边形 是边长为5的菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴E、B、C三点共线，
∴ ；
③如图，当 ，且 在 上方时，过点E作 于点G，
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则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或10或 ．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理，
熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键．
40．（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形 中， ，动点 以每秒1个单位的速度从 点出发匀
速运动，到达点 时停止，作 的垂线交 于 ，连接 ，设点 的运动时间为 ， 的面
积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由B点向C点运动时，
①当 时， ________， ________；
②经探究发现S是关于t的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为________．自变量取值范围为
________．
（2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象；
t 0 1 2 3 4
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s 8 （ ） （ ） （ ） 8
延伸探究
（3）①当 ________时， ；
②当△ABP的面积为S的一半时，求t的值．
【答案】（1）① ， ；② ， ；（2）6.5，6，6.5，画图见解析；（3）①
或 ；② ．
【分析】（1）①证明 ，计算出 ，利用三角形的面积公式即可求解；②
由题意计算得 ， ，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据函数解析式计算，完成填空绘制图象即可；
（3）①由 时，建立方程求出符合题意的值即可；②根据当 的面积为 的一半以及三角形的面
积公式建立方程，求出答案即可．
【详解】解：（1）①当 时， ，
又 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，则 ，
的面积 ，
②当点 由点 运动到点 时， ， ，
，
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，即 ，
，
，
的面积 ，
（2） 时， 时， 时， ，完成列表中的填空
如下，
0 1 2 3 4
8 6.5 6 6.5 8
在坐标系中绘制出函数的图象如下；
（3）① ，
，解得 ，
②当点 由点 运动到点 时， ，
的面积为 的一半
，解得 ，
∵ ，
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；
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，
一元二次方程的解法等，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
41．（2024·山东济南·二模）综合与实践
【问题情境】
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1， 是线段 上的一点，以 和 为直角边分别
作等腰直角 和等腰直角 ，点 在边 边上，连接 和 ．
（1）试判断 和 的位置关系，并说明理由．
【实践探究】
（2）“勤学小组”受此问题启发，将图 中的 绕着点 逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，使得点
落在 的外部，得到 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，连接 ， ，如图 ，
请判断 与 之间的位置关系，并加以证明．
【拓展探究】
（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中，
D 为 内一点，当 ， ， 时，求线段
的长．
【答案】（1） ，理由见解析（2） ，理由见解析（3）
【分析】（ ）延长 交 于点 ，由 和 都是等腰直角三角形即可求证；
（ ）延长 交 于点 ，证明 ，根据性质和角度和差即可求证；
（ ）如图过点C作 ， 并截取 ，连接 ，证明 ，可得
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，求解 ，可得 过A作 垂足为N，
为等腰直角三角形，再进一步解答即可．
【详解】解： ，理由：
如图 ，延长 交 于点 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由：
如图 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） 如图
过点C作 ， 并截取 ，连接 ，
∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
在直角 中， ，
∴ ，
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，
过A作 垂足为N，
∴ 为等腰直角三角形，
在直角 中，
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和 角所对直角边是斜边的一半，
锐角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
42．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：
（1）如图①，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置，则 与
之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：
（2）如图②，若点 落在四边形 的边 下方时，试猜想此时 与 ， 之间的数量关系，并
说明理由；
结论运用：
（3）如图③，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 边上的一点，沿 将四边形
折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，且 ， ．
① 的度数为 ；
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②若 ， ，求点 到 的距离．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）① ；②
【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得出 ．由三角形外角的性质可得出结论；
（2）由三角形外角的性质得出 ， ，则可得出结论；
（3）①延长 交 的延长线于 ，由（2）中结论可知 ，求出 即可得出答案；
②过点 作 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，求出 ， ．
求出 ，得出 ，则可得出答案．
【详解】解：（1） ，
理由如下：连接 ，如图①，
将三角形纸片 沿 折叠，点 落在四边形 内点 的位置，
．
， ，
，
即 ；
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：设 与 交于点 ，如图②，
， ，
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，
；
（3）①延长 交 的延长线于 ，由（2）中结论可知 ，如图③，
，
．
，
．
故答案为： ；
②过点 作 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，如图，
， ，
， ．
，
，
，
，
．
，
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，
，即点 到 的距离为 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，勾股定理
及直角三角形的相关性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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