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考前突破 06 二次函数与几何综合题（4 大必考题型）
题型一：与线段有关问题
题型二：与面积有关问题
题型三：与角度有关问题
题型四：与特殊图形存在性有关问题
题型一：与线段有关问题
【中考母题学方法】
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．
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2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三
点，且一次函数 的图象经过点 ．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．这样的
， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交于 ，
两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．
过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？
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3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点
，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 轴于点E，交 于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的周长是线段 长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 ，过点B作直线 ，连接 并延长
交直线 于点M．当 时，请直接写出点Q的坐标．
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4．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数 的图象和性质，探究过程如下：
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下
其中， ________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部
分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点 是函数 图象上的一动点，点 ，点 ，当 时，请直接写出所有
满足条件的点 的坐标；
(3)在图2中，当 在一切实数范围内时，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在点 的左边），
点 是点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不含端点）于 ，
两点．当直线 与抛物线只有一个公共点时， 与 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，
请说明理由．
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5．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，垂足
为点E，交直线 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平
面内，当四边形 是矩形邻边之比为 时，请直接写出点P的横坐标．
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6．（2024·辽宁·中考真题）已知 是自变量 的函数，当 时，称函数 为函数 的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任意一点 ，称点 为点 “关于 的升幂点”，
点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．例如：函数 ，当 时，则函数
是函数 的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点 ，
点 为点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．
(1)求函数 的“升幂函数” 的函数表达式；
(2)如图1，点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点” 在点 上方，当 时，求
点 的坐标；
(3)点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点”为点 ，设点 的横坐标为 ．
①若点 与点 重合，求 的值；
②若点 在点 的上方，过点 作 轴的平行线，与函数 的“升幂函数” 的图象相交于点 ，以 ，
为邻边构造矩形 ，设矩形 的周长为 ，求 关于 的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数 的图象的交点有3个时，从左到右依次记为 ， ， ，当直线
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与函数 的图象的交点有2个时，从左到右依次记为 ， ，若 ，请直接写出 的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中．直线y=kx(k≠0)与抛物线 交于 两点，点 的横坐
标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 轴的平行线，与直线 交于点C．连接 ，设点
的横坐标为 ．
①若点 在 轴上方，当 为何值时， ；
②若点 在 轴下方，求 周长的最大值．
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2．（2024·广东深圳·模拟预测）【背景】如图，二次函数 的图象经过点 和 ，与
y轴相交于点 已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线 分别交y轴于点D、点
（1）求二次函数表达式；
【特例】
（2）当点P的横坐标为4时，线段 有什么数量关系？请说明理由；
【思考】
（3）当点P为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
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3．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点
，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为C，交直线l于点D，求 的最大值
及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作 ，垂足为M．求 的最大值．
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4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与
x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，且 ．
(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上， 轴交射线 于点E，设点P的横坐标为t，线
段 的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)如图3，在（2）的条件下，作 轴交x轴于点Z，点F在线段 上，且 ，
，交直线 于点Q，当 时，R是线段 上的一点，过点R作 平行于x轴，与线段
交于点G，连接 、 ，恰好使 ，延长 交抛物线于点H，连接 ，求线段 的
长．
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5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C．连接 ．
(1)求点A和点C的坐标和直线 的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 ，交 于点E，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，过点O作直线 ，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第
一象限是否存在这样的点P，Q，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
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6．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 交 轴于点 ， ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），连接 ， 是抛物线第四象限内一点，直线 交 于 ，交 轴于点 ，若 ，
求 点坐标；
(3)如图（2），经过第四象限的直线 交抛物线于点 ， ，交 轴于点 ，作平行四边形
，连接 ，若 轴，当点 到 距离的最大时，求 的值．
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7．（2024·山西·一模）抛物线 过点 ，点 ，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若 ，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线 下方的抛物线上，过点P作 轴于点D，交直线 于点E，过P点作
，交 与F点， 的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，
说明理由．
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8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 交轴于点 ， ，交 轴于点 ，
，点 是线段 上一动点，作 交线段 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段 交抛物线于点 ，点 是 边中点，当四边形 为平行四边形时，求出
点坐标；
(3)如图2， 为射线 上一点，且 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，交直线 于点 ，连
接 ， 为 的中点，连接 ， ，问： 是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，
若不存在，请说明理由．
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9．（2024·河北张家口·模拟预测） 如图， 二次函数 的图象交 轴于 、 两点， 并
经过 点， 已知 点坐标是 ， 点坐标是 ．求二次函数的解析式； 求函数图象的顶点坐标及
点的坐标； 二次函数的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？ 若 点存在，求出
点的坐标； 若 点不存在，请说明理由．
10．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点
，与y轴交于点 ．
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(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点 ，其中 ，若 ，求 的值；
(3)若点D，E分别是线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值．
11．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、B两点，与
轴交于点C， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接 ，当 时，求点 的坐标．
(3)如图2，过点 作 交抛物线于点 ，已知点 是线段BC上方抛物线上一点，过点 作
轴，交 于N，在线段 、 上分别有两个动点E、F， ，G是 的中点，当
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取得最大值时，在线段 上是否存在一点H，使得 的值最小？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二：与面积有关问题
【中考母题学方法】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像
的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的
下方，连接 、 ．
(1)求b、c的值；
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(2)求 的面积的最大值．
2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
的长为 ，请写出 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的最大值．
3．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，
顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．
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(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
4．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交y轴于点 ，
点P是抛物线上一动点．
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(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接 ，判断 的形状，并说明理由．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点
坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
6．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数 的图像经过 ， 两点，其中a，
b，c为常数，且 ．
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(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是 ，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线 交于点
E，连接 ， ， ．是否存在点P，使 ？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说
明理由．
7．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观
察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄
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在y轴上，坐标原点O为伞骨 ， 的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， ， 关
于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长 ， 交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ，将抛物线向右平移 个单位，得到一条
新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．若 ，求m的值．
8．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于
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点 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点 是 轴上方抛物线上一点，射线 轴于点 ，若 ，且 ，请
直接写出点 的坐标．
(3)如图2，点 是第一象限内一点，连接 交 轴于点 ， 的延长线交抛物线于点 ，点 在线段
上，且 ，连接 ，若 ，求 面积．
9．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴
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交于点A(−2,0)和点 两点，与y轴交于点C(0,6)．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面积和
为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线 经过点 、 、 ．
(1)求该抛物线的表达式及其对称轴l；
(2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结 、 ，求 的面积．
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2．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点 在该抛物线上，求 的面积．
3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线
方程为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标；
(3)直线 上方的抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，点 的坐标是什么？ 的最大面积
是多少？
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4．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点C，且满足
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段 上的一点（不与点B，C重合），过点M作 轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连
接 ，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使 的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，
请说明理由．
5．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线 与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知
．
(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
(2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接 ，当 面积最大时，求M点的坐标．
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(3)若点M坐标固定为 ，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当 与 的面积相等求出点
Q的坐标．
6．（2024·四川眉山·二模）如图，二次函数 的图象经过 ，对称轴是直线 ，
线段 平行于 轴，交抛物线于点 ．在 轴上取一点 ，直线 交抛物线于点 ，连结 、 、
、 ．
(1)求该二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)坐标平面内一点 ，使 ，求点 的坐标；
(3)设点 是 的中点，点 是线段 上的动点，问 为何值时，将 沿边 翻折，使 与
重叠部分的面积恰好是 面积的 ，并说明理由．
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7．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， 两
点，与y轴交于点C ，P是直线 下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)如图2，连接 ， ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，当四边形 为菱形时，求
出点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段 的长．
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8．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线 与直线 交于 两点，点 在 轴上，过点
作 轴于点 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将 沿 方向平移到 ．
①如图2，若 经过点 与 轴交于点 ，求 的值．
②如图3，直线 与抛物线 段交于点 ，与直线 交于点 ，当顶点 在线段 上移动时，求
与 公共部分面积的最大值．
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题型三：与角度有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．
(1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标；
(2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点
．
(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否存在点 使得
四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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3．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线 与 轴相交于点 ， ，与 轴相交
于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点 是抛物线的对称轴 上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值；
(3)如图2，取线段 的中点 ，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
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4．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点
和点 ．
(1)请直接写出 ， 的值；
(2)直线 交 轴于点 ，点 是二次函数 图像上位于直线AB下方的动点，过点 作
直线AB的垂线，垂足为 ．
①求 的最大值；
②若 中有一个内角是 的两倍，求点 的横坐标．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，过点 作直线 轴，过点 作 ，交直线 于点 ．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 为第三象限内抛物线上的点，连接CE和 交于点 ，当 时．求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接 ，在直线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作 于点
，求 的最大值及此时点 的坐标；
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(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后的对
应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写出所有
符合条件的点 的坐标．
7．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于 两点（ 在 的左侧），连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是射线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ．点 是线段
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上一动点， 轴，垂足为 ，点 为线段 的中点，连接 ．当线段 长度取得最大
值时，求 的最小值；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点 ，且与直
线 相交于另一点 ．点 为新抛物线上的一个动点，当 时，直接写出所有符合条件的
点 的坐标．
8．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没有最大值，
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请说明理由．
(3)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线L过 三点， ．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)在x轴下半部分的抛物线L上有一点M，连接 ，当 为锐角时，设点M的横坐标为m，求
m的取值范围．
2．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好
经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B．
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(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当 时， 求点 M的坐标．
3．（2024·上海嘉定·三模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，
，且与 轴交于点 ．
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(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点 作 ，交线段 的延长线于点 ，如果 ．
求：点P坐标
(3)若点 是线段 （不包含端点）上的一点，且点 关于 的对称点 恰好在上述抛物线上，求
的长．
4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A，B两点（A点
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在B点左侧），与y轴交于点C(0,−3)，对称轴是直线 ，直线 经过点B，C．
(1)求抛物线和A，B两点坐标；
(2)点M为y轴上一点，是否存在点M，使得△ 与△ 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得 中有一个角是 ，请直接写出点P的坐
标．
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5．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线 经过 两点，与y轴交于点C，
P为第四象限抛物线上的动点，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ，过点P作x轴的垂线交直线 于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与 相似，请求
出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，其对称轴为 ，点 的坐标为(2,0)，点 在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点 在 轴上，且点 在 的下方，若 ，求点 的坐标；
(3)如图2， 为线段 上的动点，射线 与线段 交于点 ，与抛物线交于点 ，求当 取最大
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值时，点 围成的三角形的面积．
7．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过直线 上的点 ，已
知 ．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移 个单位后，所得新拋物线与 轴相交
于点 ，如果 ．
①求 的值；
②设新拋物线的顶点为点 ，新拋物线上的点 是点 的对应点．联结 ，在新拋物线的对称轴上
存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
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8．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 、
（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，联结 ， ，抛物线的顶点为点 ．
(1)求 的值和点 的坐标；
(2)点 是抛物线上一点（不与点 重合），点 关于 轴的对称点恰好在直线 上．
①求点 的坐标；
②点 是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接 ，如果 ，求点 的坐标．
9．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系 中（如图）．已知抛物线 的顶点A
的坐标为 ，与y轴交于点B．将抛物线沿射线 方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标
为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．
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(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果 是锐角，求平移距离的取值范围．
10．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，
B(4,0)，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线 下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的
对称轴于点D，过点P作 于点E，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中 取得最大值的条件下，将该地物线沿射线 方向平移 个单位长度，点F为点P
平移后的对应点，连接 ，点M为平移后的抛物线上一点，若 ，写出所有符合条件的点
M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
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11．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交
于A， 两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点 是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P分别作 交x轴于点M， 轴交直线 于点
N．求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿 方向平移 个单位长度得到新抛物线，点 是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的
对应点，点G是新抛物线上一动点，连接 ．当 时，请直接写出所有符合条件的点
G的坐标．
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12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 且交x
轴于点 ，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接 ， ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作 交x轴于点M， 轴交 于点H，求
的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)连接 ，把原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度后交x轴于 ， 两点（ 在 右侧），在新
抛物线上是否存在一点G，使得 ，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
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13．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面 中，直线 向下平移5个单位后，正好经过抛
物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当 时，求点M的坐标；
(3)将原抛物线顶点C平移到直线 上，记作点 ，新抛物线与y轴的交点记作点 ，当
时，求 的长．
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14．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线 与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴
负半轴交于点C，坐标原点为O，若 ， ，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右
侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段 的中点，①当 时，请求出点P的坐标；②当 时，请求出点P的
坐标．
题型四：与特殊图形存在性有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ，对称轴是直
线 ．
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(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 是等边三角形时，求出此三角形
的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 ，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线 经过 的三个顶点，其中 为坐标原点，
点 ，点 在第一象限内，对称轴是直线 ，且 的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点 的坐标；
(3)设 为线段 的中点， 为直线 上的一个动点，连接 ， ，将 沿 翻折，点 的对应
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点为 ．问是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合
条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，
和 ，连接 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，
交 轴于点 ．
(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
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(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶
点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
4．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于B(4,0)，
C(−2,0)两点．与y轴交于点 ．
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(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，
其中 ， ．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理
由；
(3)点 是对称轴 上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围．
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6．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：是否存在
点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点分别为
和 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 作 轴平行线交 于点 ，过点 作 轴平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
点 的坐标；
(3)如图2，设点 为抛物线对称轴上一动点，当点 ，点 运动时，在坐标轴上确定点 ，使四边形
为矩形，求出所有符合条件的点 的坐标．
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8．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使 为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，
与 轴交于点C(0,−3)， 为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．
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10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
(3)将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四
边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
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11．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
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(3)点 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数 与 同时满
足 ，则称函数 与函数 互为“美美与共”函数．根据该约
定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数 与 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运
动，函数 与 互为“美美与共”函数．
①求函数 的图像的对称轴；
②函数 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 与它的“美美与共”函数 的图像顶点
分别为点A，点B，函数 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 的图像与x轴交于不同两点E，F．
当 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若
不请说明理由．
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14．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 的图像与x轴相交于点 ，其顶点是
C．
(1) _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线
经过点D，过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知 是直角三角形，求点P的坐标．
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点
A，点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
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(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与
轴交于点 ，过 点的直线 与 轴交于点 ，与抛物线 的另一个交点为 ，已
知 ， ， 点为抛物线 上一动点（不与 、 重合）．
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(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)当点 在直线 上方的抛物线上时，连接 、 ，当 的面积最大时，求 点的坐标；
(3)设 为直线 上的点，探究是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数 图象顶点坐标为 ，一次函数
图象与二次函数图象相交于y轴上一点 ，同时相交于x正半轴上点C．
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(1)试求二次函数 与一次函数 的表达式．
(2)连接 ，试求四边形 的面积．
(3)假设点P 是二次函数 对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在
这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
3．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴
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交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线 上方抛物线上的点，连接 、 ，求 的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
4．（2024·海南海口·一模）已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、
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、 三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接 、 ，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段 交于
点 ，当 与 相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
5．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于
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点B，点C在线段 上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线 经过点B，与x
轴的另一个交点为 ．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)当 时，求抛物线M的解析式；
(3)当 时，求a的取值范围；
(4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是 ， ，当 在y轴上， 轴，且以B，C， ，
为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式．
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6．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ，
与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相
交于点 ，
①求点 的坐标；
②已知点 为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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7．（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，已知抛物线： 与 轴交于 ， 两点（ 在 的左
侧），与 轴交于点 ．
(1)直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)将抛物线 经过向右与向下平移，使得到的抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的右侧），顶点
的对应点为点 ，若 ，求点 的坐标及抛物线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点 在 轴上，则在抛物线 或 上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点
的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（2023·广西桂林·模拟预测）已知直线 分别与 、 轴交于 、 两点，抛物线
经过点 、 ，其对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使 最小，求出此时点P的坐标；
(3)点 是抛物线上的一点，过点 作对称轴 的垂线，垂足为 ，点 是直线 上异于点 的一点．若以
点 、 、 顶点的三角形与 全等，求符合条件的点 、 的坐标）．
9．（2023·山东德州·一模）已知二次函数 与 轴只有一个交点，且系数 、 满足条件
．
(1)求 解析式；
(2)将 向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数 ，该函数交 轴于点
，交 轴于 、 （点 在点 的右侧），点 是该抛物线上一动点，从点 沿抛物线向点 运动（点
与 不重合），过点 作 轴，交 于点 ，当 是直角三角形时，求点 的坐标；
(3)在问题（ ）的结论下，若点 在 轴上，点 在抛物线上，问是否存在以 、 、 、 为顶点的平
行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于A、
B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
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(1)求点A、P的坐标；
(2)连接 ，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作 轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与 全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
11．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
点 为线段 下方抛物线上一动点，连接 ， ．
(1)求抛物线解析式；
(2)在点 移动过程中， 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)设点 为 上不与端点重合的一动点，过点 作线段 的垂线，交抛物线于点 ，若 与
相似，请直接写出点 的坐标．
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