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考前突破 01 规律探究（3 大必考题型）60 题
题型一：数式规律探究
题型二：图形规律探究
题型三：点坐标的规律探究
题型一：数式规律探究
【中考母题学方法】
1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数
字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数： ，进行第1次构造，
得到新的一列数： ，第2次构造后，得到一列数： ，…，第n次构造后得到一列数：
，记 ．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B． 为偶数 C． D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出 的值，以及对应的k值，可得规律
，此时 ，据此可判断A、C、D；再证明 是偶数即可判断B．
【详解】解：由题意得 ，此时 ，
，此时 ，
第3次构造后得到的一列数为 ，
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∴ ，此时 ，故A正确，不符合题意；
同理可得 ，此时 ，
……，
以此类推可知， ，此时 ，故D错误，符合题意
∴ ， ，故C正确，不符合题意；
∵ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
以此类推， 也是偶数，
∴ 为偶数，故B正确，不符合题意；
故选：D．
2．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
按照以上规律，第 个等式为 ．
【答案】
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【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等
于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号
减1，
所以第 个等式为： ，
故答案为： ．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记 为数表中第 行第 列位置
的数字，如 ， ， ．若 ，则 ， ．
【答案】 45 2
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为 时，若 为奇数，则
在第 行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若 为偶数，则 在第1行，第 列，下
一个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为 时，
若 为奇数，则 在第 行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若 为偶数，则 在第1行，第 列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
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∵ ，
而 ，在第 行，第1列，
∴2024在第 行，第2列，
∴ ， ，
故答案为：45，2．
【中考模拟即学即练】
4．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （n 为非负整数）
展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
……
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
则 展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
【答案】
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【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出 （n为非负整数）
展开式的项系数和为 ，求出系数之和即可．
【详解】解：当 时，展开式中所有项的系数和为 ，
当 时，展开式中所有项的系数和为 ，
当 时，展开式中所有项的系数和为 ，
当 时，展开式中所有项的系数和为
，
由此可知 展开式的各项系数之和为 ，
则 展开式中所有项的系数和是 ，
故答案为： ．
5．（2024·重庆江津·二模）一个四位自然数 ，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个
位数字之差为2，百位数字与十位数字之差为2，则称这个数 为“双喜数”．对于一个“双喜数” ，记
．例 ，因为 ，所以6314是“双喜数”， ．则
；若一个四位自然数 是“双喜数”，且 是整数，则满足条件的 的最大值
为 ．
【答案】 766
【分析】本题主要考查了“双喜数”的定义、实数的运算、整除等知识点，掌握实数的运算法则成为解题
的关键．
根据 的定义即可求得 ；由已知可得设
，其中 ，且x，y都是整数， ，
可得 ，而 是整数，可知 是整数，可知 必为偶数，
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为偶数，故x最大为8；设 ，即 ；然后列举 的值找到最大的y值，最
后根据“双喜数”的定义即可解答．
【详解】解：由题意可得 ，
根据“双喜数”定义，设 ，其中 ，
且x，y都是整数， ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ 是整数，
∵ ，且x是整数，
∴ ，
∴ 是整数，
设 ，即 ，
∵ ，
∴当 时，
∴满足条件四位自然数m的最大值为 ．
故答案为：766， ．
6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载
的图表给出了 展开式的系数规律．
1 …………
1 1 …………
1 2 1
1 3 3 1
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当代数式 的值为8时，则 的值为 ．
【答案】 5
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由
规律可得： ，令 ， ，可得 ，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得： ，
令 ， ，，
∴ ，
∵x 的值为8
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
7．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ，以 的斜边
为直角边作等腰直角三角形 ，再以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，
…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形 ， ， ， ，…，
，则第 个等腰直角三角形 的面积为 ．
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【答案】
【分析】本题考查图形和数字类规律探究，涉及等腰直角三角形的性质、勾股定理、算术平方根等知识，
熟练掌握等腰直角三角形的性质，找到面积变化规律是解答的关键．先求得前几个等腰直角三角形的直角
边长和面积，找到变化规律，进而可求解．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
，
，
，
，
，
……，
∴ ，
，
，
，
……
依次类推，得 ，
故答案为：
8．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，
“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数 ，若各个数位上的数字均不为0．且
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满足| − | ．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵ ，∴9226是“双
顺数”；对于2689，∵ ，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；
如果将一个“双顺数” 的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数
，并且规定： ．若 是整数，则符合条件的M的最小值是 ．
【答案】 9933 1682
【分析】此题考查学生数的表示方法及数学推理能力，解题的关键是根据题意确定出是7的倍数的数98．
一个四位数尝试最大时尝试千位数和百位数字是9，根据 可得个位，十位上数字为3，因此最
大的“双顺数”是9933．用 、 、 、 表示出 和 ，互换位置后两数 是7的倍数，
，可推断出 的最小值为1682．
【详解】解：由题意 ，当 ， 时， ，此时这个四位数是9933．
故最大的“双顺数”是为9933．因为 ，不妨设 ，则这个四位数各位上数为 ， ，
， ，
，当千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数
，
所以 ，
因为 可得 ，
又 是7的倍数，
所以可推出 的值为98
则 ，
可得 ，
因此， ， ．
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所以 ，
故 的最小值为1682．
故答案为：9933、1682．
9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算 ，得到
即可求解，找到规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ．
10．（2023·辽宁锦州·三模）设 的面积为1，如图①，将边 、 分别2等分， 、 相交于
点O， 的面积记为 ；如图②，将边 、 分别3等分， 、 相交于点O， 的面积
记为 ；……，依此类推，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．
利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得结果．
【详解】解：在图①中，连接 ，
， ，
， ， ，
， ，
，
，
设 ，则
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，
解得 ；
在图②中，连接 、 、 ，
则 ， ，
设 ，则
，
解得 ；
在图③中，连 、 、 、 、 ，
则 ， ，
设 ，则
，
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解得 ，
．
由可知， ，
，
故答案为： ．
题型二：图形规律探究
【中考母题学方法】
11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1
个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个
图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几
个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中
三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即 ，
第2个图案有7个三角形，即 ，
第3个图案有10个三角形，即 ，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有 个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为： （个）．
故选：B．
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12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个
正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（
）
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察
图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有 个，第3个图形有 个，…由此得到规
律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有 个正方形，
第3个图形有 个正方形，
……
第6个图形有 （个）正方形，
故选：B.
13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解
，可得 ，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故选C
14．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个
火柴棒．
【答案】15
【知识点】图形类规律探索
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【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此
可得第（n）个图形有 根火柴棒，即可．
【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有 根火柴棒，
第（2）个图形有 根火柴棒，
第（3）个图形有 根火柴棒，
……
第（n）个图形有 根火柴棒，
∴第（7）个图案中有 根火柴棒，
故答案为：15
15．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图
案用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“
”，……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【知识点】图形类规律探索
【分析】
本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“ ”的个数为 ，解题的关键是明确题意，
发现题目中 个数的变化规律．
【详解】
解：∵第1个图案用了 个“ ”，
第2个图案用了 个“ ”，
第3个图案用了 个“ ”，
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第4个图案用了 个“ ”，
……，
∴第n个图案中“ ”的个数为 ，
故答案为： ．
16．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按
照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和
“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
由题知 ，解得 ，
又n为正整数，则 ，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
【中考模拟即学即练】
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17．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设
图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有
12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图
形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键．
【详解】由所给图形可知，
第 1 个图形中灰砖块数为： ，白砖块数为： ，
第 2 个图形中灰砖块数为： ，白砖块数为： ，
第3个图形中灰砖块数为： ，白砖块数为： ，
所以第 个图形中灰砖块数为 块，白砖块数为 块，
当 时， （舍负），
则 （块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．
故选：D．
28．（2025·湖南娄底·一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍 根．
【答案】10121
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键；
对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律．观察图形
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发现，然后可求出第 个六边形需要 根小棒，把 代入求值即可．
【详解】解：∵有六边形 个，需要火柴棒根数为 ，
有六边形 个，需要火柴棒根数为 ，
有六边形 个，需要火柴棒根数为 ，
有六边形 个，需要火柴棒根数为 ，
……
有六边形 个，需要 根小棒，
∴有六边形2024个，需要火柴棒 （根）．
故答案为：10121．
19．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图
案中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规
律，第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案
找出规律即可．
【详解】
解：第1个图案中有： 个 ，
第2个图案中有： 个 ，
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第3个图案中有： 个 ，
第4个图案中有： 个 ，
……
∴第n个图案中有 个 ；
故答案为：
题型三：点坐标的规律探究
【中考母题学方法】
20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，
以点P为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，
其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的坐标为
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现
它关于点(1,0)中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在
函数图象上，这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索、求自变量的值或函数值、成中心对称
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，
进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
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【详解】解：∵这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点(1,0)中心对称的点为(2,1)，
即当 时， ，
∴ ，
故选：D．
22．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解
，可得 ，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
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∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故选C
23．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，以
为边作正方形 点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形 ，点
在y轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点 的横坐标是
．
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【答案】
【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、根据正方形的性质求线段长
【分析】分别求出点点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，
找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当 ， ，解得 ，
∴点 ,
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 ，
∴点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 ，
即点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
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∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 的横坐标是 ，
……
以此类推，则点 的横坐标是
故答案为：
【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解
题的关键．
24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上，
，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于
点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按
照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
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【答案】
【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定
【分析】根据题意，结合图形依次求出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，解题的关键是依次求出 的坐标，找出其坐标的规律．
25．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，其
横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．
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(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______， ______
（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
【知识点】图形类规律探索、反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：
（1）先求出 ，进而得到 ，再求出 ，
，则 ，同理可得 ， ， ，再根据三角形面积计算公
式求出 的面积，然后找到规律求解即可；
（2）仿照（1）表示出 的面积，然后找到规律求解即可．
【详解】（1）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
同理可得 ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
……
以此类推可得， ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ，
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∴ ， ，
，
以此类推可得，
．
【中考模拟即学即练】
26．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，
第1次它从原点运动到点(1,0)，第2次运动到点 ，第3次运动到点(2,1)…按这样的规律，经过第2024
次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连
续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
据此求解即可．
【详解】解：第1次： ，
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第2次： ，
第3次： ，
第4次： ，
第5次： ，
…，
以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵ ，
∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为 ，纵坐标为
∴第2024次的坐标是 ，
故选D．
27．（2024·山东威海·二模）如图，矩形 为台球桌面示意图．小球起始位置在 处，沿图中所示
的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，由图可得，点 第一次碰撞后的点的坐标为 ，第二次
碰撞后的点的坐标为 ，第三次碰撞后的点的坐标为 ，第四次碰撞后的点的坐标为 ，第五次
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碰撞后的点的坐标为 ，第六次碰撞后的点的坐标为 ，则小球点坐标每六次为一循环，即可得到
答案．
【详解】解：由图可得，
点 第一次碰撞后的点的坐标为 ，
第二次碰撞后的点的坐标为 ，
第三次碰撞后的点的坐标为 ，
第四次碰撞后的点的坐标为 ，
第五次碰撞后的点的坐标为 ，
第六次碰撞后的点的坐标为 ，
……，
∴小球碰撞后的坐标每六次为一循环，
∵
∴小球第 次碰到球桌边时，小球的位置是 ，
故选：B．
28．（2024·新疆喀什·二模）如图，正方形 的顶点 ， ，延长 交x轴于点 ，作正方
形 ，延长 交x轴于点 ，作正方形 ，…，按照这样的规律，点 的纵坐标为
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质、规律型、点的坐标，连接 ，根据已知可得
，即可得 ，然后根据正方形的性质可得 ， ，从而求出点D
的纵坐标，同理可求得点 的纵坐标，最后从数字找规律即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
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同理可得： ， ，
，
∴点 的纵坐标分别是： ，
以此类推，
∴点 的纵坐标为 ，
故选：D．
29．（2024·河南商丘·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形 和以 为直径
的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上， ，过点A作 交半
圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转 ，则第98次旋转结束时，点D的坐标
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查利用旋转变换设计图案，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
第98次旋转结束时点 的位置与第二次点 的位置相同，如图，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
得到线段 ，点 的位置即为98次旋转结束时点 的位置．利用全等三角形的性质以及解直角三角
形的知识，求出 ，可得结论．
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【详解】解：∵ ，
∴每旋转8次一个循环，
，
∴第98次旋转结束时点 的位置与第二次点 的位置相同，
如图，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 的位置即为98次旋转结束时点
的位置．
分别过点 作 轴于点 轴于点 ，则 ，
连接 ，过点 作 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
30．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形 ，边 ， 分别
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在x轴、y轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形
，照此规律作下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点
的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍．
首先求出 、 、 、 、 、 、 、 、 的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计
算出 的坐标．
【详解】解： 正方形 的边长为1，
，
正方形 的边是正方形 的对角线 ，
，
的坐标为 ，
同理可知 ，
的坐标为 ，
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同理可知 ， 的坐标为 ，
的坐标为 ， 的坐标为 ，
， ， ， ，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来
的 倍，
，
的横坐标符号与 相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，
的坐标为 ．
故选：B．
31．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形 是由四个全等的直角三角形和
一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形 的中心与原点 重合， 轴，正方形 的面
积为5，正方形 的面积为1，将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转结束时，
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，
旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点 回到起点，过G作 于M，利用勾股定理
求出 ， ，利用等面积法求出 ，利用勾股定理求出 ，进而求出 ，即可求出点G的坐标．
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【详解】解：∵ ，
∴每4次一循环，
∵ ，
∴第2024次旋转结束时，点 回到起点，
过G作 于M，
∵正方形 的面积为5，正方形 的面积为1，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 或 （舍去），
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴G的坐标为 ，
故选：D．
32．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边 ，点A的坐标为 ，每一次将
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绕着点O顺时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，第二次旋
转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是确定所在的象限．
每旋转 次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故 在第一象限，且边长为 ，由此求解即可．
【详解】∵
∴
∵每次旋转
∴每6次旋转
因为 余 ,
∴点 在射线 上，
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的 倍,
所以第 次旋转所得三角形的边长为 ，
过点 作 轴于点H，
∴ ，
，
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故点 的坐标为
故选:D.
33．（2024·甘肃武威·三模）如图，点 ， ，将扇形 沿 轴正方向做无滑动的滚动，在滚
动过程中点 的对应点依次记为点 ，点 ，点 ，则 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、求弧长
【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由点 ， ，得到 ， ， ，根
据弧长的计算公式得到 的长度 ，得到 的长度 ，于是得到结论，根据规律确
定坐标对应点是解本题的关键．
【详解】解： 点 ， ，
， ， ，
的长度 ，
将扇形 沿 轴正方向做无滑动的滚动，
的长度 ，
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点 ，点 ，点 ，点 ， ，
，
的 ．
故选：C．
34．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点 出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形
的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为 ，
第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为 ……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（ ）
A．(1,4) B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标，先根据反射角与入射角的定义作出图形，观察图形，找出点P每次碰
到矩形边时的坐标，找出规律，进行解答即可．
【详解】解：如图所示，
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当小球第8次碰到矩形的边时回到出发点，即每8次完成一个循环，
，
即第100次碰到矩形的边与第4次碰到矩形的边的位置相同，第4次对应的点的坐标为 ，
故选：D．
35．（2024·河南南阳·三模）如图，点 ，点 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点 ；
点 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 ；点 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，
得到点 ；…按这个规律平移得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，先求出点 的坐标，再从特殊
到一般探究出规律，得出 的横坐标为为 ，，纵坐标为 ，然后利用规律即可解决问题．
【详解】解：点 的横坐标为 ，纵坐标为 ,
点 的横坐为标 ，，纵坐标为 ,
点 的横坐标为 ，，纵坐标为 ,
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点 的横坐标为 ，，纵坐标为 ,
…
按这个规律平移得到点 的横坐标为为 ，，纵坐标为
∴点 的横坐标为 ，纵坐标为
故选：C．
36．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中， 都是斜边在x轴上的等
腰直角三角形，点 ；则根据图示规律点A 的坐标为（ ）
2025
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索
【分析】依次求出点 为正整数）的坐标，发现规律：点 的坐标为 ， 为正整数），
，结合图象，则 ，即可解决问题．本题考查点的坐标变化规律，抓住点
坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
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点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
，
由此可知，点 的坐标为 ， 为正整数），
又∵ ，
∴ ，
观察图象,得出 ， 为正整数
即
∴点 的横坐标为 ，纵坐标为0
∴点 的坐标为 ．
故选：B．
37．（2024·山东泰安·二模）含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放
置在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和
轴上．已知 ， ，根据所给图形，可以依次求出点 ， ， ，…，则图中点 的坐标
是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段
长
【分析】利用菱形的性质得出 是等边三角形，进而得出 坐标，进而得出 ，即可求
解．
【详解】过点 作x轴的垂线，垂足为M
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
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∵
∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
在 中，
∴
∴
同理可得 ，
……
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，得出点A坐标变化
规律是解题关键．
38．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是菱形， ，点B
的坐标为 ，点P在菱形 的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿
的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查菱形的性质、坐标变换规律型问题，解题的关键是找出点P坐标变换规律．
根据菱形的性质，勾股定理，直角 三角形的性质，找出点P坐标变换规律，即可求解．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，点 的坐标为 ，
， ，
第1秒时，点 在 上，此时 ，
第2秒时，点 在 上，此时 ， ，
第3秒时，点 在 上，此时 ，，
第4秒时，点 在 上，此时 ，
第5秒时，点 在 上，此时 ，
第6秒时，点 在 上，此时 ，
第7秒时，点 在 上，此时 ，
第8秒时，点 在 上，此时 ，
第9秒时，点 在 上，此时 ，
第10秒时，点 在 上，此时 ，
第11秒时，点 在 上，此时 ，
第12秒时，点 在 上，此时 ，
…
点P每12秒一个循环， ，
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秒时，点 在第四象限，
点 在 上， ，
故选：B．
39．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，平面直角坐标系中， ， ， ， 都是斜
边在 轴上，斜边长分别为1，2，3，…的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ，
， ，则依图中所示规律，点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得 ，据此规律求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
，
，
……，
以此类推可知， ，
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∵ ，
∴
故答案为： ．
40．（2024·四川内江·一模）如图，直线 ，点 坐标为 ．过点 作 轴的垂线交直线l于
点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，记 的长为 ；再过点 作 轴的垂
线交直线l于点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，记 的长为 ，以
此类推．那么 的长为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、求弧长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据一次函数解析式求出 点的坐标，再根据
点的坐标求出 点的坐标，得出 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 的坐标，再根据弧长公
式计算即可求解．
【详解】解：直线 ，点 坐标为 ．过点 作 轴的垂线交直线l于点 ，可知 点的坐
标为 ，
∴
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以原点O为圆心， 长为半径画弧交x轴于点 ， ，
∴点 的坐标为 ，
同理： 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
以此类推便可求出点 的坐标为 ，
即
又 ，
∴ ，
则 的长为 ．
故答案为： ．
41．（2024·河南信阳·三模）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片 按如图所示的位置放于平面直角坐
标系中，现将扇形纸片 沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点 ，
…的位置上，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、求弧长
【分析】点 的横坐标为半径加弧长，从点 开始的横坐标规律都是在原来长度基础上再加两个半径和一
个弧长，根据以上规律即可求出点 的横坐标．
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本题考查了弧长公式以及点坐标规律的探索，根据题意求出 ，根据变化过程中的规律求解是解题的关
键．
【详解】解：由题意得： ，
点 的横坐标为： ，
点 的横坐标为： ，
点 的横坐标为： …
∴点 的横坐标为： ．
故答案为： ．
42．（2024·四川内江·二模）如图， （n为正整数）均为等边
三角形，它们的边长依次是2，4，6，…， ，顶点 均在y轴上，点O是所有等边三角形
的中心，点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、点坐标规律探索、等边三角形的性质
【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点 、 、 的
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坐标，找到点的变化规律，求出点 的坐标，再利用轴对称的性质可得 ．
【详解】解：∵ ， ， ，…， （ 为正整数）均为等边三角形，它
们的边长依次是 ，顶点 均在 轴上，
过点 作 轴于点B，连接 ，
∵点O是所有等边三角形的中心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
同理可得， ，
则第二个三角形的顶点 的坐标为 ，
则第三个三角形的顶点 的坐标为 ，
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∵ ，
∴ 是第 个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限，
∴点 的坐标是 ，
由 与 关于 轴对称，
∴点 的坐标是
故答案为：
43．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上， ，
连接AB，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点
作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按照如此规律操
作下去，则点 的坐标为 ．
【答案】 /
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【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，先证明 是等腰直角三角形，同理可得： 均为等腰直角三角形，依次求出
的坐标，找出其坐标的规律即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
44．（2024·山东东营·模拟预测）含 角的菱形 ， ， ，…，按如图所示的方式
放置在平面直角坐标系 中，点 …，和点 ，…，分别在直线 和 轴上．
已知 ，则点 的坐标是
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【答案】
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、一次函数与几何综合
【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点 ，发现规律即可解决问题．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，
∵含 角的菱形 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
同理可得出： ，则 ，
则点 的坐标是： ，
∴点 的坐标是： ．
故答案为： ．
45．（2024·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所示依次作正方
形 、正方形 、…、正方形 ，使得点 在直线l上，点
在y轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、求一次函数自变量或函数值、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了一次函数，正方形的性质，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关
键．
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由一次函数解析式，正方形的性质可求 ，即 ， ， ，即 ，
， 即 ， ， 即 ， ……，可推导一般
性规律为 ， 的横坐标均为 ，然后求 的横坐标即可．
【详解】解：令 ，则 ，
解得， ，
∴ ，即 ，
∵正方形 ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴ ，即 ，
∵正方形 ，
∴ ，
同理， 即 ， ， 即 ， ……
∴可推导一般性规律为 ， 的横坐标均为 ，
∴ 的横坐标为 ，
故答案为： ．
46．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按
图中“→”方向排列，第1个点的坐标为 ，第2个点的坐标为 ，第3个点的坐标为 ……根据
这个规律，第2024个点的坐标为 ．
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【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．
根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有 个点，连同前边所有正方形共有 个
点，且终点为 ；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有 个点，连同前边所以正方形共有
点，且终点为 ．而 ，由 ，解得 ．由规律可知，第44个正方形
每条边上有45个点，且终点坐标为 ，由图可知，再往前推1个点的坐标即可得到答案．
【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有 个点，且终点为 ；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有 个点，且终点为 ；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有 个点，且终点为 ；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有 个点，且终点为 ；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有 个点，连同前边所有正方形共有 个点，且终点为
；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有 个点，连同前边所以正方形共有 点，且终点
为 ．而 ， ，
解得： ．
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由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为 ，由图可知，再往前推1个点的坐
标为： ．
故答案为：
47．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排
列，如(0,1)， ，(0,2)， ，(2,3)， ，(0,3)，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐
标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标
是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，
纵坐标为n的点有 个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐
标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而 ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，
且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．
【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有
7个，……，一般地，纵坐标为n的点有 个，且这n个点的横坐标从左往右依次是
；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的
方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
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，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
最左边的点坐标为 ，即第 个点的坐标，
第2024个点的坐标为 ．
故答案为： ．
48．（2024·山东东营·二模）在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐
标依次为： ， ， ， ， ， ，则 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的
关键．
根据题意可得 在第二象限内，然后根据第二象限内点 ， ， 的坐标特点求解
即可．
【详解】解：根据题意得：从点 开始点所到达的位置4个一循环，
∵ ，
∴ 在第二象限内，
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根据题意得：在第二象限的点为 ， ， ，……，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ 的坐标为 ．
故答案为： ．
49．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴向右滚动到 的位置，再
到 的位置依次进行下去，若已知点 ， ， 则 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标的规律，找到点的坐标的变化规律是解题的关键．
根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点 ， ， 在第一象限，点 ， ，
在x轴上，，然后寻找规律，即可完成解答．
【详解】根据题意得：每滚动3次为一个周期，点 ， ， 在第一象限，点 ， ， 在x轴上，
， ， ，
点 的横坐标为 ，
同理得出 的横坐标为 ，
的横坐标为 ， ，
的横坐标为 （n为正整数），
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坐标为 ，
的坐标为 ．
故答案为：
50．（2024·山东淄博·二模）如图，四边形 ， ， ， ，…， 都
是正方形，对角线 ， ， ， ，…， 都在x轴上（n是整数，且 ），点 ， ，
， ，…， 在反比例函数 的图象上．若已知正方形 的面积为2，则点 的坐
标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计
算
【分析】由于四边形 是正方形，可知直线 的解析式为 ，将它与 联立，求出方程组的
解，得到点 的坐标，则 的横坐标是 的横坐标的两倍，从而确定点 的坐标；由于四边形 ，
都是正方形，则 ，直线 可看作是直线 向右平移 个单位长度得到的，因而得
到直线 的解析式，同样，将它与 联立，求出方程组的解，得到点 的坐标，则 的横坐标是线
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段 的中点，从而确定点 的坐标；依此类推，从而确定点 的坐标，即可求得点 的坐标，得出规
律，即可得到结果．
【详解】解：过 作 轴于 ，
∵正方形 的面积为2，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴ 是 的中点，
．
可得 的坐标为 ，
∴ ,
∴反比例函数 ,
的解析式为： ，
，
的表达式一次项系数与 的一次项系数相等，
将 代入 ，
，
的表达式是 ，
与 联立，解得
同上， ．
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，
以此类推，点 的坐标为 ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质等知识，解题的关
键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
51．（2024·山东泰安·二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形 按
如图所示的方式放置，其中点 均在一次函数 的图象上，点 均在x轴
上．若点 的坐标为(1,0)，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、求一次函数解析式、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一
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次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点 的坐标的规律．
首先，根据等腰直角三角形的性质求得点 的坐标；然后，将点 的坐标代入一次函数解析式，利
用待定系数法求得该直线方程是 ；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点 的坐标，即可求得
点 的坐标．
【详解】解：如图，∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，则 ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
∴点 的坐标是 ．
同理，在等腰直角 中， ，则 ．
∵点 均在一次函数 的图象上，
∴ ，解得 ，
∴该直线方程是 ．
∵点 的横坐标相同，都是3，
∴当 时， ，即 ，则 ，
∴ ．
，
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∴当 时， ，
即点 的坐标为 ．
∴ 的坐标为 ．
故答案为： ．
52．（2024·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系 内，动点M第1次从点 运动到
，第2次运动到 ，第3次运动到 ，第4次运动到 ，第5次运动到
，第6次运动到 ，第7次运动到 ……依此规律，第2024次运动到 的坐标
是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行
解题是解答本题的关键．根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．
根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为： ，每6次一个循环，据此即
可求解．
【详解】解：由题意得：动点 在平面直角坐标系中的运动为：
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， ， ， ， ， ，．．．．
∴横坐标为对应的运动次数减 ，
则第 次运动到点 的横坐标为： ；
纵坐标依次为： ，每6次一个循环，
∵ ，
∴第 次运动到点 的纵坐标为：1．
故答案为： ．
53．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把
按如图所示的方式放置，并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转 ，
同时边长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时
边长扩大为 边长的2倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则点 的坐标为
．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，能通过变换方式发现点 位置及 边长的变化规
律是解题的关键．首先得到每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，然后由 余1，
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得到第2023次变换后点A的对应点与点 在一条方向线上，即在 一条方向线上，然后求出
的边长为 ，进而求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现．
又因为 余1，
所以第2023次变换后点A的对应点与点 在一条方向线上，即在 一条方向线上，
因为 ，
所以 的边长为1，
则根据变换方式可知， 的边长为2， 的边长为 ， 的边长为 ，…， 的边长
为 ．
所以 的边长为 ，
，
所以点 的坐标为 ．
故答案为： ．
54．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点
运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，…，按这样的运动规律，经过
第 次运动后，动点P的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
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【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可知，第 次接着运动到的点坐标的横坐标为 ，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由
，可得动点P的坐标是 ．
【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点 ，
第2次接着运动到点 ，
第3次接着运动到点 ，
第4次接着运动到点 ，
第5次接着运动到点 ，
……
∴第 次接着运动到的点坐标的横坐标为 ，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，
∵ ，
∴动点P的坐标是 ，
故答案为： ．
55．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，
，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点过点 作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
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【答案】
【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意，结合图形依次求
出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
∴
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
56．（2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置
的坐标依次为： ， ， ， ， ， ，……若到达终点
，则 的值为 ．
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【答案】2024
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了坐标变化的规律，正确探索变化的规律是解题的关键．结合题意寻找变化的规律，
即可确定答案．
【详解】解：∵点 在第二象限，
根据题意，在第二象限内的点有 ， ， ，……，
又∵ ， ， ，……，
∴ ．
故答案为：2024．
57．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上的一点，且 的长度为1，以线段 为边
作正方形得对角线 ，再以 为边，作第二个正方形 ，再以 为边作正方形对角线 ，再以
为边作正方形对角线 ……以此类推，得正方形对角线 ，则点 的坐标是 ．
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【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“ （n为自然
数）”是解题的关键．根据正方形的性质找出点 的坐标，根据坐标的变
化可找出变化规律，依此规律即可求出点 的坐标．
【详解】解：由题意可知：由正方形性质可知其对角线长度为边长 倍， ，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，且点
依次在第一象限角平分线上， 轴正半轴，第四象限角平分线上， 轴负半轴，
第三象限角平分线上， 轴负半轴，第二象限角平分线上， 轴正半轴，以8为周期循环， ，
当 在各象限角平分线上时，到坐标的距离均为： ，
再根据各象限的符号可得坐标： ，
，
则 （n为自然数）
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∴ （n为自然数），
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
58．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点 的坐标为(1,0)．把
按如图所示的方式放置；并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边
长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为 边长的2倍，得到 ……以此类推，得到 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为 ，
然后得到 与 都在第三象限，即可求出坐标.
【详解】
解：由题意 ,
，
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∴ 的边长 ，
，
与 都在第三象限，坐标为
故答案为： ．
59．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴于
点 ，点 ， ， ， ，…都在直线l上：点 ， ， ， ，…都在x轴上，以 为直角顶点作等
腰直角三角形 ；再以 为直角顶点作等腰直角三角形 ……如此下去，则等腰直角三角形
的腰长 为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形，数字规律，分别求出 ，找出规律，
即可解答，正确作辅助线求得 的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 轴的垂线段，交 轴于点 ，
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由题意可得 ，
以 为直角顶点作等腰直角三角形 ；再以 为直角顶点作等腰直角三角形 ……如此下去，
，
根据勾股定理可得 ，
设 ，
可得 ，
将 代入 ，
可得 ，
解得 ，
，
同理可得 ，
，
，
，
，
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，
故答案为： ．
60．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
， ， ， ， ，…．
【归纳·应用】
(1)直接写出点 的坐标为______；点 的坐标为______；
(2)若点 的坐标为 ，求n的值．
【答案】(1) ；
(2)1012
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于
通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）根据图形写出坐标即可；
（2）根据题意得到 ， ， ， ，依此类推得到
，再根据点 的坐标为 建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，点 的坐标为 ，
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点 的坐标为 ；
故答案为： ； ．
（2）解： ， ， ， ， ，
且 ， ， ， ，依此类推，
，即 ，
点 的坐标为 ，
，解得 ．
76
