文档内容
专题07 球体小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 的球内切于圆锥，则该圆锥
的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在半径为 的实心球 中挖掉一个圆柱，再将
该圆柱重新熔成一个球 ，则球 的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 沿对角线
折起，当四面体 体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·统考一模）已知体积为 的四面体 中， 平面ABC，
，其外接球半径的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特
别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，
决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆
半径为 的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包
装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘
米，球冠的表面积公式为 ，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）A． B． C． D．
6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知三棱锥 的体积为 ，
外接球面积为9π，且 ， ， ．则直线AB，AP所成角的最小正
弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，
邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧
棱垂直底面的四棱锥.在 底面 ，且底面 为正方形的阳马中，若
，则（ ）
A．直线 与直线 所成角为
B．异面直线 与直线 的距离为
C．四棱锥 的体积为1
D．直线 与底面 所成角的余弦值为
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记
载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 为正方形， 平面
，四边形 为两个全等的等腰梯形， ，且 ，
则此刍甍体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
9．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为
6，下底半径为1，高为 ，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，
则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形 中，
，取 中点 ，将 沿 翻折（如
图2），记四面体 的外接球为球 （ 为球心）. 是球 上一动点，当直线
与直线 所成角最大时，四面体 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知直角梯形
，点 在边 上.将 沿
折成锐二面角 ，点 均在球 的表面上，当直线 和平
面 所成角的正弦值为 时，球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
12．（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点 、 、 、 满足
， ，且直线 与平面 所成的角为 ，则三棱锥
的外接球体积最大为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥 中，
，则三棱锥 的外接球表面积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中， ，
为正三角形，以AC为折痕将 折起，使D点达到P点位置，且二面角
的余弦值为 ，当三棱锥 的体积取得最大值，且最大值为
时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角 的斜边 分别为上的动点，将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面
.若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， ， ， ， 为
中点，若将 沿着直线 翻折至 ，使得四面体 的外接球半径
为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑
，其中 平面ABC， ，过A作 ， ，记四面体
，四棱锥 ，鳖臑 的外接球体积分别为 ， ，V，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢
山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建
的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，
中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，
最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型
中九个球的表面积和为（ ）A． B． C． D．
19．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球 ，被两个平面截得圆 ，记两
圆的公共弦为 ，且 ，若二面角 的大小为 ，则四面体
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三校联考期末）将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使
三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则
该球的体积为________．
21．（2023·浙江·二模）若圆台 的上底面面积为下底面面积的一半，体积为 ，表面
积为 ，则 的最大值是______.
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在长方体 中，
，过 且与直线 平行的平面 将长方体分成两部分，现
同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，当两个球的半
径之和达到最大时，此时较小球的表面积为________．
23．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，
， 是边长为 的正三角形，三棱锥 的体积为 ， 为
的中点，则过点 的平面截球 所得截面面积的最小值是______.
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）正方体 的棱长为 分别为
上的点， ， 分别为 上的动点.若点 在同一球面上，当 平面 时，该球的表面积为__________.
25．（2023·浙江·高三专题练习）正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足
，记四面体ABCD的内切球为球 ，四面体PBCD的外接球为球 ，则
_________．
