专题10一次函数的图象与性质（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 10 一次函数的图象与性质
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：一次函数的概念................................................................................................................................2
考点二：一次函数的图象特征及性质............................................................................................................2
考点三：一次函数图象与平移........................................................................................................................2
考点四：k，b的符号.......................................................................................................................................3
考点五：两个一次函数表达式的位置关系：................................................................................................3
考点六：待定系数法........................................................................................................................................3
考点七：一次函数与一元一次方程关系........................................................................................................3
考点八：一次函数与二元一次方程组............................................................................................................4
考点九：一次函数与一元一次不等式............................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：一次函数的相关概念........................................................................................................................4
题型一：一次函数的判断............................................................4
题型二：根据一次函数的定义求参数..................................................6
题型三：求一次函数的自变量或函数值...............................................10
考点二：一次函数的图象与性质..................................................................................................................11
题型一：判断一次函数图象.........................................................11
题型二：根据一次函数图象解析式判断象限...........................................17
题型三：已知函数经过的象限求参数的值或取值范围...................................23
题型四：一次函数与坐标轴交点问题.................................................27
题型五：判断一次函数增减性.......................................................32
题型六：利用增减性判断参数取值范围...............................................36
题型七：利用增减性比大小.........................................................39
题型八：根据一次函数增减性判断自变量的变化情况...................................43
题型九：一次函数的平移问题.......................................................44
题型十：求一次函数解析式.........................................................49
题型十一：一次函数的规律探究问题.................................................60
题型十二：一次函数的新定义问题...................................................75
考点三：一次函数与方程（组）、不等式..................................................................................................80
题型一：已知直线与坐标轴的交点求方程的解.........................................80
题型二：由一元一次方程的解判断直线与x轴交点.....................................81
题型三：利用图象法解一元一次方程.................................................82
题型四：两直线的交点与二元一次方程组的解.........................................83
题型五：图象法解二元一次方程组...................................................87
题型六：由直线与坐标轴交点求不等式的解集.........................................91
题型七：根据两条直线交点求不等式的解集...........................................94
题型八：求两直线与坐标轴围成的图形面积...........................................97
题型九：一次函数与几何图形综合..................................................110专题 10 一次函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：一次函数的概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点二：一次函数的图象特征及性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
k>0 k<0
增减性
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
图象 y y y y y y
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 二、四
一、二、四 二、三、四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
考点三：一次函数图象与平移
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
图象关系
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
图象确定
点即可，b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
考点四： k ， b 的符号
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
考点五：两个一次函数表达式的位置关系：
1）当k=k，b=b 时，两直线重合；
1 2 1 2
2) 当k=k，b≠b 时，两直线平行；
1 2 1 2
3）当k≠k，b=b 时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
1 2 1 2
4）当k•k=-1时，两直线垂直；
1 2
5）当k≠k 时，两直线相交.
1 2
考点六：待定系数法
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
考点七：一次函数与一元一次方程关系
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程
可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b= 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
考点八：一次函数与二元一次方程组
①思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为
常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直
线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因
而也对应两条直线.
②从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
③从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次
方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
考点九：一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上
(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量
的取值范围；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
模块二：题型分类
考点一：一次函数的相关概念
题型一：一次函数的判断
1.下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝ ；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确；
（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝ 属于反比例函数，故错误；
（4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条
件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．一次函数 的图象经过原点，则k的值为
A．2 B． C．2或 D．3
【答案】A
【分析】
把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k
的值．
【详解】
把（0，0）代入y=（k+2）x+k2-4得k2-4=0，解得k=±2，
而k+2≠0，
所以k=2．故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题
时把已知点的坐标代入解析式求解．注意一次项系数不为零．
3．下列各点在函数y=4x+5的图象上的是（ ）
A．（0，5） B．（1，5） C．（-1，2） D．（2，9）
【答案】A
【分析】
把各点的横坐标代入所给函数解析式，看所得函数值是否和点的纵坐标相等即可．
【详解】
解：A、当x=0时，y=4×0+5=5，符合题意；
B、当x=1时，y=4×1+5=9≠5，不符合题意；
C、当x=-1时，y=4×（-1）+5=1≠2，不符合题意；
D、当x=2时，y=4×2+5=13≠9，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：一次函数解析式上点的横纵坐标适合该函
数解析式．
4．直线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数与y轴的交点横坐标为0解答．
【详解】
解：当x=0时，y=6，
则直线y=2x+6与y轴交点的坐标是（0，6），
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，直线与y轴的交点横坐标为0．
题型二：根据一次函数的定义求参数1.已知一次函数y=x−1的图象经过点(m,2)，则m= ．
【答案】3
【分析】把点(m,2)代入一次函数y=x−1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．
【详解】解：∵一次函数y=x−1的图象经过点(m,2)，
∴把点(m,2)代入一次函数，得m−1=2，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次
函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
2.若正比例函数的图象经过点(4m,3m)(m≠0)，则下列各点也在该正比例函数图象上的是( )
4 3
A．(−1,− ) B．(−12,−1) C．(1, ) D．(3,4)
3 4
【答案】C
【分析】由点的坐标，利用正比例函数图象上点的坐标特征，可求出正比例函数解析式，代入各选项中
点的横坐标，求出y值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论．
【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx (k≠0)，
∵正比例函数的图象经过点(4m,3m)(m≠0)，
∴3m=4mk，
3
∴k= ，
4
3
∴正比例函数解析式为y= x，
4
3 3 4
A．当x=−1时，y= ×(−1)=− ≠− ，选项A不符合题意；
4 4 3
3
B．当x=−12时，y= ×(−12)=−9≠−1，选项B不符合题意；
4
3 3
C．当x=1时，y= ×1= ，选项C符合题意；
4 4
3 9
D．当x=3时，y= ×3= ≠4，选项D不符合题意．
4 4
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
y=kx”是解题的关键．
3.函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，则k的值为（ ）1
A．1 B．−5 C． D．−1
3
【答案】B
【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．
【详解】∵一次函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，
∴3=−k−2，
解得k=−5．
故选B．
【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方
程求解参数是解题的关键．
4.若方程2x−6=0的解，是一个一次函数的函数值为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是
（ ）
A．y=2x−4 B．y=−2x+4 C．y=2x−6 D．y=−2x+6
【答案】A
【分析】由2x−6=0得x=3，再分别求出各选项在x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：由2x−6=0得x=3，
当x=3时，
y=2x−4=2×3−4=2，故A符合题；
y=−2x+4=−2×3+4=−2，故B不符合题意；
y=2x−6=2×3−6=0，故C不符合题意；
y=−2x+6=−2×3+6=0，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出x=3是解题的关键．
5.若直线y=kx+k+1经过点(m, n+3)和(m+1, 2n−1)，且0<k<2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意得出¿，求出k=n−4，根据0<k<2，求出4<n<6，即可得出答案．
【详解】解：由题意得¿，
解得：k=n−4，
∵0<k<2，
∴0<n−4<2，
∴4<n<6，
∴n可以是5，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关
于n的不等式是解题的关键．
6.已知点P(m,n)在一次函数y=−2x+1上，且2m−3n≤0，则下列不等关系一定成立的是（ ）
m 3 m 2 n 3 n 2
A． ≤ B． ≤ C． ≤ D． ≤
n 2 n 3 m 2 m 3
【答案】A
【分析】将点P(m,n)代入一次函数y=−2x+1，根据2m−3n≤0可求出n的取值范围，再根据不等式的
性质即可求解.
【详解】解：将点P(m,n)代入一次函数y=−2x+1，
∴−2m+1=n，
1−n
∴m= ，
2
1−n
∴2m−3n=2⋅ −3n≤0，
2
∴1−n−3n≤0，
1
∴n≥ .
4
∵2m−3n≤0，
3n
∴m ≤ .
2
m 3
不等式两边同时除以n得 ≤ .
n 2
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.
7.已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式正确的是（ ）
m 2 m 2 n 2 n 2
A． ≤ B． ≥ C． ≤ D． ≥
n 7 n 7 m 7 m 7
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式确定m与n之间的数量关系，根据不等式的性质确定m和n的范围，最后
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵直线y=-4x-6经过点（m，n），
∴n=-4m-6．
−n−6
∴m= ．
4∵2m-7n≤0，
(−n−6)
∴2m−7(−4m−6)≤0，2 −7n≤0．
4
7 2
∴m≤− ，n≥− ．
5 5
∴m<0，n可能是正数，0或者负数．
∵2m-7n≤0，
∴2m≤7n．
n 2
∴ ≤ ．
m 7
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
2
8.若以关于x，y的二元一次方程组¿的解为坐标的点在一次函数y=− x+4的图像上，则k的值为
3
．
1
【答案】
9
【分析】解方程组，先用含k的代数式表示出x、y，根据以方程组的解为坐标的点在一次函数
2
y=− x+4的图像上，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
3
【详解】解：¿
①+②得，2x=5+9k，
5+9k
∴x= ；
2
①−②，得：2y=5−9k
5−9k
∴y=
2
5+9k 5−9k 2
把x= ，y= 代入y=− x+4，得：
2 2 3
5−9k 2 5+9k
=− × +4，
2 3 2
1
解得，k= ，
9
1
故答案为：
9【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x、
y．
题型三：求一次函数的自变量或函数值
1.一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把 代入函数 ，从而判断函数值y的
取值．
【详解】∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当 时，
故选：D.
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
2.若方程2x−6=0的解，是一个一次函数的函数值为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是
（ ）
A．y=2x−4 B．y=−2x+4 C．y=2x−6 D．y=−2x+6
【答案】A
【分析】由2x−6=0得x=3，再分别求出各选项在x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：由2x−6=0得x=3，
当x=3时，
y=2x−4=2×3−4=2，故A符合题；
y=−2x+4=−2×3+4=−2，故B不符合题意；
y=2x−6=2×3−6=0，故C不符合题意；
y=−2x+6=−2×3+6=0，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出x=3是解题的关键．
3.点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，则b的值为（ ）
A．13 B．1 C．5 D．−1
【答案】D
【分析】把(3,b)代入y=2x−7计算即可．【详解】∵点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，
即当x=3时，y=b，
∴b=2×3−7=−1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与点的坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接
代入解析式求解即可．
4.若正比例函数y=kx，当x=1时，y=2，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．(−1,−2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(2,1)
【答案】A
【分析】把x=1，y=2，代入函数解析式可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可．
【详解】解：∵当x=1时，y=2，
∴k=2，
∴y=2x，
当x=−1时，y=2×(−1)=−2，故点(−1,−2)在函数图象上，(−1,2)不在函数图象上，
当x=1时，y=2×1=2，故点(1,−2)不在函数图象上，
当x=2时，y=2×2=4，故点(2,1)不在函数图象上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题
的关键．
考点二：一次函数的图象与性质
题型一：判断一次函数图象
1.若m ﹣2，则一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解析】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数 的图象经过一，二，四象限，故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数 中的 对
函数图像的影响是解题的关键 ．
2.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象经过
一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
3.若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，
∴ ，
∴ 的值可为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．4.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，当x在一定范围内变
化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
【答案】A
【分析】设另一边为y，矩形的周长为2(x+ y)=10 ，可用x来表示y，即可得到y关于x的函数关系式．
【详解】解：设另一边为y，
由题意得，2(x+ y)=10，
∴x+ y=5，
∴y=5−x，
即满足一次函数关系，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式
是解题的关键．
5.在平面直角坐标系中，有四个点A(2,5)，B(1,3)，C(3,1)，D(−2,−3)，其中不在同一个一次函数图
象上的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答．
【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点，由图可知：点C和点A、B、D不在同一个一次函数图象上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线．
6.将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用x表示
圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，当圆柱体上表面未离
1 2
开水面时，体积不变，水高不变，y=h，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题
S v
意得，S y=S h−S vx，整理得，y=− 2 x+h，根据函数解析式确定函数图象即可．
1 1 2 S
1
【详解】解：设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，
1 2
当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=h，
当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S y=S h−S vx，整理得，
1 1 2
S v
y=− 2 x+h，
S
1S v
∵− 2 <0，
S
1
∴y随x的增大而减小，
∴可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随x的增大而减小，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系．
7.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=x+a(a≠0)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点．
【详解】解：A．由函数y=ax得a>0，与y=x+a(a≠0)图象的a<0矛盾，故本选项不符合题意；
B．函数y=x+a(a≠0)所过象限错误，故本选项不符合题意；
C．函数y=x+a(a≠0)所过象限错误，故本选项不符合题意；
D．由函数y=ax得a<0，与y=x+a(a≠0)图象的a<0一致，故本选项符合题意．
故选：D．
8.如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线
所在直线的表达式分别为y =k x,y =k x，则关于k 与k 的关系，正确的是（ ）
1 1 2 2 1 2
A．k <0<k B．k <0<k C．k <k <0 D．k <k <0
2 1 1 2 1 2 2 1
【答案】D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m(m<0)的两个点A和B，
则A(m,k m)，B(m,k m)，
1 2∵k m<k m，
1 2
∴k >k ，
1 2
当取横坐标为正数时，同理可得k >k ，
1 2
综上所述，0>k >k
1 2
故选：D
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系
得到比例系数的关系．
9.已知一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，其中a≠0，b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和
y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，b=a+2，进而推出一次函数y=ax+b的图象
经过定点(−1，2)，则一次函数y=ax+b一定经过第二象限，同理得到一次函数y=bx+a的图象经过定
点(−1，−2)，则一次函数y=bx+a必定经过第三象限，再由a≠b，得到一次函数y=bx+a与一次函数
y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，
∴b=a+2，
∴在一次函数y=ax+b中，y=ax+a+2，即y=a(x+1)+2，对于任意实数a，恒有当x=−1时，y=2，
∴一次函数y=ax+b的图象经过定点(−1，2)；
∴一次函数y=ax+b一定经过第二象限，
当b=a+2时，即a=b−2，在一次函数y=bx+a中，y=bx+b−2，即y=b(x+1)−b，对于任意实数，
恒有当x=−1时，y=−2，∴一次函数y=bx+a的图象经过定点(−1，−2)，
∴一次函数y=bx+a必定经过第三象限，
又∵a≠b，
∴一次函数y=bx+a与一次函数y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象
限是解题的关键．
10.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的函数是一次函数．
这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像中每段的上升速度分析解答即可．
【详解】解：由一次函数图像可知，一次函数图像为直线，即容器内的水面为匀速上升状态，
A项，杯子的杯身粗细一样，匀速注水时，水面即时匀速上升，即水面高度h随时间t的函数图像是直线，
故是一次函数，故此项符合题意；
B项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
C项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
D项，杯子的杯身下细中间粗上细，匀速注水时，水面上升速度先快后慢再变快，即水面高度h随时间t的
函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是
解题的关键．
题型二：根据一次函数图象解析式判断象限
1.一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据 即可求解．【详解】解：∵一次函数 中 ，
∴一次函数 的图象不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
2.关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝ 时，y＝1
【答案】C
【分析】
根据正比例函数的性质直接解答即可．
【详解】
解：A、显然当x=0时，y=0，故图象经过原点，错误；
B、k＜0，应y随x的增大而减小，错误；
C、k＜0，图解经过二、四象限，正确；
D、把x= 代入，得：y=-1，错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系.
3.在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，
∴−5a＞0，即a＜0，
又∵ab>0，
∴b＜0，
∴点A(a,b)在第三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
4.一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y=60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为
．
【答案】y=80x−10(0.5≤x≤2)
【分析】先把x=0.5代入y=60x，求得y=30，再设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为
y=kx+b，然后把(0.5,30)，(2,150)分别代入，得¿，求解得¿，即可求解．
【详解】解：把x=0.5代入y=60x，得
y=60×0.5=30，
设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
把(0.5,30)，(2,150)分别代入，得
¿，解得：¿，
∴y与x之间的函数表达式为y=80x−10(0.5≤x≤2)
故答案为：y=80x−10(0.5≤x≤2)．
【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析
式是解题的关键．
5.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=−kx+2k的图象所经过的象
限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
【分析】根据正比例函数的增减性得到k<0，得到−k>0,2k<0，再根据一次函数的性质解答．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0,2k<0，
∴一次函数y=−kx+2k的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象及性质与一次函数的图象及性质，正确掌握各函数的图象与性质
是解题的关键．
6.已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是（ ）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】根据题意以及正比例函数的性质，得出k>0，进而即可求解．
【详解】解：∵正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
∴k>0，−k<0
∴一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是一、二、四，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质与一次函数的性质，得出k>0是解题的关键．
7.已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数与系数的关系，由函数y＝kx+b的图象位置可得k＞0，b＜0，然后根据系数的正负判断函
数y＝﹣bx+k的图象位置．
【详解】
解：∵函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴﹣b＞0
∴函数y＝﹣bx+k的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的
正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象经过一、三、四象限；
k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象经过一、二、四象限；
k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象经过二、三、四象限．
8.若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则正比例函数y=（m+2）x的图象所在的象限是（
）A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的值，进而可得m+2的值，然后再根据正比例函数的
性质可得答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=16-16m=0，
∴m=1，
∴m+2=3，
∴正比例函数y= （m+2）x 的图象所在的象限是第一、三象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值．
9.在平面直角坐标系中，若一次函数y=mx+m(m≠0)的图象过点(1,2)，则该函数图象不经过的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题．
【详解】解：把(1,2)代入y=mx+m(m≠0)得：m+m=2，
解得：m=1，
∴y=x+1
∴一次函数的图象过不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
10.一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，
∴1−ab=5
∴一次函数解析式为：y=5x+2，
故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
11.下列图象中，表示一次函数 与正比例函数 （ 是常数且 ）图象的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论 的符号，然后根据 、 同正时，同负时，
一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：A.由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一
致，故本选项不正确；
B. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确；
C. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论一致，故
本选项正确；
D. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 的图象有四种情况：
当 函数 的图象经过第一、二、三象限；
当 函数 的图象经过第一、三、四象限；当 函数 的图象经过第一、二、四象限；
当 函数 的图象经过第二、三、四象限．
k
12.若反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，则一次函数y=kx−k(k≠0)的图像不经过（ ）象
x
限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，
x
k
∴ =−4，
2
解得：k=−8，
∴一次函数的解析式为y=−8x+8，
∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数
图像与系数的关系．
题型三：已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
1.若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是 ．
1
【答案】m＜
2
【详解】∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，
∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0
1 3
∴解不等式得：m＜ ，m＜ ，
2 2
1
∴m的取值范围是m＜ ．
2
1
故答案为m＜ .
2
2.已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
【答案】B【分析】根据一次函数经过一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，即可求得答案.
【详解】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴kb＜0，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数)的的图象为一条直线，
当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大
而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的
交点在x轴的下方．
3.若正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，且经过第二、四象限，则k的值是（ ）
A．−9 B．−3 C．3 D．−3或3
【答案】B
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确
定k的值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，
∴9=k2，
∴k=±3，
又∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴k=−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐
标特征，找出关于k的方程是解题的关键．
4.若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 （写出一
个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足b>0即可）
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得b>0，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b>0
故答案为：1答案不唯一，满足b>0即可）
【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
5.已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过第 象限.【答案】一.
【详解】试题分析：首先根据k+b=-5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过
的象限，进而求解即可．
试题解析：∵k+b=-5，kb=6，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
考点：一次函数图象与系数的关系．
6.在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)分别在三个不同的象限．若正比例函数
y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，则m=（ ）
4 3
A．2 B．−6 C．− D．−
3 2
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的性质得到正比例函数经过点B从而求出正比例函数解析式，然后代入点C的
坐标即可得到答案．
【详解】解：∵三个点的坐标分别为A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)，且三个点在不同的象限，
∴点A在第一象限时，点C在第二象限，
∴正比例函数不可能同时经过A、C两点，即正比例函数经过点B，
∴3k=−2，
2
∴k=− ，
3
2
∴正比例函数解析式为y=− x，
3
∴正比例函数经过二、四象限，
∴点C在正比例函数图象上，
2
∴− m=4，
3
∴m=−6，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，确定正比例函数经过点B是解题的关键．
7.已知y−m与x−1成正比例，且当x=−2时，y=3．若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，则m
的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A．− <m<0 B．− <m<0 C．m<− D．m<−
2 4 2 4
【答案】C【分析】根据正比例的性质列出解析式，根据一次函数经过的象限求得m的范围，即可求解．
【详解】解：∵y−m与x−1成正比例，
∴y−m=k(x−1)，
即y=k(x−1)+m，
当x=−2时，y=3，
即m=3+3k，
∴y=kx−k+3+3k=kx+2k+3
∵若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，
∴¿
3
解得：k<−
2
∵m=3+3k
m−3
∴k=
3
m−3 3
即 <−
3 2
3
解得：m<− ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8.已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是
（ ）
A．0<m<1 B．−1<m<1 C．1<m<2 D．−1<m<2
【答案】B
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=−3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，
1
b>0，则k的范围为0<k< ，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
3
【详解】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=−3k+1，
因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
所以k>0，b>0，即−3k+1>0，
1
所以k的范围为0<k< ，
3
因为m=3k−b=3k−(−3k+1)=6k−1，
所以m的范围为−1<m<1．
故选：B．题型四：一次函数与坐标轴交点问题
1.已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，
(2)如果正比例函数y=k x与所求的一次函数平行，请直接写出k 的值、
1 1
(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．
(3 )
【答案】(1)y=2x−3，x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，图象见详解
2
(2)k =2
1
(3)见详解
【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解；
（2）将（1）中所得直线函数，再通过平移即可得到y=k x，可知两个直线的自变量系数相同，问题随
1
之得解；
（3）按要求作图即可．
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
∴¿，
解得：¿，
即一次函数的解析式为：y=2x−3，
当x=0时，y=−3，
3
当y=0时，2x−3=0，解得：x= ，
2
(3 )
即图象与x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，
2
作图如下：
（2）将一次函数y=2x−3向上平移3个单位可得正比例函数y=2x，
∵平行的两条直线通过平移可以重合，
又∵正比例函数y=k x与一次函数y=2x−3平行，
1∴一次函数y=2x−3通过平移得到正比例函数y=k x，
1
∴正比例函数y=k x的解析式为：y=2x，
1
∴k =2；
1
（3）作图如下：
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两
条直线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键．
2.在平面直角坐标系中，将函数y=−2x−4的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点
坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(1,0) C．(−5,0) D．(5,0)
【答案】B
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将函数y=−2x−4的图象向右平移3个单位长度，得到y=−2(x−3)−4=−2x+2，
当y=0时，−2x+2=0
解得：x=1
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键．
3.若一次函数y=kx+b与y=−2x+1的图象关于y轴对称，则k、b的值分别等于 ．
【答案】2,1
1
【分析】由直线y=−2x+1，知与x轴交于( ,0)，与y轴交于(0,1)，根据轴对称性质，直线y=kx+b
2
1
经过点(− ,0)，(0,1)，建立二元一次方程组求解．
2
1
【详解】解：直线y=−2x+1，x=0时，y=1；y=0时，x= ；
2
1
∴直线y=−2x+1与x轴交于( ,0)，与y轴交于(0,1)．
2
1
∴直线y=kx+b经过点(− ,0)，(0,1)．
2∴¿，解得¿，
故答案为：2,1．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；根据轴对称
性质求点坐标是解题的关键．
4.一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5
【答案】D
【分析】先求出y=kx−5与y轴的交点坐标，将其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b与x
轴的交点，根据轴对称的性质，得出y=kx−5与x轴交点，将其代入y=kx−5即可求出k的值．
【详解】解：把x=0代入y=kx−5得：y=−5，
∴一次函数y=kx−5与y轴相交于(0,−5)，
∵一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，
∴y=2x+b与y轴相交于(0,−5)，
把(0,−5)代入y=2x+b得b=−5，
∴一次函数y=kx−5和y=2x−5的图象关于y轴对称，
把y=0代入y=2x−5得：0=2x−5，
5
解得：x= ，
2
(5 )
∴y=2x−5与x轴相交于 ,0 ，
2
( 5 )
∴一次函数y=kx−5与x轴相交于 − ,0 ，
2
( 5 ) 5
把 − ,0 代入0=− k−5，
2 2
解得：k=−2，
综上：k=−2,b=−5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点坐标的求法，
以及关于y轴对称点的坐标特征．
5.若直线l :y=kx+2与直线l :y=−x+b关于x轴对称，则l 与l 的交点坐标是( )
1 2 1 2
A．(0，−2) B．(−2，0) C．(2，0) D．(0，2)
【答案】B【分析】求得直线l 与y轴的交点为(0，2)，根据对称的性质得出点(0，2)关于x轴对称的对称点，再
1
根据待定系数法确定直线l 的关系式，求出直线l 与x轴的交点即可．
2 2
【详解】解：由直线l :y=kx+2可知，直线l 与y轴的交点为(0，2)，
1 1
∴点(0，2)关于x轴的对称点(0，−2)在直线l 上，
2
∴b=−2，
故直线l 的解析式为：y=−x−2，
2
令y=0，则x=−2，
即l 与l 的交点坐标为(−2，0)．
1 2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及坐标与图形的性质，正确得出l 与l 的交点坐标为
1 2
l 与l 与x轴的交点是解题关键．
1 2
6.已知直线l：y=2x+1与直线l'关于x轴对称，则直线l'的解析式是（ ）
A．y=−2x+1 B．y=2x−1 C．y=−x−2 D．y=−2x−1
【答案】D
( 1 ) ( 1 )
【分析】在直线l上找两点(0,1)、 − ,0 ，这两点关于x轴的对称点为(0,−1)、 − ,0 ，再利用待
2 2
定系数法求直线l'的解析式即可．
【详解】∵直线l的解析式为y=2x+1，
1
∴当x=0时，y=1；当y=0时，x=− ，
2
( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 在直线l上，
2
∵直线l与直线l'关于x轴对称，
( 1 ) ( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 关于x轴对称的点为(0,−1)、 − ,0 ，
2 2
设直线l'的解析式为y=kx+b(k≠0)，得¿，解得：¿，
∴直线l'的解析式为y=−2x−1，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及待定系数法，找到两个对称点的坐标是解题的关键．
4
7.如图，直线y= x+4交两坐标轴于A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是
3
．12 2
【答案】 /2.4/2
5 5
【分析】根据点到直线的最小距离CP⊥AB，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到OB=4，OA=3，
最后利用勾股定理得到AB=5即可解答．
【详解】解：当CP⊥AB时，OP的值最小，
∴OP 为最小值，
1
4
∵直线y= x+4交两坐标轴于A，B两点，
3
∴B(0，4)，A(−3,0)，
∴OB=4，OA=3，
∴AB=√OB2+OA2=5，
∵∠AOB=90°，
1 1
∴S = ⋅OB⋅OA，S = ⋅AB⋅OP ，
△AOB 2 △AOB 2 1
1 1
∴ ⋅OB⋅OA= ⋅AB⋅OP ，
2 2 1
12
∴OP = ，
1 5
12
故答案为 ；
5
【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面
积，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
题型五：判断一次函数增减性1.下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
【答案】D
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，
∵2＞0，
∴y随着x增大而增大，
故A不符合题意；
在一次函数y＝x﹣4中，
∵1＞0，
∴y随着x增大而增大，
故B不符合题意；
在一次函数y＝2x中，
∵2＞0，
∴y随着x增大而增大，
故C不符合题意；
在一次函数y＝﹣x+1中，
∵﹣1＜0，
∴y随着x增大而减小，
故D符合题意，
故选：D．
2．关于直线 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必过点 B．图象经过第一、三、四象限
C．与 平行 D． 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质分别进行判断，由函数图象经过的点必能满足解析式，进而得到A的正误，由k和b
的值可判定B、C的正误；根据k＝4>0可判断出D的正误，进而可得答案．21cnjy.com
【详解】
解：A、∵（1，2）不能使 左右相等，因此图象不经过（1，2）点，故此选项错误；B、∵k＝4>0，b＝1>0，∴图象经过第一、二、三象限，故此选项错误；
C、∵两函数k值不相等，∴两函数图象不平行，故此选项错误；
D、∵k＝4>0，∴y随x的增大而增大，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质的相关内容并熟练运用知识进行数
形之间的转化．
3.一次函数y=kx−1的函数值y随x的增大而减小，当x=2时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把x=2代入函数y=kx−1，从而判断函数值y的
取值．
【详解】∵一次函数y=kx−1的函数值y随x的增大而减小
∴k<0
∴当x=2时，y=2k−1<−1
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
4.关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，
故A不正确；
当x＝0时，y＝1，
∴图象与y轴交于点（0，1），
故B正确；
∵一次函数y＝x+1中，k＞0，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故C不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，
故D不正确；
故选：B．
5.若一次函数y=kx+b的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．k>0 B．b=2 C．y随x的增大而增大 D．x=3时，y=0
【答案】B
【分析】首先根据图像中过两点(0,2),(4,0)，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即
可．
【详解】首先将(0,2),(4,0)代入一次函数解析式y=kx+b，得
¿ ，
解得¿，
1
所以解析式为y=− x+2 ；
2
1
A、k>0,由求出的k=− ，可知此选项错误；
2
B、b=2，由求出的b=2，可知此选项正确；
C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；
1 1
D、将x=3代入，y=− ×3+2= ，故此选项错误；
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数y=kx+b(k≠0)图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数
解析式中系数k,b 的关系是解题关键．
3
6.如图，一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是（ ）
2A．点A的坐标是(−2，0) B．△AOB的面积是3
C．当x>0时，函数值y>3 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标；
B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出
△AOB的面积；
C．利用不等式的性质，可得出当当x>0时，y>3；
D．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大．
3
【详解】解：A．当y=0时， x+3=0，
2
解得：x=−2，
∴点A的坐标为(−2，0)，选项A不符合题意；
3
B．当x=0时，y= ×0+3=3，
2
∴点B的坐标为(0,3)，
1
∴△AOB的面积为 ×2×3=3，选项B不符合题意；
2
3
C．当x>0时，y> ×0+3=3，
2
∴当x>0时，y>3，选项C不符合题意；
3
D．∵k= >0，
2
∴y随x的增大而增大，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及三角形的面积，注意分析各选
项的正误是解题的关键．
7.一次函数y=kx+1的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．(−1，2) B．(1，2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】A
【分析】分别将四个选项中点的坐标代入函数解析式，求出k的值，根据一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：A、当点A的坐标为(−1，2)时，−k+1=2，
解得：k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，选项A符合题意；
B、当点A的坐标为(1，2)时，k+1=2，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为(2,3)时，2k+1=3，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为(3,4)时，3k+1=4，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增
减性，一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
8.在下列一次函数中，其图象过点(−1,3)且y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x+5 B．y=x+2 C．y=−2x+1 D．y=−x+1
【答案】C
【分析】对于一次函数y=kx+b，k<0时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项，再把
点(−1,3)代入，符合的函数解析式即为答案．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴该一次函数的一次项系数小于0，由此排除A，B，
对于y=−x+1，当x=−1时，y=2，
∴ y=−x+1的图象不过点(−1,3)，由此排除D，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判
断一次函数图象的增减性．
题型六：利用增减性判断参数取值范围
1．已知一次函数 ， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像性质即可求解.
【详解】
依题意得k-2＜0，解得
故选B.
【点睛】
此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知k的性质.
2.若正比例函数y=(1−2m)x的图像经过点A(x ,y )和点B(x ,y )，当x <x 时，y >y ，则m的取值
1 1 2 2 1 2 1 2
范围是（ ）
1 1
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2 2
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y
随x的增大而减小．
【详解】解：∵当x <x 时，y >y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
1
则1−2m<0，解得m> ．
2
故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
3.一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)，若自变量x的取值范围是−2≤x≤5，则y的最小值是
（ ）
A．−10 B．−7 C．7 D．11
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)求出一次函数的解析式，从而得到y随x的增大
而减小，由于自变量x的取值范围是−2≤x≤5，因此当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)，
∴−k+3=5，
∴k=−2，
∴一次函数的解析式为：y=−2x+3，∴ y随x的增大而减小，
∵自变量x的取值范围是−2≤x≤5，
∴当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数
的增减性，是解题的关键．
4.已知A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，
则k的取值范围是（ ）
A．k<3 B．k>3 C．k<2 D．k>2
【答案】C
d−b
【详解】将点A，点B坐标代入解析式可求k−2= ，即可求解．
c−a
【解答】解：∵A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
d−b
∴k−2= ，
c−a
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：C．
d−b
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2= 是关
c−a
键，是一道基础题．
5.已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当
k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
6.已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1
【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当
k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型七：利用增减性比大小
1.若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y），（4，y），则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y＜y B．y＞y C．y≤y D．y≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（﹣3，y）和（4，y）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，
1 2
∴y＜y．
1 2
故选：A．
2．已知正比例函数 的图像上有两点且 ， ，且x＞x，则y 与y 的大小
1 2 1 2
关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定．
【答案】B
【分析】
先根据正比例函数的系数k判断出函数的增减性，再由x＞x 即可得出结论．
1 2
【详解】
解：∵正比例函数y=kx中，k＞0，
∴此函数是增函数．∵x＞x，
1 2
∴y＞y．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性与系数k的关系是解答此题的关键．
3.已知A（x，y），B（x，y）是一次函数y＝（a－2）x＋1图象上不同的两个点，若（x－x）（y－
1 1 2 2 1 2 1
y）＜0，则a的取值范围是（）
2
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质知，当k<0时，判断出y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】∵(x－x)(y－y)<0，
1 2 1 2
∴x－x 与y－y 异号，
1 2 1 2
∴在一次函数y＝(a－2)x＋1中，y的值随x值的增大而减小，
∴a-2＜0，
解得a＜2．
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．
4.若A(2，y )，B(−1，y )是一次函数y=(k2+1)x+2图象上的两点，则（ ）
1 2
A．y ≤ y B．y <y C．y ≥ y D．y >y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】易求出k2+1>0，即可判断该一次函数y值随x值的增大而增大．再根据x =2>x =−1，即得
A B
出y >y ．
1 2
【详解】解：∵k2+1>0，
∴一次函数y=(k2+1)x+2，y值随x值的增大而增大．
又∵x =2>x =−1，
A B
∴y >y ．
1 2
故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数值．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
5.已知点 ， 在一次函数 的图像上，则 与 的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】
解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2< ，
∴ ．
∴m<n．
故选：C
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．
6．点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+b的图象上，则（ ）
A．m＝n B．m＞n
C．m＜n D．m、n的大小关系不确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数解析式中k＞0，所以y随x的增大而增大，B点的横坐标大，所以对应的纵坐标大．
【详解】
解：一次函数y=2x+b中，k=2，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（-1，m），B（3，n）中，3＞-1，
∴n＞m；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数图象的性质．牢记k对x、y的变化情况的影响是解题的关键．
7.已知(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )为直线y=kx−2k(k>0)上的三个点，且x <x <x ，则以下判断正确的
1 1 2 2 3 3 1 2 3是（ ）
A．若x x >0，则y ⋅y >0 B．若x x <0，则y ⋅y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y ⋅y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误．
【详解】解：∵k>0，
∴−2k<0，
一次函数的图象如图，
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，A选项错误，不合题意；
1 2 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，B选项错误，不合题意；
1 3 1 2 1 2
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，C选项错误，不合题意；
2 3 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0，D选项正确，符合题意．
2 3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质．
8.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，若点A(−1,y )，B(1,y )都在一次函数
1 2
y=kx−2图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y <y B．y = y C．y >y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，判断出k<0，可知y=kx−2的图象中，y随x值的增
大而减小，由此可解．
【详解】解：∵ y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，
∴ k<0，
∴ y=kx−2的图象中，y随x值的增大而减小，
∵ −1<1，
∴ y >y ．
1 2
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是根据y=kx(k≠0)经过的象限判断出k值的正负．题型八：根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
1.一次函数y=ax−2的图像经过点(3,0)，当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】x>3
【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
2
【详解】解：由题意可得：3a−2=0，解得：a= ，
3
2
∵ >0，
3
∴y随x增大而增大，
∴当y>0时，x的取值范围是x>3；
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次
函数的解析式，难度不大．
2.若2x+ y=1，且0<y<1，则x的取值范围为 ．
1
【答案】0<x<
2
【分析】根据2x+ y=1可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x
取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x+ y=1可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵0<y<1，
1
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为 ，
2
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
1
∴0<x<
2
1
故答案为：0<x< ．
2
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
3.若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ．
1
【答案】 <x<1
2
【分析】根据2x−y=1可得y＝2x-1，k＝2>0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得
最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x−y=1可得y＝2x﹣1，∴k＝2>0
∵0<y<1，
1
∴当y＝0时，x取得最小值，且最大值为 ，
2
当y＝1时，x取得最大值，且最小值为1，
1
∴ <x<1
2
1
故答案为： <x<1．
2
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型九：一次函数的平移问题
1.在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得到一次函数
的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
2.将直线y=−2x+7向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（ ）
A．y=−2x+3 B．y=−2x−5 C．y=−2x+9 D．y=−2x−7
【答案】A
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【详解】解：将直线y=−2x+7向左平移3个单位，得y=−2(x+3)+7，即y=−2x+1，
再向上平移2个单位，得y=−2x+1+2，即y=−2x+3．
故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的
关键．3.将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】
解：直线 向下平移2个单位后所得直线的解析式为
故选:A
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项．
函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平
移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
4.已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确
的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解
题的关键．
5.在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的
图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
【答案】A
【分析】
根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】解：将一次函数 的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为： ，
化简得： ，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题
的关键．
6.将正比例函数y=x向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数y=−3x+m的图象的交点
不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为y=x+1，根据函数y=x+1不经过第四象限，即可得出
结论．
【详解】解：将正比例函数y=x向上平移1个单位长度得到y=x+1，
∵一次函数y=x+1经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
∴平移后的函数图象与一次函数y=−3x+m的图象的交点不可能在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象
平移的法则是解答此题的关键．
7.把直线y=−5x沿着y轴平移后得到直线AB，直线AB经过点(a,b)，且5a+b=−2，则直线AB的函数
表达式是（ ）
A．y=−5x+2 B．y=−5x−2 C．y=5x+2 D．y=5x−2
【答案】B
【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线AB的解析式，然后根据已知条件列出关于a、b的方程组，
通过解方程组求得系数的值．【详解】解：设y=−5x沿着y轴平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=−5x+k，
把点(a,b)代入y=−5x+k，得b=−5a+k，①．
联立5a+b=−2，②
解得k=−2．
∴直线AB的解析式为y=−5x−2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，
当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
8.在平面直角坐标系中，将直线y=kx+4(k≠0)向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k
的值为（ ）
A．−2 B．−1 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为y=k(x−2)+4，将(0，0)代入得，0=k(0−2)+4，计算
求解即可．
【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为y=k(x−2)+4，
将(0，0)代入得，0=k(0−2)+4，解得k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9.在平面直角坐标系中，将直线y=3x+b向右平移2个单位，平移后的直线经过第四象限，则b的值不
可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先根据平移规律得出直线y=3x+b向右平移2个单位的直线解析式，根据一次函数的图象可得
b的取值范围，即可解答．
【详解】解：将直线y=3x+b向右平移2个单位，得到直线y=3(x−2)+b=3x+b−6，
∵k=3>0且平移后的直线经过第四象限，
∴b−6<0，
解得：b<6，
∴b的值不可能为6，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移和一次函数的图象，正确求出平移后的直线解析式是解题的关
键．
10.将函数y=kx的图像向下平移2个单位后，经过点(1,0)，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，把点
(1,0)代入一次函数y=kx−2得到关于k的一元一次方程，解之，通过k的正负情况即可得到答案．
【详解】解：根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，
∵ y=kx−2图象经过点(1,0)，
∴0=k−2，解得k=2，即函数为y=2x，
∵k=2>0，
∴y的值随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了函数图像的平移和正比例函数的增减性，涉及到解一元一次方程，正确掌握代入法
和正比例函数的增减性是解题的关键．
11．若函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．
（1）求该函数的表达式．
（2）将该函数图象沿y轴向上或者向下平移，使其经过（1，﹣2），求平移的方向与距离．
【答案】（1）y＝2x；（2）沿y轴向下平移4个单位．
【分析】
（1）根据正比例函数的定义可得一个关于m的等式，求得m值代入函数解析式即可得；
（2）根据函数解析式可设平移后的函数解析式为 ，将 代入求得b值，再根据平移后的
函数解析式即可得.
【详解】
（1）根据题意得 且 ，
解得 ，
所以该函数的表达式为 ；
（2）设平移后的函数解析式为 ，
将 代入得 ，
解得 ，
则平移后的函数解析式为 ，所以函数的图象是沿y轴向下平移4个单位，使其经过 .
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、以及函数图象的平移，掌握正比例函数的定
义是解题关键.
题型十：求一次函数解析式
1.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则k2−b2= ．
【答案】−6
【分析】把点(1,3)和(−1,2)代入y=kx+b，可得¿，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，
∴¿，即¿，
∴k2−b2=(k+b)(k−b)=3×(−2)=−6；
故答案为：−6
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解
因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
2.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使
棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一
次函数解析式为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
【答案】A
【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x+1，故选：A．
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转
得到点B，在 ， ， ， 四个点中，直线 经过的点是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ 轴， ，由旋转得： ，如图，过点B作 轴于C，
∴ ，∴ ，∴ ），设直线 的解析式为： ，
则 ，∴ ，∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，∴点 不在直线 上，当 时， ，∴ 在直线 上，
当 时 ，∴ 不在直线 上，
当 时， ，∴ 不在直线 上．故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关
键．
4.已知点A，B(−3,b)在一次函数y=kx+4的图象上，且点A与点C(2,−5)关于x轴对称，则b的值为
（ ）
5 19 14 5
A． B．− C． D．−
2 2 5 2
【答案】A
【分析】先由对称求出点A坐标，代入求出函数解析式，再根据一次函数的图象即可求出b的值．
【详解】∵点A与点C(2,−5)关于x轴对称，
∴A(2,5)，
∵点A在一次函数y=kx+4的图象上，
1
∴5=2k+4，解得：k= ，
2
1
∴一次函数解析式为：y= x+4，
2
1
又∵点B(−3,b)在一次函数y= x+4的图象上，
2
1 5
∴b= ×(−3)+4= ，
2 2
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的知识，关于x轴对称点的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性
质，点的对称性，从而完成求解．
1
5.直线y= x+2交x轴于A，交y轴于B，直线AB绕原点旋转180度后的直线解析式为（ ）
2
1 1 1 1
A．y= x−2 B．y= x+2 C．y=− x−2 D．y=− x+2
2 2 2 2
【答案】A
【分析】先求得A，B的坐标，再求得A，B绕原点旋转180度后的坐标，利用待定系数法求解即可．1
【详解】解：∵直线y= x+2交x轴于A，交y轴于B，
2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,2)，
∴ A，B绕原点旋转180度后的坐标为(4,0)，(0,−2)，
设旋转后的直线解析式为y=kx+b，则¿，
解得：¿，
1
∴旋转后的直线解析式为y= x−2，
2
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，明确关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
6.某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据
绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说
法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当0≤x≤15时，当15<x≤20时的函数解析式，逐项进行计算即可求解．
【详解】设y=k x，
1
把(15,30)代入，得30=15k ，
1
解得k =2，
1
∴y=2x，
当x=10时，y=2×10=20，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意；
当x=7时，y=2×7=14，即第7天销售14千克，
当x=1时，y=2×1=2，即第1天销售2千克，
当15<x≤20时，设y=k x+b，
2
把(15,30),(20,0)代入，得¿，
解得¿，
∴y=−6x+120，当x=16时，y=−6×16+120=24，即第16天销售24千克
∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意；
由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意；
∵24−2=22千克，
∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关
键．
7．“元旦”期间，老李一家自驾游去了离家320千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车
行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（ ）
A．1.25小时 B．4小时 C．4.25小时 D．4.75小时
【答案】D
【分析】
根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
【详解】
解：设AB段的函数解析式是y=kx+b，
y=kx+b的图象过A（3，160），B（5，320），
解得 ，
∴AB段函数的解析式是y=80x-80，
离目的地还有20千米时，即y=320-20=300km，
当y=300时，80x-80=300解得：x=4.75h，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
2
8.如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角
3
△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4
【答案】B
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及
AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，
AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点
的直线对应的函数表达式．
2
【详解】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
3
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
¿，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，∴ ¿，解得¿．
1
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=− x+2．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判
定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
9.在平面直角坐标系中，有三个点A(−3,1)，B(−1,5)，C(0,m)，当△ABC的周长最短时，m的值
为 ．
【答案】4
【分析】若三角形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余两边最短即可，根据对称性作出B关于y
轴的对称点B'、求出AB'的解析式，即可得到m的值．
【详解】如图，作B的对称点B' (1,5)，
连接AB'交y轴于点C，此时△ABC的周长最短，
设直线AB':y=kx+b，
则¿
解得¿
∴m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了轴对称−−最短路径问题，利用轴对称与待定系数法求函数解析式相结合，考查了同学们的综合应用能力．正确作出图形是解题的关键．
10.如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平
距离x(x≥4)厘米与秤钩所挂物体质量y千克之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些
数据．
x 4 12 16 24 28 36
y 0 1 1.5 2.5 3 4
根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式： ．
1 1
【答案】y= x−
8 2
【分析】观察表中数据变化特征，设解析式，运用待定系数法、二元一次方程组求解．
【详解】解：由表格知，y随x的增大而增大，设函数表达式为y=kx+b(k≠0)，则
¿，解得¿
1 1
∴y= x− ，
8 2
经检验，x，y其它组值也满足解析式．
1 1
故答案为：y= x−
8 2
【点睛】本题考查确定函数解析式，理解待定系数法、运用方程的思维求解是解题的关键．
11.已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转
后的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】y=√3x−6
【分析】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，
根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=4，
1
∠BAC=60°，从而可得CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，记知C(2√3，0)，又∠CED=60°，
2
4√3
可求出E( ，−2)，再用待定系数法可得答案．
3
【详解】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于
D，如图：∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵A(0,−2)，B(0,2)，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，
2
∴C(2√3，0)，
∵∠CED=60°，
CD 2√3
∴ED= = ，
√3 3
4√3
∴AE=AD−ED= ，
3
4√3
∴E( ，−2)，
3
4√3
设直线CE解析式为y=kx+b，将C(2√3，0)，E( ，−2)代入得：
3
¿，
解得¿，
∴直线CE解析式为y=√3x−6；
故答案为：y=√3x−6．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换−旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线
上两个点的坐标．
12.如图，已知直线l ：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分
1
的直线l 的解析式为（ ）
2A．y＝ x B．y＝x C．y＝ x D．y＝2x
【答案】D
【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；
当x＝0，y＝4，则B（0，4），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l 把△AOB面积平分
2
∴直线l 过AB的中点，
2
设直线l 的解析式为y＝kx，
2
把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，
∴l 的解析式为y＝2x，
2
故选：D．
13.在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角
线BD所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x+4 B．y＝﹣ x+4 C．y＝﹣ x+4 D．y＝4
【答案】A
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，
∵点A（3，0），B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
∴D（7，3），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把D（7，3），B（0，4）代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+4．
故选：A．
14.已知直线y=kx+b中，自变量x的取值范围是−1≤x≤7，相应函数值的范围是−12≤ y≤8，求该函数
的解析式．
【答案】y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5
【分析】根据一次函数的增减性，分两种情况进行讨论．当一次函数y随x的增加而增加时，即函数图象
经过（-1，-12）和（7,8）时，运用待定系数法可求得相应函数解析式；当一次函数y随x的增加而减少
时，即函数图象经过（-1,8）和（7，-12）时，运用待定系数法可求得相应函数解析式．最终得到函数解
析式的两种结果．
【详解】解：分情况讨论，当直线经过 （-1，-12）和（7,8）时，有
¿解得¿则解析式为y=2.5x-9.5；当直线经过 （-1,8）和（7，-12）时，有
¿解得¿则解析式为y=-2.5x+5.5．
综上，函数的解析式为y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，通过函数增减性，分两种情况进行讨论是解题的关
键．
15.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数 F
拉力
（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F
拉力
＝G
重力
；当石块入水后，F
拉力
＝G
重力
﹣F
浮力
．）
【答案】（1）F ＝﹣ x+ ；
拉力
（2）当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为 N．
【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F ＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
拉力
，
解得 ，
∴AB所在直线的函数表达式为F ＝﹣ x+ ；
拉力
（2）在F ＝﹣ x+ 中，令x＝8得F ＝﹣ ×8+ ＝ ，
拉力 拉力
∵4﹣ ＝ （N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为 N．题型十一：一次函数的规律探究问题
1.如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A ，…在x轴上且
1 2 3 4
OA =1，OA =2OA ，OA =2OA ，OA =2OA ，…，按此规律，过点
1 2 1 3 2 4 3
A ，A ，A ，A ，…作x轴的垂线分别与直线y=√3x交于点B ，B ，B ，B …．连接
1 2 3 4 1 2 3 4
B A ，B A ，B A ，…，记△B A B ，△B A B ，△B A B ，…的面积分别为
1 2 2 3 3 3 1 2 2 2 3 3 3 4 4
S ，S ，S ，…，则S = ．
1 2 3 2025
【答案】24048√3
【分析】当OA =1时，先求出OA =2OA =2，再计算出A B =2√3，A A =1，S =20√3，
1 2 1 2 2 1 2 1
S =22√3，S =24√3，S ==26√3，⋯，得到公式S =22n−2√3，代入计算即可．
2 3 4 n
【详解】解：当OA =1时，
1
∵OA =2OA =2，
2 1
1 1
∴A B =2√3，A A =1，S = A B ⋅A A = ×2√3×1=√3=20√3，
2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2
∵OA =2OA =4，
3 2
1 1
∴A B =4√3，A A =2，S = A B ⋅A A =2= ×4√3×2=4√3=22√3，
3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2
∵OA =2OA =8，
4 3
1 1
∴A B =8√3，A A =4，S = A B ⋅A A =2= ×8√3×4=16√3=24√3，
4 4 3 4 3 2 4 4 3 4 2
OA =2OA =16，
5 4
1 1
∴A B =16√3，A A =8，S = A B ⋅A A =2= ×16√3×8=64√3=26√3，
5 5 4 5 4 2 5 5 4 5 2
⋯，
∴S =22n−2√3，
n∴S =22×2025−2×√3=24048√3．
2025
故答案为：24048√3．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3x−√3与x轴交于点A ，以OA 为边作正方形A B C O
1 1 1 1 1
点C 在y轴上，延长C B 交直线l于点A ，以C A 为边作正方形A B C C ，点C 在y轴上，以同样
1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2
的方式依次作正方形A B C C ，…，正方形A B C C ，则点B 的横坐标是 ．
3 3 3 2 2023 2023 2023 2022 2023
2022
( √3)
【答案】 1+
3
2
√3 2√3 4 ( √3)
【分析】分别求出点点B 的横坐标是1，点B 的横坐标是1+ ，点B 的横坐标是 + = 1+ ，
1 2 3 3 3 3 3
找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当y=0，0=√3x−√3，解得x=1，
∴点A (1,0),
1
∵A B C O是正方形，
1 1 1
∴OA =A B =OC =1，
1 1 1 1
∴点B (1,1)，
1
∴点B 的横坐标是1，
1
√3
当y=1时，1=√3x−√3，解得x=1+ ，
3
( √3 )
∴点A 1+ ,1 ，
2 3∵A B C C 是正方形，
2 2 2 1
√3
∴A B =C C =A C =1+ ，
2 2 1 2 2 1 3
( √3 √3)
∴点B 1+ ,2+ ，
2 3 3
√3
即点B 的横坐标是1+ ，
2 3
√3 √3 2
当y=2+ 时，2+ =√3x−√3，解得x= (√3+2)，
3 3 3
(2√3 4 √3)
∴点A + ,2+ ，
3 3 3 3
∵A B C C 是正方形，
3 3 3 2
2√3 4
∴A B =C C =A C = + ，
3 3 2 3 3 2 3 3
2
2√3 4 ( √3)
∴点B 的横坐标是 + = 1+ ，
3 3 3 3
……
2022
( √3)
以此类推，则点B 的横坐标是 1+
2023 3
2022
( √3)
故答案为： 1+
3
【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是
解题的关键．
3.如图，过原点的两条直线分别为l：y＝2x，l：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l 交于点A，
1 2 1 1
过点A 作y轴的垂线与l 交于点A，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A，过点A 作y轴的垂线与l 交于
1 2 2 2 1 3 3 2
点A，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A，⋯，依次进行下去，则点A 的坐标为 ．
4 4 1 5 20【答案】（210，﹣210）
【分析】首先把x＝1代入l：y＝2x，可得点A 的坐标为（1，2），把y=2代入l：y＝﹣x，可得点A
1 1 2 2
的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A，A，A，A，A，A，A 的坐标，即可找到规律，据此即可求
3 4 5 6 7 8 9
得．
【详解】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A 的坐标为（1，2）；
1
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A 的坐标为（﹣2，2）；
2
同理可得：A（﹣2，﹣4），A（4，﹣4），A（4，8），A（﹣8，8），A（﹣8，﹣16），A（16，
3 4 5 6 7 8
﹣16），A（16，32），…，
9
∴An （22n，22n+1），An （﹣22n+1，22n+1），
4 +1 4 +2
An （﹣22n+1，﹣22n+2），An （22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
4 +3 4 +4
∵20＝4×4+4，
∴点A 的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）．
20
故答案为：（210，﹣210）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．
1
4.如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2)，以O为圆心，OA 的长为半径画弧，交直线y= x于
1 1 2
1
点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以O为圆心，OA 长为半径画弧，交直线y= x于
1 1 1 2 2 2 2
1
点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以点O为圆心，OA 长为半径画弧，交直线y= x
2 2 2 3 3 3 2于点B ；…按如此规律进行下去，点B 的坐标为（ ）
3 2021
A．(22021,22021
)
B．(22021,22020
)
C．(22020,22021
)
D．(22022,22021
)
【答案】B
【分析】根据题意可以求得点B 的坐标，点A 的坐标，点B 的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从
1 2 2
而可以求得点B 的坐标．
2021
【详解】解：由题意可得，点A 的坐标为（1，2），
1
1
设点B 的坐标为（a， a），
1 2
1 2
∵a2+( a) =12+22，解得，a＝2，（负根舍去）
2
∴点B 的坐标为（2，1），
1
同理可得，点A 的坐标为（2，4），点B 的坐标为（4，2），
2 2
点A 的坐标为（4，8），点B 的坐标为（8，4），
3 3
……
∴点B 的坐标为(22021,22020 )，
2021
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中
坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
√3
5.如图，△AB A ,△A B A ,△A B A ,⋅⋅⋅是等边三角形，直线y= x+2经过它们的顶点
1 1 1 2 2 2 3 3 3
A,A ,A ,A ,⋅⋅⋅，点B ,B ,B ,⋅⋅⋅在x轴上，则点A 的横坐标是 .
1 2 3 1 2 3 2022【答案】(22023−2)√3
√3
【分析】如图，设直线y= x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝2√3，然
3
后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得∠CB A =90°，∠CB A=30°，然后求出
1 1 1
CB =2OB =4√3=22×√3，CB =2CB =8√3=23×√3，CB =2CB =16√3=24×√3，…，进而
1 1 2 1 3 2
可得CB =22023×√3，再求出OB 即可．
2022 2022
√3
【详解】解：如图，设直线y= x+2与x轴交于点C，
3
√3
在y= x+2中，当x＝0时，y＝2；
3
√3
当y＝0时，即 x+2=0，解得：x=−2√3，
3
∴A（0，2），C（−2√3，0），
∴OA＝2，OC＝2√3，
OA 2 √3
∴tan∠ACO＝ = = ，
OC 2√3 3
∴∠ACO＝30°，
∵△AB A 是等边三角形，
1 1
∴∠A A B =∠AB A =60°，
1 1 1 1
∴∠CB A =90°，
1 1
∴∠CB A=30°，
1
∴AC＝AB ，
1
∵AO⊥CB ，
1
∴OB =OC=2√3，
1∴CB =2OB =4√3=22×√3，
1 1
同理可得：CB =2CB =8√3=23×√3，CB =2CB =16√3=24×√3，…，
2 1 3 2
∴CB =22023×√3，
2022
∴OB =22023×√3−2√3=(22023−2)√3，
2022
∴点A 的横坐标是(22023−2)√3，
2022
故答案为：(22023−2)√3．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和
性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂
1 1
线交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点C 作直线l的垂线，垂足为A ，交x轴于点
1 1 1 1 1 1 1 1 2
B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂线，垂足为A ，交直线l于点D ，以A D 为
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
边作正方形A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形A B C D 的面积是（ ）
3 3 3 3 n n n n
(9) n (9) n−1 (3) n (3) n−1
A． B． C． D．
2 2 2 2【答案】B
【分析】由已知，直线l是第一、三象限的角平分线，结合A （1，0），根据勾股定理求出每个正方形的
1
边长，可分别求出正方形A B C D 、正方形A B C D 、正方形A B C D 的面积，从中发现规律．
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
【详解】解：∵直线l为函数y=x的图象，
∴∠D OA =45∘．
1 1
∴D A =OA =1．
1 1 1
∴正方形A B C D 的面积为1；
1 1 1 1
√2
由勾股定理得，OD =√2，D A = ，
1 1 2 2
√2 3√2
∴A B =OA =√2+ = ，
2 2 2 2 2
2
(3√2) 9
∴正方形A B C D 的面积为： = ；
2 2 2 2 2 2
9
同理可得，A D =OA = ，
3 3 3 2
(9) 2
∴正方形A B C D 的面积为： ；…
3 3 3 3 2
(9) 1−1 9 (9) 2−1
∵第1个正方形的面积为1= ，第2个正方形的面积为 = ，第3个正方形的面积为
2 2 2
(9) 2 (9) 3−1
= ，…，
2 2
(9) n−1
∴第n个正方形A B C D 的面积为： ．
n n n n 2
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、正比例函数的图象和性质、探索规律等知识点，运用正
比例函数的性质是解题的基础，运用勾股定理求每个正方形的边长是关键．
7.如图△OA B 、△A A B 、△A A B 都是等腰直角三角形，直角顶点B 、B ，B 均在直线l上，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
1 2
直线l的解析式为y= x+ ，点B 的横坐标为1，根据此规律第n个等腰直角三角形A ❑ A B 的面积
3 3 1 n −1 n n
为 ．【答案】22(n−1)
1
【分析】分别过点B 、B ，B 作x轴的出现，垂足分别为C,D,E，先求得S = ×2×1=1，
1 2 3 △OA 1 B 1 2
1 1
S = ×4×2=4=22 ,S = ×8×4=24 ，找到规律即可求解．
△A 1 A 2 B 2 2 △A 2 A 3 B 3 2
【详解】解：如图所示，分别过点B 、B ，B 作x轴的出现，垂足分别为C,D,E，
1 2 3
1 2
∵B 在y= x+ ，且B 的横坐标为1
1 3 3 1
∴B (1,1),
1
∴OC=B C=C A =1，
1 1
设A D=a，则B D=A D=DA =a，
1 2 1 2
∴B 的横坐标为2+a，
2
∴B (2+a,a)，
2
1 2 1 2
代入y= x+ ，即a= (a+2)+ ，
3 3 3 3
解得：a=2，
∴A A =4，
1 2
同理可得A A =8，……，
2 3
∴
S =
1
×2×1=1
，
S =
1
×4×2=
1
×4×
1
×4=
(1) 2 ×42=22×2−2,
△OA 1 B 1 2 △A 1 A 2 B 2 2 2 2 2S =
1
×8×4=
1
×8×
1
×8=
(1) 2
×22×3=22×3−2
△A 2 A 3 B 3 2 2 2 2
……，
∴根据此规律第n个等腰直角三角形A ❑ A B 的面积为，
n −1 n n
故答案为：22(n−1)．
【点睛】本题考查了一次函数规律题，找到规律是解题的关键．
√3
8.如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+1与直线l ：y=√3x交于点A ，过A 作x轴的垂线，
1 3 2 1 1
垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，
1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 3
过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点A 的纵坐标为 ．
3 3 2023
32023
【答案】
22022
9
【分析】联立直线l 与直线l 的表达式并解得¿，故A (√3，3)，依次求出：点A 的纵坐标为 、A 的纵
1 2 1 2 2 3
27
坐标为 ，即可求解，找出规律即可求得答案．
4
【详解】解：由¿解得¿，
∴A (√3，3)；
1
∴点B (√3，0)，
1
设直线B A 的表达式为：y =√3x+b，
1 2 3
将点B 坐标代入上式解得b=−3，
1∴直线B A 的表达式为：y =√3x−3，
1 2 3
由¿解得¿，
5√3 9
∴A ( ， )，
2 2 2
5√3
∴B ( ，0)，
2 2
设直线B A 的表达式为：y=√3x+c，
2 3
15
将点B 坐标代入上式解得c=− ，
2 2
15
∴直线B A 的表达式为：y =√3x− ，
2 3 4 2
27
同理可得A 的纵坐标为 ，
3 4
3n
…按此规律，则点A 的纵坐标为 ，
n 2n−1
32023
∴点A 的纵坐标为 ，
2023 22022
32023
故答案为： ．
22022
【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元
一次方程组之间的内在联系．
1
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (2，2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x
1 1 1 1 2
于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ；再过点C 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
右侧作等腰直角三角形A B C …按此规律进行下去，点C 的横坐标为 ．
2 2 2 2021(3) 2021
【答案】2×
2
3 9 (3) 2
【分析】先根据题目中的已知条件求出点C 的横坐标为3=2× ，点C 的横坐标为 =2× ，点C 的
1 2 2 2 2 3
27 (3) 3 81 (3) 4 (3) n
横坐标为 =2× ，点C 的横坐标为 =2× …，由此总结得出点C 的横坐标为2× ，最
4 2 4 8 2 n 2
后求出结果即可．
1
【详解】解：∵点A (2，2)，A B ∥y轴交直线y= x于点B，
1 1 1 2
∴B (2,1)，
1
∴A B =2−1=1，即A C =1，
1 1 1 1
∵A C =A B =1，
1 1 1 1
3
∴点C 的横坐标为3=2× ，
1 2
1
∵过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，
1 2 2 2 2 2
( 3)
∴A (3，3)，B 3,
2 2 2
3 3
∴A B =3− = ，
2 2 2 2
3
∴A C = ，
2 2 2
9 (3) 2
∴点C 的横坐标为， =2× ；
2 2 2
以此类推，
9 9
A B = ，即A C = ，
3 3 4 3 3 4
27 (3) 3
∴点C 的横坐标为 =2× ，
3 4 2
27 27
A B = ，即A C = ；
4 4 8 4 4 881 (3) 4
点C 的横坐标为 =2× …
4 8 2
(3) n−1 (3) n−1
∴A B = ，即A C = ．
n n 2 n n 2
(3) n
∴点C 的横坐标为2× ，
n 2
(3) 2021
∴点C 的横坐标为2× ．
2021 2
(3) 2021
故答案为：2× ．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点C 的横坐标为
n
(3) n
2× ．
2
10.如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直
1 1 2 1 2 3 2 3
1
角顶点P (3，3)，P ，P ，…均在直线y=− x+4上，设△P OA ，△P A A ，△P A A ，…
1 2 3 3 1 1 2 1 2 3 2 3
面积分别为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S = ．
1 2 3 2025
9
【答案】
42024
【分析】过点P 作P E ⊥x轴于点E ，利用等腰直角三角形的性质可得A A =2P E ，结合点P 的
n n n n n−1 n n n 1
坐标可求出S 的值，设点P 的坐标为(x ，y )，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y ，y ，…，
1 n n n 2 3
y 的值，再利用三角形的面积公式即可得出S ，S ，…，S 的值，代入n=2024即可求出结论．
n 1 2 n【详解】解：过点P 作P E ⊥x轴于点E ，如图所示．
n n n n
∵△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴OA =2P E ，A A =2P E ，A A =2P E ，…，A A =2P E ．
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 n−1 n n n
∵P (3，3)，
1
1
∴S = OA ⋅P E =(P E ) 2=9；
1 2 1 1 1 1 1
设点P 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(6+ y ，y )．
n n n 2 2 2
1
∵点P 在直线y=− x+4上，
2 3
1
∴y =− (6+ y )+4，
2 3 2
3
∴y = ，
2 2
1 9
∴S = A A ⋅P E =(P E ) 2= ，
2 2 1 2 2 2 2 2 4
∴点P 的坐标为(6+2y + y ，y )，即(9+ y ，y )．
3 2 3 3 3 3
1
∵点P 在直线y=− x+4上，
3 3
1
∴y =− (9+ y )+4，
3 3 3
3 1 9
∴y = ，∴S = A A ⋅P E =(P E ) 2= ．
3 4 3 2 2 3 3 3 3 3 16
3 3
∵y =3，y = ，y = ，…，
1 2 2 3 4
3
∴y = ，
n 2n−1∴S = 1 A A ⋅P E =(P E ) 2= ( 3 ) 2 = 9 ，
n 2 n−1 n n n n n 2n−1 4n−1
9
∴S = ．
2025 42024
9
故答案为： ．
42024
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的
3
变化，找出点P 纵坐标的变化规律“y = ”是解题的关键．
n n 2n−1
√3
11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l :y= x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且
1 3
OB=2√2，顶点C在直线l
2
:y=√3x上，BC⊥l
2
；过点A作直线l
2
的垂线，垂足为C
1
，交x轴于B
1
，过点B
1
作
A
1
B
1
垂直x轴，交l
1
于点A
1
，连接A
1
C
1
，得到第一个△A
1
B
1
C
1
；过点A
1
作直线l
2
的垂线，垂足为C
2
，交x轴于
B
2
，过点B
2
作A
2
B
2
垂直x轴，交l
1
于点A
2
，连接A
2
C
2
，得到第二个△A
2
B
2
C
2
；如此下去，……，则
△A
2023
B
2023
C
2023
的面积是 ．
【答案】24046√3
【分析】解直角三角形得出∠AOB=30°，∠BOC=60°，求出S =√3，证明
△ABC
△ABC∽△A B C ，△ABC∽△A B C ，得出S =4S ，
1 1 1 2 2 2 △A B C △ABC
1 1 1
S =42 ⋅S =(22) 2 ⋅S ，总结得出S =(2n) 2 S =22nS ，从而得出
△A B C △ABC △ABC △A B C △ABC △ABC
2 2 2 n n n
S =22×2023×√3=24046√3．
△A B C
2023 2023 2023
【详解】解：∵OB=2√2，∴B(2√2,0)，
∵AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为2√2，
√3
∵l :y= x，
1 3
√3 2√6
∴点A的纵坐标为 ×2√2= ，
3 3
2√6
∴ AB 3 √3，
tan∠AOB= = =
OB 2√2 3
∴∠AOB=30°，
∵l :y=√3x，
2
∴设C(x ,y )，则y =√3x ，
C C C C
y
∴tan∠BOC= C =√3，
x
C
∴∠BOC=60°，
1
∴OC=OB×cos60°=2√2× =√2，
2
√3
BC=OB×sin60°=2√2× =√6，
2
∵∠AOC =∠BOC−∠AOB=30°，
1
∴∠AOB=∠AOC ，
1
∴OA平分∠BOC，
∵AC ⊥l ，AB⊥OB，
1 2
2√6
∴AC =AB= ，
1 3
∵AB=AC ，OA=OA，
1
∴Rt△OAB≌Rt△OAC ，
1
∴OC =OB=2√2，
1
∴CC =OC −OC=2√2−√2=√2，
1 1
∴S =2S −S −S
△ABC △OAB △ACC △BOC
11 2√6 1 2√6 1
=2× ×2√2× − ×√2× − ×√2×√6
2 3 2 3 2
=√3，
∵BC⊥l ，
2
∴∠BCO=90°，
∴∠CBO=90°−60°=30°，
∵B C ⊥l ，BC⊥l ，B C ⊥l ，
1 1 2 2 2 2 2
∴BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
∴∠C B O=∠C B O=∠CBO=30°，
1 1 2 2
∴∠C B O=∠C B O=∠CBO=∠AOB，
1 1 2 2
∴AO=AB ，A O=A B ，
1 1 1 2
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1
1 1
∴OB= OB ，OB = OB ，
2 1 1 2 2
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴AB∥A B ∥A B ，
1 1 2 2
AB OB 1 AB OB 1
= = = =
∴ ， ，
A B OB 2 A B OB 4
1 1 1 2 2 2
∵BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
BC OB 1 BC OB 1
= = = =
∴ ， ，
B C OB 2 B C OB 4
1 1 1 2 2 2
AB BC
=
∴ ，
A B B C
1 1 1 1
∵∠ABC=∠A B C =90°−30°=60°，
1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，
1 1 1
同理△ABC∽△A B C ，
2 2 2
∴S =4S ，
△A B C △ABC
1 1 1
S =42 ⋅S =(22) 2 ⋅S ，
△A B C △ABC △ABC
2 2 2
∴S =(2n) 2 S =22nS ，
△A B C △ABC △ABC
n n n
∴S =22×2023×√3=24046√3．
△A B C
2023 2023 2023
故答案为：24046√3．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律
S =(2n) 2 S =22nS ．
△A B C △ABC △ABC
n n n
题型十二：一次函数的新定义问题
b
1.定义新运算：a◎b= (a≠0)．对于函数y=3◎x，下列说法正确的是（ ）
a
A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点(1,3)
C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线
【答案】C
【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
b
【详解】解：∵a◎b= (a≠0)，
a
x
∴y=3◎x = ，
3
A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
1
B．当x=1时，y = ，故本选项不符合题意；
3
C．y随x增大而增大，故本选项符合题意；
D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
2.定义一种运算：a⊗b=¿则函数y=(x+2)⊗(x−1)的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a⊗b=¿，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即
可得出结论．
【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，
∴当x≤4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，
即：y=3，
当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5，
即：y=2x-5，
∵k=2＞0，∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，
综上所述，只A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
3.在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，给出如下定义：当点Q(x ,y )满足x +x = y + y 时，称点Q
1 1 2 2 1 2 1 2
是点P的等和点．已知：点P(2,−1)，如Q (−5,−2)、Q (0,3)都是点P的等和点．若点A在直线
1 2
y=−x+3上，点P的等和点也是点A的等和点，则点A的坐标（ ）
A．(−3,6) B．(−1,4) C．(4,−1) D．(3,0)
【答案】D
【分析】设点P（2，－1）的等和点为（m，n），A（t，−t＋3），根据点P的等和点也是点A的等和点
列式计算即可．
【详解】解：设点P（2，－1）的等和点为（m，n），
∴2＋m＝n－1，
设A（t，−t＋3），则点A的等和点为（m，n），
∴t＋m＝−t＋3＋n，
解得：t＝3，
∴A（3，0），
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
4.新定义：函数图象上任意一点P(x，y)，y−x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标
差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”是 ．
【答案】4
【分析】由题意知，一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为y−x=x+3，当x=1时，y−x最大，
代入求解即可．
【详解】解：由题意知，一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为y−x=x+3，
当x=1时，y−x=4，
∴一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
5.定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称
此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，
那么k的值是 ．
【答案】2
【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即可．
【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5，
∴1≤y≤9，
∵一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，
∴9－1=k（5－1），解得：k＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对“k级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解“k级函
数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
6.定义：点A（x,y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，
N(-2,-2)，都是“平衡点”．当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（
）．
A．0≤m≤1 B．−3≤m≤1
C．−3≤m≤3 D．−1≤m≤0
【答案】B
【分析】根据新定义“平衡点”，找出x与m之间的关系，利用x的范围，确定m的不等式，然后解不
等式即可．
【详解】解：∵当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，
∴满足x=y，
即x=-m，
∵−1≤x≤3，
∴−1≤−m≤3，
∴−3≤m≤1，
故选择B．
【点睛】本题考查新定义“平衡点”问题，仔细阅读定义内容，抓住定义特征，利用新定义找出x与m
之间的关系是解题关键．
7.定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA最短﹐则线段PA的长度称为点P到图形W
的距离，记为d（P，图形W）．例如，在图1中，原点O(0,0)与直线l:x=3的各点连接的所有线段中，
线段OA最短，长度为3，则 d（O，直线x=3）=3．特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离
为0，即 d（P，图形W）=0．①在平面直角坐标系中，原点O(0,0)与直线l:y=x的距离d(O,y=x)= ；
②如图2，点P的坐标为(0,m)且d(p,y=2x−2)=√5，则m= ．
【答案】 0 3或−7/-7或3
【分析】①根据题意知，点O在直线y=x上，则易得点O到图形的距离；
②过点P作直线y=2x−2的垂线，求得直线与两坐标轴的交点，利用三角形相似即可解决．
【详解】①∵点O在直线y=x上，
∴点O到直线y=x的距离为0，
即d(O,y=x)=0，
故答案为：0；
②设直线y=2x−2分别交y轴、x轴于点A、B，过点P作直线y=2x−2的垂线，垂足为C，如图，
在y=2x−2中，令x=0，则y=−2；令y=0，得x=1，
即A(0，−2)，B(1，0)，
∴OA=2，OB=1，
∵∠AOB=∠PCA=90°，∠OAB=∠CAP，
∴△AOB∽△ACP，
OA AC
∴ = =2，
OB PC
即AC=2PC，
∵d(p,y=2x−2)=√5，
∴PC=√5，则AC=2√5，
由勾股定理得：AP=√AC2+PC2=√20+5=5，
∵P(0，m)，
∴AP=|m+2|，
∴|m+2|=5，
解得：m=3或m=−7，故答案为：3或−7
【点睛】本题是材料阅读题，考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解
题目中点到图形的距离及记法是解题的关键．
8.对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足|y|≤M，则称这个函数是有界函数．其
中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边
界值小于3，则a应满足的条件是 ．
1
【答案】−2<a<
2
【分析】根据2>0可知函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当
x=a时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵2>0
∴函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大
∴当x=a时，函数y=2x+1的函数值为边界值，
∵边界值小于3
1
∴−3<2a+1<2，解得：−2<a< ．
2
1
故答案为：−2<a< ．
2
【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成
为解答本题的关键．
考点三：一次函数与方程（组）、不等式
题型一：已知直线与坐标轴的交点求方程的解
1.直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】C
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
2.如图，直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b=0的解为（ ）．
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【答案】A
【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【详解】解：∵直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，
∴关于x的方程ax+b=0的解为x=1．
故选A．
【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一
元一次方程的解是解题关键．
3.一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，则关于x的方程−kx+b=0的解为（ ）
A．x=3 B．x=−3 C．x=0 D．x=2
【答案】A
【分析】先根据一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，求出b=3k，然后解方程即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，
∴−3k+b=0，
∴b=3k，
∵−kx+b=0，
b 3k
∴x= = =3．
k k
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出b=3k是解题的关键．
题型二：由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
1.若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3)
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数
y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的
图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的
自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
2.在平面直角坐标系中，点P(2,4)是一个光源，木杆AB两端的坐标分别是(1,2)，(4,1)，则木杆AB在x
轴上的投影A'B'的长是（ ）
14 9
A．4 B． C． D．5
3 2
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线PA,PB的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵P(2,4)，A (1,2)，B (4,1)，设直线PA的解析式为：y =k x+b ，直线PB的解析式为：y =k x+b ，
PA 1 1 PB 2 2
∴¿ ¿
解得：¿，¿
3
∴y =2x，y =− x+7
PA PB 2
y =2x中，当y=0时，x=0，则A'(0,0),
PA
y =−
3
x+7中，当y=0时，x=
14 ，则B'(14
,0
)
PB 2 3 3
14
∴A'B'=
，
3
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型三：利用图象法解一元一次方程
1.如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的
自变量的值．
2.如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
题型四：两直线的交点与二元一次方程组的解
1.在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P(3,n)，则关于x，y的方程组¿的解
为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】先把点P代入直线y=−x+4求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可.
【详解】解：∵直线y=−x+4与直线y=2x+m交于点P（3，n），
∴n=−3+4，
∴n=1，
∴P(3,1)，
∴1=3×2+m，
∴m=-5,
∴关于x，y的方程组¿的解¿.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结
1 2
论错误的是（ ）A．y 随x的增大而增大
1
B．b<n
C．当x<2时，y >y
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
【答案】C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、y 随x的增大而增大，故选项A正确；
1
B、由图象可知，一次函数y =ax+b(a≠0)的图象与y轴的交点在y =mx+n(m≠0)的图象与y轴的交
1 2
点的下方，即b<n，故选项B正确；
C、由图象可知：当x<2时，y <y ，故选项C错误；
1 2
D、由图象可知，两条直线的交点为(2,3)，
∴关于x，y的方程组¿的解为¿；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．
从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
3.1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，
以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1h．如图是两个气球所在位置的海拔y（单位：m）与上升
时间x（单位：min）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ）
A．(18,20) B．(20,25) C．(22,30) D．(24,35)
【答案】B【分析】根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔
15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关
系式即可求出点P的坐标．
【详解】解：由题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y =5+x，
1
2号探测气球所在位置的海拔：y =15+0.5x；
2
联立方程组得¿
解得¿．
即交点P的坐标为(20,25)，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键.
4.一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限
上A点的直线是方程x−y=b(b<−1)的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组¿的解，则
a的值可能是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
−(b−1)
【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x>0，解方程组求得x=− >0，由b<−1，得出
a−1
−(b−1)>0，即可得出a−1>0，解得a>1．
【详解】解：∵点A在第一象限，
∴x>0，且¿，
②−①得(a−1)x=−(b−1)，
−(b−1)
∴x=− >0，
a−1
∵b<−1，
∴−(b−1)>0，
∴a−1>0，
∴a>1，故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的
关键．
5..在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6和y=ax−1的图象相交于点P(−1，m)，则关于x，y
的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x+6的图象经过点P(−1，m)，∴m=−2+6=4，
∴一次函数y=2x+6和y=ax−1的图象相交于点P(−1，4)，
∴关于x，y的方程组¿的解为¿．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关
键．
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结
1 2
论错误的是（ ）
A．y 随x的增大而减小
1
B．b<n
C．当x<2时，y >y
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不
等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得y 随x的增大而减小，故选项正确；
1
B．由图象可知，一次函数y =ax+b(a≠0)的图象与y轴的交点在y =mx+n(m≠0)的图象与y轴的交
1 2
点的上方，即b>n，故选项错误；C．由图象得：当x<2时，y >y ，故选项正确；
1 2
D．由图象可知，两条直线的交点为(2,3)，
∴¿的解为：¿，故选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．
从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
题型五：图象法解二元一次方程组
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方
程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），
∴方程组 的解为 ．
故选：B．
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所
解的二元一次方程组为（ ）．A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为y=kx+b，
将点(2,0),(0,2)代入得：¿，解得¿，
则这个一次函数的解析式为y=−x+2，
同理可得：另一个一次函数的解析式为y=2x−1，
则所解的二元一次方程组为¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象
得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
y−ax=b x=−3
②方程组{ 的解为{ ；
y−mx=n y=2
③方程mx+n=0的解为x=2；
④当x=0时，ax+b=−1．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴
的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，y的值随着x值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组¿的解为¿，即方程组¿的解为¿；
故②符合题意；
由一次函数y=mx+n的图象过(2,0), 则方程mx+n=0的解为x=2；故③符合题意；
由一次函数y=ax+b的图象过(0,−2), 则当x=0时，ax+b=−2．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数
与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.
4.若直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），且l 与l 关于直线x＝1对称，则l 和l 的交点坐标为
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，
求出交点坐标即可．
【详解】解：∵直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），关于直线x＝1对称，
1 2
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），
点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2），
∴直线l 经过点（﹣1，0），（0，2），l 经过点（2，2），（3，0），
1 2
∴直线l 的解析式为：y＝2x+2，直线l 的解析式为：y＝﹣2x+6，
1 2
解方程组¿得，¿
∴l 和l 的交点坐标为（1，4），
1 2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 与l 的交点坐标为l 与l 与y轴的交点是
1 2 1 2
解题关键．
5.如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组¿的解
是（ ）A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为(−3,1)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而
所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−3,1)，
即x=−3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．
y=ax+b x=−3
所以关于x，y的方程组{ 的解是{ ．
y=kx y=1
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对
未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
题型六：由直线与坐标轴交点求不等式的解集
1.如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,3)，B(4,0)，则不等式ax+b>0的解集是（ ）
A．x>4 B．x<4 C．x>3 D．x<3
【答案】B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵B(4,0)，
∴当x<4时，ax+b>0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键．
2.如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不等式x+b>3的解是（ ）
A．x>−2 B．x>3 C．x<−2 D．x<3
【答案】A
【分析】不等式x+b>3的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可.
【详解】解：根据题意：因为一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，
则不等式x+b>3的解是x>−2；
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键.
3.如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为________
【答案】x＜﹣1．
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
4.如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当−4<y<0时，自变量x的取值范围是
（ ）A．x<−2 B．−2<x<0 C．0<x<2 D．−4<x<0
【答案】B
【分析】先由图象可知，当x=0时，y=−4，从而求出b=−4，当y=0时，x=−2，再结合函数图象得
到结果．
【详解】解：当x=0时，y=−4，
即b=−4，
∴y=−2x−4，
当y=0时，x=−2，
∴当−4<y<0时，自变量x的取值范围是−2<x<0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
5.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x+3)+b<0的解集是（ ）
A．x>−1 B．x<−1 C．x<2 D．x>2
【答案】A
【分析】由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线
y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，结合函数图象即可求得不等式的解集．
【详解】解：由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，
∵直线y=kx+b与x轴交点横坐标为2，
∴直线y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，
∴函数y=k(x+3)+b的图象如下观察图象知，不等式k(x+3)+b<0的解集是x>−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一
次函数解析式及与x轴的交点坐标是关键．
题型七：根据两条直线交点求不等式的解集
1.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数 y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象
与直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【解答】解：由图象可得，
当x＞3时，直线y＝ x在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+b＜ x时，x的取值范围是x＞3，
故选：A．
2.根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
【答案】D
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故选：D．
3.如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象相
交于点M(1,2)，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B．关于x的不等式mx<kx+b的解集是x>1
¿ ¿
C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是
¿ ¿
【答案】B
【分析】根据图象的交点即可判断方程的解、不等式的解、方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象
相交于点M(1,2)，
∴关于x的方程，mx=kx+b的解是x=1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx<kx+b的解集是x<1，选项B判断错误，符合题意；
当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组¿的解是¿，选项D判断正确，不符合题意．
故选：B．【点睛】此题考查了一次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
4.如图，直线y=ax+b与x轴交于点A(7,0)，与直线y=kx交于点B(2,4)，则不等式0<kx≤ax+b的解
集为（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0<x≤2 D．2≤x≤6
【答案】C
【分析】利用图象法写出直线y=kx在直线y=ax+b下方、在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵直线y=ax+b与直线y=kx交于点B(2,4)，
∴不等式0<kx<ax+b的解集为0<x≤2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在
x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图像与一次函数y=x+4
的图像相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x的不等式ax+b>x+4的解集是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x>4 D．x<4
【答案】D
【分析】根据题意，将点P的纵坐标8代入y=x+4得到点P的横坐标为4，结合图像，ax+b>x+4的解
集对应函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方时自变量x的取值范围即可得出答案．
【详解】解：将点P的纵坐标8代入y=x+4得到8=x+4，解得x=4，即点P的横坐标为4，
由图像可知，当x<4时，函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方，
∴ ax+b>x+4的解集为x<4，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，理解通过函数图像解不等式的方法，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解决问题的关键．
6．如图，直线y＝kx与直线y＝kx+b交于点A（1，2）．当y＜y 时，x的取值范围是________
1 1 2 2 1 2
【答案】x＜1．
【解答】解：∵直线y＝kx与直线y＝kx+b交于点A（1，2），
1 1 2 2
∴当y＜y 时，x的取值范围是x＜1，
1 2
故答案为：x＜1．
题型八：求两直线与坐标轴围成的图形面积
1.如果直线y=−2x+k与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么k的值为 ．
【答案】±6/6和−6/−6和6
1 1 |1 |
【分析】当x=0时，y=k，当y=0时，可求x= k，由 ×|k|× k =9，即可求解．
2 2 2
【详解】解：当x=0时，y=k，
当y=0时，−2x+k=0，
1
解得：x= k，
2
1 |1 |
∴ ×|k|× k =9，
2 2
∴k2=36，
解得：k=±6，
故答案：±6．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键．
2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解 得， ，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝ 3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
1
3.已知一次函数y= x+m与y=−x+n的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则
2
△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先分别把A(−2,0)代入两个函数解析式中，解得m=1，n=−2，即得B(0,1)，C(0,−2)，然
后根据三点坐标求△ABC的面积．
1
【详解】解：把点A(−2,0)代入y= x+m与y=−x+n，
2
1
得：0= ×(−2)+m，0=−(−2)+n，
2
解得：m=1，n=−2，
∴B(0,1)，C(0,−2)，
1 1
∴S = ×|−2|×|1−(−2)|= ×2×3=3，
△ABC 2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，直线 经过 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）设直线的表达式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b，即可得出答案；
（2）把P（a，0）代入求出a，根据坐标和三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：(1)设直线 的解析式为： ，
依题意得： 在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
(2)依题意得：点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能综合运用知识
点进行求值是解此题的关键．
5.直线l 和l 在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l 和l 与y轴围成的图形的面积为（ ）
1 2 1 2A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由图可知直线l 经过点(2，0)、(0，2)，直线l 经过点(0，0)、(−4，2)，设直线的解析式为
1 2
y=kx+b，利用待定系数法即可求出其解析式，即得出∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，由此即得出答案．
1 2
【详解】∵直线l 经过点(2，0)、(0，2)，设该直线的解析式为y=kx+b，
1
将(-1，-4)和(1，0)代入，得：¿，
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=−x+2，
1
1
同理可得：直线l 的解析式为y=− x，
2 2
联立直线l 、直线l 得：
1 2
¿，解得：¿
∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，
1 2
1
∴直线l 、l 与y轴围成的三角形面积为： ×2×4=4，
1 2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了两个一次函数与坐标轴围成的面积问题．求出l 或l 的解析式是解题关键．
1 2
6．如图，已知直线 经过点 、点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上一个动点，过点 、
作直线 ．（1）求直线 的表达式；
（2）已知点 ，当 时，求点 的坐标，
（3）设点 的横坐标为 ，点 ， 是直线 上任意两个点，若 时，有
，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 的坐标 或 ；（3）
【分析】
（1）待定系数法求一次函数解析式，将已知点分别代入解析式，求得系数即可；
（2）设点 ，根据三角形面积关系求出 的值即可；
（3）根据题意， 的图像是 随 的增大而减小，即可确定 的取值范围
【详解】
解：（1）设直线 的解析式为
∵ 、点 在直线 上，
∴ ，解得，
∴ ．
（2）∵直线 交 轴于 ，∴ ，∵ ，∴ ，
过点 作 轴于 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设点 ，∴ ∴ 或 ，
∴ 的坐标 或
（3）过点 作 轴于 ，
的图像是 随 的增大而减小， 经过 \
当点 在 的左侧时，符合题意;
【点睛】
本题考查了一次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
3 x
7.已知一次函数y= x+m与y=− +n的图象都经过点A(−4,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则
2 2△ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】C
3 x
【分析】将点A(−4,0)分别代入y= x+m与y=− +n求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再
2 2
根据三角形的面积公式求解即可．
3 3
【详解】解：把点A(−4,0)代入y= x+m得：0= ×(−4)+m，
2 2
解得：m=6，
3
∴y= x+6，
2
把x=0代入得：y=6，
∴B(0,6)，
x 4
把点A(−4,0)代入y=− +n得：0= +n，
2 2
解得：n=−2，
x
∴y=− −2，
2
把x=0代入得：y=−2，
∴C(0,−2)，
1 1
∴S = BC⋅OA= ×(6+2)×4=16．
△ABC 2 2
故选：C．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，
解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，四边形ABCO是平
行四边形，直线y=−x+n经过点C，且与x轴相交于点D,BD与OC相交于点E，记四边形ABEO，
△DCE的面积分别为S ,S ，则S :S 等于（ ）
1 2 1 2
A．5:3 B．2:1 C．7:3 D．3:1
【答案】C
【分析】求出点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(0,2)，根据平行四边形性质得出点C的坐标为(1,2)，
2
求出直线CD的解析式为y=−x+3，得出点D的坐标为(3,0)，求出直线BD的解析式为：y=− x+2，
3
(3 3) 1 ( 3) 1
OC的解析式为y=2x，求出点E的坐标为 , ，得出S = ×1× 2− = ，求出
4 2 △BCE 2 2 4
1 7 1 1 3
S =S −S =1×2− = ，S =S −S = ×1×2− = ，即可求出结果．
1 ▱ABCO △BCE 4 4 2 △BCD △BCE 2 4 4【详解】解：把y=0代入y=2x+2得：0=2x+2，
解得：x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴OA=1，
把x=0代入y=2x+2得：y=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OB=2，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC=AO=1，BC∥AO，OC∥AB，
∴点C的坐标为(1,2)，
把(1,2)代入y=−x+n得：2=−1+n，
解得：n=3，
∴直线CD的解析式为y=−x+3，
把y=0代入y=−x+3得：0=−x+3，
解得：x=3，
∴点D的坐标为(3,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，把(3,0)，(0,2)代入得：
¿，
解得：¿，
2
∴直线BD的解析式为：y=− x+2，
3
∵OC∥AB，
∴OC的解析式为y=2x，
联立¿，
解得：¿，
(3 3)
∴点E的坐标为 , ，
4 2
1 ( 3) 1
∴S = ×1× 2− = ，
△BCE 2 2 4
1 7
∴S =S −S =1×2− = ，
1 ▱ABCO △BCE 4 4
1 1 3
∴S =S −S = ×1×2− = ，
2 △BCD △BCE 2 4 47
S 4 7
∴ 1= = ，
S 3 3
2
4
即S :S =7:3，故C正确．
1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的
面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标．
9.如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式．
(2)若点P(m,2)在△ABC的内部，求m的取值范围．
(3)若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1:3，直接写出L的解析式．
【答案】(1)y=−x+3
(2)−1<m<1
(3)y=x或y=−x
【分析】（1）先求出点A,C的坐标，根据对称得到点B的坐标，最后根据待定系数法即可求得直线BC
的解析式；
（2）将y=2分别代入直线BC与直线AC的解析式，即可解答；
（3）分类讨论，即直线L与直线BC相交或者直线L与直线AC相交，求出交点坐标，根据三角形面积比
即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(−3,0)，C(0,3)
∵直线BC与直线AC关于y轴对称，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把点C(0,3)和点B(3,0)的坐标代入得¿，
解得¿，
所以直线BC的解析式为y=−x+3；（2）解：当点P在直线CA上时，可得m+3=2，解得m=−1
当点P在直线BC上时，可得−m+3=2，解得m=1
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是−1<m<1；
（3）解：如图，当直线L与直线AC相交时，设交点为D ，
1
设直线L的解析式为y=k x，
1
联立方程¿，解得¿，
( 3 3k )
∴D , 1 ,
1 k −1 k −1
1 1
1
根据题意得S = S ，
△D 1 AO 4 △ABC
1 3k 1 1
可得方程 ×3× 1 = × ×6×3，
2 k −1 4 2
1
解得k =1，经检验，符合题意；
1
此时直线L的解析式为y=x；
如图，当直线L与直线BC相交时，设交点为D ，
❑
2
设直线L的解析式为y=k x，
❑
2
同理可得k =−1，
2
此时直线L的解析式为y=−x，
综上所述，L的解析式为y=x或y=−x．【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数，一次函数的交点，根据题意进行分类讨论
是解题的关键．
10.如图，在长方形．ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，
到点D停止；点P以每秒1cm的速度运动5秒，之后以每秒2cm的速度运动，设点P运动的时间是x
（秒），△APD的面积是y(cm2)，请回答下列问题：
(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这
个函数的图象；
(2)请根据这个图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=3时x的值．
【答案】(1)y=¿
(2)y的最大值为6
(3)x=2或7
【分析】(1)分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
(2)由函数图象可求解；
(3)将y=3代入解析式可求解.
1 1 3
【详解】（1）当0≤x≤4,y= ×AD⋅AP= ×3x= x；
2 2 2
1 1
当4<x≤6,y= ×AD⋅AB= ×4×3=6；
2 2
1 1
当6<x≤8, y= ×AD⋅DP= ×3×[6−2(x−5)]=24−3x；
2 2
综上所述：y=¿
函数图象如图所示：（2）由图象可得y的最大值为6；
3
（3）当点P在AB上时, 3= x,
2
∴x=2,
当点P在CD上时, 3=24−3x,
∴x=7,
综上所述: 当x=2或7时, y=3.
【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的性质，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键.
11.如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(5，0)，AB的中点M的坐标为(3，2)，若一次函数
y=kx+b(k≠0)的图象经过点M，且将△AOB分成的两个部分面积之比为2：3，则k的值为 ．
3
【答案】1或
7
1
【分析】连接OM，先求出S = ×4×5=10，再根据条件得出S =1，由题意分两种情况讨论：
△OAB 2 △OCM
当点C在OB边上，求出点C(1，0)，然后利用待定系数法即可求出k；当点C在OA边上，作辅助线如
图，则有OC：OA=1：5，易证△OCE∽△OAD，然后根据相似三角形的性质求出
1 4
OE= ，CE= ，进而可得点C坐标，再利用待定系数法即可求出结果．（也可根据面积法求解）
5 5【详解】解：连接OM，
1
∵S = ×4×5=10，点M为AB的中点，
△OAB 2
1
∴S = ×10=5，
△OMB 2
设满足条件的直线与△BAO的另一边边交于点C，由题意分两种情况：
2
当点C在OB边上，且S ：S =2：5时，可得S = ×10=4，
△BCM △AOB △BCM 5
可得：S =5−4=1，
△OCM
1
∴
×|OC|×2＝1，
2
∴OC=1，
∴C(1，0)，
将C(1，0)，M(3，2)代入y=kx+b，
得出：¿，
解得：k=1；
当点C在OA边上，可得，S =1，如图，则有OC：OA=1：5，
△OCM
连接OM，作AD⊥OB于点D，CE⊥OB于点E，
∴CE∥AD，
∴△OCE∽△OAD，∴CE：AD=OE：OD，
∵A(1，4)，
∴OD=1，AD=4，
1 4
∴OE＝ ，CE＝ ，
5 5
(1 4)
∴点C的坐标是 , ，
5 5
(1 4)
把M(3，2)、C , 代入y=kx+b，
5 5
得出：¿，
3
解得：k= ；
7
另解：∵点M是AC边中点，OM是中线，
∴S =S ，
△AOM △BOM
又∵S ❑ :S =2:3,
△ ACM 四 边 形BOCM
∴S :S =1:4，
△COM △ACM
∴OC:AC=1:4,
∴OC:AO=1:5；
设直线AO的解析式为y=mx，
把A(1，4)代入得，m=4,
所以，直线AO的解析式为y=4x，
设点C(x,4x)，则OC=√x2+(4x) 2=√17x，
又AO=√12+42=√17，
1
∴√17x= √17，
5
1
∴x= ，
5
(1 4)
∴点C的坐标是 , ，
5 5
(1 4)
把M(3，2)、C , 代入y=kx+b，
5 5得出：¿，
3
解得：k= ；
7
3
故答案为：1或 ．
7
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，正确得出点 C坐标
是解题的关键．
题型九：一次函数与几何图形综合
1.如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求得点 的坐标，进而根据旋转的性质可得 ，
， ，进而得出 ，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ，
∴当 时， ，即 ，则 ，
当 时， ，即 ，则 ，
∵将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
又∵
∴ ， ， ，
∴ ，延长 交 轴于点 ，则 ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的
关键．
2.如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交
x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，
垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关
于x的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定
理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l：y=kx
1 2
（k≠0）与直线l 在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
1
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】过C作CD⊥OA于D，利用直线l：y x+1，即可得到A（2 ，0），B（0，1），AB
1
3．依据CD∥BO，可得OD AO ，CD BO ，进而得到C（ ），
代入直线l：y＝kx，可得k的值．
2
【解析】如图，过C作CD⊥OA于D．直线l：y x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2
1
，
即A（2 ，0），B（0，1），∴Rt△AOB中，AB 3．
∵∠BOC＝∠BCO，∴CB＝BO＝1，AC＝2．
∵CD∥BO，∴OD AO ，CD BO ，即C（ ），把C（ ）代入直线l：y＝
2kx，可得： k，即k ．故选B．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函
数表达式所组成的二元一次方程组的解．
4.在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．矩形 的
顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与
重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为___________．
【答案】2
【分析】先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐
标求出OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关系式求出 ，再利
用一次函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.
【解析】∵ ，∴OA=6，在Rt△AOB中， ，
∴ ，∴B（0， ），∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y= ，∴E（2， ），即DE= ，
∵四边形CODE是矩形，∴OC=DE= ，
设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，∴ ∥OB，∴△ ∽△AOB，∴∠ =∠AOB=30°，∴∠ =∠ =30°，∴ ,
∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，
∴五边形 的面积为 ,∴ ,
∴ ,∴ ,
∴矩形 向右平移的距离 = ，故答案为：2.
【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合
多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
5.如图，四边形 的顶点坐标分别 ，当过点 的直线 将四
边形 分成面积相等的两部分时，直线 所表示的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积 ；求出CD的直线解析
式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积
有 ，即可求k。
【解析】解：由 ，∴ ，
∴四边形 分成面积 ，可求 的直线解析式为 ，
设过 的直线 为 ，将点 代入解析式得 ，
∴直线 与该直线的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ ，
∴直线解析式为 ；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法
求函数解析式的方法是解题的关键．
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为
AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为
_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（
， ），由待定系数法即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCO是正方形，∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，∴AD＝ AB＝2，∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴ ，∴ ，∴直线CD的解析式为：y＝﹣ x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，∴ ，解得：x＝y＝ ，∴P（ ， ），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的
找出点P的位置是解题的关键．
7.如图，一束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ，则点 的坐标是( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 轴于点 ，利用反射定律，可得 ，利用ASA可证
，已知点 坐标，从而得点 坐标，利用 ， 两点坐标，求出直线 的解
析式，即可求得点 坐标．
【解析】如图所示，延长 交 轴于点 ．设
∵这束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ，∴由反射定律可知，
，
∵∠1=∠OCD，∴ ，∵ 于 ，∴ =90°，
在 和 中 ，∴ ，∴ ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，∴将点 ，点 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，∴点 坐标为 ．故选B．【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综
合性较强，难度略大．
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为
AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为
_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，
PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（
， ），由待定系数法即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCO是正方形，∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，∴AD＝ AB＝2，∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴ ，∴ ，∴直线CD的解析式为：y＝﹣ x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，∴ ，解得：x＝y＝ ，∴P（ ， ），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的
找出点P的位置是解题的关键．
9.如图，将直线 向上平移后经过点 ，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P为直线 上一动点，连接 ．问：线段 的长是否存在最小值？若存在，求出线段
的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，线段 的最小值为4.8．
【分析】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，代入A点坐标即可求解；
（2）根据OP⊥BC时，线段 最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，
代入 得
解得
∴直线 的解析式为 ；
（2）存在，理由如下：
令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6
令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8
∴BC=
∵OP⊥BC时，线段 最小，
∵S = =
△ABC
∴ =即线段 的最小值为4.8．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、三角形的面积公式．
10.如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+5的图象l 分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数
1
的图l 与l 交于点C（m，4）．（1）求m的值及l 的解析式；（2）求S ﹣S 的值；（3）一次函数
2 1 2 △AOC △BOC
y=kx+1的图象为l，且1，l，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
【答案】（1）m=2，l 的解析式为y=2x；（2）S ﹣S =15；（3）k的值为 或2或﹣ ．
2 △AOC △BOC
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l 的解析式；
2
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，
BO=5，进而得出S ﹣S 的值；（3）分三种情况：当l 经过点C（2，4）时，k= ；当l，l 平行时，
△AOC △BOC 3 2 3
k=2；当1，l 平行时，k=﹣ ；故k的值为 或2或﹣ ．
1 3
【解析】（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣ x+5，可得4=﹣ m+5，解得m=2，∴C（2，4），
设l 的解析式为y=ax，则4=2a，解得a=2，∴l 的解析式为y=2x；
2 2
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣ x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO=10，BO=5，∴S ﹣S = ×10×4﹣ ×5×2=20﹣5=15；
△AOC △BOC
（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1，l，l 不能围成三角形，∴当l 经过点C（2，4）时，k= ；
3 1 2 3 3
当l，l 平行时，k=2；当1，l 平行时，k=﹣ ；故k的值为 或2或﹣ ．
2 3 1 3
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直
角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
11.如图，将直线 向上平移后经过点 ，分别交x轴y轴于点B、C．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P为直线 上一动点，连接 ．问：线段 的长是否存在最小值？若存在，求出线段
的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，线段 的最小值为4.8．【分析】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，代入A点坐标即可求解；
（2）根据OP⊥BC时，线段 最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，
代入 得
解得
∴直线 的解析式为 ；
（2）存在，理由如下：
令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6
令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8
∴BC=
∵OP⊥BC时，线段 最小，
∵S = =
△ABC
∴ =
即线段 的最小值为4.8．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、三角形的面积公式．