微专题14 三角中的最值、范围问题
高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点,常用的方法主要有:函数
的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.
【真题体验】
(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知
cos A
1＋sin A ＝
sin 2B
1＋cos 2B.
(1)若C＝2π
3 ,求B;
(2)求a
2＋b
2
c
2
的最小值.
解 (1)因为
cos A
1＋sin A ＝
sin 2B
1＋cos 2B,
所以
cos A
1＋sin A ＝2sin Bcos B
1＋2co s
2B−1,
所以
cos A
1＋sin A ＝sin B
cos B,
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B,
所以cos(A＋B)＝sin B,
所以sin B＝－cos C＝－cos 2π
3 ＝1
2.
因为B∈(0, π
3),所以B＝π
6 .
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B,
所以sin [
π
2 −( A ＋B)]＝sin B,
且0<A＋B<π
2 ,
所以0<B<π
2 ,0<π
2 －(A＋B)<π
2 ,
所以π
2 －(A＋B)＝B,
解得A＝π
2 －2B,
由正弦定理得a
2＋b
2
c
2
＝sin
2 A ＋sin
2B
sin
2C
＝sin
2 A ＋sin
2B
1−co s
2C
＝
sin
2(
π
2 −2B)＋sin
2B
1−sin
2B
＝co s
22B＋sin
2B
co s
2B
＝(2co s
2B−1)
2＋1−co s
2B
co s
2B
＝4 co s
4 B−5co s
2B＋2
co s
2B
＝4cos 2B＋
2
co s
2B－5
≥2√
4 co s
2B·
2
co s
2B－5＝4√2－5,
当且仅当cos 2B＝√2
2 时取等号,
所以a
2＋b
2
c
2
的最小值为4√2－5.
【热点突破】
热点一 三角函数式的最值或范围
求三角函数式的最值或范围问题,首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式,接着利用三角函
数的有界性或单调性求解.
例1 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2√3cos 2x＋√3.
(1)求f(
π
4)的值;
(2)求f(x)在区间[0, π
2]上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝2sin xcos x－2√3cos 2x＋√3＝sin 2x－√3cos 2x＝2sin (2 x−π
3),
所以f(
π
4)＝2sin (
π
2 −π
3)＝2sin π
6 ＝1.
(2)因为x∈[0, π
2],
所以2x－π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 ],
所以sin (2 x−π
3)∈[−√3
2 ,1],
所以当2x－π
3 ＝π
2 ,
即x＝5 π
12 时,f(x)取到最大值2;
当2x－π
3 ＝－π
3 ,
即x＝0 时,f(x)取到最小值－√3.
易错提醒 求三角函数式的最值、范围问题要注意:
(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式;
(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ 的范围,从而根据三角函数的单调性求三角函数式的
范围.
训练1 (2025·徐州质检)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>1,|φ|< π
2)的图象经过A(
π
4 ,−2),B(
5 π
4 ,2)
两点,且f(x)在[－3 π
4 ,－π
2 ]上单调.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈[
π
6 , π
2],不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立,求实数m 的取值范围.
解 (1)由题意可得
(k ＋1
2)T＝5 π
4 －π
4 ＝π(k∈N),
则T＝
2π
2k ＋1(k∈N),则ω＝2k＋1(k∈N).
因为f(x)在[−3 π
4 ,−π
2]上单调,
所以－π
2 －(−3 π
4 )≤π
ω,
又ω>1,所以1<ω≤4,所以ω＝3.
因为f(x)的图象经过点A(
π
4 ,−2),
所以2cos (3× π
4 ＋φ)＝－2,
所以3 π
4 ＋φ＝2nπ＋π(n∈Z),
所以φ＝2nπ＋π
4 (n∈Z).
因为|φ|<π
2 ,所以φ＝π
4 .
故f(x)＝2cos (3 x＋π
4).
(2)因为x∈[
π
6 , π
2],所以3x＋π
4 ∈[
3 π
4 , 7 π
4 ],
当3x＋π
4 ＝π,即x＝π
4 时,f(x)取得最小值,
最小值为f(
π
4)＝2cos (3× π
4 ＋π
4)＝－2.
因为对任意的x∈[
π
6 , π
2],不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立,
所以2m2－5m＋1≤－2,
所以2m2－5m＋3≤0,
即(2m－3)(m－1)≤0,解得1≤m≤3
2.
所以实数m 的取值范围为[1, 3
2].
热点二 三角形中有关量的最值或范围
三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,
并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.
(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求最值.
考向1 三角形面积的最值或范围
例2 (2025·郑州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b－ccos A＝2acos Bcos
C,其中C≠π
2 .
(1)求角B 的大小;
(2)若b2＋3c2＝12－5ac,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)法一(角化边)
由b－ccos A＝2acos Bcos C 及余弦定理得
b－c·b
2＋c
2−a
2
2bc
＝2acos B·a
2＋b
2−c
2
2ab
,
即b
2−c
2＋a
2
2b
＝2cos B·a
2＋b
2−c
2
2b
,
因为C≠π
2 ,所以a
2＋b
2−c
2
2b
≠0,
所以cos B＝1
2,
又0<B<π,所以B＝π
3 .
法二(边化角) 由b－ccos A＝2acos Bcos C 及正弦定理得
sin B－sin Ccos A＝2sin Acos Bcos C,
即sin(A＋C)－sin Ccos A＝2sin Acos Bcos C,
所以sin Acos C＝2sin Acos Bcos C,
因为C≠π
2 ,所以cos C≠0,
又sin A>0,所以cos B＝1
2,
又0<B<π,所以B＝π
3 .
法三(射影定理) 由射影定理可得b＝acos C＋ccos A,
则acos C＋ccos A－ccos A＝acos C
＝2acos Bcos C,
又C≠π
2 ,可得cos B＝1
2,
又0<B<π,所以B＝π
3 .
(2)由(1)及余弦定理知
cos B＝a
2＋c
2−b
2
2ac
＝1
2,
所以a2＋c2－b2＝ac,
又b2＋3c2＝12－5ac,
所以a2＋c2－(12－3c2－5ac)＝ac,
化简得a2＋4ac＋4c2＝(a＋2c)2＝12,
因为a>0,c>0,所以a＋2c＝2√3.
因为(
a＋2c
2 )
2
≥a·2c,
当且仅当a＝2c＝√3,
即a＝√3,c＝√3
2 时取等号,
所以ac≤3
2,
所以△ABC 的面积S＝1
2acsin B＝√3
4 ac≤3√3
8 ,即△ABC 面积的最大值为3√3
8 .
考向2 与三角形周长或边长相关的最值或范围
例3 (2025·济宁模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,√3(acos C＋ccos A)＝
2bsin B.
(1)求角B 的值;
(2)若b＝2√3,求a2＋c2的取值范围.
解 (1)因为√3(acos C＋ccos A)＝2bsin B,
所以由正弦定理可得√3(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin Bsin B,
所以√3sin(A＋C)＝√3sin B＝2sin Bsin B,
又sin B≠0,所以sin B＝√3
2 ,
又B 为锐角,则B＝π
3 .
(2)由正弦定理得
a
sin A ＝
c
sin C ＝
b
sin B
＝
2√3
√3
2
＝4,
则a＝4sin A,c＝4sin C,
所以a2＋c2＝16sin 2A＋16sin 2C
＝8(1－cos 2A)＋8(1－cos 2C)
＝16－8cos 2A－8cos 2C
＝16－8cos 2A－8cos [2(π −A −π
3)]
＝16－8cos 2A－8(−1
2 cos 2 A −√3
2 sin 2 A)
＝16＋4√3sin 2A－4cos 2A
＝16＋8sin (2 A −π
6),
因为△ABC 是锐角三角形,
所以{
0< A < π
2 ,
0<π −A −π
3 < π
2 ,
解得π
6 <A<π
2 ,
所以π
6 <2A－π
6 <5 π
6 ,
则1
2<sin (2 A −π
6)≤1,
20<16＋8sin (2 A −π
6)≤24,
所以a2＋c2的取值范围为(20,24].
考向3 与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围
例4 (2025·武汉调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若2a＋bcos A－c＝btan Bsin
A.
(1)求B;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin A ＋sin B
sin C
的取值范围.
解 (1)因为2a＋bcos A－c＝btan Bsin A,
所以2a−c
b
＝tan Bsin A－cos A
＝sin Bsin A −cos A cos B
cos B
＝－cos( A ＋B)
cos B
＝cos C
cos B ,
所以2acos B－ccos B＝bcos C,
即2acos B＝bcos C＋ccos B,
由正弦定理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)＝sin A,
因为0<A<π,所以sin A≠0,cos B＝1
2,
又0<B<π,所以B＝π
3 .
(2)因为△ABC 为锐角三角形,B＝π
3 ,
所以0<C<π
2 ,且0<2π
3 －C<π
2 ,
所以C∈(
π
6 , π
2).
法一 sin A ＋sin B
sin C
＝
sin (C ＋π
3)＋sin π
3
sin C
＝√3
2 × cos C ＋1
sin C
＋1
2
＝√3
2 ·
2co s
2 C
2
2sin C
2 cos C
2
＋1
2 ＝√3
2 ·
1
tan C
2
＋1
2,
因为C∈(
π
6 , π
2),所以C
2 ∈(
π
12 , π
4),
又tan π
12＝tan (
π
3 −π
4)
＝
tan π
3 −tan π
4
1＋tan π
3 tan π
4
＝2－√3,
tan C
2 ∈(2－√3,1),
所以√3
2 ·
1
tan C
2
＋1
2∈(
√3＋1
2
,2＋√3),
即sin A ＋sin B
sin C
的取值范围是(
√3＋1
2
,2＋√3).
法二 sin A ＋sin B
sin C
＝
sin (C ＋π
3)＋sin π
3
sin C
＝√3
2 × cos C ＋1
sin C
＋1
2
＝√3
2 ·√
(cos C ＋1)
2
1−co s
2C
＋1
2
＝√3
2 ·√
2
1−cos C −1＋1
2,
因为C∈(
π
6 , π
2),
所以cos C∈(0, √3
2 ),
得
2
1−cos C ∈(2,
4
2−√3),
所以√3
2 ·√
2
1−cos C −1＋1
2∈(
√3＋1
2
,2＋√3),
即sin A ＋sin B
sin C
的取值范围是(
√3＋1
2
,2＋√3).
易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题,一定要搞清楚变量的范围,若已知边的范围,求角的范围可以利用余弦定理
进行转化.
(2)注意题目中的隐含条件,如A＋B＋C＝π,0<A<π,|b－c|<a<b＋c,三角形中大边对大角等.
训练2 (2025·杭州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos(B－C)＋acos A－2√3
csin Bcos A＝0.
(1)求A;
(2)若△ABC 外接圆的直径为2√3,求2c－b 的取值范围.
解 (1)由A＋B＋C＝π 可得A＝π－(B＋C),
所以cos A＝－cos(B＋C),
所以acos(B－C)－acos(B＋C)
＝2√3csin Bcos A,
acos Bcos C＋asin Bsin C－acos Bcos C＋asin Bsin C＝2√3csin Bcos A,
整理可得asin Bsin C＝√3csin Bcos A,
由正弦定理可得
sin Asin Bsin C＝√3sin Csin Bcos A,
因为sin C≠0,sin B≠0,所以tan A＝√3,
而A∈(0,π),所以A＝π
3 .
(2)设△ABC 外接圆的半径为R,而圆的直径为2√3,所以2R＝2√3.
由正弦定理可得
b
sin B ＝
c
sin C ＝2R＝2√3,A＝π
3 ,
所以b＝2√3sin B,
c＝2√3sin C＝2√3sin (B＋π
3),
故2c－b＝4√3sin (B＋π
3)－2√3sin B
＝6cos B,
因为B∈(0, 2π
3 ),所以cos B∈(−1
2 ,1),
所以2c－b∈(－3,6),
所以2c－b 的取值范围为(－3,6).
【精准强化练】
1.(2025·安庆质检)已知函数f(x)＝2sin x·[cos (x−π
3)＋cos x].
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0, π
2]上的最大值,并求此时x 的值.
解 (1)f(x)＝2sin x·[cos (x−π
3)＋cos x]
＝2sin x(
3
2 cos x＋√3
2 sin x)
＝3sin xcos x＋√3sin 2x
＝3
2 sin 2x－√3
2 cos 2x＋√3
2
＝√3sin (2 x−π
6)＋√3
2 ,
因此,函数f(x)的最小正周期T＝2π
2 ＝π.
(2)当x∈[0, π
2]时,2x－π
6 ∈[−π
6 , 5 π
6 ],
所以2x－π
6 ＝π
2 ,即x＝π
3 时,
函数f(x)在[0, π
2]上取得最大值,为√3＋√3
2 ＝3√3
2 .
2.(2025·汕头调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,√3asin B－bcos A＝b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a＝2,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由正弦定理及题意得
√3sin Asin B－sin Bcos A＝sin B,
又sin B≠0,所以√3sin A－cos A＝1,
所以√3
2 sin A－1
2 cos A＝1
2,
即sin (A −π
6)＝1
2.
因为A∈(0,π),
所以A－π
6 ∈(−π
6 , 5 π
6 ),
所以A－π
6 ＝π
6 ,即A＝π
3 .
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A,
所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc,
即bc≤4,
当且仅当b＝c＝2 时,等号成立,
所以S△ABC＝1
2bcsin A≤1
2×4×√3
2 ＝√3,
所以△ABC 面积的最大值为√3.
3.(2025·邢台质检)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2asin C－√3c＝0.
(1)求A;
(2)求4sin B－4sin C 的取值范围.
解 (1)由2asin C－√3c＝0 及正弦定理得2sin Asin C－√3sin C＝0.
因为sin C≠0,
所以sin A＝√3
2 .
因为△ABC 为锐角三角形,所以A＝π
3 .
(2)因为A＝π
3 ,
所以B＋C＝2
3π.
因为△ABC 为锐角三角形,
所以{
0<B< π
2 ,
0< 2
3 π −B< π
2 ,
得π
6 <B<π
2 .
因为4sin B－4sin C
＝4sin B－4sin(A＋B)
＝2sin B－2√3cos B
＝4sin (B−π
3),
由B－π
3 ∈(−π
6 , π
6),
得sin (B−π
3)∈(−1
2 , 1
2),
所以4sin B－4sin C∈(－2,2).
即4sin B－4sin C 的取值范围为(－2,2).
4.(2025·衡阳模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知S 为△ABC 的面积且4√3S＋
3(b2－a2)＝3c2.
(1)若b＝2,求△ABC 外接圆的半径R;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求a
2＋b
2
c
2
的取值范围.
解 (1)∵S 为△ABC 的面积,
且4√3S＋3(b2－a2)＝3c2,
S＝1
2acsin B,
∴4√3× 1
2acsin B＝3(c2＋a2－b2)
＝3×2accos B,
即tan B＝√3,
∵0<B<π,∴B＝π
3 .
∴2R＝
b
sin B ＝
2
sin π
3
,
解得R＝2√3
3 .
(2)由(1)可知,B＝π
3 ,
∴a
2＋b
2
c
2
＝sin
2 A ＋sin
2B
sin
2C
＝
sin
2(C ＋π
3)＋3
4
sin
2C
＝4(
1
2 sin C ＋√3
2 cos C)
2
＋3
4 sin
2C
＝4 sin
2C ＋2√3sin C·cos C ＋6co s
2C
4 sin
2C
＝1＋√3
2 ·
1
tan C ＋3
2·
1
tan
2C ,
∵△ABC 为锐角三角形,
∴{
0<C < π
2 ,
0< 2π
3 −C < π
2 ,
解得π
6 <C<π
2 ,
∴tan C>√3
3 ,∴0<
1
tan C <√3,
设t＝
1
tan C ,
则a
2＋b
2
c
2
＝3
2t2＋√3
2 t＋1
＝3
2(t ＋√3
6 )
2
＋7
8,
∴0<t<√3时,a
2＋b
2
c
2
∈(1,7)
