微专题2 基本初等函数、函数零点
高考定位 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小、解不等式是
常见题型; 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点,常以压轴题的形式出现;函数模型及应用
是近几年高考的热点,通常考查指数函数、对数函数模型.
【真题体验】
1.(2025·北京卷)为得到函数y＝9x的图象,只需把函数y＝3x的图象上的所有点( )
A.横坐标变成原来的1
2倍,纵坐标不变
B.横坐标变成原来的2 倍,纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的1
3倍,横坐标不变
D.纵坐标变成原来的3 倍,横坐标不变
答案 A
解析 因为y＝9x＝32x,
所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的1
2倍,纵坐标不变即可得到函数y＝9x的图象,
故选A.
2.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3,b＝4.20.3,c＝log4.20.2,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
答案 B
解析 由函数y＝4.2x单调递增可知,0<a<1<b,
又c＝log4.20.2<0,故b>a>c.
3.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－√x的零点所在区间是( )
A.(0,0.3)
B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1)
D.(1,2)
答案 B
解析 易知f(x)单调递减,又f(0)＝1>0,
f(0.3)＝0.30.3－√0.3＝0.30.3－0.30.5>0,
f(0.5)＝0.30.5－√0.5＝√0.3－√0.5<0,
所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),故选B.
4.(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间T＝
klog2N(单位:小时),其中k 为常数.在此条件下,已知训练数据量N 从106个单位增加到1.024×109个
单位时,训练时间增加20 小时;当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训
练时间增加(单位:小时)( )
A.2
B.4
C.20
D.40
答案 B
解析 由题意可知klog21.024×109－klog2106＝klog21.024×10
9
10
6
＝10k＝20,解得k＝2,
所以2log24.096×109－2log21.024×109
＝2log24＝4,
所以当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 小时.
5.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
答案 B
解析 设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,
所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝1
3,z＝5－3＝1
125,
此时x>y>z,A 有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C 有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,此时y>z>x,D 有可能.故选B.
【热点突破】
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,其图象关于y＝x 对称,
它们的图象和性质分0<a<1,a>1 两种情况,着重关注两个函数图象的异同.
2.幂函数y＝xα的图象和性质,主要掌握α＝1,2,3,1
2,－1 五种情况.
例1 (1)若不等式(x－1)2<logax(a>0,且a≠1)对任意x∈(1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为( )
A.(1,2]
B.(1,2)
C.(1,√2]
D.(1,√2)
(2)(多选)(2025·郑州质检)关于函数f(x)＝log3 x−3
x＋1,下列结论正确的是( )
A.定义域为(－∞,－1)∪(3,＋∞)
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(x)在(3,＋∞)上单调递增
答案 (1)B (2)ACD
解析 (1)当0<a<1,
则当x∈(1,2]时,logax<0,
又当x∈(1,2]时,(x－1)2>0,所以(x－1)2<logax 无解;
若a>1,则当x∈(1,2]时,logax>0,
且当x∈(1,2]时,(x－1)2>0,
令f(x)＝logax(a>1),g(x)＝(x－1)2,画出两函数的图象,如图所示,
因为(x－1)2<logax 对任意x∈(1,2]恒成立,
所以loga2>1,所以1<a<2.
综上可得,a 的取值范围为(1,2).
(2)对于A,由x−3
x＋1>0 得x<－1 或x>3,
故定义域为(－∞,－1)∪(3,＋∞),A 正确;
对于B,因为定义域不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,B 错误;
对于C,因为f(1－x)＋f(1＋x)
＝log3−2−x
2−x ＋log3−2＋x
2＋x
＝log3 2＋x
−2＋x ＋log3−2＋x
2＋x
＝log3(
2＋x
−2＋x × −2＋x
2＋x )＝log31＝0,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,C 正确;
对于D,f(x)＝log3 x−3
x＋1＝log3(1−
4
x＋1),
因为函数t＝1－
4
x＋1在区间(3,＋∞)上单调递增,
且y＝log3x 在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)在(3,＋∞)上单调递增,D 正确.
规律方法 1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a 的影响,解决指数函数、对数函数问题
时,首先要看底数a 的取值范围.
2.基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.
训练1 (1)在同一平面直角坐标系中,函数y＝a－x,y＝logax＋a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
(2)(多选)(2025·南京、盐城模拟)已知x,y∈R,且12x＝3,12y＝4,则( )
A.y>x
B.x＋y>1
C.xy<1
4
D.√x＋√y<√2
答案 (1)A (2)ACD
解析 (1)对于A,B,若y＝a－x＝(
1
a)
x
的图象正确,则0<a<1,
所以y＝logax＋a 单调递减,
又x＝1 时,y＝loga1＋a＝a>0,所以A 正确、B 错误;
对于C,D,若y＝a－x＝(
1
a)
x
的图象正确,则a>1,所以y＝logax＋a 单调递增,所以C,D 均错误.故选
A.
(2)∵12x＝3,12y＝4,∴x＝log123,y＝log124,
∴y>x,故A 正确;
∵x＋y＝log123＋log124＝log1212＝1,∴B 错误;
∵x>0,y>0,∴xy≤(
x＋y
2 )
2
＝1
4 ,
当且仅当x＝y 时等号成立,而x<y,
故xy<1
4,∴C 正确;
∵(√x＋√y)2＝x＋y＋2√xy＝1＋2√xy<2,
即√x＋√y<√2,∴D 正确.故选ACD.
热点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在定理判断;
(2)代数法:求方程f(x)＝0 的实数根;
(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y＝f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利
用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点的判断
例2 (2025·肇庆调研)已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所
在区间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案 C
解析 由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,得m－2＝1,得m＝3,
所以g(x)＝lg x＋x－3,显然g(x)＝lg x＋x－3 是(0,＋∞)上的增函数.
A 中,当x→0 时,g(x)→－∞,g(1)＝－2<0,因此A 错误;
B 中,g(1)＝－2<0,g(2)＝lg 2－1<0,因此B 错误;
C 中,g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,
所以g(2)g(3)<0,因此C 正确;
D 中,g(3)＝lg 3>0,g(4)＝lg 4＋1>0,
因此D 错误.
考向2 求参数的值或取值范围
例3 (2025·重庆质检)已知函数f(x)＝{
x
2＋4 a, x<0,
lo ga( x＋1)＋1, x≥0在R 上单调递减(其中a>0,且a≠1),且
关于x 的方程|f(x)|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 .
答案 [
1
4 , 1
2]∪{
9
16}
解析 由y＝loga(x＋1)＋1 在[0,＋∞)上单调递减,得0<a<1,
又f(x)＝{
x
2＋4 a, x<0,
lo ga( x＋1)＋1, x≥0在R 上单调递减,
所以02＋4a≥f(0)＝1,解得a≥1
4,
因此1
4≤a<1,
作出函数f(x)＝{
x
2＋4 a, x<0,
lo ga( x＋1)＋1, x ≥0的大致图象,如图,
由图象可知,|f(x)|＝2－x 在[0,＋∞)上有且仅有一个解,因此|f(x)|＝2－x 在(－∞,0)上同样有且仅有
一个解,
当4a>2,即a>1
2时,
令|x2＋4a|＝2－x,
即x2＋x＋4a－2＝0 有且仅有一个解,
所以Δ＝1－4(4a－2)＝0,解得a＝9
16;
当1≤4a≤2,即1
4 ≤a≤1
2时,由图象可知,符合题意.
综上,a∈[
1
4 , 1
2]∪{
9
16}.
考向3 零点的代数式问题
例4 (多选)(2025·青岛模拟)已知函数f(x)＝{
|2
x−4|, x>0,
x
2＋4 x＋3, x≤0,函数g(x)＝f(x)＋a 的四个零点分别
为x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是( )
A.0<a<3
B.x1＋x2＝－4
C.x3＋x4<4
D.2
x3＋4
x4>20
答案 BCD
解析 作出函数f(x)＝{
|2
x−4|, x>0,
x
2＋4 x＋3, x≤0的大致图象,如图.
g(x)＝f(x)＋a 有四个零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,
得方程g(x)＝f(x)＋a＝0 有四个解,
即y＝f(x)的图象与直线y＝－a 有四个交点,
结合图象可知0<－a<3,所以－3<a<0,故A 错误.
由图可知x1＋x2＝－4,故B 正确.
当x>0 时,f(x)＝|2x－4|,
因为|2
x3－4|＝|2
x4－4|,
所以4－2
x3＝2
x4－4,即2
x4＋2
x3＝8,
所以2
x4＋2
x3＝8>2√2
x4·2
x3,
即2
x4＋x3<16＝24,所以x3＋x4<4,故C 正确.
又2
x4＝8－2
x3,
所以2
x3＋4
x4＝2
x3＋2
2 x4＝2
x3＋(8－2
x3)2,
令t＝2
x3,t∈(1,4),
则2
x3＋4
x4＝t＋(8－t)2＝t2－15t＋64,
令h(t)＝t2－15t＋64,t∈(1,4),函数图象的对称轴为直线t＝15
2 ,
所以函数h(t)＝t2－15t＋64 在(1,4)上单调递减,
所以h(t)>h(4)＝20,
即t2－15t＋64>20,所以2
x3＋4
x4>20,故D 正确.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
(1)直接法:利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围;
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解.
训练2 (1)函数f(x)＝4x－4x2的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)(2025·长治模拟)定义运算:x*y＝{
xy , x> y ,
x
2, x≤y ,例如: 2*3＝22＝4,3*2＝3×2＝6.若函数f(x)＝x*(2－
x)－k 有3 个不同的零点,则实数k 的取值范围是 .
(3)(2025·昆明诊断)已知函数f(x)＝{
x
2−8 x＋8, x≥0,
2 x＋4 , x<0.
若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)＝f(x2)＝
f(x3),则x1＋x2＋x3的范围是 .
答案 (1)D (2)(0,1) (3)(2,8)
解析 (1)令f(x)＝0,
得4x－1＝x2.
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝4x－1,y＝x2的大致图象,如图,
观察可知,两个函数的图象有3 个交点,
故函数f(x)＝4x－4x2的零点个数为3,故选D.
(2)因为函数f(x)＝x*(2－x)－k 有3 个不同的零点,
所以函数g(x)＝x*(2－x)的图象与直线y＝k 有3 个交点,
比较x 与2－x 的大小可得,x>1 时,x>2－x,
当x≤1 时,x≤2－x,
即函数g(x)＝{
x(2−x), x>1,
x
2, x≤1,
作出函数g(x)的大致图象,如图,
由图可知当0<k<1 时,函数g(x)的图象与直线y＝k 有3 个不同的交点,
所以实数k 的取值范围为(0,1).
(3)作出函数f(x)的大致图象,如图,
令x1<x2<x3.
根据图象可得x2＋x3＝8,
当2x1＋4＝－8 时,x1＝－6,
所以－6<x1<0,
则x1＋x2＋x3的范围是(2,8).
热点三 函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键:
(1)一般程序:
读题
文字语言⇒
建模
数学语言⇒
求解
数学应用⇒
反馈
检验作答
(2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和
导数的有关知识加以综合解答.
例5 (多选)(2025·兰州调研)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比
例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中,通常用吸光度A 和透光率
T 来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为T＝1
10
A,下表为不同玻璃材料的透光率:
玻璃材料材料1
材料2
材料3
T
0.6
0.7
0.8
设材料1、材料2、材料3 的吸光度分别为A1,A2,A3,则( )
A.A1>2A2
B.A2＋A3>A1
C.A1＋A3>2A2
D.A1A3<A2
2
答案 BCD
解析 由T＝1
10
A,得A＝－lg T,
则A1＝－lg 0.6,A2＝－lg 0.7,A3＝－lg 0.8,
2A2＝－2lg 0.7＝－lg 0.49,lg 0.6>lg 0.49,－lg 0.6<－lg 0.49,
即A1<2A2,A 错误;
A2＋A3＝－lg 0.7－lg 0.8＝－lg 0.56>－lg 0.6＝A1,B 正确;
A1＋A3＝－lg 0.6－lg 0.8＝－lg 0.48>－lg 0.49＝－2lg 0.7＝2A2,C 正确;
A1A3＝(－lg 0.6)(－lg 0.8)＝lg 0.6·lg 0.8,
A2
2＝(－lg 0.7)2＝(lg 0.7)2,
A1 A3
lg 0.7·lg 0.8 ＝lg 0.6·lg 0.8
lg 0.7·lg 0.8＝log0.70.6,
A2
2
lg 0.7·lg 0.8 ＝
(lg 0.7)
2
lg 0.7·lg 0.8＝log0.80.7,
log0.70.6－3
2＝log0.7
0.6
0.7
3
2 ＝log0.7(
0.6
2
0.7
3)
1
2
＝log0.7(
0.36
0.343)
1
2<log0.71＝0,
log0.80.7－3
2＝log0.8
0.7
0.8
3
2 ＝log0.8(
0.7
2
0.8
3)
1
2
＝log0.8(
0.49
0.512)
1
2>log0.81＝0,
所以log0.70.6<log0.80.7,
所以
A1 A3
lg 0.7·lg 0.8<
A2
2
lg 0.7·lg 0.8,
又lg 0.7·lg 0.8>0,
则A1A3<A2
2,D 正确.
规律方法 1.构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型;
(2)构建的函数模型有误;
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键
(1)仔细审题,明确问题的实际背景,依据新概念进行分析;
(2)有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.
训练3 (2025·北京人大附中质检)深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型:L＝
L0D
G
G0,其中,L 表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D 表示衰减系数,G 表示训练迭
代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18.经过
18 轮迭代学习时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2 以下所需要的训练迭代轮数至少为( )
(参考数据:lg 2＝0.301 0)
A.71
B.72
C.73
D.74
答案 D
解析 由题意得L＝0.5×D
G
18,
依题意0.4＝0.5×D
18
18,则D＝4
5 ,
则L＝0.5×(
4
5)
G
18,
由L＝0.5×(
4
5)
G
18<0.2,得到(
4
5)
G
18<2
5,
所以G>18log 4
5
2
5 ＝18(lg 5−lg 2)
lg 5−2lg 2
＝18(1−2lg 2)
1−3lg 2
≈73.9,
所以所需要的训练迭代轮数至少为74,故选D.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·南通联考)已知2m＝3n＝5,则4
m
n＝( )
A.√3
B.6
C.8
D.9
答案 D
解析 由2m＝3n＝5,可得m＝log25,n＝log35,
则
m
n ＝lo g25
lo g35 ＝lo g25
lo g25
lo g23
＝log23,
则4
m
n ＝4
lo g23＝2
2lo g23＝2
lo g29＝9.
2.(2025·河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)＝3x＋x－6 有一个零点x＝x0,则x0∈( )
A.(
1
2 ,1)
B.(1, 3
2)
C.(
3
2 ,2)
D.(2, 5
2)
答案 B
解析 由题意知f(x)在R 上单调递增,
∵f(
1
2)＝√3－11
2 <0,f(1)＝－2<0,
f(
3
2)＝3
3
2 －9
2,
又33－(
9
2)
2
>0,
∴f(
3
2)>0,由零点存在定理可知,在(1, 3
2)上存在x0使得f(x0)＝0.故选B.
3.(2025·广州调研)设a＝(
3
4)
0.5
,b＝(
4
3)
0.5
,c＝log 3
4(log34),则( )
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.a<c<b
答案 B
解析 ∵log34>1,∴c＝log 3
4(log34)<0,
又∵0<(
3
4)
0.5
<1,(
4
3)
0.5
>1,
即0<a<1,b>1,∴c<a<b.故选B.
4.(2025·银川质检)已知函数f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,e)上单调递增
B.奇函数,且在(0,e)上单调递减
C.偶函数,且在(0,e)上单调递增
D.偶函数,且在(0,e)上单调递减
答案 A
解析 若函数f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)有意义,则{
e−x>0,
e＋x>0,
解得－e<x<e,即函数f(x)的定义域为(－e,e).
因为f(－x)＝ln(e－x)－ln(e＋x)＝－[ln(e＋x)－ln(e－x)]＝－f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
函数f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)
＝lne＋x
e−x ＝ln(−1＋2e
e−x),
令u＝－1＋2e
e−x ,－e<x<e,
因为函数u＝－1＋2e
e−x 在(0,e)上单调递增,
函数y＝ln u 在定义域上是增函数,
所以函数f(x)在(0,e)上单调递增.
5.(2025·武汉调研)在同一平面直角坐标系中,函数y＝loga(－x),y＝a−1
x
(a>0,且a≠1)的图象可能是
( )
答案 C
解析 因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax 的图象关于y 轴对称,所以函数y＝loga(－x)的
图象恒过定点(－1,0),故A,B 错误.
当a>1 时,函数y＝logax 在(0,＋∞)上单调递增,所以函数y＝loga(－x)在(－∞,0)上单调递减,而y
＝a−1
x
(a>1)在(－∞,0)和(0,＋∞)上单调递减,故D 错误,C 正确.
6.已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增,则a 的取值范围为( )
A.(0, 1
2]
B.[
1
2 ,1]
C.[
1
2 ,＋∞)
D.[1,＋∞)
答案 D
解析 令t＝ax2－x,因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增,
所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上有意义,且t＝ax2－x 在(1,2)上单调递增,
所以a≠0,则{
a>0,
1
2a ≤1,
a−1≥0
或{
a<0,
1
2a ≥2,
a−1≥0,
解得a≥1,
所以a 的取值范围为[1,＋∞).故选D.
7.在人工智能神经网络理论中,根据不同的需要,可以设置不同的激活神经单元的函数,其中函数
tanh 是比较常用的一种,其解析式为tanh x＝e
x−e
−x
e
x＋e
−x.关于函数tanh x,下列结论正确的是( )
A.tanh x 是偶函数
B.tanh x 是单调递增函数
C.方程tanh x＝2 有唯一解
D.tanh x≥0 恒成立
答案 B
解析 对于A,因为tanh x 的定义域为R,
且tanh(－x)＝e
−x−e
x
e
−x＋e
x＝－e
x−e
−x
e
x＋e
−x＝－tanh x,所以tanh x 是奇函数,故A 错误;
对于B,tanh x＝e
x−e
−x
e
x＋e
−x＝1－
2e
−x
e
x＋e
−x
＝1－
2
e
2 x＋1,
因为y＝e2x＋1 是增函数且恒为正数,
所以y＝
1
e
2 x＋1是减函数,故tanh x 是增函数,故B 正确;
对于C,D,e2x＋1>1,则0<
2
e
2 x＋1<2,可得－1<1－
2
e
2 x＋1<1,
即tanh x∈(－1,1),故C,D 不正确.
8.(2025·山东名校统一调研)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意x∈R,都有f(x＋2)＋f(2－
x)＝0,当x∈(0,2)时,f(x)＝ln x,则f(x)在[－10,10]上的零点个数为( )
A.10
B.15
C.20
D.21
答案 D
解析 由f(x＋2)＋f(2－x)＝0,
令t＝2－x,得到f(4－t)＋f(t)＝0,
所以f(4－t)＝－f(t),
从而有f(4＋t)＝－f(－t),
又函数f(x)是定义在R 上的奇函数,
所以f(4＋t)＝f(t),即f(4＋x)＝f(x),所以函数f(x)的周期T＝4.
令x∈(－2,0),则－x∈(0,2),
又当x∈(0,2)时,f(x)＝ln x,
所以f(－x)＝ln(－x),
则f(x)＝－ln(－x)(－2<x<0),
故f(x)＝{
ln x , x∈(0,2),
0, x＝0,
−ln(−x), x∈(−2,0).
当x∈(0,2)时,由f(x)＝0,得到x＝1,
当x∈(－2,0)时,由f(x)＝0,得到x＝－1,
即f(1)＝0,f(－1)＝0,
又T＝4,所以f(－8)＝f(－4)＝f(0)＝f(4)＝f(8)＝0,
f(－9)＝f(－5)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝0,
f(－7)＝f(－3)＝f(1)＝f(5)＝f(9)＝0,
又由f(x＋2)＋f(2－x)＝0,
令x＝0,得到f(2)＋f(2)＝0,即f(2)＝0,
所以f(－10)＝f(－6)＝f(－2)＝f(2)＝f(6)＝f(10)＝0,
作出f(x)在[－10,10]上的大致图象如图所示,
结合图象知,f(x)在[－10,10]上的零点个数为21.
二、多选题
9.(2025·长春模拟)已知函数f(x)＝ln|x|＋|ln x2|,若函数g(x)＝f(x)－m 有4 个零点,且其4 个零点
x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)成等差数列,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.x4＝2x3
C.2x1＋3x3＋x4＝0
D.m＝3
4ln 3
答案 ACD
解析 对于A,因为f(x)＝ln|x|＋|ln x2|的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称,
又f(－x)＝ln|(－x)|＋|ln(－x)2|＝ln|x|＋|ln x2|＝f(x),
所以f(x)为偶函数,A 正确;
对于B,当x>0 时,f(x)＝ln x＋2|ln x|＝{
−ln x ,0< x<1,
3ln x , x≥1,
结合对称性作出f(x)的大致图象和直线y＝m,如图所示.
由图知x1<－1<x2<0<x3<1<x4,
且－x1＝x4,－x2＝x3,
又x1,x2,x3,x4成等差数列,
所以x4＋x2＝2x3,
又－x2＝x3,
可得x4＝3x3,
所以B 错误;
对于C,由－x1＝x4,得到x1＋x4＝0,
所以2x1＋3x3＋x4＝2x1＋3x3＋2x4－x4＝3x3－x4＝0,故C 正确;
对于D,因为f(x3)＝f(x4)＝m,
所以－ln x3＝3ln x4＝3ln(3x3),
得到x3
4＝1
27,所以m＝－ln x3＝－ln(
1
27)
1
4 ＝3
4 ln 3,故D 正确.
10.(2025·青岛模拟)某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物体冷却模型:若物体原来的温度为
θ0(单位:℃),环境温度为θ1(θ1<θ0,单位:℃),物体的温度冷却到θ(θ>θ1,单位:℃)需用时t(单位:分钟),
推导出函数关系为t＝f(θ)＝1
k [ln(θ0－θ1)－ln(θ－θ1)],k 为正的常数.现有一壶开水(100 ℃)放在室温
为20 ℃的房间里,根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据:ln 2≈0.7)(
)
A.函数关系θ＝θ1＋(θ0－θ1)ekt也可作为这壶开水的冷却模型
B.当k＝1
20时,这壶开水冷却到40 ℃大约需要28 分钟
C.若f(60)＝10,则f(30)＝30
D.这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短
答案 BCD
解析 对于A,由t＝f(θ)＝1
k [ln(θ0－θ1)－ln(θ－θ1)],
得kt＝ln
θ0−θ1
θ−θ1
,所以
θ0−θ1
θ−θ1
＝ekt,
故θ＝θ1＋(θ0－θ1) 1
e
kt ,A 错误;
对于B,由题意可知t＝f(θ)＝1
k [ln(100－20)－ln(θ－20)]＝1
k ln
80
θ−20,t＝20ln
80
40−20＝20ln 4＝40ln
2≈40×0.7＝28,B 正确;
对于C,由f(60)＝10,得1
k ln80
40＝10,
即k＝ln2
10 ,则t＝10
ln2·ln
80
30−20 ＝10
ln2ln 8＝30,C 正确;
对于D,设这壶开水从100 ℃冷却到70℃所需时间为t1分钟,
则t1＝1
k ln 100−20
70−20 ＝1
k (ln 8－ln 5),
设这壶开水从70 ℃冷却到40 ℃所需时间为t2分钟,
则t2＝1
k ln70−20
40−20 ＝1
k (ln 5－ln 2),
因为t1－t2＝1
k (ln 8＋ln 2－2ln 5)
＝1
k ln 16
25<0,
所以t1<t2,D 正确.
11.(2025·河南名校联考)已知正数x,y,z 满足5x＝9y＝15z,则( )
A.xz＋2yz－2xy＝0
B.5x<9y<15z
C.xy<2z2
D.9x＋2y<16z
答案 AB
解析 依题意,设 5x＝9y＝15z＝t,t>1,
则xlogt5＝ylogt9＝zlogt15＝1,
则x＝
1
lo gt5,y＝
1
lo gt 9,z＝
1
lo gt15.
对于A,xz＋2yz－2xy＝xyz(
1
y ＋2
x −2
z)＝xyz(logt9＋2logt5－2logt15)＝xyzlogt5
2×9
15
2 ＝0,A 正确;
对于B,5 x
9 y ＝5lo gt 9
9lo gt5＝log5
995,
则9
5
5
9 ＝3
10
5
9 ＝3
4
5
3 ×(
3
5)
6
< 81
125<1,
则log5
995<1,则5x<9y;
9 y
15 z ＝3 y
5 z ＝3lo gt15
5lo gt 9 ＝log9
5153,
则15
3
9
5 ＝5
3
3
7 ＝
125
243×9<1,
则log9
5153<1,则9y<15z,所以5x<9y<15z,B 正确;
对于C,由选项A 知, 1
y ＋2
x －2
z ＝0,
得z＝2 xy
x＋2 y ,则xy－2z2＝xy－2(
2 xy
x＋2 y)
2
＝xy·( x＋2 y)
2−8 xy
( x＋2 y)
2
＝xy( x−2 y)
2
( x＋2 y)
2 >0,
即xy>2z2,C 错误;
对于D,9x＋2y－16z＝9x＋2y－32 xy
x＋2 y ＝(9 x＋2 y)( x＋2 y)−32 xy
x＋2 y
＝(3 x−2 y)
2
x＋2 y
>0,
因此9x＋2y>16z,D 错误.故选AB.
三、填空题
12.(2025·福州调研)我国火力发电厂大气污染物排放标准规定:排放废气中二氧化硫最高允许浓度为
20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100 mg/m3,现通过某种工艺
对排放废气进行过滤处理,处理后废气剩余二氧化硫的浓度y(单位:mg/m3)与处理时间t(单位:分钟)
满足关系式:y＝N0(
9
10)
t
(N0为初始浓度),那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果取整数)
答案 16
解析 依题意知100(
9
10)
t
≤20,
即(
9
10)
t
≤1
5,
取以10 为底的对数得lg (
9
10)
t
≤lg 1
5,
即tlg 9
10≤lg 1
5,
t(lg 9－1)≤－lg 5,
则t(1－2lg 3)≥lg 5＝1－lg 2,
则t≥1−lg 2
1−2lg 3≈
1−0.301
1−2×0.477 1≈15.26,
∴t＝16,故至少经过16 分钟才能达到排放标准.
13.(2025·合肥模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x),则称函数f(x)为“局
部奇函数”.若函数f(x)＝49x－m·7x＋1－2 在定义域R 上为“局部奇函数”,则实数m 的取值范围为
.
答案 [−1
7 ,＋∞)
解析 若函数f(x)＝49x－m·7x＋1－2 是定义在R 上的“局部奇函数”,
则方程f(－x)＝－f(x)有解,
即49－x－m·7－x＋1－2
＝－(49x－m·7x＋1－2)有解,
整理得49x＋49－x－7m(7x＋7－x)－4＝0,
即(7x＋7－x)2－7m(7x＋7－x)－6＝0 有解.
令t＝7x＋7－x,t≥2√7
x·7
−x＝2,
当且仅当7x＝7－x,
即x＝0 时,等号成立.
则方程f(－x)＝－f(x)有解等价于t2－7mt－6＝0 在t≥2 时有解,
等价于t－6
t ＝7m 在t≥2 时有解,
设g(t)＝t－6
t ,t≥2,
可知g(t)在[2,＋∞)内单调递增,
则g(t)≥g(2)＝－1,
则7m≥－1,解得m≥－1
7.
所以m 的取值范围为[−1
7 ,＋∞).
14.(2025·汉中调研)已知函数f(x)为偶函数,满足f(x－3)＝f(x＋1),且当－2≤x≤0 时,f(x)＝(
√3
3 )
x
－
2,若关于x 的方程f(x)－2loga(3x＋1)＝0 有两个实数解,则a 的值为 .
答案 49 或1
169
解析 由f(x－3)＝f(x＋1)可得f(x)＝f(x＋4),
所以f(x)是以4 为周期的周期函数,
又f(x)为偶函数,
且f(x)＝(
√3
3 )
x
－2(－2≤x≤0),
故可作出函数f(x)的图象如图所示,
若关于x 的方程f(x)－2loga(3x＋1)＝0 有两个实数解,
则y＝f(x)与y＝2loga(3x＋1)的图象有两个交点,
当a>1 时,y＝2loga(3x＋1)的图象过点A(2,1),
所以1＝2loga(3×2＋1),
解得a＝49;
当0<a<1 时,
y＝2loga(3x＋1)的图象过点B(4,－1),
所以－1＝2loga(3×4＋1),
解得a＝1
169,
综上所述,a 的值为49 或1
169
