专题突破练22 基本初等函数、函数与方程
必备知识夯实练
1.(2025 湖南沅澧共同体一模)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)内单调递增,则m
的值为( )
A.1
B.-3
C.-4
D.1 或-3
2.(2023 天津卷,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
3.(2025 湖南长沙模拟)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与
g(x)=logbx 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.(2025 河北沧州二模)函数f(x)=2x+ln x-1 的零点所在的区间为( )
A.(0,1
2
)
B.(1
2
,1)
C.(1,3
2
)
D.(3
2
,2)
5.(2025 山东聊城模拟)设函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)内单调递减,则a 的最大值为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.(2025 北京顺义一模)在天文学中,天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视
星等m 是在地球上看到的星体亮度等级,视星等受恒星距离影响.绝对星等M 是假设把
恒星放在距离地球10 秒差距(10 秒差距≈32.6 光年)时的视星等,这样能比较不同恒星本
身的亮度.视星等m 和绝对星等M 满足m-M=5lg( d
10
),其中d 是与地球的距离,单位为秒
差距.若恒星A 距离地球约32.6 光年,恒星B 距离地球约326 光年,恒星A,B 的视星等满
足mB-mA=4,则( )
A.MB=MA+4
B.MB=MA+6
C.MA=MB+1
D.MA=MB+6
7.(多选题)(2025 湖南郴州三模)已知函数f(x)={
e
x, x ≤0,
ln x, x>0,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是增函数
C.不等式f(x)>0 的解集为(-∞,0]∪(1,+∞)
D.若函数y=f(x)-a 恰有两个零点,则a 的取值范围为(0,1]
8.(2024 全国甲,理15)已知a>1 且
1
lo g8a −
1
lo ga4=-5
2
,则a= .
9.(2025 江苏盐城三模)设函数f(x)={
8
x+1, x ≤0,
|lo g6 x|, x>0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0 的
解的个数是 .
关键能力提升练
10.(2025 湖南永州开学考试)若函数f(x)=ax-k(a>0 且a≠1)的图象经过定点(19,1),且函数
g(x)=loga(x+k-19)满足g(x1x2x3…x2 023)=19,则g(x1
2)+g(x2
2)+g(x3
2)+…+g(x2 023
2
)的值为( )
A.❑√19
B.19
C.38
D.loga19
11.(2025 浙江宁波模拟)已知函数f(x)={
a
x -2+1, x ≤2,
-( x -2)
2+ 4 a, x>2(a>0 且a≠1)在R 上为单调函
数.若方程f2(x)-4|f(x)|+3=0 有4 个不同的实数解,则实数a 的取值范围是( )
A.(0,1
2
]
B.[1
4 , 1
2
]
C.(1
4 , 1
2
]
D.(1
4
,1)
12.(多选题)(2025 湖南长沙模拟)已知函数f(x)={
|lo g2 x|,0< x<2,
x
2-8 x +13, x ≥2,若关于x 的方程
f(x)=a 有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1<x2<x3<x4,则下列说法正确的是( )
A.0<a<1
B.x1+2x2的取值范围是(3,9
2
)
C.x1+x2+x3+x4的取值范围是(10,+∞)
D.2x1+x2的取值范围是[2❑√2,3)
13.(2025 湖南沅澧共同体模拟)人教A 版高中数学必修第一册教材第87 页中提到:函数
y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发
现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数
y=f(x+a)-b 为奇函数.若函数f(x)=log2(❑√x
2+ 4+tx)-
4
2
x+1
(t>0)的图象关于点(0,-1)成中心
对称图形,则实数t 的值为 ,若f(2m2)+f(m-3)>-2,则实数m 的取值范围是 .
核心素养创新练
14.(多选题)(2025 江苏宿迁二模)在平面直角坐标系xOy 中,设A(x1,y1),B(x2,y2),定义:
ABn=(|x1-x2|n+|y1-y2|n
)
1
n.若s,t∈N*,且s<t,则下列结论正确的是( )
A.若点A,B 关于x 轴对称,则ABs=ABt
B.若点A,B 关于直线y=x 对称,则ABs≥ABt
C.若OAs=2OBs,则OAt=2OBt
D.若P={M|AMs≤1},Q={M|AMt≤1},则P⊆Q
答案：
1.A 解析 由题意可得{
m
2+2m-2=1,
m+2>0,
解得{
m=-3或m=1,
m>-2,
所以m=1.故选A.
2.D 解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.
又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.
3.B 解析 由lg a+lg b=0 可知,1
a
=b,故f(x)=a-x=bx,故函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx 的单
调性相同.故选B.
4.B 解析 因为y=2x与y=ln x-1 均在定义域上单调递增,
所以f(x)=2x+ln x-1 在(0,+∞)内单调递增,
又f(1
2
)=❑√2+ln1
2
-1=❑√2-1-ln 2,
因为❑√2-1<1
2
,ln 2>ln❑√e = 1
2
,
所以f(1
2
)=❑√2-1-ln 2<0,
又f(1)=2+ln 1-1=1>0,
所以函数f(x)的零点所在区间是(1
2
,1).故选B.
5.B 解析 由f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)内单调递减,可得y=x2-ax+3 在(0,1)内单调递
减,且在(0,1)内y>0,抛物线y=x2-ax+3 的对称轴为直线x=a
2
,由{
a
2 ≥1,
1-a+3≥0,
解得
2≤a≤4,所以a 的最大值为4.故选B.
6.C 解析 由题意得mA-MA=5lg(32.6
10
),mB-MB=5lg(326
10
),
两式相减,可得mA-MA-mB+MB=5lg(32.6
10
)-5lg(326
10
)=-5,
又mB-mA=4,所以MB-MA=-1,所以MA=MB+1.故选C.
7.CD 解析 作出f(x)的大致图象如图.
由图象可知,f(x)的图象不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A 错误;
f(x)在定义域内不单调,故B 错误;
若f(x)>0,则x≤0 或x>1,即不等式f(x)>0 的解集为(-∞,0]∪(1,+∞),故C 正确;
令y=f(x)-a=0,则f(x)=a,原题意等价于y=f(x)与y=a 的图象有2 个交点,则0<a≤1,
所以a 的取值范围为(0,1],故D 正确.故选CD.
8.64 解析 由
1
lo g8a −
1
lo ga4 =
3
lo g2a −1
2log2a=-5
2
,得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)
(log2a-6)=0,
又a>1,则log2a+1>0,
所以log2a=6,则a=64.
9.5 解析 由[f(x)]2-3f(x)+2=0,得f(x)=1 或f(x)=2,
当f(x)=1 时,若x≤0,
则8x+1=1,无解.
若x>0,则|log6x|=1,故log6x=1 或log6x=-1,解得x=6 或x=1
6 .
当f(x)=2 时,若x≤0,则8x+1=2,解得x=0.
若x>0,则|log6x|=2,故log6x=2 或log6x=-2,解得x=36 或x= 1
36 .
所以方程[f(x)]2-3f(x)+2=0 的解的个数是5.
10.C 解析 因为函数f(x)=ax-k(a>0 且a≠1)的图象经过定点(19,1),
所以f(19)=a19-k=1,则19-k=0,
则k=19,
所以g(x)=logax.
又g(x1x2x3…x2 023)=loga(x1x2x3…x2 023)=19,
所以g(x1
2)+g(x2
2)+g(x3
2)+…+g(x2 023
2
)=loga(x1
2)+loga(x2
2)+loga(x3
2)+…+loga(x2 023
2
)
=loga(x1
2 x2
2 x3
2… x2 023
2
)
=loga( x1 x2 x3… x2 023)
2
=2loga(x1x2x3…x2 023)=2×19=38.故选C.
11.C 解析 由题意可知f(x)为单调函数,当x>2 时,f(x)单调递减;
故当x≤2 时,f(x)也单调递减,故0<a<1;
要确保f(x)在R 上单调递减,
则-(2-2)2+4a=4a≤f(2)=2,
解得a≤1
2
,
所以满足f(x)在R 上单调递减时,实数a 的取值范围为0<a≤1
2 .
当x≤2 时,f(x)=ax-2+1,
又f(x)在(-∞,2]上单调递减,0<a≤1
2
,所以f(x)=ax-2+1≥f(2)=2,
即f(x)在(-∞,2]上的值域为[2,+∞).
令f2(x)-4|f(x)|+3=0,
则|f(x)|=1 或|f(x)|=3,
即f(x)=±1 或f(x)=±3,
要使得f2(x)-4|f(x)|+3=0 有4 个不同的实数解,
则-(2-2)2+4a=4a>1,解得a>1
4 .
综上,实数a 的取值范围为1
4
<a≤1
2
,即a∈(1
4 , 1
2
].故选C.
12.ABD 解析 作函数f(x)={
|lo g2 x|,0< x<2,
x
2-8 x +13, x ≥2 的大致图象如图.
关于x 的方程f(x)=a 有四个不同的实数解,即直线y=a 与y=f(x)的图象有4 个交点,数形
结合可得0<a<1,所以A 正确;
由图象可得0<-log2x1=log2x2<1,则1
x1
=x2,即x1x2=1,且1<x2<2,1
2
<x1<1,令y=x1+2x2=x1+ 2
x1
,
根据“对勾”函数单调性可得y=x1+ 2
x1
在(1
2
,1)内单调递减,故y∈(3,9
2
),所以B 正确;
因为1
2
<x1<1,令y=x1+x2=x1+ 1
x1
,根据“对勾”函数单调性可得y∈(2,5
2
),又因为x3+x4=8,
所以x1+x2+x3+x4=x1+ 1
x1
+8∈(10,21
2
),所以C 错误;
令y=2x1+x2=2x1+ 1
x1
,根据“对勾”函数单调性可得y=2x1+ 1
x1
在(1
2 ,
❑√2
2
)内单调递减,在(
❑√2
2
,1)内单调递增,故y∈[2❑√2,3),所以D 正确.
故选ABD.
13.1 (-∞,-3
2
)∪(1,+∞) 解析 由函数f(x)=log2(❑√x
2+ 4+tx)-
4
2
x+1
(t>0)的图象关于点(0,-
1)成中心对称,得g(x)=f(x)+1 为奇函数,g(x)=log2(❑√x
2+ 4+tx)-
4
2
x+1
+1,g(-x)=log2(❑√x
2+ 4-
tx)-
4
2
- x+1
+1=log2(❑√x
2+ 4-tx)-4·2
x
2
x+1
+1,又g(x)+g(-x)=0,
则log2(❑√x
2+ 4+tx)-
4
2
x+1
+1+log2(❑√x
2+ 4-tx)-4·2
x
2
x+1
+1=0,
所以log2[(❑√x
2+ 4+tx)(❑√x
2+ 4-tx)]-2=0,
所以log2(x2+4-t2x2)-2=0,所以x2+4-t2x2=4,即x2(1-t2)=0,那么t2=1,又t>0,所以t=1.
显然t=1 满足题意.
故函数f(x)=log2(❑√x
2+ 4+x)-
4
2
x+1
,g(x)=log2(❑√x
2+ 4+x)-
4
2
x+1
+1.
因为y=log2(❑√x
2+ 4+x)+1,y=-
4
2
x+1
在[0,+∞)内都是递增函数,所以g(x)=log2(❑√x
2+ 4+x)-
4
2
x+1
+1 在[0,+∞)内是递增函数,又因为g(x)是奇函数,且是连续函数,所以函数g(x)在R
上单调递增,要使f(2m2)+f(m-3)>-2,
即f(2m2)+1>-[f(m-3)+1],即g(2m2)>-g(m-3)=g(3-m)成立,
只需2m2>3-m,即2m2+m-3>0 成立,解得m>1 或m<-3
2
,
故m 的取值范围是(-∞,-3
2
)∪(1,+∞).
14.ABD 解析 因为点A,B 关于x 轴对称,且A(x1,y1),B(x2,y2),
所以B(x1,-y1),
而ABn=(|x1-x2|n+|y1-y2|n
)
1
n,
得到ABs=(|x1-x2|s+|y1-y2|s
)
1
s=(|y1-(-y1)|s
)
1
s=(|2y1|s
)
1
s=|2y1|,
同理ABt=(|x1-x2|t+|y1-y2|t
)
1
t =(|y1-(-y1)|t
)
1
t =(|2y1|t
)
1
t =|2y1|,
即此时满足ABs=ABt,故A 正确;
因为点A,B 关于直线y=x 对称,且A(x1,y1),B(x2,y2),
所以B(y1,x1),
则ABs=(|x1-x2|s+|y1-y2|s
)
1
s=(2|x1-x2|s
)
1
s =2
1
s|x1-x2|,ABt=(|x1-x2|t+|y1-y2|t
)
1
t =(2|x1-x2|t
)
1
t =2
1
t |x1-
x2|,
构造函数f(x)=2x,由指数函数性质得f(x)在R 上单调递增,因为s,t∈N*,且s<t,所以1
s > 1
t
,
得到f(1
s
)>f(1
t
),则2
1
s >2
1
t ,得到2
1
s|x1-x2|>2
1
t |x1-x2|,即ABs>ABt,则ABs≥ABt,故B 正确;
由题意得OAs=(|x1|s+|y1|s
)
1
s,OBs=(|x2|s+|y2|s
)
1
s,
因为OAs=2OBs,所以(|x1|s+|y1|s
)
1
s=2(|x2|s+|y2|s
)
1
s,
得到|x1|s+|y1|s=2s(|x2|s+|y2|s)=|2x2|s+|2y2|s,
令x1=2,x2=0,y1=2,y2=
2
1
s,符合题意,此时OAt=(2t+2t
)
1
t =2
t +1
t =2
1+ 1
t =2
×2
1
t ,
而OBt=(|
2
1
s|t
)
1
t =2
1
s,则2OBt=2
×2
1
s,由已知得
2
1
s >2
1
t ,则2OBt>OAt,故C 错误;
设M(x,y)∈P,A(x0,y0),则AMs=(|x-x0|s+|y-y0|s
)
1
s ≤
1,
则|x-x0|s+|y-y0|s≤1,从而|x-x0|s,|y-y0|s∈[0,1],1≥|x-x0|s+|y-y0|s≥|x-x0|t+|y-y0|t,
则AMt=(|x-x0|t+|y-y0|t
)
1
t ≤
1,则M(x,y)∈Q,P⊆Q,故D 正确.
故选A
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