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第二章 函数与基本初等函数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数 的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是 大小的特殊的几何图形，即441个点.
根据0和1的二进制编码规则，一共有 种不同的码，假设我们1万年用掉 个二维码，那么所有二
维码大约可以用（ ）（参考数据： ）
A． 万年 B． 万年 C． 万年 D． 万年
3．已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．对函数 作 的代换，则不改变函数 值域的代换是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．已知函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
6．直线 与函数 分别交于 两点，且 ，则函数
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．已知函数 方程 有两个不同的根，分别是 则
（ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在R上的函数 满足 ，且 不是常函数，则下列说法中正确的有
（ ）
A．若2为 的周期，则 为奇函数
B．若 为奇函数，则2为 的周期
C．若4为 的周期，则 为偶函数
D．若 为偶函数，则4为 的周期11．已知函数 其中 ，且 ，则（ ）
A． B．函数 有2个零点
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数 为偶函数，则 .
13．已知函数 ，若 ，则当 取得最小值时， ．
14．已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则 在 上的零点个数的最
小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数 ．
(1)画出函数 的图象；
(2)求关于 的不等式 的解集．
16．（15分）
已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 与 的图象关于 轴对称，且当 时， 的图象恒在直线 的上方，求
实数 的取值范围．17．（15分）
正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡
制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的
放置时间，每隔 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 ℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100℃经过 后温度变为 ℃，现给出以下三种函数模型：
① ；
② ；
③ ．
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到 ）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：
）
18．（17分）
已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 是奇函数，给定
函数 .
(1)求函数 图象的对称中心；
(2)判断 在区间 上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， .若对任意 ，总
存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.19．（17分）
设n次多项式 ，若其满足 ，则称这些多
项式 为切比雪夫多项式.例如：由 可得切比雪夫多项式 ，由 可
得切比雪夫多项式 .
(1)若切比雪夫多项式 ，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数 时，是否有 成立？
(3)已知函数 在区间 上有3个不同的零点，分别记为 ，证明：
.
