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期末复习学案（1） 勾股定理（解析版）
考点 1：勾股定理
1．（2023秋•昆都仑区期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为（ ）
A．❑√7 B．5 C．❑√7或5 D．5或7
【思路引领】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∴直角三角形的两条直角边分别长3和4，
∴斜边的长为：❑√32+42=5．
故选：B．
【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条
直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
2．（2023春•青羊区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则AD的长为（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路引领】先根据等腰三角形的性质得BD＝CD＝3，再根据勾股定理可得答案．
【解答】解：∵BC＝6，D是BC的中点，AB＝AC，
∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√52−32=4，
故选：A．
【总结提升】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
3．（2022春•郴州期末）如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝ 13
．【思路引领】先根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠C＝90°，
∴由勾股定理得：BD=❑√BC2+CD2=❑√32+42=5，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
∴由勾股定理得：AD=❑√AB2+BD2=❑√122+52=13；
故答案为：13．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解此题的关键，注意：直角三角
形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．（2023春•陵城区期中）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样
2
的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于 ❑√10 ．
5
【思路引领】先用割补法求出三角形的面积、BC边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：设点A到边BC的距离等于h，
1 1 1
△ABC的面积＝2×3− ×3×1− ×2×2− ×1×1＝2，
2 2 2
BC=❑√32+12=❑√10，
1
∵ BC•h＝△ABC的面积，
2
4 2
∴h = = ❑√10．
❑√10 5
2
故答案为： ❑√10．
5
．
【总结提升】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式，网格中图形面积的计算．熟练利用
面积法是解题的关键．
5．（2023春•楚雄州期末）如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若其中 S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC ＝25cm2，则正方形BCFG的面积是（ ）
A．3cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．41cm2
【思路引领】根据已知两正方形的面积求出直角三角形两直角边的长，利用勾股定理求出斜边的长，即
可求出正方形BCFG的面积．
【解答】解：∵S正方形ABED ＝16cm2，S正方形AHIC ＝25cm2，
∴AB2＝16cm2，AC2＝25cm2，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝9cm2，
∴正方形BCFG的面积是9cm2，
故选：B．
【总结提升】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6．（2023秋•镇平县期末）如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A
为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ）
A．❑√5 B．❑√5−1 C．❑√2 D．2−❑√5
【思路引领】根据题意运用勾股定理求出AC的长，即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，
由勾股定理得，AC=❑√22+12=❑√5，
则点D表示的数为❑√5−1．
故选：B．
【总结提升】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AC的长是解题的关
键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
7．（2023秋•清苑区期末）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，6），（8，0），以点
A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
【思路引领】根据勾股定理求出AB的长度，进而得出答案．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（0，6），（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB=❑√OA2+OB2=10，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝10﹣6＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
故选：D．
【总结提升】本题考查了坐标与图形旋转，勾股定理，根据勾股定理得出AB的长根据旋转的性质得出
AC＝AB＝10是解本题的关键．
8．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史
上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 2 4 ．
【思路引领】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10，
1 1 1 1
所以阴影部分的面积S= × ×32+ × ×42+ ×6×8− • ×52＝24，
2 2 2 2
π π π
故答案为：24．
【总结提升】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
9．（2023春•顺庆区期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，
（1）求BC的长；
（2）求AD的长．
【思路引领】（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）利用△ABC的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC=❑√AB2+AC2=❑√82+62=10；
故答案为：10．
1 1
（2）S△ABC =
2
BC•AD =
2
AB•AC，
1 1
∴ ×10•AD= ×8×6，
2 2
解得AD＝4.8．
【总结提升】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，难点在于（2）利用同一个三角形的面
积的两种不同表示列出方程．
考点2：勾股定理的能证明
10．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发
端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．C． D．
【思路引领】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
1 1 1 1
∴ ab + ab + c2= （a+b）（a+b），
2 2 2 2
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
1
∴4× ab+c2＝（a+b）2，
2
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也
等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
1 1
∴b2+a2+2× ab＝c2+2× ab，
2 2
整理得a2+b2＝c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
【总结提升】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
考点3：勾股定理逆定理
11．（2021 春•武陟县期中）下列各组数：①❑√3，❑√4，❑√5；②√33，√3 4，√35；③ 3、4、5；
④32，42，52；⑤33，43，53中，能构成直角三角形的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【思路引领】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：①∵（❑√3）2+（❑√4）2≠（❑√5）2，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
②∵（√33）2+（√3 4）2≠（√35）2，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
③∵32+42＝52，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
④∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
⑤∵（33）2+（43）2≠（53）2，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一
个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
12．（2023•雁塔区开学）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝7：3：11 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝7：24：25 D．a2＝9，b2＝1，c=❑√10
【思路引领】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正
误．
【解答】解：A、设∠A＝7x°，∠B＝3x°，∠C＝11x°，
7x+3x+11x＝180，
60
解得：x= ，
7
660
则11x°=( )°≠90°，
7
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵设a＝7x，b＝24x，c＝25x，∵（7x）2+（24x）2＝（25x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵c2=(❑√10) 2=10＝9+1，
∴c2＝a2+b2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【总结提升】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角
形内角和定理是解题的关键．
13．（2023秋•忻州期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为❑√5，2❑√2，3，(❑√5) 2+(2❑√2) 2≠32，则这个三角形不直角三角形，
本选项不符合题意；
B、三角形的三边为❑√5，❑√10，❑√17，(❑√5) 2+(❑√10) 2≠(❑√17) 2，则这个三角形不直角三角形，本选项
不符合题意；
C、三角形的三边为❑√10，❑√10，2❑√5，(❑√10) 2+(❑√10) 2=(2❑√5) 2，则这个三角形是直角三角形，本
选项符合题意；
D、三角形的三边为❑√10，❑√10，2❑√2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三
角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．14．（2021春•济源期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A．点A到直线BC的距离是2
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2❑√5
D．S△ABC ＝10
【思路引领】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到 AB、BC、AC的值，然后即可判断
各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AB=❑√22+42=2❑√5，故选项C正确；
AC=❑√12+22=❑√5，
BC=❑√32+42=5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
AB⋅AC
∴S△ABC =
2
= 5，故选项D错误；
过点A作AD⊥BC于点D，
1 1
则 BC•AD= ×5AD＝5，
2 2解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项A正确；
故选：D．
【总结提升】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
15．（2023春•曲阜市期中）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，❑√2，❑√3 B．32，42，52 C．1，3，2 D．5，12，13
【思路引领】根据勾股定理即可解答．
【解答】解：A、❑√2，❑√3不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意．
B、（32）2+（42）2≠（52）2，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
C、12+32≠22，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
D、52+122＝132，构成勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋•德惠市期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中
阴影部分的面积．
【思路引领】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再
1 1
根据S阴影 =
2
AC×BC−
2
AD×CD即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10米（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
1 1 1 1
∴S阴影 =
2
AC×BC−
2
AD×CD =
2
×10×24−
2
×8×6＝96（米2）．
答：图中阴影部分的面积为96米2．
【总结提升】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出
AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．
考点4：勾股定理的应用
17．（2023春•浉河区期末）如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点
O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
【思路引领】先利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，求出∠AOB＝90°，然后再求出40°的
余角即可解答．
【解答】解：∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
由题意得：90°﹣40°＝50°，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【总结提升】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18．（2023春•清原县期末）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC=❑√AE2+EC2=10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故选：C．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
19．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳
子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如
图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．
A．5 B．12 C．13 D．17
【思路引领】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为 x米，则绳子的长度为
（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．
考点5：最短路径问题
20．（2022秋•南关区期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少
要（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【思路引领】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=4（米），
故可得地毯长度＝AC+BC＝7（米），
故选：C．
【总结提升】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是
解答本题的关键．
21．（2023春•鄂州期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度
是（ ）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
10
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
2解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（2022秋•桥西区期末）为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪
（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报
告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动
显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米
【思路引领】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=❑√AE2+DE2=❑√0.52+1.22=1.3（米），
故选：C．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理
求得线段AD的长度．
23．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面
5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10m B．15m C．18m D．20m
【思路引领】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三
角形的斜边的长度，进而可得出结论．
【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，
∴原来树的高度为：❑√122+52=13（m），
∴这棵树原来的高度＝5+13＝18（m）．
即：这棵大树在折断前的高度为18m．
故选：C．
【总结提升】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答
此题的关键．
24．（2023秋•中站区期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入
一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细
均忽略不计）（ ）
A．5≤a≤12 B．12≤a≤3❑√17 C．12≤a≤4❑√10 D．12≤a≤13
【思路引领】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形
时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．
【解答】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知：牛奶盒底面对角长为❑√42+32=5，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为❑√52+122=13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选：D．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用以及学生的空间想象力，难度适中，解答本题的关键是熟练掌
握勾股定理的知识．
25．（2023秋•海淀区期末）如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C
距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了
8 米．
【思路引领】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的
长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC=❑√AB2−BC2=24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD=❑√DE2−CE2=15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑动了8米．
故答案为：8．
【总结提升】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AC、CD的长．
26．（2023秋•市中区期中）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是
40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
【思路引领】展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：
在RT△ACB中，∵AC＝50，BC＝120，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√502+1202=130，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度＝130cm．
故选：C．
【总结提升】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，
利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
27．（2023春•兴业县期末）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的
点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A
处到内壁B处的最短距离为（ ）cm（杯壁厚度不计）．A．14 B．18 C．20 D．25
【思路引领】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度
即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′F，此时点A’、F、B在同一条直线上，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B=❑√A′D2+BD2=❑√162+122=20（cm）．
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm，
故选：C．
【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进
行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
28．（2023秋•南山区期中）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着
长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 ❑√85
cm．【思路引领】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得
到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体
的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短
的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（6+3）2+42＝97；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+62＝85；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（6+4）2+32＝109．
∵85＜97＜109，
∴最短路径的长为AB=❑√85（cm）．
故答案为：❑√85．
【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决
“怎样爬行最近”这类问题的关键．
29．（2023秋•靖江市期末）在平面直角坐标系 xOy中，点E（4t+8，﹣3t﹣3）是该平面内任意一点，连
12
接OE，则OE的最小值是 ．
5
41 2
【思路引领】根据点E（4t+8，﹣3t﹣3），表示出OE，再利用(x+ ) ≥0求出OE2最小值，即可解
25
题．
【解答】解：∵点E（4t+8，﹣3t﹣3），
∴OE2＝（4t+8）2+（﹣3t﹣3）2，
41 2 144
整理得OE2＝25t2+82t+73=25(x+ ) + ，
25 25
41 2
∵(x+ ) ≥0，
25
41 2
∴25(x+ ) ≥0，
25
41 2 144 144
∴25(x+ ) + ≥ ，
25 25 25
144
∴OE2有最小值为 ，
25
12
即OE的最小值为 ，
512
故答案为： ．
5
【总结提升】本题考查利用勾股定理求两点间得距离，以及平方式非负，熟练掌握勾股定理是解答本题
的关键．
【总结提升】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
考点6：勾股定理综合题
30．（2023秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰
7
三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 3 或 或 2 ．
6
【思路引领】分三种情况讨论：①当AD＝AB时，容易得出CD的长；②当AD＝BD时，设CD＝x，
则AD＝x+3，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当BD＝AB时，由勾股定理求出AB，即可得出
CD的长．
【解答】解：分三种情况：
①如图1所示：
当AD＝AB时，
由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；
②如图2所示：当AD＝BD时，
设CD＝x，则AD＝x+3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
（x+3）2＝x2+42，
7
解得：x= ，
6
7
∴CD= ；
6
③如图3所示：
当BD＝AB时，
在Rt△ABC中，AB=❑√BC2+AC2=❑√32+42=5，
∴BD＝5，
∴CD＝5﹣3＝2；
7
综上所述：CD的长为3或 或2．
6
7
故答案为：3或 或2．
6
【总结提升】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
31．（2023•前郭县二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为❑√5、❑√10、❑√13．
【思路引领】（1）、（2）根据勾股定理画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
【总结提升】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等
于斜边长的平方是解答此题的关键．
32．（2023秋•中牟县期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸
片，进行如下操作：
操作一：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如图①，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落
在斜边AB上，点C与点E重合，请求出CD的长；
操作二：如图②，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，在BC边上取一点P，将△DPC沿直线DP折
叠，点C恰好与AB边上的点E重合，求BP的长．【思路引领】（1）求出AB=❑√32+42=5，BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝x，可得：x2+22＝（4﹣x）2，即
可解得答案；
（2）求出AE=❑√DE2−AD2=8，BE＝AB﹣AE＝2，设BP＝x，可得x2+22＝（6﹣x）2，即可解得BP
8
的长为 ．
3
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=❑√32+42=5，
由翻折可得，AE＝AC＝3，CD＝DE，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
设CD＝x，则DE＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△DBB中，∠DEB＝90°，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，
3
解得：x= ，
2
3
∴CD= ；
2
（2）在长方形ABCD中，DC＝AB＝10，AD＝BC＝6，
根据折叠的性质得，DE＝DC＝10，
在Rt△ADE中，∠A＝90°，
根据勾股定理可得，AE=❑√DE2−AD2=8，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
设BP＝x，则PE＝PC＝6﹣x，
在Rt△BPE中，∠B＝90°，
∴x2+22＝（6﹣x）2，8
解得x= ，
3
8
∴BP的长为 ．
3
【总结提升】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾
股定理列方程．
33．（2023秋•榕城区期末）如图①，已知△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝
EC，按照图①的位置摆放，直角顶点C重合．
（1）写出AD与BE的关系；
（2）如图②，点A、D、E在同一直线上时，若CD=❑√2，BE＝3，求AB长为 ❑√34 ；
（3）如图③，若∠CBD＝45°，AC＝6，BD＝3，求BE的长．
【思路引领】（1）结论：AD和BE的关系是垂直且相等．如图①中，延长AD交BE于点G．证明
△ACD≌△BCE（SAS），可得结论．
（2）利用全等三角形的性质以及勾股定理，解决问题即可．
（3）利用勾股定理求出AD，再证明BE＝AD即可．
【解答】（1）结论：AD和BE的关系是垂直且相等．
理由：如图①中，延长AD交BE于点G．
∵△ACB和△DCB为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ACD和△BCE中，{
AC=CE
)
∠ACD=∠BCE ，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠AFC＝∠BFG，
∴180°﹣∠CAD﹣∠AFC＝180°﹣∠CBE﹣∠BFG，
∴∠BGA＝∠FCA＝90°，
∴AD⊥BE，
∴AD和BE的关系是垂直且相等
（2）解：如图②中，设AE交BC于O．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，DC=CE=❑√2，
∴DE=❑√2CD=2，
∵AD＝BE＝3，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝3，
∴AB=❑√AE2+BE2=❑√34．
故答案为：❑√34．
（3）解：如图③中，连接AD，∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，AB=6❑√2，
∵∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴AD=❑√AB2+BD2=❑√(6❑√2) 2+32=9，
∴在△ACD和△BCE中，
{
AC=CE
)
∠ACD=∠BCE ，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴BE＝9．
【总结提升】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找
全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
34．（2023春•信丰县期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB
＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B
运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【思路引领】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE=❑√BC2+CE2=5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
5
解得，t= ，
3
5
∴当t＝7或 时，△BPE为直角三角形．
3
【总结提升】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为
c，那么a2+b2＝c2．
