阶段检测二：基本初等函数（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

阶段检测（二） 基本初等函数 考试范围：基本初等函数；考试时间：150分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共8小题） 1．已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若 为偶函数，且 （2） ，则 A．5 B．4 C．3 D．0 【解答】解： ， 以 为对称中心，且 （1） ， ，即 ， 为偶函数，以 轴为对称轴， ，即 ， 由 知， ， ， ， 从而 ，即 ， 的周期为4， 的周期为4， 故 （2） （1） ． 故选： ． 2．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 ， ， 则 A．0 B． C．1 D．【解答】解：因为 是定义在 上的奇函数，且满足 ， 所以 ， ， 则 ，即 ， 则 ， 即 是以4为周期的周期函数， 又 ，当 时， ， 所以 （3） （1） ． 故选： ． 3．已知函数 的定义域是 ，函数 的图象的对称中心是 ，若对任意的 ， ， 且 ， 都 有 成 立 ， （ 1 ） ， 则 不 等 式 的解集为 A． ， ， B． C． ， ， D． ， ， 【解答】解：因为 是 向左平移1个单位长度得到，且函数 的图象的对 称中心是 ， 所以 的图象的对称中心是 ，故 是 上的奇函数，所以 （1） ，对任意的 ， ，且 ，都有 成立， 所以 ， 令 ，所以根据单调性的定义可得 在 上单调递增， 由 是 上的奇函数可得 是 ， ， 上的偶函数 所以 在 上单调递减， 当 时，不等式 得到 ，矛盾； 当 时， 转化成 即 （1）， 所以 ； 当 时， 转化成 ， ，所以 ， 综上所述，不等式 的解集为 ， ， ． 故选： ． 4．设 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且当 ， 时， ，则在区间 ， 内关于 的方程 的 根的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ， ， 即 ，即函数的周期是4．当 ， 时， ， ， 此时 ， 即 ， ， ． 由 得： ， 分别作出函数 和 图象如图： 则由图象可知两个图象的交点个数为4个， 即方程 的根的个数为是4个． 故选： ． 5．游戏 一共有20波，你在一波结束时每有 点“收获”便获得 点材料和经验， 获得材料和经验后，你的收获增加 ，每波获得的经验都可以以 的比例转化为收获， 每波材料的通货膨胀率为 ，若你一开始拥5点收获，则20波结束时，你能获得的材料 真实收益约为 ， ， ， ， A．445 B．447 C．449 D．451 【解答】解：设第 波时收获为 ，则易知 ， 则数列 构成公比是1.25的等比数列，首项 ， 则 ， 每波材料的通货膨胀率为 ，第 波时收获的真实收益为 ， 由题意知20波结束时，你能获得的材料真实收益约为 ， 又设 ，则 ， ， 即 ， 即 ，则 ，即 ， 注意到 ， 故 ． 故选： ． 6．设 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：由题知 ， ， ， 因为 在定义域内单调递减， 所以 （3） （1）， 即 ， 因为 在定义域内单调递增， 所以 ， 即 ， 因为 在定义域内单调递增，所以 （1） （2） ， 即 ， 综上： ． 故选： ． 7．已知 ， ， ， ， ，2，3， ，使 恒成立的有序数对 有 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【解答】解：因为 ， ， 所以 的定义域为 ， 要想 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立， 恒成立， 设 ， ， 则 ， 所以当 时， （3） ， 使 恒成立的 可取1， 所以当 时， （1） ， 使 恒成立的 可取1，2，3， 所以 一共有 ， ， ， 共4种． 故选： ． 8．若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是A． ， ， B． ， C． ， ， D． ， 【解答】解：由对数函数的定义可知， 且 ， 当 时， 单调递增， ，故 因为 ，则 ， 所以 ，解得 ， 与 求交集，得到 ， 当 时， 单调递减， ，故 ， 由于当 时， ，故此时无解， 综上：实数 的取值范围是 ， ． 故选： ． 二．多选题（共4小题） 9．已知函数 ，且 的对称中心为 ，当 ， 时， ， 则下列选项正确的是 A． 在 上单调递减 B． 的最小值是 C． 在 上的函数值大于0 D． 的图像关于直线 对称 【解答】解：根据 可得 为偶函数，对称中心为 ，可知 的图象 关于 对称， 结合 ， 时， ，可画出 的部分图象如下：由图象可知： 的最小值是 ， 在 上单调递增， 的图像关于直线 对称， 在 上的函数值小于0， 故 不正确， 正确． 故选： ． 10．对于两个均不等于1的正数 和 ，定义： ， ，则下列结论 正确的是 A．若 ，且 ，则 B．若 ，且 ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 【解答】解：选项 ：当 时， ，即 ，即 ； 当 时， ，即 ，即 ． 综上，当 时， 或 ，则 错误； 选项 ：由 及 ，得 ，即 ， 即 ，即 或 ，即 或 ．由 ，得 ，从而可 得 ，则 正确；选项 ：若 ，则 ， 而由 ，得 ，所以 成立，则 正确； 选项 ：由指数函数 是减函数，且 ，可得 ； 由幂函数 是增函数，且 ，可得 ，于是 ， 所以 ，同理 ， ， 所以 ，则 错误． 故选： ． 11．已知函数 ，若关于 的方程 有5个 不同的实根，则实数 的取值可以为 A． B． C． D． 【解答】解：作出函数 的图象如下： 因为关于 的方程 有5个不同的实根， 令 ，则方程 有2个不同的实根 ， ， 则△ ，解得 或 ， 若 ，则 或 ， 令 ， 或 ，解得 ，得 ； 当 时解得 ，此时 ，解得 ， ，不符合题意，故舍去， 综上可得 ． 故选： ． 12．设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，当 ， 时， ，若方程 ， 在 ， 上恰有5个实数解，则 A． 的周期为4 B． 在 ， 上单调递减 C． 的值域为 ， D． 【解答】解：对于 ，因为 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称， 所以 ， ， 则 ，则函数 的周期为4，选项 正确； 对于 ，当 ， 时， ，可得 在 ， 上单调递增，则函数 在 ， 上单调递增，选项 错误； 对于 ， ， （2） ，故 的值域为 ， ，选项 错误；对于 ，作出函数 与 的图象如下所示， 由图可知，要使 与 在 ， 上恰有 5 个实数解，则需 ，即 ， 解得 ，选项 正确． 故选： ． 三．填空题（共4小题） 13．已知函数 ， ， ，其中 ， ，若 的最小值为2， 则实数 的取值范围是 ． 【解答】解：①当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 在 ， 上单调递增， ，则 ， ， ， ， ， ， ，或 或 ， ； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，即 ， ； ②当 时， 在 ， 上单调递增， ， ， ，因此 满足题意； 综上， 的取值范围为 ． 故答案为： ． 14．函数 ，当 时， ，则 的取值范围为 ． 【 解 答 】 解 ： 函 数 ， 当 时 ， 不 等 式 可 化 为 ； 设 ， ， 则 在 上为增函数，且 （b） ， 当 时， ，则有 时， ，当 时， ， 即 必过点 ， 则 （b） ，解得 ， 所以 ， 则满足 的另一个零点 ， 即 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 ． 故答案为： ． 15．已知当 时，不等式 且 恒成立，则 的取值范围 是 ． 【解答】解： ， ， 当 时，不等式 恒成立，转化为 ， 即 ，而 ， ； 当 时，不等式 恒成立，转化为 ， 即 ， ， ， ．综上所述， 的取值范围是 ． 故答案为： ． 16．已知函数 ，函数 ，若 存在两个不同零点， 则 的取值范围为 或 【解答】解：作出函数 的函数图象，如图所示： 函数 存在两个不同零点，等价于方程 有2个不等的实根， 即 与 有2个不同的交点， 由图当 与 图像相切满足题意， 此时 有两个相等实根，则△ ， 解得 ， 又由图，当 ，即 时满足题意， 综上所述， 的取值范围为 或 ． 故答案为： 或 ． 四．解答题（共6小题） 17．已知函数 ．（1）求函数 的定义域； （2）若 （a） ，求实数 的值； （3）若 ，求证： 为偶函数，并求 的解集． 【解答】解：（1）要使得 有意义，只需 ，得 ，故得 ， 所以函数 的定义域为 ； （2）因为 （a） ，得 ，即 ，解得 ； （3）因为 ， 由 ，得 或 ，则 的定义域为 ， ， ， 又 ，所以 为偶函数； 由 ，得 ，则 ，所以 或 ， 所以 的解集为 或 ． 18．已知函数 是定义在 上的奇函数． （1）求 的值，判断函数 的单调性并用定义证明； （2）若 ，解关于 的不等式： ． 【解答】解：（1） 是定义在 上的奇函数， （1）， ， 当 时， ，经检验此时 为奇函数符合题意， 函数单调递减，证明如下：任取 ， 且 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 在 上单调递减； （2） 在 上单调递减， ， ，即 ， ， ， 当 ，则 ；当 ，则 ， 综上，当 时， ；当 时，则 ． 19．（1）已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； （2）已知函数 ，集合 ，若任意的 ，总存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得 ， 由对勾函数的性质可知 在 ， 上单调递减，所以 ； 由指数的性质可知 在 ， 上单调递增， 所以 （2） ， 所以 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ， ； （2）由题意可知 ， 又因为 图象开口向上，对称轴为 ， 当 时，函数 在 ， 上为增函数， 则 ， （2） ， 由 ，解得 ； 当 时， 在区间 ， 上为减函数，在 ， 上为增函数， （a） ， （2） ， 由 ，解得 ； 当 时，函数 在区间 ， 上为减函数，在 ， 上为增函数， （a） ， ， 由 ，解得 ； 当 时， 在 ， 上单调递减，所以 （2） ， ， 由 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 ， ， ． 20．已知函数 ． （1）证明：对任意 ，总存在 ，使得 对 恒成立． （2）若不等式 对 ， 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）证明： 的定义域为 ， 因为 在 上为增函数， 在 上为增函数， 所以 在 为增函数， 因为 ， （1） ， 所以 在 内存在唯一的零点 ， 所以当 时， ． 故对任意 ，总存在 ，使得 对 恒成立． （2）由 ，得 ． 设函数 ， 为关于 的二次函数． 因为 对 ， 恒成立，由图可知 ，即 ， 设函数 ， 在 上为增函数， 在 上为增函数， 则 在 上为增函数， 因为 （1） ，所以不等式 的解集为 ， 而当 时， 显然成立， 所以 的取值范围为 ． 21．若函数 在 ， 时，函数值 的取值区间恰为 ，则称 ， 为 的 一个“倒域区间”．定义在 ， 上的奇函数 ，当 ， 时， ． （1）求 在 ， 上的解析式； （2）求 的“倒域区间”． 【解答】解：（1）定义在 ， 上的奇函数 ，当 ， 时， ， 当 ， 时， ， ， 由奇函数的定义可得 ，在 ， 上的解析式为 ； （2）由（1）得 ， 在 ， 时，函数值 的取值区间恰为 ， 其中 ，且 ， ， ，则 ， 只考虑 或 ， ①当 时，因为函数 （1） ，则 ， ， ， 函数 在 ， 上递减，且 在 ， 上递减，且 在 ， 上的值域为 ， ，解得 ， 函数 在 ， 内的“递域区间”为 ， ， ②当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， 当 ， 时， ， ， ， ，在 ， 上单调递减，则 ， 解得 ， 在 ， 内的“倒域区间”为 ， ， 综上，函数 在定义域内的“倒域区间”为 ， 和 ， ． 22．某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知 ， ，且 米，曲线段 是以点 为顶点且开口向上 的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在 、 上，且一个顶点 落在曲线段 上． （1）建立适当的坐标系，设 点的横坐标为 ，求矩形桌面板的面积关于 的函数； （2）求矩形桌面板的最大面积． 【解答】解：（1）以 为原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为 ，且 ，所以 ，即 ，故点 所在曲线段 的方程为 ， 设 ， 是曲线段 上的任意一点， 则在矩形 中， ， ， 桌面板的面积为 ， ， ； （2） ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以当 时， 有最大值， ， 矩形桌面板的最大面积为 平方米．