微专题11导数解答题之极最值问题（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年新高考数学二轮复习微专题

微专题11 导数解答题之极最值问题 【秒杀总结】 1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从 而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或 其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与 参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操 作． 【典型例题】 例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 （ 为非零常数）， 记 ， . (1)当 时， 恒成立，求实数 的最大值； (2)当 时，设 ，对任意的 ，当 时， 取得最小值，证 明： 且所有点 在一条定直线上； (3)若函数 ， ， 都存在极小值，求实数 的取值范围. 【解析】（1）由 ， ， 令 ， ， 时， ， 时 ， ∴ 在 上单调递减， 上单调递增， ∴ ， ∴ ， 即 的最大值为 ； （2） ，∴ ， ， ， ， 时， ， 当 时， ，，令 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， ∴ 时， 取得最小值， 且 ， ∴ 为 在定直线 上运动； （3） ， ， 均存在极小值， ，当 时， ， 单调递增， 不存在极小值，舍去， 当 时，令 ，且 在 上单调递减； 上单调递 增， ∴ 在 处取得极小值， ， ， ， 要使 存在极小值，则 ， 此时 ，∴ 在 上有唯一的零点 ， 且当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， ∴ 存在极小值， 当 时，考察 极值情形， ， 令 ，则 ， 当 或 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递增； 上单调递减； 上单调递增， 因为 ，所以 ， ， ，∴ 在 上有唯一的零点 ， 且当 时， ， ， 单调递减； 当 时， 单调递增， ∴ 在 处取得极小值，符合条件， 综上：实数 的取值范围为 . 例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数 (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论函数 的单调区间； (3)设 ，若函数 在区间 上存在极值点，求 的取值范围. 【解析】（1）若 ,函数 的定义域为 , 则曲线 在点 处切线的斜率为 ， 而 ,则曲线 在点 处切线的方程为 . （2）函数 的定义域为 ， ， ①当 时,由 ,且此时 , 可得 ， 令 ,解得 或 ,函数 为减函数， 令 ,解得 ，且 , 所以当 时，函数 为增函数， 所以函数 的单调减区间为 ， 单调增区间为 ②当 时,函数 的单调减区间为 ，无单调增区间， 当 时,函数 的单调减区间为 , ，无单调增区间， 当 时,由 ,所以函数 的单调减区间为 . 即当 时，函数 的单调减区间为 ，无单调增各区间，③当 时,此时 .令 , 解得 或 ,但 , 所以当 , 时,函数 为减函数; 令 ,解得 ,函数 为增函数. 所以函数 的单调减区间为 ， 函数 的单调增区间为 ， 综上所述， 时，单调减区间为 ， 单调增区间为 时，单调减区间为 ，无单调增各区间， 时，单调减区间为 ， 单调增区间为 . （3）①当 时,由（2）问可知,函数 在 上为减函数, 所以不存在极值点; ②当 时,由（2）可知, 在 上为增函数, 在 上为减函数. 若函数 在区间 上存在极值点,则 , 解得 或 , 所以 . 综上所述,当 时,函数 在区间 上存在极值点. 例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数 . (1)若 ，求证；函数 的图象与 轴相切于原点； (2)若函数 在区间 ， 各恰有一个极值点，求实数 的取值范围. 【解析】（1）证明：因为 ， ， ； 又 ， 所以 ，所以在点 处的切线方程为 ，所以函数 的图象与 轴相切于坐标原点. （2）先证明不等式 恒成立， 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ， 故 在 处取得极小值，也是最小值， 故 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， ，令 ， ，令 ， ， 当 时， ， 故 在 上为减函数，因为 ，所以当 ， 即 时， ， 所以 为增函数，故 ， 所以 为减函数，故函数 在 无极值点； 当 时，当 ，因为 为减函数， ， ， 故必存在 ，使得 ，当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数，而 ，故 ， 又因为 所以必存在 ， ，且当 ， ， 为减函数， 当 ， ， 为增函数，故 在区间 上有一个极小值点 ， 令 ， 因为 ，所以 在 上单调递增，又因为 ， ，所以总存在 使 ， 且当 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 当 ， ，且 ， 故必存在 ，使得 ， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数， 因为 ，所以当 ， ，即 ， 又因为 ， 故存在 ，使得 ， 且当 ， ， 为减函数， 当 ， ， 为增函数， 故 在区间 有一个极小值点 ， 所以若函数 在区间 ， 各恰有一个极值点， 综上：实数 的取值范围是 . 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若函数 有两 个极值点 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围. 【解析】 的定义域为 ， 令 ， 又因为函数 有两个极值点 ， 有两个不等正实数根 ， 由于 ，二次函数 图象对称轴为 ， ，且 ， 从而 ，由不等式 恒成立,可得 恒成立， ， 令 ， ， 当 时， ，故 恒成立， 所以函数 在 上单调递减， ， 故 ， 故实数 的取值范围是 ， 例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx ﹣1（a∈R）． (1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性： (2)若函数f（x）恰有两个极值点x，x（x＜x），且x+x≤2ln3，求 的最大值． 1 2 1 2 1 2 【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ， 当a≤0时， 恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当0＜a≤e时，令 ，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则 ， 易知，当0＜x＜lna时， ，g（x）单调递减， 当x＞lna时， ，g（x）单调递增， ∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0， ∴ ， 在（0，+∞）上单调递增； 综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）依题意， ，则 ， 两式相除得， ，设 ，则t＞1，x＝tx ， ， 2 1 ∴ ， ， ∴ ，设 ，则 ， 设 ，则 ， ∴ 在（1，+∞）单调递增，则 ， ∴ ，则h（t）在（1，+∞）单调递增， 又x+x≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3， 1 2 ∴t∈（1，3]，即 的最大值为3． 例6．（2023·重庆·统考一模）已知函数 ，设 为 的 导函数 ． (1)讨论 的零点个数； (2)当 时，记 的最小值为 ，求 的最大值． 【解析】（1）因为函数 ,所以 所以 , 当 时, ,所以 在 上单调递减; 当 时, ,所以 在 上单调递增; 所以 当 时, ,所以 恒成立,所以 零点的个数为0个. 当 时, ,所以 零点的个数为1个 当 时, 且 ， 若 ，则 ， 而当 时， ， 所以 零点的个数为1个 当 时, 且 ， 设 ，则 ，当 时， ，当 时， ， 故 在 上为减函数，在 上为增函数， 故 . 所以当 时， ， 而当 时， ， 由零点存在定理可得此时 零点的个数为2个 （2）当 时,由(1)知 有唯一零点 , 即有 ,即 . 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. 则 令 当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减; 所以 ,即 例7．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 . (1)若函数 在定义域上单调递增,求 的最大值; (2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ,若 ,求 的最大值. 【解析】（1）解:由题知, , 因为 在定义域上单调递增, 所以 在 上恒成立, 即 在 上恒成立, 记 , 即 , 因为 , 所以当 时, , 单调递减, 当 时, , 单调递增, 故 , 故 , 即 的最大值为2; （2）因为 在定义域上有两个极值点 和 , 即 在定义域上有两个不相等的实根 和 , 故有 , 即 有两个不相等的实根 和 , 即 , 移项可得: , 因为 ,所以 , 令 , 联立 , 解得 , 所以 , 解得 ,所以 , 令 , , 所以 , 令 , ,所以 , , 所以 在 上单调递减,所以 , 因为 , 即 , 在 上单调递减, 所以 ,即 在 恒成立, 当 时, ,即 ,即 在 上单调递减, 所以 , 即 ,故 , 所以 的最大值为 . 例8．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知 ． (1)求证： 恒成立； (2)令 ，讨论 在 上的极值点个数．【解析】（1）证明：由 ,得 的定义域为 , , 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减, ∴ ，即 恒成立. （2） ， , , ①当 , 单调递增， 单调递减, 所以 在 上单调递增， 又 ， , 所以在 上 有一个变号零点 故 在 上有一个极值点； ②当 时， ， ，所以 ， 此时单调递增， 在这一区间内无极值点； ③当 ，令 ， ， 又 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，又 ， ， 所以存在 使得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ，所从 在 有1个变号零点， 所以 有1个极值点；④当 时， ，函数单调递增， 所以 这一区间内无极值点， 结合③④可知 也是 的一个极值点， 综上 在 上有3个极值点. 【过关测试】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中a为 大于0的常数，若 ． (1)讨论 的单调区间； (2)若 在 取得极小值，求 的最小值． 【解析】（1） ， 求导 ， 由 ，令 ，得 ， ①当 时， ， 当 和 时， ，所以 在 和 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减； ②当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，所以 在R上单调递增； ③当 时， ， 当 和 时， ，所以 在 和 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 综上，当 时， 在R上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； （2）由（1）知，当 时，不符合题意； 当 时， 在 处取得极小值，即 ，则 ，其中 令 ，即求 求导 令 ，得 ，即 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增； 故 在 处取得极小值，即最小值 所以 的最小值为 . 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)若 ，求函数 的所有零点； (2)若 ，证明函数 不存在极值． 【解析】（1）当 时， ， 函数 的定义域为 ， 且 设 ， 则 ． 当 时， ；当x＞1时， ， 即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时， （当且仅当 时取等号）． 即当 时， （当且仅当 时取等号）． 所以函数 在 单调递增，至多有一个零点． 因为 是函数 唯一的零点． 所以若 ，则函数 的所有零点只有1．（2）证明：因为 ， 函数 的定义域为 ，且 ． 当a 时， ， 由（1）知 ． 即当 时， ， 所以 在 上单调递增． 所以 不存在极值． 证法2：因为 ， 函数 的定义域为 ，且 设 ， 则 ． 设 ，则 与 同号． 当 时，由 ， 解得 ． 可知当 时， ，即 ，当 时， ，即 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 由（1）知 ． 则 所以 ，即 在定义域上单调递增． 所以 不存在极值． 3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 (1)当 时，求f（x）的单调递增区间： (2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证： .【解析】（1）函数 的定义域为 ， 当 时， ， ，令 或 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 所以函数的单调递增区间为 和 ； （2） ， 因为函数 恰有两个极值点， 所以方程 有两个不相等的实根，设为 且 ， 当 时，函数 图象关于直线 对称， 则 ，即 ， 因为 ，所以 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 所以 分别是函数的极大值点和极小值点， 即 ， ， 于是有 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，而 ， 所以 ， 设 ， ， 则 ，令 或 ， 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 所以当 时，函数有最小值，即 ， 因此有 ，即 . 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为常数 ，且 在定义 域内有两个极值点. （1）求 的取值范围； （2）设函数 的两个极值点分别为 ，求 的范围. 【解析】(1)函数 的定义域为 ， ， 因 在定义域内有两个极值点，则 有二不等的正实根 ， 从而得 ，解得 ， 所以 的取值范围是 ； (2)由(1)知 ，而 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， 从而得 在 上单调递增，即有 ， 的值域是 ， 所以 的范围是 . 5．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ． (1)当 时，求函数 的极值； (2)设函数 ，若 有两个零点 ， ，且 为 的唯一极值点， 求证： ． 【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， ，所以 在区间 递减；在区间 递增. 所以 的极小值为 ，无极大值. （2） ， 当 时， 在 上恒成立， 在 上递增，不符合题意. 当 时， 在区间 递减； 在区间 递增. 所以 的极小值点为 ， ， 要使 有两个零点，则 ， ， 则 ， 对于函数 ， 所以 在区间 递减；在区间 递增. 所以 ，所以 在 上恒成立. 则 ， 所以不妨设 ， 由 ，得 ， 令 ， 即 ，整理得 ， 要证 ，即证 ，即证 ，即证 ， 即证 ，即证 . 设函数 ， ， 所以函数 在 上递增，所以 ， 所以 ， 所以 . 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ． (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时，设 ， ，函数 有两个极值点 ． ①求m的取值范围； ②若 ，求 的取值范围． 【解析】（1） ， 当 时， 或 时， ， 时， ， 所以 的增区间是 ， ，减区间是 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， 或 时， ， 时， ， 所以 的增区间是 ， ，减区间是 ； （2）① ，因为函数 有两个极值点 ， 所以 有两个变号零点，令 ，则 ， 当 时， ， 单减， 当 时， ， 单增， 所以函数 在 上递减，在 上递增， 当 时， ，当 时， ， 所以只需 即可， 所以 ； ②由已知 ， 则 ，令 ，得 ， ， 令 ， ，则 ， 令 ，则 ， 所以函数 在 上递增，又因为 ， 所以当 时， ，即 ，所以函数 在 上递增， 由洛必达法则 ， ， 所以 的范围是 . 7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数 有两 个极值点 ， . (1)求实数 的取值范围； (2)求证： . 【解析】（1）由于 ，则 . 设 ，则 ，令 ，解得 . 所以当 时， ；当 时， ，所以①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，没有极值点. ②当 时， ， ， 此时， 有两个零点 、 ，不妨设 ，则 , 所以函数 有2个极值点时， 的范围时 . （2）由（1）知， 、 为 的两个实数根，不妨设 ，则 ， 在 上单调递减. 下面先证 ，只需证 . 由于 ，所以 ， 所以 . 设 ，则 ， 所以 在 上单调递减，所以 ， ， 所以 . 由于函数 在 上单调递减，所以 . 要证 ，只需证 ，即证 . 设函数 ,则 . 设 ，则 , 所以 在 上单调递增， ，即 . 所以 在 上单调递增， . 故当 时， ,则 , 所以 ,即 8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . (1)若函数 有两个极值 （i）求实数 的取值范围； （ii）求 极大值的取值范围. (2)对于函数 ，都有 ，则称 在区间 上是凸函数.利用上述定义证明，当 时， 在 上是凸函数. 【解析】（1）（i）函数的定义域为 当 时， 有且只有一个极值点，故舍去. 当 时， ， 经检验，此时满足函数 有两个极值， 故 的取值范围是 . （ii）设 的极大值点 ，则 ， 则 ， ， ，∴ 在 上单调递增 . （2）要证 ， 代入即证 ， ， ， . 只要证： ， 即证： ， 令 ，即证 非负，， 当 时， ， 时， ， 在 递减， 递增， 结论成立. 9．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）已知实数 ，函数 ， 是自然对数的底数. (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)求证： 存在极值点 ，并求 的最小值. 【解析】（1）（1）当 时， ， 则 令 ，得 ； 令 ，得 ； 所以，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ． （2）（2） 令 ，因为 ， 所以方程 ，有两个不相等的实根 ， 又因为 ， 所以 ， 令 ，列表如下: - 0 + 减 极小值 增 所以 存在极值点 . 所以存在 使得 成立， 所以存在 使得 ， 所以存在 使得 对任意的 有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数， 记 ， 所以 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． 所以当 时， 的最小值为 ． 所以需要 ， 即需要 ， 即需要 ， 即需要 因为 在 上单调递增，且 ， 所以需要 ， 故 的最小值是e． 10．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知函数 ，其中 为实数， 是自然对数的底数． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 为 的导函数， 在 上有两个极值点，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ，则 ， 则 ， ，切点坐标为 ， 切线方程为 ，即 ． （2） ，则 ， 令 ，则 ， 由 在 上有两个极值点知 在 上有两个变号零点， ①当 时， 时， ，则函数 在 上单调递增， 不可能有两个零点，舍去；②当 时， ，令 ， 则 ， 由于 ，则 ，令 ，即 ，可得 ，即 ， 当 时， ， ，则 ， 所以， 在 上单调递增， 当 时， ，则 ，则 ， 所以， 在 上单调递减， 所以， ， 又因为 ， ， 要使 在 上有两个变号零点，则 ，解得 . 11．（2023·福建·统考一模）已知函数 ． (1)讨论 的极值点个数； (2)若 有两个极值点 ，且 ，当 时，证明： ． 【解析】（1）已知 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 所以 在 上单调增减，在 上单调递增， 则 ，①当 时， 恒成立，故 在 上无极值点； ②当 时， ，显然 ， 则 在 上有一个极值点， 又 ， 令 ， 故 在 上单调递增，又 ，则 ，则 在 上 有一个极值点， 综上，当 时，函数 没有极值点；当 时，函数 有两个极值点． （2）由（1）中知 ，则 是方程 的两根， 不妨令 ，则 ， 令 解得 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增，大致图像如图所示， 由图像可知当 时， ， ， 下先证 （*） 由 ，两边取对数得 ，作差得 ， （*）等价于证明 ， 令 ， ，故 在 上单调递增，从而 ，即证得 ， 所以 ， 再证明 ， 令 ， 故 在 上单调递减，则 ， 所以 ， 再令 ， 则 在 上单调递增， 故 ， 即证得 ． 12．（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知函数 ， ． (1)讨论函数 的单调性； (2)若 ，且当 时，函数 恰好有两个极值点，求实数 的取值 范围． 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ， 令 ， 当 时， ， ，所以 ， 在 上单调递增； 当 时， ， 的两根为 舍 ， ， 若 ， ，若 ， ， 所以 时， ， 单调递减；时， ， 单调递增， 当 时， ， 的两根为 舍 ， (舍)， ，所以 ， 在 上单调递增； 综上可知，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）当 时， ， ， 因为 ， 为 的零点， 要满足题意，则只需方程 有一个大于 且不等于 的根， 令 ， ， 所以 在 上单调递增， 因为 ， ， 所以 或 ， 即 或 ， 所以，实数 的取值范围是 . 13．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 ，且 在区间 上有极值，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当 时， ， 则 ，切点为 .，切线斜率为 ， 所以所求切线方程为 ，即 . （2） ， 令 ， 因为 ，所以 在R上单调递减； 又当 时， ， 所以 ， 又 ， 所以 ，使得 . 所以 ， 因为 ，所以 ，由题意 . 故当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减， 在 处取得极大值， . 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 而 ， 所以 ， 故实数a的取值范围为 . 14．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数 ， . (1)当 时，求 的极值；(2)当 时，设函数 的两个极值点为 ， ，证明： . 【解析】（1）当 时， ， 则 令 ，得 ， 列表： + 0 极大 ↑ ↓ 值 所以 ，无极小值. （2） ， 当 时，设函数 的两个极值点为 ， 所以 ， 是方程 的两 根， 则 ， ， 不妨设 ，则要证： ，只要证： 只要证： 只要证： 只要证： 只要证： 令 ， ， ，即证： ， 因为 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 ，得证. 15．（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； (2)若 是函数 的极小值点，求a的取值范围． 【解析】（1） ，定义域为 ， . （ⅰ）当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调 递减； （ⅱ）当 时，令 ， 恒成立. 解 可得， （舍去）， . 当 时，有 ，所以 在 上单调递减； 当 时，有 ，所以 在 上单调递增； （ⅲ）当 时，令 ， .当 ，即 时， 恒成立，即 恒成立，所以 在 上单调递减； ②当 ，即 时，解 可得， （舍去）， （舍去）. 所以 恒成立，所以 在 上单调递减； 综上所述，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）由已知可得， ， . 显然 ，令 . ①因为 是函数 的极小值点， 所以， ， ，使得 ，有 ，则有 ， ，有 ，则有 . 若 ，则 ，此时 ，在 上有 恒成立，与前面推导结论 矛盾，所以 . 又 连续，所以必有 ，即 . 所以， 是 是函数 的极小值点的必要条件； ②当 时，显然有 ，有 连续，可知 ， ， 使得 ，有 ， 则有 ，即 在 上单调递减； ，有 ，则有 ，即 在 上单调递增. 所以， 是函数 的极小值点. 所以 是 是函数 的极小值点的充分条件. 所以，a的取值范围是 .16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 ． (1)若 是 的极值点，求a； (2)若 ， 分别是 的零点和极值点，当 时，证明： ． 【解析】（1）因为 所以 若 是函数 的极值点，则 ，即 ， 此时 设 ，则 ， ， 所以存在 ，使得当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增，当 时 ， 单调递减， 所以当 时， 是 的极值点. （2）因为若 ， 分别是 的零点和极值点，所以 ， ， ， ，所以 当 时， ，则 ， ，即 ， ， 因为 所以当 即 时， 成 立， 当 时，若 ，则只需证明 ， 设 ，则 ， 设 ， 则 为增函数，且 ，所以存在唯一 ，使得 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 故 ， 所以 ， 单调递增， 所以 ， 等价于 . 设 ，则 当 时，若 时， ， ， 单调递减， 所以当 ， ，所以当 时 成立， 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递增，所以当 时， ， 即 ， 成立. 综上，若 ， 分别是 的零点和极值点，当 时，有 . 17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)若 是 的一个极值点，求 的极值； (2)设 的极大值为 ，且 有零点，求证： ． 【解析】（1） ， ，解得： ； 当 时， ， ； 令 ，则 ， 在 上单调递减，又 ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， 的极大值为 ，无极小值. （2） ；令 ，则 ， 令 得： ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， ， ； ， ， ，使得 ，即 ； 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， 的极大值，即最大值为 ， 有零点， 有解，即 有解， ，又 ， . 18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)若 在 处的切线与 轴平行，求 的值； (2) 有两个极值点 ，比较 与 的大小； (3)若 在 上的最大值为 ，求 的值． 【解析】(1) ， 由 ，解得 ， 当 时， ， ，符合题意； 当 时， ， ，此时切线与x轴重合，不符合题意； 所以 ； (2)由（1）知： ，令 可得 或 ，则 在 单增，在 上单减，则 是 的两个极值点， 不妨设 ， 则 ， ， 又 ，即 ； (3)由（2）知： 在 单增，在 上单减. 当 时， ，则 在 上单增，则 ，解得 或 ，故 ； 当 时， ，则 在 上单增，在 上单减， 则 ，解得 ，不满足 ，不合题意； 当 时， ，则 在 上单减，则 ， 不合题意； 当 时， ，则 在 上单减，在 上单增，则 ， 若 ，则 ，解得 或 ，不满足 ，不合题意， 若 ，则 ，解得 或 ，不满足 ，不合 题意； 当 时，则 在 上单增，则 ，解得 或 ，故 ； 综上： 或 . 19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . (1)当 时，求函数 的单调递增区间； (2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围. 【解析】（1）当 时，函数 ，其定义域为 ， 可得 ，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2）由 ， 可得 ， 设 ，则 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上，单调递减， 且 ， 显然 ， 若 在 上存在极值，则满足 或 ，解得 ， 综上可得，当 时， 在 上存在极值， 所以实数 的取值范围为 .