微专题3 抽象函数与嵌套函数
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用,难度中档偏上; 2.以选择题、填
空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等,难度中档或偏上.
【真题体验】
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R 的奇函数f(x)在(－∞,0)单调递减,且f(2)＝0,则满足xf(x－1)≥0 的
x 的取值范围是( )
A.[－1,1]∪[3,＋∞)
B.[－3,－1]∪[0,1]
C.[－1,0]∪[1,＋∞)
D.[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数,所以f(0)＝0.
又f(x)在(－∞,0)上单调递减,且f(2)＝0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x－1)的大
致图象如图(2)所示.
当x≤0 时,要满足xf(x－1)≥0,
则f(x－1)≤0,得－1≤x≤0.
当x>0 时,要满足xf(x－1)≥0,
则f(x－1)≥0,得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0 的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3].故选D.
2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x).若f(
3
2 −2 x)
,g(2＋x)均为偶函数,则( )
A.f(0)＝0
B.g(−1
2)＝0
C.f(－1)＝f(4)
D.g(－1)＝g(2)
答案 BC
解析 法一(转化法) 因为f(
3
2 −2 x),g(2＋x)均为偶函数,
所以f(
3
2 −2 x)＝f(
3
2 ＋2 x),
即f(
3
2 −x)＝f(
3
2 ＋x),
g(2＋x)＝g(2－x),
所以f(3－x)＝f(x),g(4－x)＝g(x),
则f(－1)＝f(4),故C 正确;
函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x＝3
2,x＝2 对称,
又g(x)＝f'(x),
所以g(
3
2)＝0,g(3－x)＝－g(x),
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x),
所以g(x＋4)＝－g(x＋3),
所以g(x＋2)＝－g(x＋1),
所以g(x＋1)＝－g(x),
所以g(x＋2)＝g(x).
所以g(−1
2)＝g(
3
2)＝0,
g(－1)＝g(1)＝－g(2),故B 正确,D 错误;
若函数f(x)满足题设条件,
则函数f(x)＋C(C 为常数)也满足题设条件,
所以无法确定f(0)的函数值,故A 错误.
法二(构造函数法) 令f(x)＝1－sin πx,
则f(
3
2 −2 x)＝1＋cos 2πx,
则g(x)＝f'(x)＝－πcos πx,g(x＋2)＝－πcos(2π＋πx)＝－πcos πx,满足题设条件,可得只有选项B,C
正确.
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y),则( )
A.f(0)＝0
B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数
D.x＝0 为f(x)的极小值点
答案 ABC
解析 取x＝y＝0,则f(0)＝0＋0＝0,故A 正确;
取x＝y＝1,则f(1)＝f(1)＋f(1),
所以f(1)＝0,故B 正确;
取x＝y＝－1,则f(1)＝f(－1)＋f(－1),
所以f(－1)＝0;
取y＝－1,则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1),
所以f(－x)＝f(x),
所以函数f(x)为偶函数,故C 正确;
由于f(0)＝0,且函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)的图象关于y 轴对称,
所以x＝0 可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,
故D 不正确.综上,选ABC.
4.(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7.若y＝
g(x)的图象关于直线x＝2 对称,g(2)＝4,则
22
∑
k=1
f(k)＝( )
A.－21
B.－22
C.－23
D.－24
答案 D
解析 由y＝g(x)的图象关于直线x＝2 对称,
可得g(2＋x)＝g(2－x).
在f(x)＋g(2－x)＝5 中,用－x 替换x,
可得f(－x)＋g(2＋x)＝5,
可得f(－x)＝f(x).
在g(x)－f(x－4)＝7 中,用2－x 替换x,
得g(2－x)＝f(－x－2)＋7,
代入f(x)＋g(2－x)＝5 中,
得f(x)＋f(－x－2)＝－2,
可得f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2,
所以f(x＋4)＝f(x),
所以函数f(x)是以4 为周期的周期函数.
由f(x)＋g(2－x)＝5 可得f(0)＋g(2)＝5,
又g(2)＝4,所以可得f(0)＝1,
又f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(0)＋f(2)＝－2,
f(－1)＋f(1)＝－2,
得f(2)＝－3,f(1)＝f(－1)＝－1,
又f(3)＝f(－1)＝－1,f(4)＝f(0)＝1,
所以
22
∑
k=1
f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.
【热点突破】
热点一 抽象函数
研究抽象函数性质的方法有
(1)用赋值法研究抽象函数;
(2)利用数形结合法研究抽象函数;
(3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数.
考向1 赋值法研究抽象函数
例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(0)＝1,且对任意x,y∈R 都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2,则
f(1)＝ ;f(2 026)＝ .
答案 2 2 027
解析 令x＝y＝0,得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.
令y＝1,则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2
＝2f(x)－x,即f(x＋1)＝2f(x)－x.①
又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2,
令y＝1 代入,
得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2,
即f(x＋1)＝f(x)＋1.②
联立①②得f(x)＝x＋1,
所以f(1)＝2,f(2 026)＝2 027.
考向2 数形结合法研究抽象函数
例2 已知定义在R 上的函数f(x),g(x),其中f(x)满足f(－x)＝f(x)且在(0,＋∞)上单调递减,函数g(x)
满足g(1－x)＝g(1＋x)且在(1,＋∞)上单调递减,设函数F(x)＝1
2[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|],则对任意
x∈R,均有( )
A.F(1－x)≥F(1＋x)
B.F(1－x)≤F(1＋x)
C.F(1－x2)≥F(1＋x2)
D.F(1－x2)≤F(1＋x2)
答案 C
解析 由题意,定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x),
则f(x)为R 上的偶函数,且在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增,
又函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x),
则函数g(x)关于直线x＝1 对称,且在(1,＋∞)上单调递减,在(－∞,1)上单调递增,
又F(x)＝1
2[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]＝{
f ( x),f ( x)≥g( x),
g( x),f ( x)<g( x),
作出函数F(x)大致图象如图:
∵1＋x2与1－x2关于x＝1 对称,结合函数图象可得F(1－x2)≥F(1＋x2),故选C.
考向3 利用函数性质之间的关系推理论证
例3 (多选)(2025·保定检测)已知f(x＋1)是奇函数,f(x)的图象关于直线x＝－1 对称,则下列结论正
确的是( )
A.f(x)是周期为4 的周期函数
B.f(x－5)为偶函数
C.f(x)的图象关于点(－3,0)对称
D.f(5)＝0
答案 BCD
解析 对于A,由题知f(x＋1)为奇函数,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
则f(－x)＋f(2＋x)＝0,①
因为f(x)的图象关于直线x＝－1 对称,
所以f(－x)＝f(－2＋x),②
将②代入①可得f(－2＋x)＋f(2＋x)＝0,
将x 换为2＋x 代入上式有f(x)＋f(x＋4)＝0,③
再将x 换为x＋4 代入③式有f(x＋4)＋f(x＋8)＝0,④
由④－③可得f(x)＝f(x＋8),
所以f(x)是周期为8 的周期函数,
同时,由③知f(x＋4)＝－f(x),故A 错误;
对于B,因为f(x)的图象关于直线x＝－1 对称且周期为8,
所以f(－x－5)＝f(3＋x)＝f(x－5),
所以f(x－5)为偶函数,故B 正确;
对于C,由f(－x＋1)＝－f(x＋1)及f(x)的周期为8,可知f(－x－3)＝－f(x＋5)＝－f(x－3),
所以f(x)的图象关于点(－3,0)对称,故C 正确;
对于D,因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0,
取x＝0 可得f(1)＝0,所以f(5)＝f(－3)＝f(1)＝0,故D 正确.
规律方法 1.求抽象函数在特定点的函数值、最值以及解析式,或判断函数的单调性、奇偶性及周
期性,往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值,构造出所需要的条件,其中赋予的具体的值常常
起到桥梁的作用.
2.通过作草图使抽象函数形象化,根据奇偶性、周期性等性质画出示意图,摘取有效信息,结合图象
解题.
3.函数的对称轴、对称中心及周期性,三者已知其中两个可推出另外一个.
训练1 (1)(2025·南宁模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y),且当x>0 时,
f(x)>0,则( )
A.f(0)＝1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)是周期函数
(2)(多选)(2025·安徽名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心
对称,g(x)的图象关于直线x＝2 对称,f(x)－g(2＋x)＝4,g(2)＝3,则( )
A.f(－x)＋f(x)＝0
B.f(2 025)＝1
C.g(2 025)＝－1
D.
2025
∑
k=1
f(k)＝2 025
答案 (1)C (2)BD
解析 (1)对于A,令x＝y＝0,
则f2(0)＝f2(0)－f2(0),得f(0)＝0,故A 错误;
对于B,令x＝0,得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y),
由f(0)＝0 整理可得f(y)[f(－y)＋f(y)]＝0,
将y 变换为－y,
则f(－y)[f(y)＋f(－y)]＝0,
故[f(y)＋f(－y)]2＝0,
故f(－y)＋f(y)＝0,
故f(x)是奇函数,故B 错误;
对于C,设x2>x1>0,则f(x2)>0,
f(x1)>0,且f(x2＋x1)>0,f(x2－x1)>0,
则f2(x2)－f2(x1)＝f(x2＋x1)f(x2－x1)>0,
故f(x2)－f(x1)>0,则f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
又f(0)＝0,f(x)是奇函数,
∴f(x)在(－∞,0)上单调递增.
故f(x)是增函数,故C 正确;
对于D,由f(x)是增函数可得f(x)不是周期函数,故D 错误.故选C.
(2)由题意知f(x)－4＝g(2＋x),
g(2＋x)＝g(2－x),
所以f(x)－4＝f(－x)－4,
所以f(x)＝f(－x),所以A 错误;
因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,
所以f(1)＝1,f(x＋2)＋f(－x)＝2,
所以f(x＋4)＋f(－x－2)＝2,
又因为f(x＋2)＝f(－x－2),
所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x),
所以函数f(x)是以4 为周期的周期函数,
所以f(2 025)＝f(1)＝1,所以B 正确;
由g(2 025)＝f(2 023)－4＝f(－1)－4＝f(1)－4＝－3,所以C 错误;
因为f(1)＝1,且f(0)＝4＋g(2)＝7,
所以f(2)＝2－f(0)＝2－7＝－5,
f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1,
f(4)＝f(0)＝7,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4,
所以
2025
∑
k=1
f(k)＝
2024
∑
k=1
f(k)＋f(2 025)
＝506×4＋1＝2025,
所以D 正确.
热点二 嵌套函数
1.嵌套函数形式:形如f(g(x)).
2.常见的嵌套函数有两个类型:(1)嵌套函数自身互嵌型:f(f(x));(2)嵌套函数双函数互嵌型:f(g(x)).
考向1 判断零点的个数
例4 (1)已知函数f(x)＝{
|x −1|, x<2,
2( x−3)
2−1, x≥2,则方程f(f(x))＝1
2的实根个数为( )
A.4
B.8
C.10
D.12
(2)已知函数f(x)＝{
e
x , x<0,
4 x
3−6 x
2＋1, x≥0,则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2 的零点个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 (1)C (2)B
解析 (1)令f(x)＝t,则f(t)＝1
2,
画出函数f(x)的图象,如图(1)所示:
由图象可知,0<t1<1,1<t2<2,2<t3<3,t4>3,
作出f(x)＝t 的图象,如图(2)所示:
由图象可知,y＝t1,y＝t2,y＝t3,y＝t4与y＝f(x)的图象,一共有10 个交点,
即方程f(f(x))＝1
2的实根个数为10.
(2)由g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2＝0,
得f(x)＝2 或f(x)＝－1
2.
当x≥0 时,f'(x)＝12x2－12x＝12x(x－1),
所以当x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,＋∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以x＝1 时,f(x)有极小值f(1)＝4－6＋1＝－1.
又x<0 时,f(x)＝ex,
画出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图可知:函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2 的零点个数为3.
考向2 根据零点个数求参数
例5 已知函数f(x)＝{
x
2−3, x≥0,
−x＋1, x<0,若函数y＝f(f(x))－k 有3 个不同的零点,则实数k 的取值范围是(
)
A.(1,4)
B.(1,4]
C.[1,4)
D.[1,4]
答案 B
解析 当x<0 时,f(x)>0,则f(f(x))＝f(－x＋1)＝(－x＋1)2－3＝x2－2x－2,
当0≤x<√3时,f(x)<0,
则f(f(x))＝f(x2－3)＝－x2＋4,
当x≥√3时,f(x)≥0,f(f(x))＝f(x2－3)＝x4－6x2＋6,
所以f(f(x))＝{
x
2−2 x−2, x<0,
−x
2＋4 ,0≤x<√3,
x
4−6 x
2＋6, x≥√3,
当x≥√3时,y＝x4－6x2＋6＝( x
2−3)
2－3,
因为t＝x2－3 单调递增,且t≥0 时y＝t2－3 单调递增,
所以y＝( x
2−3)
2－3 在[√3,＋∞)单调递增,且ymin＝－3,
故画出函数y＝f(f(x))图象如图所示,
函数y＝f(f(x))－k 有3 个不同的零点等价于y＝f(f(x))和y＝k 有3 个不同的交点,
所以由图象可得1<k≤4.
规律方法 1.破解嵌套函数零点个数的主要步骤:
第一步:换元解套,将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题.
第二步:依次求解:令f(t)＝0 求t,代入t＝g(x)求出x 的值或判断图象交点个数.
2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”,结合性质、图象抓临界位置,确定参
数取值范围.
训练2 (1)(2025·毕节模拟)若函数f(x)＝{
−x
2−2 x＋3, x≤0,
|ln x|, x>0,
则函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6 的零点个数
为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
(2)设函数f(x)＝{
3
x＋1, x≤0,
|lo g4 x|, x>0,若关于x 的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0 恰好有六个不同的实数解,
则实数a 的取值范围为 .
答案 (1)C (2)(2√3−2, 3
2]
解析 (1)令[f(x)]2－5f(x)＋6＝0,则有f(x)＝2 或f(x)＝3,
作出函数y＝f(x)的图象,如图所示.
因为直线y＝2 与y＝f(x)的图象有3 个交点,直线y＝3 与y＝f(x)的图象有4 个交点,
所以原方程有7 个解.
(2)画出函数f(x)＝{
3
x＋1, x≤0,
|lo g4 x|, x>0 的图象如图所示,
令f(x)＝t,则方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0 可化为t2－(a＋2)t＋3＝0.
由图可知,当t∈(1,2]时,y＝f(x)与y＝t 有3 个交点,
要使关于x 的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0 恰好有六个不同的实数解,
则方程t2－(a＋2)t＋3＝0 在(1,2]内有两个不同实数根,
∴{
Δ＝(a＋2)
2−12>0,
1< a＋2
2
<2,
1
2−(a＋2)×1＋3>0,
2
2−(a＋2)×2＋3≥0,
解得2√3－2<a≤3
2,
∴实数a 的取值范围为(2√3−2, 3
2].
【精准强化练】
一、单选题
1.已知函数f(x)的定义域为R,f(－x)＝f(x),f(1－x)＝－f(x),若f(
1
5)＝1
5,则f(
16
5 )＝( )
A.－1
5
B.1
5
C.16
5
D.－16
5
答案 A
解析 由f(1－x)＝－f(x),用1＋x 代x,得f(－x)＝－f(1＋x),
又f(－x)＝f(x),所以f(1＋x)＝－f(x),得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x),
故f(x)的周期为2,所以f(
16
5 )＝f(2＋6
5)＝f(
6
5)＝f(1＋1
5)＝－f(
1
5)＝－1
5.
2.(2025·重庆诊断)已知函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)－1 为奇函数,y＝f(x＋1)为偶函数,若f(2 025)
＝2,则f(3)＝( )
A.1
B.－1
C.0
D.－3
答案 C
解析 因为函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)－1 为奇函数,
y＝f(x＋1)为偶函数,所以f(－x)－1＋f(x)－1＝0,f(－x＋1)＝f(x＋1),
所以f(－x)＋f(x)＝2,f(－x)＝f(x＋2),
所以f(x＋2)＋f(x)＝2,
所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝2,所以f(x＋4)－f(x)＝0,
即f(x＋4)＝f(x),函数f(x)的周期为T＝4,
所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2,
又f(1)＋f(3)＝2,得f(3)＝0,故选C.
3.已知f(x)为定义在R 上的奇函数,f(1)＝f(4)＝0,当0<x<2 时,f(x)单调递减,当x>2 时,f(x)单调递增,
则不等式f ( x)
x−3≤0 的解集为( )
A.(－∞,－1]∪[0,3]∪[4,＋∞)
B.[－4,－1]∪(0,1]∪(3,4]
C.(－∞,－4]∪[－1,1]∪(3,＋∞)
D.[－4,－1]∪[0,1]∪(3,4]
答案 D
解析 因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以f(0)＝0.
又f(1)＝f(4)＝0,所以f(－1)＝f(－4)＝0.
根据题意作出f(x)的大致图象如图所示,
f ( x)
x−3≤0 等价于{
x−3>0,
f ( x)≤0 或{
x−3<0,
f ( x)≥0,
由图可得x∈[－4,－1]∪[0,1]∪(3,4].
4.设函数f(x)＝{
2sin x ,0≤x≤π ,
x
2, x<0,
则函数y＝f[f(x)]－1 的零点的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 作出函数f(x)＝{
2sin x ,0≤x≤π ,
x
2, x<0
的大致图象,如图,
令t＝f(x),则函数y＝f[f(x)]－1 的零点满足f(t)－1＝0,即f(t)＝1,
所以t＝π
6 ,t＝5 π
6 ,t＝－1,
当t＝π
6 时,则f(x)＝π
6 ,结合函数y＝f(x)的图象可得f(x)＝π
6 的根有3 个;
当t＝5 π
6 时,则f(x)＝5 π
6 ,结合函数y＝f(x)的图象可得f(x)＝5 π
6 的根有1 个;
当t＝－1 时,则f(x)＝－1,结合函数y＝f(x)的图象可得f(x)＝－1 的根有0 个;
综上可得,函数y＝f[f(x)]－1 的零点的个数是4 个.
5.(2025·北京海淀区调研)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025,则下列说法
正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)＋2 025 是奇函数
D.f(x)＋2 025 是偶函数
答案 C
解析 因为f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025,
所以令x＝y＝0,可得f(0)＝－2 025,
令y＝－x,则f(0)－f(x)－f(－x)＝2 025,
所以f(－x)＝－f(x)－4 050,
则f(x)既不是奇函数也不是偶函数,
且f(－x)＋2 025＝－[f(x)＋2 025],
所以f(x)＋2 025 是奇函数.
6.(2025·西安调研)已知f(x)是定义在R 上的函数,且有f(x＋1)＝f(x)＋1,当0<x≤1 时,f(x)＝3x＋1,
则方程f(x)＝4 的根的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 f(x)是定义在R 上的函数,
且有f(x＋1)＝f(x)＋1,当0<x≤1 时,f(x)＝3x＋1,
则－1<x≤0 时,0<x＋1≤1,则f(x)＝f(x＋1)－1＝3x＋3,
1<x≤2 时,0<x－1≤1,f(x)＝f(x－1)＋1＝3x－1,
2<x≤3 时,0<x－2≤1,f(x)＝f(x－2)＋2＝3x－3,
3<x≤4 时,0<x－3≤1,f(x)＝f(x－3)＋3＝3x－5,
画出函数f(x)与y＝4 的图象,
由图象可知方程f(x)＝4 的根的个数为3.
7.(2025·九江模拟)定义在R 上的函数f(x)满足:①对任意x∈R,都有f(2＋x)＝f(1)－f(－x);②f(2x)的
图象关于直线x＝1 对称;③f(2)＝1,f(
3
2)＝√2
2 .则下列说法正确的是( )
A.f(x＋2)是奇函数
B.f(x＋1)是偶函数
C.f(−1
2)＝－√2
2
D.
2025
∑
k=1
f(
k
2)＝0
答案 C
解析 令x＝－1,得f(2－1)＝f(1)－f(1)＝0,
即f(1)＝0,∴f(2＋x)＋f(－x)＝0,
故函数f(x)的图象关于(1,0)对称.
又∵f(2x)的图象关于直线x＝1 对称,
故f(2x)＝f(2(2－x))＝f(4－2x),
∴f(x)的图象关于直线x＝2 对称.
f(x)＝f(4－x)＝－f(－2＋x)＝f(x－4),
∴f(x)是以4 为周期的周期函数.
对于A,f(x＋2)的图象是将f(x)的图象向左平移2 个单位,故f(x＋2)的图象关于y 轴对称,f(x＋2)是
偶函数,故A 错误;
对于B,f(x＋1)的图象是将f(x)的图象向左平移1 个单位,故f(x＋1)的图象关于原点对称,f(x＋1)是
奇函数,故B 错误;
对于C,由f(2＋x)＋f(－x)＝0,得f(−1
2)＋f(
5
2)＝0;
由f(－x＋2)＝f(x＋2),得f(
3
2)＝f(
5
2),
∴f(−1
2)＝－f(
3
2)＝－√2
2 ,故C 正确;
对于D,依题意,得f(
1
2)＝－√2
2 ,f(1)＝0,f(
3
2)＝√2
2 ,f(2)＝1,f(
5
2)＝√2
2 ,f(3)＝0,f(
7
2)＝－√2
2 ,f(4)＝
－1,
∴
8
∑
k=1
f(
k
2)＝0,
∴
2025
∑
k=1
f(
k
2)＝f(
1
2)＝－√2
2 ,故D 错误.
8.(2025·成都诊断)已知函数f(x)＝{
x
2＋2 x＋2, x≤0,
|ln x|, x>0,
则方程f(f(x)－2)＝2 实数根的个数为( )
A.6
B.7
C.10
D.11
答案 D
解析 因为f(x)＝{
x
2＋2 x＋2, x≤0,
|ln x|, x>0,
当x≤0 时f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1,
所以f(x)在(－∞,－1)上单调递减,在(－1,0)上单调递增,且f(－1)＝1,f(0)＝f(－2)＝2;
当x>0 时f(x)＝|ln x|＝{
ln x , x≥1,
−ln x ,0< x<1,
所以f(x)在(1,＋∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
又f(e－2)＝f(e2)＝2;作出函数y＝f(x)的图象,如图所示.
令f(x)－2＝t,则有f(t)＝2,易得此时有4 个解,分别为t1＝－2,t2＝0,t3＝e－2,t4＝e2,
结合图象可得:
当t＝－2 时,即f(x)＝0,此时有1 个解;
当t＝0,即f(x)＝2 时,有4 个解;
当t＝e－2,即f(x)＝2＋e－2有3 个解;
当t＝e2,即f(x)＝2＋e2有3 个解;
所以原方程共有1＋4＋3＋3＝11 个解.
二、多选题
9.(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)＝yf(x),则( )
A.f(0)＝0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)＋f(2x)＝f(3x)
答案 ABD
解析 对于B,令y＝－1,由题设可知f(－x)＝－f(x),故f(x)是奇函数,故B 正确;
对于A,又f(x)的定义域为R,所以f(0)＝0,故A 正确;
对于C,不妨取f(x)＝－x,则满足f(xy)＝yf(x),且f(1)≠0,f(x)为减函数,故C 错误;
对于D,令y＝2,则f(2x)＝2f(x);令y＝3,则f(3x)＝3f(x),
故f(x)＋f(2x)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)＝f(3x),故D 正确.
10.(2025·南京质检)已知函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y),且f(1)≠0,那么( )
A.f(0)＝1
B.f(1)＝2
C.f(－x)＝f(x)
D.若f(π)＝1
2,则f(x＋2π)＝f(x)
答案 AC
解析 对于A,令x＝1,y＝0,
f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0),
因为f(1)≠0,所以f(0)＝1,故A 正确;
设f(x)＝cos x,则f(x＋y)＋f(x－y)＝cos(x＋y)＋cos(x－y)
＝cos xcos y－sin xsin y＋cos xcos y＋sin xsin y
＝2cos xcos y＝2f(x)f(y)
显然满足条件,但是f(1)＝cos 1≠2,故B 错误;
对于C,令x＝0,f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y),所以f(y)＝f(－y),
又y∈R,所以f(x)为偶函数,即f(－x)＝f(x),故C 正确;
对于D,设f(x)＝cos x
3,类似B 中推导,可知满足题设条件,
但最小正周期是6π,故D 错误,故选AC.
11.(2025·湛江模拟)设定义在R 上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)＋g'(x)＝
4,f(x－1)－g'(3－x)＝4,若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有( )
A.f(2)＋f(4)＝8
B.f(2 025)＝4
C.
2025
∑
n=1
f(n)＝8 100
D.g'(4)＝0
答案 ABC
解析 由f(x)＋g'(x)＝4,
得f(x－1)＋g'(x－1)＝4.
又f(x－1)－g'(3－x)＝4,
所以g'(x－1)＝－g'(3－x),
即g'(x)＝－g'(2－x),
所以g'(x)关于(1,0)对称,g'(1)＝0.
又因为g(x)是奇函数,故g'(x)是偶函数,
所以g'(x)满足条件g'(x＋4)＝g'(x).
对于A,因为g'(4)＝－g'(－2)＝－g'(2),
所以g'(4)＋g'(2)＝0,
所以f(2)＋f(4)＝4－g'(2)＋4－g'(4)＝8－[g'(4)＋g'(2)]＝8,A 正确;
f(2 025)＝4－g'(2 025)＝4－g'(1)＝4,B 正确;
因为g'(3)＝－g'(－1)＝－g'(1)＝0,
所以g'(1)＋g'(2)＋g'(3)＋g'(4)＝0,
所以
2025
∑
n=1
f(n)＝4×2 025－
2025
∑
n=1
g'(n)＝8 100－g'(2 025)＝8 100－g'(1)＝8 100,C 正确;
对于D,g'(4)＝g'(0),但不一定为0,D 错误.
三、填空题
12.奇函数f(x)满足f(4－x)＝f(x),f(1)＝1,则f(5)＝ .
答案 －1
解析 由f(4－x)＝f(x)可得f(x)的图象关于直线x＝2 对称,
所以f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
13.(2025·湖州质检)已知f(x)是定义在R 上的函数,若对任意x∈R,都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4),且函数
f(x－2)的图象关于直线x＝2 对称,f(1)＝3,则f(2 025)＝ .
答案 3
解析 因为函数f(x－2)的图象关于直线x＝2 对称,
所以函数f(x)的图象关于直线x＝0 对称,
即函数f(x)是偶函数,则有f(x)＝f(－x);
因为对任意x∈R,都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4),
令x＝－4,得f(－4＋8)＝f(－4)＋f(4),得f(－4)＝f(4)＝0,
所以对任意x∈R,都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)＝f(x),
即函数f(x)的周期为8,则f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)＝3.
14.已知函数f(x)＝{
x
2−4 x＋2, x<a,
2
x , x≥a,
其中0<a<4.若方程f(f(x))＝2 有且只有一个解,则实数a 的取值
范围是 .
答案 (2－√3,2－√2]∪(1,2＋√2]
解析 如图,作出函数y＝x2－4x＋2,y＝2x的图象,
令t＝f(x),则f(t)＝2,
当0<a≤1 时,由f(t)＝2,得t＝0 或t＝1,即f(x)＝0 或f(x)＝1,
若方程f(x)＝1 只有一个解,
则{
a
2−4 a＋2<1,
a
2−4 a＋2≥0,
0<a≤1,
解得2－√3<a≤2－√2;
若方程f(x)＝0 只有一个解,
则{
0<a≤1,
a
2−4 a＋2<0,解得2－√2<a≤1,
此时方程f(x)＝1 必有解,与题意矛盾,
所以a∉(2－√2,1];
当1<a<4 时,由f(t)＝2,得t＝0,
即f(x)＝0,令x2－4x＋2＝0,解得x＝2±√2,
要使方程f(x)＝0 只有一个解,
则{
1<a<4 ,
2−√2<a≤2＋√2,解得1<a≤2＋√2,
综上所述,a 的取值范围是(2－√3,2－√2]∪(1,2＋√2]
