专题22思想方法专题：线段与角计算中的思想方法之四大类型（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 22 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法之四大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】................................................................................................1 【类型二 分类讨论思想在角的计算中的应用】....................................................................................................4 【类型三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】........................................................................7 【类型四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】..........................................................................12 【过关检测】...........................................................................................................................................17 【典型例题】 【类型一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】 例题：（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）点 是线段 的中点，点 是直线 上的一点，点 是线 段 的中点，若 ，则线段 的长为 ． 【答案】5或8 【分析】分类讨论，即点 在点 左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点 在点 左边时，如图所示： 点 是线段 的中点，点 是线段 的中点， ， ， ； ②当点 在点 右边时，如图所示：点 是线段 的中点，点 是线段 的中点， ， ， ； 故答案为：5或8． 【点睛】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 1.（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知直线上有 三点，且线段 ， ，那 么 两点之间的距离为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】根据线段 的位置，分类讨论，①如图所示，点 在点 的右边；②如图所示，点 在点 的 左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示，点 在点 的右边， ， ， ∴ ； ②如图所示，点 在点 的左边， ， ， ∴ ； ∴ 两点之间的距离为 或 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查线段的和、差，掌握线段的和、差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 2．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段 ，点 为线段 的中点，点 是直线 上 的一点，且 ，则线段 的长是（ ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由于点 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：∵线段 ， 为 的中点，∴当点 如图1所示时， ， ； 当点 如图2所示时， ∴线段 的长为1cm或5cm. 故选： ． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 3．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有 、 两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一 端重合且放在同一条直线上，此时 、 两根木条中点之间的距离为 cm． 【答案】3或21 【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：① 不在 上时， ，② 在 上时， ，分别代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：假设端点B和端点D重合 如图， 设较长的木条为 ，较短的木条为 ， ∵M、N分别为 、 的中点， ∴ ， ， ①如图1， 不在 上时， （cm）， ②如图2， 在 上时， （cm）， 综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出 图形更形象直观．【类型二 分类讨论思想在角的计算中的应用】 例题：（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知 ， 为 的角平分 线，过点O作射线 ，若 ，则 的角度是（ ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当 在 内部时，当 在 外部时，分别求出 的度数即可得到 答案． 【详解】解：如图1所示，当 在 内部时， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； 如图2所示，当 在 外部时， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； 综上所述， 的角度是30度或120度， 故选C．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关 键． 【变式训练】 1．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，综合 即可得出答案． 【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线． ∴ 或 ， ∴ ， ∴ 的度数为 或 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 2．（2023秋·七年级课时练习）已知 ， ， 平分 ，则 等于 ． 【答案】 或 【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：当如图所示时：平分 ， ， ， ， 当如图所示时： 平分 ， ， ， ． 故答案为： 或 . 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键． 3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知 ， 平分 ，射线 与 所形成 的角度是 ，那么 的度数是 【答案】 或 /50或30 【分析】分两种情况：射线 在 的上方和射线 在 的下方，根据角平分线的定义和角的和差分 别计算即可． 【详解】解：如图1， ∵ ， 平分 ，∴ ， ∵射线 与 所形成的角度是 ， ∴ ， ∴ ； 如图2， ∵ ， 平分 ， ∴ ， ∵射线 与 所形成的角度是 ， ∴ ， ∴ ； 综上可知 的度数是 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键． 【类型三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段AB，点C是线段AB上一点，点M、N 分别是线段AC，BC的中点． ①若AC BC4，则线段MN的长度是_________； ②若AC a，BC b，求线段MN的长度(结果用含a、b的代数式表示)； （2）在（1）中，把点C是线段AB上一点改为：点C是直线AB上一点，AC a，BC b．其它条件不 变，则线段MN的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）1 1 1 1 【答案】（1）①4，② ab ，（2） ab 或 ba 或 ab 2 2 2 2 1 1 【分析】（1）①根据线段中点的定义可得MC  AC  2,NC  BC  2，即可求解；② 2 2 1 a 1 b MC  AC  ,NC  BC  ，即可求解； 2 2 2 2 （2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段AB上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边 时． 【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC BC4， 1 1 ∴MC  AC  2,NC  BC  2， 2 2 ∴MN MCNC  22 4， 故答案为：4； ②∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC BC4， 1 a 1 b ∴MC  AC  ,NC  BC  ， 2 2 2 2 1 MN MCNC  ab ∴ ； 2 （2）当点C在线段AB上时， 1 MN MCNC  ab 由（1）可得： ； 2 当点C在A左边时， ， ∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC a，BC b， 1 a 1 b ∴MC  AC  ,NC  BC  ， 2 2 2 2 1 ∴MN NCMC  ba ； 2 当点C在点B右边时， ∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC a，BC b，1 a 1 b ∴MC  AC  ,NC  BC  ， 2 2 2 2 1 ∴MN MCNC  ab ； 2 1 1 1 综上：MN  ab 或 ba 或 ab ． 2 2 2 1 1 1 故答案为： ab 或 ba 或 ab ． 2 2 2 【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分 类讨论的思想． 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点B在线段AC上，点M 、N 分别是AC、BC的中点． 2 BC  AC (1)若线段 ， ，则线段 的长为 AC 15 5 MN (2)若B为线段AC上任一点，满足ACBC m，其它条件不变，求MN的长； ab (3)若原题中改为点B在直线 AC 上，满足 AC a ， BC b ， ，其它条件不变，求 MN 的长． 9 【答案】(1) 2 1 (2) m 2 1 (3) ba 2 1 15 CM  AC  【分析】（1）先求出 ，再由点 、 分别是 、 的中点，可得 ， BC 6 M N AC BC 2 2 1 CN  BC 3，再由 ，即可求解； 2 MN CM CN 1 1 （2）由点 、 分别是 、 的中点，可得 CM  AC ， CN  BC ，再由 ，即可 M N AC BC 2 2 MN CM CN 求解； （3）分三种情况讨论：当点B在线段AC上时，当点B在AC的延长线上时，当点B在CA的延长线上时， 即可求解．2 BC  AC 【详解】（1）解： ， ， AC 15 5  BC6， 又 点M 、N 分别是AC、BC的中点，  1 15 1 CM  AC  ，CN  BC 3， 2 2 2 15 9 MN CM CN  3 ； 2 2 9 故答案为： ； 2 （2）解： 点M 、N 分别是AC、BC的中点，  1 1 CM  AC， CN  BC ， 2 2 1 1 1 1 MN CM CN  AC BC  ACBC m ； 2 2 2 2 （3）解：当点B在线段AC上时， 点M 、N 分别是AC、BC的中点，  1 1 CM  AC， CN  BC ， 2 2 1 1 1 1 MN CM CN  AC BC  (ACBC) (ab) ； 2 2 2 2 当点B在AC的延长线上时， 点M 、N 分别是AC、BC的中点，  1 1 CM  AC， CN  BC ， 2 2 1 1 1 1 MN CM CN  AC BC  (ACBC) (ab) ； 2 2 2 2 当点B在CA的延长线上时， 点M 、N 分别是AC、BC的中点，  1 1 CM  AC， CN  BC ， 2 2 1 1 1 1 MN CNCM  BC AC  BCAC ba ． 2 2 2 2 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键． 2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点,若AB12，AC8，求MN的长． （2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）． ①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，MN的长是___________； 1 1 ②如图3，若M，N分别是 ， 的三等分点，即AM  AC，BN  BC，请直接写出线段 的长． AC BC 3 3 MN 1 2 【答案】（1）6 （2）① a ② a 2 3 AB12,AC 8 BC  ABAC4 AC BC 【分析】（1）由 ，得 ，根据M，N分别是 ， 的中点，即得 1 1 CM  AC 4，CN  BC 2，故 ； 2 2 MN CM CN 6 1 1 1 1 1 （2）①由M，N分别是 ， 的中点，知CM  AC, CN  BC，即得MN  AC BC  AB， AC BC 2 2 2 2 2 1 MN  a 故 ； 2 1 1 2 2 2 2 2 ②由AM  AC, BN  BC，知CM  AC, CN  BC，即得MN CM CN  AC BC  AB , 故 3 3 3 3 3 3 3 2 MN  a ； 3 AB12,AC 8  【详解】解：（1） BC  ABAC 4 M，N分别是AC，BC的中点  1 1 CM  AC 4,CN  BC 2 2 2MN CM CN 6 故答案为：6 （2）① M，N分别是AC，BC的中点  1 1 CM  AC,CN  BC 2 2 1 1 1 MN  AC BC  AB 2 2 2 ABa  1 MN  a 2 1 故答案为： a 2 1 1 ② AM  AC,BN  BC 3 3  2 2 CM  AC,CN  BC 3 3 2 2 2 MN CM CN  AC BC  AB 3 3 3 ABa  2 MN  a 3 2 a 故答案为： 3 【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【类型四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图， 在 的内部， 平分 BOC 平分 ．(1)当AOC90，BOC60时，MON ___________； (2)当AOC80，BOC60时，MON ___________； (3)当AOC80，BOC50时，MON ___________； (4)猜想：不论AOC和BOC的度数是多少，MON 的度数总等于________的度数的一半． 【答案】(1)45 (2)40 (3)40 (4)AOC 【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得AOM 和NOC的度数，再求得MOC，进一步计 算即可求解； （4）由（1）（2）（3）可得出结论； 【详解】（1）解：∵AOC90，BOC60， ∴AOB9060150， ∵OM 平分AOB， 1 ∴AOM  AOB75， 2 ∴MOC907515， 又∵ON平分BOC， 1 ∴NOC  BOC 30， 2 ∴MON MOCNOC153045， 故答案为：45； （2）解：∵AOC80，BOC60， ∴AOB8060140， ∵OM 平分AOB，1 ∴AOM  AOB70， 2 ∴MOC807010， 又∵ON平分BOC， 1 ∴NOC  BOC 30， 2 ∴MON MOCNOC103040， 故答案为：40； （3）解：∵AOC80，BOC50， ∴AOB8050130， ∵OM 平分AOB， 1 ∴AOM  AOB65， 2 ∴MOC806515， 又∵ON平分BOC， 1 ∴NOC  BOC 25， 2 ∴MON MOCNOC152540， 故答案为：40； 1 （4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论MON  AOC， 2 即不论AOC和BOC的度数是多少，MON 的度数总等于AOC的度数的一半． 故答案为：AOC． 【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转 化求解． 【变式训练】 1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放 在点O处．射线OC平分MOB．(1)如图1，若AOM 40，求CON 的度数； (2)在图1中，若AOM ，直接写出CON 的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，当AOC 3BON时，求AOM 的 度数． 【答案】(1)20° 1 (2) CON   2 (3)144° 【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设BOC x，依次表示出COM x，AOM 1802x，BON 902x，AOC180x， 最后根据AOC 3BON列方程即可得到结论． 【详解】（1）因为O为直线AB上一点，且AOM 40，MON 90 所以BOM 140°，BON 50 因为射线OC平分MOB 1 BOC  BOM 70 所以 2 因为CON BOCBON 所以CON 705020 （2）因为O为直线AB上一点，且AOM ，MON 90所以BOM 180，BON 90 因为射线OC平分MOB 1 1 所以BOC  BOM 90°  2 2 因为CON BOCBON 1 1 所以CON 90° 90°  2 2 （3）设BOC x，则COM x，AOM 1802x，BON 902x 因为AOC AOM COM AOC 1802xx180x 所以 因为AOC 3BON 180x3902x x18 所以 解得 因为AOM 1802x 所以AOM 180218144. 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键． 2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其中有一个角的度数 是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”． (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． MPN 60 PQ MPN MPQ (2)如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探 索新知）． MPN  PQ MPN MPQ (3)如图3，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有 可能的结果）． 【答案】(1)是(2)30°，20°或40° 1 1 2 (3) 或 或  2 3 3 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍 即可解答； MPN 2MPQ NPQ 2MPQ MPQ 2NPQ (2)根据“巧分线”定义，分 1、 2 2、 3 3三种情况求解 即可； MPN 2MPQ NPQ 2MPQ MPQ 2NPQ (3) 根据“巧分线”定义，分 1、 2 2、 3 3三种情况求解 即可． 【详解】（1）解：如图1：∵OC平分AOB， ∴AOB2AOC 2BOC, ∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”． 故答案为：是． 1 1 （2）解：如图3：①当MPN 2MPQ 时，则MPQ 1  2 MPN  2 6030； 1 NPQ 2MPQ MPN MPQ NPQ 3MPQ 60 MPQ 20 ②当 2 2，则 2 2 2 ，解得： 2 ； 3 ③当MPQ 2NPQ ，则MPN MPQ 3 NPQ 3  2 MPQ 3 60，解得：MPQ 40． 3 3 3 综上，MPQ可以为30，20，40． 1 1  MPQ  MPN   （3）解：如图3：①当MPN 2MPQ 时，则 1 2 2 2 ； 1 1 ②当NPQ 2MPQ ，则MPN MPQ NPQ 3MPQ ，解得：MPQ 2  3 ； 2 2 2 2 2 3 2 ③当MPQ 2NPQ ，则MPN MPQ 3 NPQ 3  2 MPQ 3 ，解得： MPQ 3  3  ． 3 3  1 2 综上， 可以为 ，，． MPQ 2 3 3【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义 是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（22·23上·龙岩·期末）已知 ， ，则 的度数为（ ）． A． B． C． 或 D．无法确定 【答案】C 【分析】分 在 内部或外部两种情况讨论画出图形计算即可得到答案； 【详解】解：①当 在 内部时，如图所示， ∵ ， ， ∴ ， ②当 在 外部时，如图所示， ∵ ， ，∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查角度运算，解题的关键是注意分类讨论． 2．（22·23下·贵州·阶段练习）已知直线上 两点相距 ，点 是线段 的中点，点 与点 相距 ，则 的长度是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】根据线段中点的性质，可得 ，分两种情况：当点 在点 右侧时，当点 在点 左侧时，分别利用线段的和差关系进行求解． 【详解】解：∵点 是线段 的中点， ， ∴ ， 当点 在点 右侧时， 此时， ； 当点 在点 左侧时， 此时， ； 即： 的长度为 或 ， 故选：D 【点睛】本题考查的是两点间的距离，线段中点定义，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 3．（22·23上·大同·期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．若 ， 射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，综合 即可得出答案． 【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线． ∴ 或 ， ∴ ， ∴ 的度数为 或 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 二、填空题 4．（23·24上·聊城·阶段练习） 三点在同一条直线上， 分别是 的中点，且 ， ，则 ． 【答案】40或10 【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：当点C在点B的左侧时，当点C在点B的右侧时，再根据 图形，可以求出线段 的长． 【详解】解： 分别是 的中点， ， ， ∴ ， 当点C在点B的左侧时，如下图， ∴ ； 当点C在点B的右侧时，如下图， ∴ ， 故答案为：10或40． 【点睛】此题考查了两点之间的距离，解题的关键是根据题意画出图形，要考虑各种情况． 5．（23·24上·大庆·开学考试）如图，长方形纸片 ，点P在边 上，点M，N在边 上，连接 ， ．将 对折，点D落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点A落在直线上的点 处，得折痕 ．若 ，则 ． 【答案】 或 【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得 ，由翻 折变换的性质可知 ， ，由 可得答案；当点N 在点M的上方时，设 ， ，则可以得到 ，由翻折变换的性质可知 ， ，根据 即可求解． 【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时． ∵ ， ∴ ， 由翻折变换的性质可知 ， ，∴ ， ∴ ． 当点N在点M的下方时，设 ， ， 则 ， 由翻折变换的性质可知 ， ， ∴ ． 综上所述，满足条件的 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为 ．若原点 为 的四等分点，则 点代表的数 为 ． 【答案】 或 或 【分析】根据线段的四等分点有 个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为 ， ∴ ， ①如图，当点 靠近点 时， ∵原点 为 的四等分点，∴ ， ∴ 点代表的数为 ； ②如图，当点 恰好是线段 的中点时， ∵原点 为 的四等分点， ∴ ， ∴ 点代表的数为 ； ③如图，当点 靠近点 时， ∵原点 为 的四等分点， ∴ ， ∴ 点代表的数为 ； 综上所述， 点代表的数为 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论 的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成 份． 三、问答题 7．（23·24上·恩施·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b， 与 互 为相反数．线段 在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左 侧），点M，N分别为 、 的中点． (1)求 的长；(2)当 等于2时，判断 的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是请说明理由； (3)设 ，线段 运动的速度为2.5个单位长度每秒，则在运动过程中，线段 从开始运动到完全 通过线段 的时间为 （用含m的式子表示）． 【答案】(1)10 (2)是，6 (3) 【分析】（1）由题意可直接得到A，B两点表示的有理数分别为 和4，即可求解 ； （2）设 ，则 ，由点M、N分别为 的中点，可得出 ， ，所以 ； （3）思路和过程同（2）中过程，可直接求出DC走的路程，根据速度可求出运动时间． 【详解】（1）∵ 与 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴A，B两点表示的有理数分别为 和 ， ∴ ； （2） 的长度是定值， 设 ， 则 ， ∵点M、N分别为 ， 的中点 ∴ ， ，∴ ； （3）设 ， 则 ， ， ∵点M、N分别为 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴在运动过程中，线段 完全通过线段 的时间为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查数轴上点的运动，掌握线段的和差运算，线段中点的定义等内容，根据图形得出线 段之间的和差关系是解题的关键． 8．（22·23下·福州·开学考试）如图1，已知 绕点 在 的内部转 动， 平分 ， 平分 ． (1)如图2，当 与 重合时，求 的度数； (2)请判断 的大小是否随 的位置的变化发生改变？并说明理由；： (3)当 时，求 的度数． 【答案】(1) (2) 不会随 的运动而改变大小，理由见解析 (3) 的度数为 或 【分析】（1）如图所示， ， 与 重合， ， 平分 ，可求出 ，根据角平分线的性质可求出 的度数，由此即可求解；（2）根据角平分线的性质分别求出 的度数，根据 即可求 解； （3）根据题意分别求出 与 的关系，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ， 与OA重合， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ∵ 平分 ， ， ． （2）解： 不会随 的运动而改变大小，理由如下： 平分 ， ， 平分 ， ， ， 不会随 的运动而改变大小． （3）解：∵ ， 由（2）可知， ， ，或 ， ， 或 ， 解得 或 ， 或 ， ∴ 的度数为 或 ． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的和差倍分的关系，理解图示，掌握角的和差倍分的计算，角 平分线的性质是解题的关键． 9．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 、 的中点． (1)若 ， ，求线段 的长； (2)若C为线段 上任点，满足 ，其它条件不变，你能猜想 的长度吗？写出你的结论并说 明理由； (3)若C为直线 上线段 之外的任一点，且 ， ，则线段 的长为_____． 【答案】(1)9厘米 (2) ，理由见解析 (3) 或 【分析】（1）利用中点定义求出 ， ，由点C在线段 上， 计算即 可； （2）利用（1）知 ， ，由点C在线段 上， ，无论点C在线段 上移动到哪里， ； （3）当点C在线段 的延长线上时， 等于 减去 ，而 ，从而可求出长度； 当点C在线段 的延长线上时， 等于 减去 ， ，从而可求出 的长度． 【详解】（1）∵点M，N分别是 ， 的中点， ∴ ， ． ∴ ． 又∵ ， ， ∴ （2） 理由如下：由（1）知： ． ∵ ， ∴ （3） 或 ①当C在A的左侧时，如图， ∵点M，N分别是 ， 的中点， ∴ ， ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ②当C在B的右侧时，如图，∵点M，N分别是 ， 的中点， ∴ ， ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 综上， 或 ． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，求出 的长度，而第三问要分情况讨论，M在 不同侧 时有不同的情况，分析各情况得到 的表达式 10．（23·24上·全国·课堂例题）已知：如图， ． (1)操作发现：在同一平面内，以点 为顶点， 为始边画出 ，使 ，观察图形后请直 接写出 的度数为________________． (2)探究延伸：在（1）的条件下画出 的平分线 的平分线 ，观察图形后请直接写出 的度数为________________． (3)探究拓展：在（1）（2）的条件下，若将“ ”改为“ ”，其他条 件不变，你能求出 的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， 或 (2)图见解析， (3)能， 的度数为 ，理由见解析 【分析】 分两种情况: 当 在 内部时, ；当 在 外部时,, 计算可得； 在前两种情况中，分别计算出 的度数, 内部时 、外部时 可得； 在前两种情况中，分别计算出 的度数, 内部时 、外部时 可得. 【详解】（1）有两种情况: 分 在 的内部和外部. ①当 在 内部时, ； ②当 在 外部时, ； 故答案为： 或 （2） ①当 在 内部时, ∵ , 由 知 , ∵ 平分 , 平分 ， ∴ ， ∴ ； ②当 在 外部时, , ,、 ∵ 平分 , 平分 ,∴ ， ∴ ； 综上, 度数为 ， 故答案为： . （3）能, ①当 在 内部时, ∵ , ∴ . ∵ 分别平分 , ， ， ∴ ； ②当 在 外部时, ∵ , ∴ . ∵ 分别平分 , ， ， ∴ . 综上, 的度数为 . 【点睛】本题主要考查利用角平分线进行角的计算，这里分 在角的内部和外部两种情况计算是前提， 属中档题. 11．（22·23下·烟台·期中）学习材料： 如图1，点 在线段 上，图中有三条线段，分别为线段 ， 和 ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”. 解决问题： (1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ； (2)若线段 ，点 为线段 的“巧点”，则 ； (3)如图 ，已知 ，动点 从点A出发，以 的速度沿 向点 运动，点 从点 出发，以 的速度沿 向点A运动，点 、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为 秒,当 为何值时，点 为线段 的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2) 或 或 (3) 或 或 ，理由见解析 【分析】（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段 的中点或三等分点时，点C是线段 的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条 线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段 的中点或三等分点时，点C是线段 的“巧点”， ∴ ， 或 ， 或 ． 故答案为： 或 或 ． （3）解：由题意得： ， ， ，t的范围应该在 秒之间，∵点P为 的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在 秒之间， 当 时，P为 的巧点， ∴ ， 解得： ； 当 时，P为 的巧点， ∴ ， 解得： ； 当 时，P为 的巧点， ∴ ， 解得： ； 所以当t为 或 或 时，点Р为线段 的“巧点”． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行 分类讨论． 12．（23·24上·全国·课时练习）如图，已知 内部有三条射线 ， 平分 平分 ． （1）若 ，则 _______________；（2）若 ，则 _______________； （3）若 ，你能猜想出 与 的关系吗？请说明理由． 【拓展提问1】若射线 在 的外部如图所示位置，且 平分 平分 ， 则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由． 方法指导如图，当射线 在 的内部或外部， 平分 平分 时，总有 ． 【拓展提问2】若射线 在 的外部如图所示位置， 平分 平分 ，则 与 的数量关系是_______________． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ，理由见解析 【拓展提问1】 成立，理由见解析【拓展提问2】 【分析】（1）依据角平分线的定义求得 、 的度数，再依据 求解即可； （2）依据角平分线的定义求得 、 的度数，再依据 求解即可； （3）依据角平分线的定义求得 、 的度数，再依据 求解即可； 【拓展】依据角平分线的定义求得 、 的度数，再依据 ， 便可得结果； 【拓展提问1】依据角平分线的定义求得 、 的度数，再依据 ， 便可得结果 【拓展提问2】依据角平分线的定义求得 ．所以 ，又因为 ， 代入即可得出结论． 【详解】解：（1） 平分 ， 平分 ， ， ， ； （2） ， ， 平分 ， 平分 ， ； （3） ， 理由：因为 平分 ， 平分 ， 所以 ． 所以 ． 【拓展提问1】 解： 成立． 理由：因为 平分 平分 ，所以 ． 所以 ． 【拓展提问2】 解： ， 理由：因为 平分 平分 ， 所以 ． 所以 ， 因为 ， 所以 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查与角平分线有关系的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分的关系是 解题的关键．