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第 06 讲 思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想
(3 类热点题型讲练)
目录
【类型一 方程思想】................................................................................................................................................1
【1.几何问题中的方程思想】..........................................................................................................................1
【2.实际应用中的方程思想】..........................................................................................................................6
【类型二 分类讨论思想】......................................................................................................................................11
【类型三 转化思想】..............................................................................................................................................15
【类型一 方程思想】
适用情况：
1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系；
2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）；
3. 折叠问题；
4. 实际应用问题.
【1.几何问题中的方程思想】
1．如图， 中， ， 比 长1， ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理．在 中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解： 比 长1，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
故答案为：4．2.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
作 交 的延长于点 ，在 中， ，在 中, ，根
据 列出方程即可求解．
【详解】
如图，作 交 的延长于点 ，
则 即为BC边上的高，
在 中， ，
在 中, ，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得 ，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，E是边 上一
点，将 沿 折叠，使点B的对应点 恰好落在边 上，则 的长等于 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得
，再根据折叠的性质可得 ， ，从而可得
，设 ，从而可得 ，然后在 中利用勾股定理即可得．
【详解】解： ，
，
由折叠的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，D、E分别为 ， 上一点，
将 ， 分别沿 、 折叠，点A、B恰好重合于点 处．若 ， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．
根据翻折的性质得到 ， ，由 ，即可得到
，由折叠的性质可得： ， ，设 ，在
中，根据勾股定理即可求出 ，
【详解】解：由折叠的性质可得， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形 中， ，P是 边上的点，
将 沿 折叠，使点A落在点E上， 与 分别交于点O、F，且 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程
的思想解题．根据题意证明 ，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴ ，设 ，则
∴ ，
在 中， ，即
解得： ．
故答案为： ．
6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 中， ， ，点 在 边上．请从
， 两题中任选一题作答．
A．如图1，若 ；
B．如图2，若 ；
我选择 题，则 的长为 ；
我选择 题，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三线合一，勾股
定理的应用，即可．
选择A题：过点 作 交 于点 ，根据等腰三角形的性质，则 ，根据勾股定理，
则 ，求出 ；再根据 ， ，即可；选择B题：过 作
交 于点 ，根据根据等腰三角形的性质，则 ，根据勾股定理求出 ，根据
，求出 ，最后再根据勾股定理即可．
【详解】选择 题：
过点 作 交 于点 ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
在 中， ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
选择 题：
过点 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 ， ，∴ ．
故答案为： ．
【2.实际应用中的方程思想】
1．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系
在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将
绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
【答案】旗杆高12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．设 为x米，则 米，根据
勾股定理列方程求出 的值，即可求解．
【详解】解：设 为x米，则 米，
在 中， ，
，
，
解得： ，
即旗杆高12米．
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈 尺），现被风折断，
尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．
【答案】 尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得 ，
解得：
答：折断处离地面的高度是 尺．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄，
于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站
的距离相等，求 的长．
【答案】 的长为
【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识．
先设 ，则 ，再根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：设 ，则 ，
由勾股定理得：
在 中， ，
在 中， ，
由题意可知： ，
所以 ，
解得：
即 的长为 ．
4．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中 点， 点到地面的高度 米，
点到地面 点（ ， 两点处于同一水平面）的距离 米．
(1)求出 的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达 点（ 点在线段 上），此时小鸟到地面 点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．【答案】(1) 米
(2)小鸟下降的距离为 米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在 中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知 ，
∵ 米， 米．
在 中
米，
（2）设 ，
到达D点（D点在线段 上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ，
小鸟下降的距离为 米．
5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙
时，竹竿底端O到左墙角的距离 为2米，顶端B距墙顶的距离 为1米，若保持竹竿底端位置不动，
将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离 为3米，顶端E距墙顶D的距离 为2米，点
在一条直线上，点 在一条直线上， ．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】(1)4米
(2) 米【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计
算．
（1）设墙高x米，则 米， 米，在 和 中，根据勾股定理可列出关
于x的方程，再求解即可；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，则 米， 米，
在 中， ，
在 中， ，
由题意可知 ，
∴ ，
解得： ，
答：墙的高度为4米；
（2）解： 米．
答：竹竿的长度为 米．
6．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原由C
到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），
并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析；
(2)原来的路线AC的长为1.25千米．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可．
(1)
解：是， 理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)
设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
【类型二 分类讨论思想】
适用情况：
1. 高在三角形内，外不明确；
2. 直角边、斜边不明确；
3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确.
1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点 是直线 上一点， ， ，
连接 ， 则线段 的长为 ．
【答案】 或
【分析】了勾股定理，分 当 在线段 上时， 当 在线段 延长线上时，再由勾股定理即可求解，
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得： ，
如图，当 在线段 上时，∴ ，
在 中由勾股定理得： ，
如图，当 在线段 延长线上时，
∴ ，
在 中由勾股定理得： ，
综上可知： 的长为 或 ．
2．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在 中， ，点P为射线
上一点，将 沿 所在直线翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么
．
【答案】 /6
【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点 在 上和点 在 延长线上，并分别画出
图形，在 中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在直角三角形 中，
由勾股定理，得
点 为射线 上一点，分两种情况：
①点 在 上时， 如图，设 由翻折可知
，
在 中，
由勾股定理，得
即 ，
解得：
②点 在 的延长线上时，如图，
设 由翻折可知
在 中，
由勾股定理，得
即
解得： ，
故答案为： 或6．
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知 中， ， ， 边上的高 ，求
边的长．
【答案】 的长为 或 ．
【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当 为锐角三角形时，②当 为钝角三
角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当 为锐角三角形时，如图：
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
②当 为钝角三角形时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ．
(1)求 边的长；
(2)当 为直角三角形时，求 的值．
【答案】(1)
(2)4或
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出 cm，再分①当 ，②当 两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：在 中， ， ，∴由勾股定理得 ；
（2）解：由题意知 ．
①当 时，如图，点P与点C重合， ，
∴ ；
②当 时，如图2， ， ．
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，当 为直角三角形时，t的值为 或 ．
【类型三 转化思想】
适用情况：
1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）；
2. 等线段转化（几何证明）.
1．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为
千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水
管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是
多少？【答案】在河流 上选择水厂的位置 见解析，总费用是 万元．
【分析】先作点 的对称点 ，连接点 和点 ，交 于点 ， 即所求作的点，过 作 ，
延长 交 于点 ，根据轴对称的性质可知： ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，水厂的位置即在点 处，
过 作 ，延长 交 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由对称性质可知： ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴水管的费用最节省为 （万元），
答：水管的费用最节省为 万元．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解
是解题的关键．
2．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分
别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求
水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可；
（2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以 为斜边的直角 ，
由（1）可知： ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是
确定建水厂位置的关键．
3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得： ；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
， ，
由勾股定理得： ；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
由题意得： ，，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
4．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图 ，已知四边形 中， ，垂足为 ，求证： ．
(2)解决问题：如图 ，在 中， ， ， ，分别以 的边 和
向外作等腰 和等腰 ，连接 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的
定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）运用勾股定理可得： ， ， ， ，
即可证得结论；
（2）如图 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，利用勾股定理可得 ，再证得
，得出 ， ，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明： ，垂足为 ，如图 ，
， ， ， ，
， ，．
（2）解：如图 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
，
，
和 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 中， ．
