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第 06 讲 思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想
(3 类热点题型讲练)
目录
【类型一 方程思想】................................................................................................................................................1
【1.几何问题中的方程思想】..........................................................................................................................1
【2.实际应用中的方程思想】..........................................................................................................................6
【类型二 分类讨论思想】......................................................................................................................................11
【类型三 转化思想】..............................................................................................................................................15
【类型一 方程思想】
适用情况：
1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系；
2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）；
3. 折叠问题；
4. 实际应用问题.
【1.几何问题中的方程思想】
1．如图， 中， ， 比 长1， ，则 ．
2.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，E是边 上一
点，将 沿 折叠，使点B的对应点 恰好落在边 上，则 的长等于 ．4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，D、E分别为 ， 上一点，
将 ， 分别沿 、 折叠，点A、B恰好重合于点 处．若 ， ，则
．
5．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形 中， ，P是 边上的点，
将 沿 折叠，使点A落在点E上， 与 分别交于点O、F，且 ，则
．
6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 中， ， ，点 在 边上．请从
， 两题中任选一题作答．
A．如图1，若 ；
B．如图2，若 ；
我选择 题，则 的长为 ；
我选择 题，则 的长为 ．【2.实际应用中的方程思想】
1．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系
在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将
绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈 尺），现被风折断，
尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄，
于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站
的距离相等，求 的长．4．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中 点， 点到地面的高度 米，
点到地面 点（ ， 两点处于同一水平面）的距离 米．
(1)求出 的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达 点（ 点在线段 上），此时小鸟到地面 点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙
时，竹竿底端O到左墙角的距离 为2米，顶端B距墙顶的距离 为1米，若保持竹竿底端位置不动，
将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离 为3米，顶端E距墙顶D的距离 为2米，点
在一条直线上，点 在一条直线上， ．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
6．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原由C
到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），
并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
【类型二 分类讨论思想】
适用情况：
1. 高在三角形内，外不明确；
2. 直角边、斜边不明确；
3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确.
1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点 是直线 上一点， ， ，
连接 ， 则线段 的长为 ．
2．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在 中， ，点P为射线
上一点，将 沿 所在直线翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么
．
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知 中， ， ， 边上的高 ，求
边的长．4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ．
(1)求 边的长；
(2)当 为直角三角形时，求 的值．
【类型三 转化思想】
适用情况：
1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）；
2. 等线段转化（几何证明）.
1．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为
千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水
管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是
多少？
2．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分
别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求
水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）4．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图 ，已知四边形 中， ，垂足为 ，求证： ．
(2)解决问题：如图 ，在 中， ， ， ，分别以 的边 和
向外作等腰 和等腰 ，连接 ，求 的长．
