微专题5 构造函数比较大小
高考定位 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等式
或不等式的结构特性构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
【真题体验】
1.(2022·全国甲卷)已知a＝31
32,b＝cos 1
4,c＝4sin1
4,则( )
A.c>b>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
答案 A
解析 设f(x)＝cos x＋1
2x2－1,x∈(0,＋∞),
f'(x)＝－sin x＋x>0,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
则f(
1
4)>f(0)＝0,
所以cos 1
4 －31
32>0,所以b>a,
因为c
b＝4tan 1
4,
因为当x∈(0, π
2),sin x<x<tan x,
所以tan 1
4>1
4,即c
b>1,所以c>b.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝1
9,c＝－ln 0.9,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.a<c<b
答案 C
解析 a＝0.1e0.1＝1
10e0.1,b＝1
9,
则a
b ＝
1
10 e
0.1
1
9
＝9
10e0.1,
构造f(x)＝(1－x)ex,则f'(x)＝－xex,
当x>0 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(0.1)<f(0)＝1,∴a
b<1,∴a<b.
下面比较a 与c.
设g(x)＝xex＋ln(1－x)(0< x< 1
4),
则g'(x)＝(x＋1)ex＋
1
x−1 ＝( x
2−1)e
x＋1
x−1
,
令h(x)＝ex(x2－1)＋1(0< x< 1
4),
则h'(x)＝ex(x2＋2x－1),
易知当0<x<1
4时,h'(x)<0,
则h(x)在(0, 1
4)上为减函数,
∴h(x)<h(0)＝0.
又x－1<0,∴g'(x)>0,
∴g(x)在(0, 1
4)上为增函数,
∴g(0.1)>g(0),∴0.1e0.1＋ln 0.9>0,∴a>c.
综上,b>a>c.
3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01,b＝ln 1.02,c＝√1.04－1,则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<a<b
答案 B
解析 显然1.012>1.02,故b<a ①;
令f(x)＝ln(1＋x)－√1＋2 x＋1(0<x<1),
∵1＋x＝√(1＋x)
2＝√1＋2 x ＋x
2>√1＋2 x,
∴f'(x)＝
1
1＋x －
1
√1＋2 x ＝√1＋2 x−(1＋x)
(1＋x)·√1＋2 x <0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,
∴f(x)<f(0)＝0,
∴ln(1＋x)－√1＋2 x＋1<0,
故ln(1＋0.02)<√1＋2×0.02－1,
即ln 1.02<√1.04－1,
故b<c ②;
令g(x)＝2ln(1＋x)－√1＋4 x＋1(x>−1
4),
g'(x)＝
2
1＋x －1
2 ×
4
√1＋4 x
＝2(
1
1＋x −
1
√1＋4 x)
＝2× √1＋4 x−x−1
(1＋x)√1＋4 x ,
令g'(x)＝0,得x＝2,
当x∈(0,2)时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,2)上单调递增,
∴g(
1
100)>g(0)＝0,
即2ln (1＋1
100)－√1＋4× 1
100＋1>0,
即a>c ③;
结合①②③得a>c>b,故选B.
【热点突破】
热点一 根据导数运算构造函数
抽象函数的构造技巧
已知函数
构造函数
f(x)＋f'(x)
g(x)＝exf(x)
f(x)－f'(x)
g(x)＝f ( x)
e
x
f(x)＋xf'(x)
g(x)＝xf(x)
f(x)－xf'(x)
g(x)＝f ( x)
x
nf(x)＋f'(x)
g(x)＝enxf(x)
nf(x)－f'(x)
g(x)＝f ( x)
e
nx
nf(x)＋xf'(x)
g(x)＝xnf(x)
nf(x)－xf'(x)
g(x)＝f ( x)
x
n
f'(x)cos x－f(x)sin x
g(x)＝f(x)cos x
f'(x)sin x＋f(x)cos x
g(x)＝f(x)sin x
考向1 利用f(x)与xn构造
例1 已知函数f(x)的定义域为(0,＋∞),若xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )
A.2 0252f(2 026)>2 0262f(2 025)
B.2 0252f(2 026)<2 0262f(2 025)
C.2 025f(2 026)>2 026f(2 025)
D.2 025f(2 026)<2 026f(2025)
答案 A
解析 令g(x)＝f ( x)
x
2 (x>0),
则g'(x)＝x
2f '( x)−2 xf ( x)
x
4
＝
xf '( x)−2f ( x)
x
3
,
∵xf'(x)>2f(x),∴g'(x)>0,
∴g(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴g(2 025)<g(2 026),即f (2 025)
2 025
2 <f (2 026)
2 026
2 ,∴2 0252f(2 026)>2 0262f(2 025).
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 已知f(x)是可导的函数,且f'(x)<f(x)对于x∈R 恒成立,则( )
A.f(1)<ef(0),f(2 026)<e2 026f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 026)>e2 026f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 026)<e2 026f(0)
D.f(1)<ef(0),f(2 026)>e2 026f(0)
答案 A
解析 设F(x)＝f ( x)
e
x ,x∈R,
则F'(x)＝f '( x)−f ( x)
e
x
<0,
可得F(x)＝f ( x)
e
x 在R 上单调递减,
所以F(0)>F(1),F(0)>F(2 026),
即f (0)
1
>f (1)
e
,f (0)
1
>
f (2 026)
e
2 026
,
所以f(1)<ef(0),f(2 026)<e2 026f(0).
考向3 利用f(x)与sin x,cos x 构造
例3 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈(−π
2 , π
2)满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导
函数),则下列不等式成立的是( )
A.√2f(
π
3)>f(
π
4)
B.√2f(−π
3)>f(−π
4)
C.f(0)>√2f(
π
4)
D.f(0)>2f(
π
3)
答案 A
解析 设g(x)＝f ( x)
cos x ,x∈(−π
2 , π
2),
则g'(x)＝f '( x)cos x＋f ( x)sin x
cos
2 x
>0,
g(x)在(−π
2 , π
2)上单调递增,
对于A,
f(
π
4)
cos π
4
<
f(
π
3)
cos π
3
,化简得√2f(
π
3)>f(
π
4),A 正确;
对于B,
f(−π
3)
cos(−π
3)
<
f(−π
4)
cos(−π
4)
,
化简得√2f(−π
3)<f(−π
4),B 错误;
对于C, f (0)
cos0<
f(
π
4)
cos π
4
,
化简得f(0)<√2f(
π
4),C 错误;
对于D, f (0)
cos0<
f(
π
3)
cos π
3
,
化简得f(0)<2f(
π
3),D 错误.
规律方法 1.根据条件中关于f'(x)的不等式结构,逆用导数的运算法则构造原函数,进而利用其单
调性.
2.熟悉知识拓展抽象函数的构造技巧,以便于构造原函数.
训练1 (1)已知定义域为R 的函数f(x),其导函数为f'(x),且f'(x)＋2f(x)<0,f(0)＝1,则( )
A.f(－1)<e2
B.f(1)< 1
e
2
C.f(
1
2)>1
e
D.ef(1)>f(
1
2)
(2)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,其导函数为f'(x),且当x<0 时,2f(x)＋xf'(x)<0,则不等式(x－
2 025)2f(x－2 025)－f(－1)<0 的解集为 .
(3)已知f'(x)是定义域为(0, π
2)的函数f(x)的导函数,且f'(x)sin x＋f(x)cos x<0,则不等式f(x)sin x>1
2f
(
π
6)的解集为 .
答案 (1)B (2)(－∞,2 024)∪(2 026,＋∞)
(3)(0, π
6)
解析 (1)令g(x)＝e2xf(x),
则g'(x)＝2e2xf(x)＋e2xf'(x)＝e2x[f'(x)＋2f(x)],
又f'(x)＋2f(x)<0,e2x>0,所以g'(x)<0,
即g(x)＝e2xf(x)在R 上单调递减,
对于A,因为g(－1)＝e－2f(－1)>g(0)＝f(0)＝1,
所以f(－1)>e2,故A 错误;
对于B,因为g(0)＝f(0)＝1>g(1)＝e2f(1),
所以f(1)< 1
e
2,故B 正确;
对于C,因为g(0)＝f(0)＝1>g(
1
2)＝ef(
1
2),所以f(
1
2)<1
e,故C 错误;
对于D,g(
1
2)＝ef(
1
2)>g(1)＝e2f(1),
所以ef(1)<f(
1
2),故D 错误,故选B.
(2)令F(x)＝x2f(x),则F'(x)＝2xf(x)＋x2f'(x)＝x[2f(x)＋xf'(x)],
当x<0 时,2f(x)＋xf'(x)<0,所以当x<0 时,F'(x)＝x[2f(x)＋xf'(x)]>0,
即F(x)在(－∞,0)上是增函数,
由题意f(x)是定义在R 上的偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
所以F(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝F(x),
所以F(x)是偶函数,在(0,＋∞)单调递减,
所以F(x－2 025)＝(x－2 025)2f(x－2 025),
F(－1)＝(－1)2f(－1)＝f(－1),
即不等式(x－2 025)2f(x－2 025)－f(－1)<0 等价为F(x－2 025)<F(－1),
所以|x－2 025|>1,解得x<2 024 或x>2 026.
(3)设g(x)＝f(x)sin x,x∈(0, π
2),
g'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x<0,
所以函数g(x)在(0, π
2)上单调递减,
由f(x)sin x>1
2f(
π
6),
得f(x)sin x>f(
π
6)sinπ
6 ,即g(x)>g(
π
6),
得{
x< π
6 ,
0< x< π
2 ,
所以0<x<π
6 ,所以不等式的解集为(0, π
6).
热点二 根据数值特征构造函数
根据数值特征构造函数的类型:
(1)构造相同的函数,利用其单调性解决问题.
(2)构造不同的函数,通过比较两个函数的函数值确定大小.
例4 (1)(2025·西安质检)设a＝5
21,b＝ln 31
21,c＝sin 5
21,则( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<c<a
(2)(2025·郑州调研)若ln(a＋1)＝0.2,ln(2b)＝－ln 3,ec＝1.2,则( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<b<a
D.b<c<a
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设f(x)＝x－sin x,x∈(0,1),
f'(x)＝1－cos x≥0,
所以f(x)单调递增,则f(
5
21)>f(0)＝0,
所以5
21>sin 5
21,即a>c,
设g(x)＝ln(1＋2x)－x,x∈(0, 1
2),
g'(x)＝
2
1＋2 x －1＝1−2 x
1＋2 x >0,x∈(0, 1
2),
所以g(x)在(0, 1
2)上单调递增,
所以g(
5
21)>g(0)＝0,
所以ln(1＋10
21)＝ln 31
21> 5
21,则b>a,
所以b>a>c.
(2)依题意,a＝e0.2－1,b＝1
6,c＝ln 1.2,
令f(x)＝ln x＋1
x ,x>1,
则f'(x)＝1
x －1
x
2 ＝x−1
x
2 >0,f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
则f(x)>f(1)＝1,即ln x>1－1
x (x>1),
因此ln 1.2>1－1
1.2 ＝1
6,即c>b;
令g(x)＝ex－1－1－ln x,则当x>1 时,g'(x)＝ex－1－1
x >0,函数g(x)在(1,＋∞)上单调递增,则g(x)>g(1)
＝0,
因此e1.2－1－1>ln 1.2,
即e0.2－1>ln 1.2,即a>c,所以b<c<a.
规律方法 1.观察实数的结构,对实数适当变形寻找实数间的联系.
2.放缩法的应用:(1)用基本初等函数单调性放缩;(2)用切线不等式:ex≥x＋1,ln x≤x－1(x>0),sin
x<x<tan x(0< x< π
2)等放缩;(3)用二项展开式放缩.
训练2 (1)若a＝2√2
ln 2√2,b＝2
ln2,c＝3
ln3,则( )
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<c<b
D.b<a<c
(2)(2025·南京调研)已知a＝ln 1.01,b＝1.01,c＝e0.01则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.c<a<b
答案 (1)C (2)A
解析 (1)因为a＝2√2
ln2√2,b＝2
ln 2,c＝3
ln3,
所以构造函数f(x)＝x
ln x (x>0 且x≠1),
则f'(x)＝ln x−1
(ln x)
2 ,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,e)上单调递减;
当x∈(e,＋∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(e,＋∞)上单调递增;
综上可知,f(x)＝x
ln x 在(0,1)与(1,e)上单调递減,在(e,＋∞)上单调递增.
所以b＝2
ln2 ＝4
ln 4＝f(4)>f(3)＝3
ln3＝c.
又因为e<2√2<3,
所以c＝3
ln3＝f(3)>f(2√2)＝2√2
ln 2√2＝a,
可得a<c<b.
(2)易知a＝ln 1.01<1,c＝e0.01>1,
构造函数f(x)＝ex－(x＋1),
f'(x)＝ex－1,易知当x≥0 时,f'(x)＝ex－1≥0,f(x)单调递增;
所以f(0.01)＝e0.01－(0.01＋1)>f(0)＝0,
所以c>b>1,所以a<b<c,故选A.
【精准强化练】
一、单选题
1.设f(x),g(x)是R 上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)<0,则当
a<x<b 时,有( )
A.f(x)g(b)>f(b)g(x)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
答案 C
解析 ∵[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)<0,
∴函数y＝f(x)g(x)是R 上的减函数.
∴当a<x<b 时,f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b),故选C.
2.已知a＝1
4 e2,b＝1
9e3,c＝1
16e4,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<b<a
D.c<a<b
答案 B
解析 令f(x)＝e
x
x
2,
则f'(x)＝( x−2)e
x
x
3
,易得f(x)在[2,＋∞)上单调递增,
∴f(2)<f(3)<f(4),即e
2
4 <e
3
9 < e
4
16,∴a<b<c.
3.已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数,且∀x∈R,f'(x)>2x,f(2)＝5,则不等式f(x)>x2＋1 的解集为( )
A.(－∞,2)
B.(2,＋∞)
C.(－∞,√2)
D.(√2,＋∞)
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－x2,
则g'(x)＝f'(x)－2x>0,
所以g(x)在R 上单调递增,又f(2)＝5,
所以g(2)＝f(2)－22＝1,
不等式f(x)>x2＋1,即f(x)－x2>1,
即g(x)>g(2),所以x>2,
即不等式f(x)>x2＋1 的解集为(2,＋∞).
4.(2025·福州质检)已知a＝ln
1
2 024 ＋2 023
2 024,b＝ln
1
2 025 ＋2 024
2 025,c＝ln
1
2 026 ＋2 025
2 026,则
a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
答案 A
解析 构造函数f(x)＝ln x＋1－x,f'(x)＝1
x －1＝1−x
x
,
当0<x<1 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(
1
2 024)>f(
1
2 025)>f(
1
2 026),a>b>c.
5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)>1
3f'(x),则必有( )
A.函数y＝
f ( x)
e
1
3 x 为增函数
B.函数y＝f ( x)
e
3 x 为增函数
C.函数y＝
f ( x)
e
1
3 x 为减函数
D.函数y＝f ( x)
e
3 x 为减函数
答案 D
解析 由y＝
f ( x)
e
1
3 x 可得
y'＝
f '( x)e
1
3 x
−1
3 f ( x)e
1
3 x
(e
1
3 x
)
2
＝
f '( x)−1
3 f ( x)
e
1
3 x
,
由于f'(x)－1
3f(x)的正负无法确定,
因此无法判断y＝
f ( x)
e
1
3 x 的单调性,故AC 错误;
由y＝f ( x)
e
3 x 得y'＝f '( x)e
3 x−3 f ( x)e
3 x
(e
3 x)
2
＝
1
3 f '( x)−f ( x)
1
3 e
3 x
<0,
因此函数y＝f ( x)
e
3 x 为减函数,故D 正确.
6.已知函数 f(x) 的定义域为R,设f(x)的导函数是 f'(x),且f(x)·f'(x)＋x>0 恒成立,则( )
A.f(1)<f(－1)
B.f(1)>f(－1)
C.|f(1)|>|f(－1)|
D.|f(1)|<|f(－1)|
答案 C
解析 设 g(x)＝f2(x)＋x2,
则g'(x)＝2f(x)·f'(x)＋2x>0,
故 y＝g(x) 在定义域上是增函数,
于是 g(1)>g(－1),
即 f2(1)＋1>f2(－1)＋1,
即有f2(1)>f2(－1),
故得 |f(1)|>|f(－1)|.
7.函数f(x)的定义域为R,且f(x)<f'(x)＋1,f(0)＝3,则不等式f(x)>2ex＋1 的解集为( )
A.(－∞,0)
B.(0,＋∞)
C.(－∞,1)
D.(1,＋∞)
答案 B
解析 设g(x)＝f ( x)−1
e
x
.
对g(x)求导,则g'(x)＝f '( x)e
x−[ f ( x)−1]e
x
(e
x)
2
＝
f '( x)−f ( x)＋1
e
x
.
已知f(x)<f'(x)＋1,
即f'(x)－f(x)＋1>0,而ex>0 恒成立,
所以g'(x)>0 恒成立.
函数g(x)在R 上单调递增.
已知f(0)＝3,则g(0)＝f (0)−1
e
0
＝3−1
1
＝2.
不等式f(x)>2ex＋1 可变形为f(x)－1>2ex,即f ( x)−1
e
x
>2,即g(x)>g(0).
因为g(x)在R 上单调递增,所以x>0.
不等式f(x)>2ex＋1 的解集为(0,＋∞).
8.定义在(0, π
2)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<－tan x·f(x)成立,a＝2f(
π
3),b＝√2f(
π
4),c
＝2√3
3 f(
π
6),则a,b,c 的大小关系为( )
A.b>a>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>b>c
答案 B
解析 因为x∈(0, π
2)时,cos x>0,
所以f'(x)<－tan x·f(x)可化为f'(x)＋tan x·f(x)<0,
设g(x)＝f ( x)
cos x ,x∈(0, π
2),
则g'(x)＝(
f ( x)
cos x)'＝f '( x)cos x＋f ( x)sin x
cos
2 x
＝f '( x)＋tan x·f ( x)
cos x
<0,
所以函数g(x)在(0, π
2)上单调递减,
因为π
6 <π
4 <π
3 ,
所以g(
π
6)>g(
π
4)>g(
π
3),
所以
f(
π
6)
cos π
6
>
f(
π
4)
cos π
4
>
f(
π
3)
cos π
3
,
即2√3
3 f(
π
6)>√2f(
π
4)>2f(
π
3),
所以c>b>a.
二、多选题
9.已知函数f(x)的定义域为R,其导数f'(x)满足f(x)＋f'(x)>0,则( )
A.f (ln 2)
e
<f (1)
2
B.f (0)
e
>f(1)
C.f(
1
2)<√ef(1)
D.f(1)>f (−1)
e
2
答案 ACD
解析 设F(x)＝ex·f(x),
则F'(x)＝exf(x)＋exf'(x)
＝ex[f(x)＋f'(x)],
因为f'(x)＋f(x)>0,
则F'(x)>0,则F(x)在R 上单调递增.
因为ln 2<1,所以eln 2·f(ln 2)<e1·f(1),f (ln 2)
e
<f (1)
2
,所以A 正确;
因为0<1,所以e0·f(0)<e1·f(1),
f (0)
e
<f(1),所以B 错误;
因为1
2<1,所以e
1
2·f(
1
2)<e1·f(1),
f(
1
2)<√ef(1),所以C 正确;
因为－1<1,所以e－1·f(－1)<e1·f(1),f(1)>f (−1)
e
2
,所以D 正确.
10.下列说法正确的是( )
A.若x1<x2,则x1－x2<sin x1－sin x2
B.若x1<x2,则x1－x2>sin x1－sin x2
C.若e<x1<x2,则x2ln x1<x1ln x2
D.若e<x1<x2,则x2ln x1>x1ln x2
答案 AD
解析 令f(x)＝x－sin x,
则f'(x)＝1－cos x≥0 在R 上恒成立,
所以f(x)在R 上单调递增,
所以x1－sin x1<x2－sin x2,
即x1－x2<sin x1－sin x2,故A 正确,B 错误;
令g(x)＝ln x
x ,
所以g'(x)＝1−ln x
x
2
<0 在(e,＋∞)上恒成立,
所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减,
所以当e<x1<x2时,g(x1)>g(x2),
即x2ln x1>x1ln x2,故C 错误,D 正确.
11.(2025·杭州模拟)设a>0,b>0,则下列说法正确的是( )
A.若ea＋ln a＝eb＋b,则a>b
B.若ea－e－b≥eb－e－a,则a≥b
C.若lna
b＝2a－b－eb－1,则a≥b
D.若lna
b＝b＋eb－1－2a,则a≥b
答案 ABD
解析 令f(x)＝x－ln x,f'(x)＝1－1
x ,由f'(x)<0,可得0<x<1,由f'(x)>0,
可得x>1,可得f(x)＝x－ln x 在(0,1)单调递减,在(1,＋∞)单调递增,
所以f(x)＝x－ln x≥f(1)＝1,即x≥ln x＋1>ln x.
对于A,∵a>ln a,∴ea＋a>ea＋ln a＝eb＋b,
而函数y＝ex＋x 是增函数,∴a>b,故A 正确;
对于B,当x>0 时,令函数g(x)＝ex＋e－x,
则g'(x)＝ex－e－x>0,
∴函数g(x)＝ex＋e－x在(0,＋∞)上单调递增,
由ea－e－b≥eb－e－a,可得g(a)≥g(b),
∴a≥b,故B 正确;
对于C,由x≥ln x＋1,可得x－1≥ln x,
即x≤ex－1,可得b≤eb－1,
∴ln a
b＝2a－b－eb－1≤2a－2b,
即2a－ln a≥2b－ln b,
而函数y＝2x－ln x,求得y'＝2－1
x 在(0,＋∞)有正有负,
所以y＝2x－ln x 在(0,＋∞)上不是增函数,故C 不正确;
对于D,ln a
b＝b＋eb－1－2a≥2b－2a,
即2a＋ln a≥2b＋ln b,
易知函数y＝2x＋ln x 在(0,＋∞)上是增函数,∴a≥b,故D 正确,故选ABD.
三、填空题
12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若xf'(x)＋f(x)>0,且f(－1)＝2,则不等式f(x)＋2
x <0
的解集为 .
答案 (－1,0)
解析 由xf'(x)＋f(x)>0,
可得[xf(x)]'>0,
令g(x)＝xf(x),则g(x)在R 上单调递增,且g(－1)＝－2.
当x>0 时,由f(x)＋2
x <0,
可得xf(x)<－2,即g(x)<g(－1),
所以x<－1,无解;
当x<0 时,由f(x)＋2
x <0,
可得xf(x)>－2,即g(x)>g(－1),
所以x>－1,则－1<x<0.
综上,不等式f(x)＋2
x <0 的解集为(－1,0).
13.(2025·石家庄调研)定义在R 上的奇函数 f(x),满足 f(x)＋f'(－x)>0,f(2)＝1,则不等式 f(x＋1)>
1
e
x−1 的解集为 .
答案 (1,＋∞)
解析 因为f(x)是定义在R 上的奇函数,
则f(－x)＝－f(x).
两边求导,得到f'(－x)＝f'(x).
已知f(x)＋f'(－x)>0,可得f(x)＋f'(x)>0.
令g(x)＝ex－2f(x),
g'(x)＝ex－2f(x)＋ex－2f'(x)
＝ex－2[f(x)＋f'(x)].
由于f(x)＋f'(x)>0,
又ex－2>0,所以g'(x)>0,
g(x)在R 上单调递增.
不等式f(x＋1)> 1
e
x−1可化为ex－1f(x＋1)>1.
不等式ex－1f(x＋1)>1 即ex＋1－2f(x＋1)>e2－2f(2),即g(x＋1)>g(2).
因为g(x)单调递增,所以x＋1>2,解得x>1.
故不等式f(x＋1)> 1
e
x−1的解集为(1,＋∞).
14.已知a＝1
4 ,b＝2sin1
4 ,c＝ln 5
4 ,则a,b,c 的大小关系为 .
答案 b>a>c
解析 构造函数f(x)＝2sin x－x,x∈(0, π
3),
则f'(x)＝2cos x－1,
当x∈(0, π
3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(
1
4)＝2sin1
4 －1
4>f(0)＝2sin 0－0＝0,
即2sin1
4 >1
4;
构造函数g(x)＝x－ln(1＋x),x∈(0,1),
g'(x)＝1－
1
1＋x ＝
x
x＋1>0,
∴g(x)在(0,1)单调递增,
∴g(
1
4)＝1
4 －ln4
5>g(0)＝0,
即1
4 >ln 5
4 ,所以b>a>c
