文档内容
第 13 讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的
应用（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
泰勒展开式及 比较指数幂的大小
2022年新I卷，第7题,5分
相关不等式放缩 比较对数式的大小
泰勒展开式及
2022年全国甲卷理科，第12题,5分 比较三角函数值大小
相关不等式放缩
泰勒展开式及
2021年全国乙卷理科，第12题,5分 比较对数式的大小
相关不等式放缩
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分
【备考策略】1能理解泰勒公式的本质
2能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点
就在于使用一个 次多项式 ，去逼近一个已知的函数 ，而且这种逼近有很好的性质： 与
在 点具有相同的直到阶 的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想
精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科
研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、
构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数利用关于 的 次多项式来逼近函数的方法．
【定理1】若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，
则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：
其中： 表示 在 处的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，剩余
的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：， ， ，
， ， ，
， ， ．
3．常见函数的泰勒展开式的结论：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （ ）．
结论4 ．
结论5 ； ； ．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
考点一、 泰勒展开式的初步认知
1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰
勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． （i是虚数单位） B． （i是虚数单位）
C． D．【答案】ACD
【分析】对于A、B，将关于 的泰勒展开式两边求导得 的泰勒展开式，再验证结论是否正确；
对于C，由 ，再代入关于 的泰勒展开式验证是否成立；
对于D，由 ，证明
即可.
【详解】对于A、B，由 ，
两边求导得 ，
，
，
又 ，
，
，故A正确，B错误；
对于C，已知 ，则 .
因为 ，则 ，即 成立，故C正确；
故C正确；
对于D， ,，
，
当 ， ； ； ；
， ,所以 ，所以 成立，故D
正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好 ，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特
征进行适当的放缩，证明不等式成立.
2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近
似表示，具体形式为： （其中
表示 的n次导数），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.
(1)分别求 ， ， 在 处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明： .（其中 为虚数单位）；
(3)若 ， 恒成立，求a的范围.（参考数据 ）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数 在 处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把 在 处的泰勒展开式中的 替换为 ，利用复数的运算法则进行化简整理可得
，从而即可证明；
（3）根据 在 处的泰勒展开式，先证 恒成立，再证 ，
恒成立，然后分 和 两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）解：因为函数 在 处的泰勒展开式为
（其中 表示 的n次导
数），
所以 ， ， 在 处的泰勒展开式分别为：
，
，；
（2）证明：把 在 处的泰勒展开式中的 替换为 ，可得
，
所以 ，即 ；
（3）解：由 在 处的泰勒展开式，先证 ，
令 ，
，易知 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
再令 ， ，易得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，
所以 恒成立，
当 时， ，所以 成立，
当 时，令 ， ，易求得 ，
所以必存在一个区间 ，使得 在 上单调递减，
所以 时， ，不符合题意.
综上所述， .
【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据 在 处的泰勒展开式，先证
恒成立，再证 ， 恒成立，从而即可求解.1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开
式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有 的某个开区间 内可以多次进行
求导数运算，则当 ，且 时，有
．
其中 是 的导数， 是 的导数， 是 的导数……．
取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， 精确到0.01的近似值为 ．
【答案】
【分析】根据泰勒展开式，化简得到 ，求得 的“泰勒展开式”中第
三个非零项，令 ，代入上式，进而求得 的近似值.
【详解】取 时，可得
则
，
所以 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，
令 ，代入上式可得 .
故答案为： ； .
2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数 ，规定 ， ，…，
， 叫做函数 的n阶导数．若函数 在包含 的某个闭区间 上具有
n阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点x，
，该公式称为函数 在
处的n阶泰勒展开式， 是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数 ．
(1)写出函数 在 处的3阶泰勒展开式（ 用 表示即可）；(2)设函数 在 处的3阶余项为 ，求证：对任意的 ， ；
(3)求证： ．
【答案】(1) ;
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据函数 在 处的 阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数 在 处的 阶泰勒展开式余项
， 介于 与 之间的常数，再通过导数判断单调性即可；
（3）计算函数 在 处的 阶泰勒展开式为 ,并得
，令 ，则 ，再利用累加法即可证明.
【详解】（1）由题意，函数 ，且 ，
则 ，
，
，
所以函数 在 处的 阶泰勒展开式为：
.
（2）由（1）可知， ，
，
所以函数 在 处的 阶泰勒展开式为：，
其中 ， 介于 与 之间的常数，
所以 ，
因为 为常数项，且 ，
所以函数 为偶函数，
因为 ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，
故对任意的 ， .
（3）由（2）可知，函数 在 处的 阶泰勒展开式为
，
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 ，
即 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确 阶泰勒展开式的具体定义；
在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在 处的 阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方
法将不等式进行转化.
考点二、 泰勒展开式的综合应用
1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式法：
因为 ，所以 ，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
其他方法
放缩法
因为 ，
所以 ，即
因为 ，
所以 ，即
综上所述： ，故选：C
构造函数法
假设 成立，即
令 ，则等价证明： ，即证： （原式得证，略）
假设 成立，即
令 ，则等价证明： ，
设 ，则 ,
令 ， ，当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在 单调递增，
所以 ，即： ，所以假设 不成立，即 ，
综上所述： ，故选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】
[方法一]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法二]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：不等式放缩因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
[方法一]：
由泰勒公式, 可知
将 , 分别相应代入估 算, 得 .
由此可知 .
[方法二]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
