文档内容
第 13 讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的
应用（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
泰勒展开式及 比较指数幂的大小
2022年新I卷，第7题,5分
相关不等式放缩 比较对数式的大小
泰勒展开式及
2022年全国甲卷理科，第12题,5分 比较三角函数值大小
相关不等式放缩
泰勒展开式及
2021年全国乙卷理科，第12题,5分 比较对数式的大小
相关不等式放缩
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分
【备考策略】1能理解泰勒公式的本质
2能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点
就在于使用一个 次多项式 ，去逼近一个已知的函数 ，而且这种逼近有很好的性质： 与
在 点具有相同的直到阶 的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想
精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科
研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、
构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数利用关于 的 次多项式来逼近函数的方法．
【定理1】若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，
则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：
其中： 表示 在 处的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，剩余
的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：， ， ，
， ， ，
， ， ．
3．常见函数的泰勒展开式的结论：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （ ）．
结论4 ．
结论5 ； ； ．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
考点一、 泰勒展开式的初步认知
1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰
勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． （i是虚数单位） B． （i是虚数单位）
C． D．2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近
似表示，具体形式为： （其中
表示 的n次导数），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.
(1)分别求 ， ， 在 处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明： .（其中 为虚数单位）；
(3)若 ， 恒成立，求a的范围.（参考数据 ）
1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开
式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有 的某个开区间 内可以多次进行
求导数运算，则当 ，且 时，有
．
其中 是 的导数， 是 的导数， 是 的导数……．
取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， 精确到0.01的近似值为 ．
2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数 ，规定 ， ，…，
， 叫做函数 的n阶导数．若函数 在包含 的某个闭区间 上具有
n阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点x，
，该公式称为函数 在
处的n阶泰勒展开式， 是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数 ．
(1)写出函数 在 处的3阶泰勒展开式（ 用 表示即可）；
(2)设函数 在 处的3阶余项为 ，求证：对任意的 ， ；
(3)求证： ．
考点二、 泰勒展开式的综合应用1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）
设 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．1．（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·辽宁·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·湖南邵阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．10．（23-24高三上·安徽·期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数 分别满足 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·甘肃陇南·一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．2．3．4．18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知函数 .(1)求 的单调区间；
(2)试证明 ， .
20．（21-22高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明： .
