微专题32 直线与圆锥曲线的位置关系
高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦
长、面积以及弦中点等问题,难度中等.
【真题体验】
1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1 的距离为√2,则p＝( )
A.1
B.2
C.2√2
D.4
答案 B
解析 抛物线的焦点坐标为(
p
2 ,0),其到直线x－y＋1＝0 的距离d＝|
p
2 −0＋1|
√1
2＋(−1)
2 ＝√2,
解得p＝2(p＝－6 舍去).
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C: x
2
3 ＋y2＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,直线y＝x＋m 与C 交于A,B
两点,若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍,则m＝( )
A.2
3
B.√2
3
C.－√2
3
D.－2
3
答案 C
解析 由题意,F1(－√2,0),F2(√2,0),△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍,
所以点F1到直线AB 的距离是点F2到直线AB 的距离的2 倍,
即|−√2＋m|
√2
＝2×|√2＋m|
√2
,
解得m＝－√2
3 或m＝－3√2(此时直线与椭圆C 不相交,舍去),故选C.
3.(2023·全国乙卷)设A,B 为双曲线x2－y
2
9 ＝1 上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是( )
A.(1,1)
B.(－1,2)
C.(1,3)
D.(－1,－4)
答案 D
解析 法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为M(x0,y0),由点A,B 在双曲线上,
得{
x1
2−y1
2
9 ＝1,
x2
2−y2
2
9 ＝1,
两式作差,得x1
2－x2
2＝y1
2−y2
2
9
,
即(x1－x2)(x1＋x2)＝( y1−y2)( y1＋y2)
9
,
化简得
( y1−y2)( y1＋y2)
( x1−x2)( x1＋x2) ＝9,
即
y1−y2
x1−x2 ·
y1＋y2
2
x1＋x2
2
＝kAB·
y0
x0 ＝9,
因此kAB＝9·
x0
y0
.
由双曲线方程可得渐近方程为y＝±3x,如图.
对于A,因为kAB＝9×1
1＝9>3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;
对于B,因为kAB＝9×−1
2 ＝－9
2<－3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;
对于C,kAB＝9×1
3＝3,此时直线AB 与渐近线y＝3x 平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;
对于D,因为kAB＝9×−1
−4 ＝9
4<3,所以直线AB 与双曲线有两个交点,满足题意.
法二 选项中的点均位于双曲线两支之间,故A,B 分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线
段AB 的中点坐标为(x0,y0),
则|kAB|＝9|
x0
y0|<3,即|y0|>3|x0|,
结合选项可知选D.
4.(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线x
2
4 －y2＝1 只有一个公共点,则k 的一个取值为 .
答案 1
2(或−1
2 ,答案不唯一)
解析 由题意,知该双曲线的渐近线方程为y＝±1
2x,直线y＝k(x－3)过定点(3,0).
因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐
近线平行,所以k＝±1
2.
5.(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的离心率为√2
2 ,长轴长为4.
(1)求C 的方程;
(2)过点(0,－2)的直线l 与C 交于A,B 两点,O 为坐标原点.若△OAB 的面积为√2,求|AB|.
解 (1)由题意得2a＝4,解得a＝2.
由e＝c
a ＝√2
2 ,得c＝√2
2 a＝√2,
又b2＝a2－c2,所以b＝√2.
所以C 的方程为x
2
4 ＋y
2
2 ＝1.
(2)由题意得l 的斜率存在且不为0,设斜率为k,则直线l 的方程为y＝kx－2,
联立{
y ＝kx −2,
x
2
4 ＋y
2
2 ＝1,消去y 并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0,
由Δ＝16(2k2－1)>0,得k2>1
2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则{
x1＋x2＝
8k
1＋2k
2 ,
x1 x2＝
4
1＋2k
2 .
设直线l 与x 轴交于点M,则M(
2
k ,0),
S△AOB＝1
2|OM||y1－y2|
＝1
2|
2
k||(kx1－2)－(kx2－2)|
＝|x1－x2|
＝√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝4√2k
2−1
1＋2k
2 ＝√2,
解得k2＝3
2.
所以|AB|＝√1＋k
2|x2－x1|
＝√1＋3
2 ×√2＝√5.
【热点突破】
热点一 中点弦问题
已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E 上两点,AB 的中点C(x0,y0),直线AB 的斜率为k.
(1)若椭圆E 的方程为x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0),
则k＝－b
2
a
2·
x0
y0
;
(2)若双曲线E 的方程为x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),则k＝b
2
a
2·
x0
y0
;
(3)若抛物线E 的方程为y2＝2px(p>0),
则k＝p
y0
＝
2 p
y1＋y2.
例1 (1)已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线x－y＋√2＝0 与椭圆C 相交于
不同的两点A,B.若P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点,直线OP 的斜率为－1
2,则椭圆C 的方程为(
)
A. x
2
3 ＋y2＝1
B. x
2
4 ＋y
2
2 ＝1
C. x
2
5 ＋y
2
3 ＝1
D. x
2
6 ＋y
2
3 ＝1
(2)(2025·南通二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:x2－y
2
3 ＝1,过左焦点F 且斜率为k(k>0)
的直线l 与双曲线C 交于A,B 两点,设线段AB 的中点为M,若|OM|＝2,则实数k 的值为
.
答案 (1)B (2)√15
5
解析 (1)因为过椭圆上两点A,B 的直线x－y＋√2＝0 过点F(－√2,0),
所以c＝√2且kAB＝1,
可得kAB＝－b
2
a
2·
x0
y0
＝－b
2
a
2· 1
kOP＝1,
所以b
2
a
2 ＝1
2,即a2＝2b2＝b2＋c2,
所以b＝c＝√2,a＝2,
所以椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
2 ＝1.
(2)法一 由双曲线C:x2－y
2
3 ＝1,
可得a2＝1,b2＝3,
则c＝√a
2＋b
2＝2,
所以双曲线C 的左焦点为F(－2,0),
设过左焦点F 且斜率为k(k>0)的直线l 的方程为y＝k(x＋2),
联立方程组{
y ＝k( x＋2),
x
2−y
2
3 ＝1,
整理得(3－k2)x2－4k2x－(4k2＋3)＝0,其中k≠√3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),且M(x0,y0),
则x1＋x2＝4 k
2
3−k
2,
则x0＝
x1＋x2
2
＝2k
2
3−k
2,
可得y0＝k(x0＋2)＝6k
3−k
2,
即M(
2k
2
3−k
2 , 6k
3−k
2),
因为|OM|＝2,所以√(
2k
2
3−k
2)
2
＋(
6 k
3−k
2)
2
＝2,
可得4 k
4＋36k
2
(3−k
2)
2
＝4,解得k2＝3
5,
又因为k>0,所以k＝√15
5 .
法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则{
x1
2−y1
2
3 ＝1,
x2
2−y2
2
3 ＝1,
两式相减得y1−y2
x1−x2
·
y1＋y2
x1＋x2 ＝3,
即kAB·
y0
x0
＝3.
又F(－2,0),故kAB＝
y0
x0＋2,
则
y0
x0＋2·
y0
x0 ＝3.
即y0
2＝3x0
2＋6x0,
又|OM|2＝x0
2＋y0
2＝4,
则2x0
2＋3x0－2＝0,
解得{
x0＝1
2 ,
y0＝√15
2
或{
x0＝1
2 ,
y0＝−√15
2
或{
x0＝−2,
y0＝0.
因为k＝kAB>0,
故{
x0＝1
2 ,
y0＝√15
2 ,
则k＝kAB＝√15
5 .
规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法:(1)根与系数的关系;(2)点差法;(3)常用结论.
2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.
训练1 (1)(2025·宝鸡调研)已知双曲线E: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F 的直线交
双曲线E 于A,B 两点.若线段AB 的中点坐标为(6,－2),则双曲线E 的方程为( )
A. x
2
5 －y
2
20＝1
B. x
2
16 －y
2
9 ＝1
C. x
2
9 －y
2
16＝1
D. x
2
15 －y
2
10＝1
(2)(2025·福建名校大联考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)分别交于A,B
两点.若线段AB 的中点的横坐标是4
5m,则该双曲线的离心率为 .
答案 (1)D (2)√5
2
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则{
x1
2
a
2 −y1
2
b
2 ＝1,
x2
2
a
2 −y2
2
b
2 ＝1,
两式相减得
y1−y2
x1−x2
＝b
2
a
2·
x1＋x2
y1＋y2,
即0−(−2)
5−6
＝b
2
a
2·
2×6
2×(−2),化简得3b2＝2a2,
又c＝5,c2＝a2＋b2,
解得a2＝15,b2＝10,
所以双曲线E 的方程为x
2
15 －y
2
10＝1.
(2)法一 由线段AB 的中点的横坐标是4
5 m,
得线段AB 的中点的纵坐标是3
5m.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
x−3 y ＋m＝0,
b
2 x
2−a
2 y
2＝a
2b
2,
消去x 得(9b2－a2)y2－6b2my＋b2(m2－a2)＝0,
Δ＝36b4m2－4b2(9b2－a2)(m2－a2)
＝4a2b2·(9b2＋m2－a2)>0,
因此,y1＋y2＝6b
2m
9b
2−a
2 ＝6m
5 ,
整理得a2＝4b2,显然Δ>0 成立,
所以该双曲线的离心率e＝√a
2＋b
2
a
＝√
1＋b
2
a
2 ＝√5
2 .
法二 易知直线x－3y＋m＝0 的斜率为kAB＝1
3,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则{
x1
2
a
2 −y1
2
b
2 ＝1,
x2
2
a
2 −y2
2
b
2 ＝1,
两式相减得
y1−y2
x1−x2 ·
y1＋y2
x1＋x2
＝b
2
a
2,
又AB 的中点横坐标为4
5 m,
则其纵坐标为3
5m,
则1
3 ×
2× 3
5 m
2× 4
5 m
＝1
3 × 3
4 ＝1
4 ＝b
2
a
2,
则双曲线的离心率为e＝√
1＋b
2
a
2 ＝√1＋1
4 ＝√5
2 .
热点二 弦长问题
已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB 的斜率为k(k≠0),
则|AB|＝√( x1−x2)
2＋( y1−y2)
2
＝√1＋k
2|x1－x2|＝√1＋k
2√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
或|AB|＝√
1＋1
k
2|y1－y2|
＝√
1＋1
k
2 √( y1＋y2)
2−4 y1 y2.
例2 (2025·石家庄调研)已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A 为第一象限内
C 上的一点,直线AF2与C 的另一个交点为B,且|AB|＝|AF1|.
(1)证明:|BF1|＝2|AF2|;
(2)若|AF2|＝1,|BF2|＝2,求直线AF1被C 截得的弦长.
(1)证明 由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a,①
由题意,|AF1|＝|AB|＝|AF2|＋|BF2|,②
将②代入①可得2|AF2|＋|BF2|＝|BF1|＋|BF2|,
故得|BF1|＝2|AF2|.
(2)解 若|AF2|＝1,|BF2|＝2,
此时|AF1|＝|AB|＝1＋2＝3,所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝4,则a＝2.
由(1),|BF1|＝2|AF2|＝2＝|BF2|,即点B 为椭圆C 的下顶点.
在△ABF1中,由余弦定理,得cos∠F1BA＝|B F1|
2＋| AB|
2−|A F1|
2
2|B F1|·| AB|
＝2
2＋3
2−3
2
2×2×3
＝1
3,
在△BF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|＝√|B F1|
2＋|B F2|
2−2|B F1|×|B F2|cos∠F1B F2
＝√2×2
2−2×2
2× 1
3 ＝4√3
3 ,
则F1(−2√3
3
,0),F2(
2√3
3
,0).
设曲线C 的半焦距为c,此时c＝2√3
3 ,
又b2＝a2－c2＝4－4
3 ＝8
3,
所以B(0,−2√6
3 ),椭圆C 的方程为x
2
4 ＋3 y
2
8 ＝1.
因为⃗B F2＝2⃗F2 A,
所以(
2√3
3
, 2√6
3 )＝2⃗F2 A,解得A(√3, √6
3 ),
所以直线AF1的斜率为k A F1＝
√6
3 −0
√3＋2√3
3
＝√2
5 ,
此时直线AF1的方程为y＝√2
5 (x＋2√3
3 ).
联立{
x
2
4 ＋3 y
2
8 ＝1,
y ＝√2
5 (x＋2√3
3 ),
消去y 得7x2＋√3x－24＝0(*).
设方程(*)的两个实数根分别为x1,x2,
则x1＋x2＝－√3
7 ,x1x2＝－24
7 ,
故直线AF1被曲线C 截得的弦长为
√1＋2
25|x1－x2|＝3√3
5 √( x1＋x2)
2−4 x1 x2＝3√3
5
×√(−√3
7 )
2
−4×(−24
7 )＝27
7 .
易错提醒 1.设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0 等.
2.涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0 易漏掉.
3.|AB|＝x1＋x2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立.
训练2 (2025·淄博模拟)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),离心率e＝√5
2 ,点P(√5, 1
2)在双曲线
上
(1)求双曲线C 的标准方程;
(2)点F1,F2分别是双曲线C 的左、右焦点,过点F2的直线l 与双曲线的右支交于A,B 两点,若
△ABF1的周长为12,求直线l 的方程.
解 (1)由题意可得c
a ＝√
1＋b
2
a
2 ＝√5
2 ,
则b
2
a
2 ＝1
4,即a2＝4b2,
又因为点P(√5, 1
2)在双曲线上,
所以5
a
2 －
1
4
b
2＝1,
解得b2＝1,a2＝4,
所以双曲线C 的标准方程为x
2
4 －y2＝1.
(2)因为△ABF1的周长为12,所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝12,①
由双曲线的定义可得
|AF1|－|AF2|＝2a＝4,|BF1|－|BF2|＝2a＝4,
所以|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝|AF1|＋|BF1|－|AB|＝8,②
所以由①②可得|AB|＝2,
由(1)知c2＝a2＋b2＝5,所以F2(√5,0),
因为直线l 的斜率不为0,
所以设l:x＝my＋√5,
则联立直线与双曲线方程{
x
2
4 −y
2＝1,
x＝my ＋√5,
消去x 得(m2－4)y2＋2√5my＋1＝0,(*)
当m2－4＝0,即m＝±2,直线与双曲线只有一个交点,不合题意,所以m2－4≠0,
设方程(*)的两实根分别为y1,y2,
则y1＋y2＝－2√5m
m
2−4 ,y1y2＝
1
m
2−4 ,
所以|AB|＝√1＋m
2√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝√1＋m
2√(−2√5m
m
2−4)
2
−4×
1
m
2−4
＝√1＋m
2√
20m
2
(m
2−4)
2 −
4
m
2−4
＝√1＋m
2√
20m
2−4(m
2−4)
(m
2−4)
2
＝4(1＋m
2)
|m
2−4|
＝2,
解得m2＝－6(舍去)或m2＝2
3,
所以m＝±√6
3 ,
直线l 的方程为x＝±√6
3 y＋√5,
即3x±√6y－3√5＝0.
热点三 面积问题
例3 (2025·北京西城区模拟)已知椭圆E: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的离心率为√6
3 ,A 为椭圆E 上一点,且
点A 到椭圆E 的两个焦点的距离之和等于2√6.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)若A 关于原点O 的对称点为B,过点A 与AB 垂直的直线与椭圆E 的另一个交点为C,AH⊥x 轴
于点H,直线BC 与x 轴交于点M.用S△BOM与S△AOH分别表示△BOM 与△AOH 的面积,证明:S△BOM＝
2S△AOH.
(1)解 因为点A 到椭圆E 的两个焦点的距离之和等于2√6,所以2a＝2√6,解得a＝√6,
因为椭圆的离心率为√6
3 ,所以c＝2,
则b2＝a2－c2＝2,
所以椭圆E 的方程为x
2
6 ＋y
2
2 ＝1.
(2)证明 由题意,设点A(x0,y0)(x0y0≠0),则点B(－x0,－y0),H(x0,0).
设直线BC 的方程为y＋y0＝k(x＋x0),C(xC,yC).
联立{
y ＝kx ＋k x0−y0,
x
2＋3 y
2＝6,
消去y 并整理
得(3k2＋1)x2＋6k(kx0－y0)x＋3(k x0−y0)
2－6＝0.
所以Δ>0,－x0＋xC＝
−6 k(k x0−y0)
3k
2＋1
,
－x0xC＝3(k x0−y0)
2−6
3k
2＋1
,
故xC＝
−6k(k x0−y0)
3k
2＋1
＋x0,
yC＝kxC＋kx0－y0
＝−6 k
2(k x0−y0)
3k
2＋1
＋2kx0－y0.
又因为AB⊥AC,所以⃗OA·⃗AC＝(x0,y0)·(
−6k(k x0−y0)
3k
2＋1
, −6k
2(k x0−y0)
3k
2＋1
＋2k x0−2 y0)
＝0,
去分母化简得到(y0－kx0)(y0－3kx0)＝0,
所以y0＝kx0或y0＝3kx0.
当y0＝kx0时,直线BC 过原点,不符合题意.
当y0＝3kx0时,直线BC 的方程为y＝kx－2kx0,则点M 坐标为(2x0,0),
所以S△AOH＝1
2×|OH|×|y0|＝1
2|x0y0|,S△BOM＝1
2×|OM|×|y0|＝|x0y0|.
故S△BOM＝2S△AOH.
规律方法 圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式:S＝1
2×底×高.
(2)正弦面积公式:S＝1
2absin C.
(3)铅锤水平面面积公式:
①过x 轴上的定点:S＝1
2a|y1－y2|(a 为x 轴上定长);②过y 轴上的定点:S＝1
2a|x1－x2|(a 为y 轴上定长).
训练3 (2025·南昌二模)已知抛物线C:y2＝4x,过点D(4,0)作斜率大于0 直线l 与曲线C 交于A,B 两
点.原点O 关于AB 的对称点记为M 点.
(1)求证:OA⊥OB:
(2)当M 在抛物线C 上时,求△ABM 的面积.
(1)证明 设直线l 的方程为x＝my＋4(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与抛物线方程{
x＝my ＋4 ,
y
2＝4 x , 消去x
得y2－4my－16＝0,此时Δ＝16m2＋64>0,
由根与系数的关系得y1y2＝－16,y1＋y2＝4m,x1x2＝y1
2 y2
2
16 ＝(−16)
2
16
＝16,⃗
OA·⃗OB＝x1x2＋y1y2＝16＋(－16)＝0,
所以OA⊥OB.
(2)解 设O 关于直线l 的对称点M(x0,y0),
则{
x0
2 −m y0
2 −4＝0,
y0
x0
· 1
m ＝−1,
解得x0＝
8
m
2＋1,y0＝−8m
m
2＋1,
即M(
8
m
2＋1
, −8m
m
2＋1),
又因为点M 在抛物线C 上,则
64 m
2
(m
2＋1)
2 ＝
32
m
2＋1,解得m＝1.
所以y1＋y2＝4,y1y2＝－16,
所以|y1－y2|＝√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝√16−4×(−16)＝4√5,
所以S△MAB＝S△OAB＝1
2|OD|·|y1－y2|
＝1
2×4×4√5＝8√5.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·兰州诊断)已知抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F,过点F 的直线l 与E 交于A,B 两点,点M
为线段AB 的中点,若点M 的横坐标为p,|AB|＝12,则p＝( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题设知x1＋x2＝2p,则|AB|＝x1＋x2＋p＝3p＝12,得p＝4.
2.(2025·柳州三模)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0).若直线3x＋2y＝0 与C 没有公共点,则C 的
离心率的范围为( )
A.(1, √13
2 )
B.(0, √13
2 )
C.(1, √13
2 ]
D.[
√13
2 ,＋∞)
答案 C
解析 双曲线的一条渐近线为y＝±b
ax,因为直线3x＋2y＝0 与双曲线无公共点,
故有－b
a≥－3
2,即b
2
a
2≤9
4,b
2
a
2 ＝c
2−a
2
a
2
＝e2－1≤9
4,所以e2≤13
4 ,所以e≤√13
2 .
所以e 的范围为(1, √13
2 ].
3.已知椭圆C: y
2
6 ＋x
2
2 ＝1,过点P(
1
2 , 3
2)的直线与椭圆C 交于A,B 两点且AB 的中点为P,则坐标原
点O 到直线AB 的距离为( )
A.1
B.√2
C.2
D.2√2
答案 B
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则{
y1
2
6 ＋x1
2
2 ＝1,
y2
2
6 ＋x2
2
2 ＝1,
两式相减得( y1＋y2)( y1−y2)
6
＋( x1＋x2)( x1−x2)
2
＝0,
由条件可知x1＋x2＝1,y1＋y2＝3,
即y1−y2
2
＋x1−x2
2
＝0,
并且由对称性可知x1≠x2,所以
y1−y2
x1−x2
＝－1,
所以直线AB 的斜率为－1,
所以直线AB 的方程为y－3
2＝－(x−1
2),
即x＋y－2＝0,
所以原点O 到直线AB 的距离d＝2
√2 ＝√2.
4.(2025·石家庄检测)已知双曲线C: x
2
4 －y
2
8 ＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与双
曲线C 交于A,B 两点,若|F1A|＝2|F1B|,则|AB|＝( )
A.4√7
B.2√7
C.4√3
D.4
答案 A
解析 因为双曲线C 的标准方程为x
2
4 －y
2
8 ＝1,
所以a＝2,b＝2√2,c＝2√3.
由题意知过坐标原点的直线与双曲线左、右支各交于一点,不妨设点A 在第一象限.
如图所示,连接F2A.
因为点A,B 关于坐标原点对称,
所以|F1B|＝|F2A|,
又|F1A|＝2|F1B|,
所以|F1A|＝2|F2A|.
由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝2a＝4,
所以|F2A|＝4,|F1A|＝8,
又|F1F2|＝4√3,所以|F1F2|2＋|F2A|2＝|F1A|2,则F1F2⊥F2A,
所以|AB|＝2|OA|＝2√| F2 A |
2＋|O F2|
2＝4√7,故选A.
5.已知F1为椭圆x
2
9 ＋y
2
6 ＝1 的左焦点,过F1作倾斜角为π
3 的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原
点,则△AOB 的面积为( )
A.36
11
B.2√3
3
C.4√3
3
D.3
答案 A
解析 如图,因为直线AB 的倾斜角为π
3 ,
所以斜率为√3,
又直线AB 过点F1(－√3,0),
所以直线AB:y＝√3(x＋√3),
联立{
y ＝√3( x＋√3),
x
2
9 ＋y
2
6 ＝1,
消去x 并整理得11y2－12y－36＝0,
Δ＝144＋4×11×36>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1＋y2＝12
11,y1y2＝－36
11,
所以|y1－y2|＝√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝√
144
121 ＋4×36
11
＝24√3
11 ,
所以S△AOB＝1
2·|OF1|·|y1－y2|
＝1
2 ×√3× 24√3
11
＝36
11.
6.已知过双曲线C: x
2
8 －y
2
4 ＝1 的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A,B,过原点与弦AB 中点
D 的直线交直线x＝－4√3
3 于点E,若△AFE 为等腰直角三角形,则直线l 的方程可以为( )
A.x＋(3－2√2)y＋2√3＝0
B.x－(3＋2√2)y＋2√3＝0
C.x＋(3－2√2)y－2√3＝0
D.x＋(3＋2√2)y＋2√3＝0
答案 A
解析 由题意知F(－2√3,0)
设l:x＝my－2√3(m≠±√2),
因为若△AEF 为等腰直角三角形,且∠AFE 为直角,
所以直线EF 的方程为y＝－m(x＋2√3),
令x＝－4√3
3 ,得y＝－2√3
3 m,
即E(−4√3
3
,−2√3
3
m).
设A(x1,y1),由|EF|＝|AF|可得√
4
3 m
2＋4
3 ＝√( x1＋2√3)
2＋y1
2＝√(m
2＋1) y1
2,
解得y1＝±2√3
3 .
又x1
2
8 －y1
2
4 ＝1,所以x1＝－4√6
3 ,
所以m＝±(3－2√2),
从而直线l 的方程为x＋(3－2√2)y＋2√3＝0 或x－(3－2√2)y＋2√3＝0.
7.抛物线y2＝4x 的焦点为F,过点M(√6,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交
于点C.若|BF|＝3,则|BC |
| AC | ＝( )
A.3
4
B.4
5
C.5
6
D.6
7
答案 A
解析 由抛物线y2＝4x 得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x＝－1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
过A,B 分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为E,N,则|BF|＝|BN|＝x2＋1＝3,所以x2＝2,把x2＝2
代入y2＝4x,可得y2＝±2√2,即点B(2,－2√2)或B(2,2√2).
当点B(2,－2√2)时,点A 在x 轴上方,即y1>0,如图1,由y1
2＝4x1,可得y1＝2√x1,
即A(x1,2√x1),
因为M(√6,0)且kAM＝kMB,即
2√x1
x1−√6 ＝2√2
√6−2,所以x1＝3,
所以|AE|＝3＋1＝4,所以|BC |
| AC | ＝|BN |
| AE| ＝3
4 .
当点B(2,2√2)时,点A 在x 轴下方,即y1<0,
如图2,由y1
2＝4x1,可得y1＝－2√x1,
即A(x1,－2√x1),
因为M(√6,0)且kAM＝kMB,
即
−2√x1
x1−√6 ＝2√2
2−√6,解得x1＝3,
所以|AE|＝3＋1＝4,所以|BC |
| AC | ＝|BN |
| AE| ＝3
4 .
综上,可得|BC |
| AC | ＝3
4 .故选A.
二、多选题
8.(2025·邵阳二模)已知双曲线C: x
2
4 －y
2
5 ＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C 的右支交
于A,B 两点,则( )
A.直线y＝√5
2 x－1 与C 恰有两个公共点
B.双曲线C 的离心率为3
2
C.当∠F1AF2＝60°时,△AF1F2的面积为5√3
D.当直线AB 的斜率为k1,过线段AB 的中点和原点的直线的斜率为k2时,k1k2＝4
5
答案 BC
解析 对于A,联立{
y ＝√5
2 x−1,
x
2
4 −y
2
5 ＝1,
可得{
x＝6√5
5
,
y ＝2,
所以直线y＝√5
2 x－1 与C 恰有一个公共点,A 错;
对于B,对于双曲线C,则a＝2,b＝√5,c＝√a
2＋b
2＝3,
所以双曲线C 的离心率为e＝c
a ＝3
2,B 正确;
对于C,设|F1A|＝m,|F2A|＝n,由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4,
由余弦定理可得| F1 F2|
2＝4c2＝36＝m2＋n2－2mncos 60°＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn＝16＋mn,
可得mn＝20,则S△F1 A F2＝1
2mnsin 60°＝1
2×20×√3
2 ＝5√3,C 正确;
对于D,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
线段AB 的中点为M(
x1＋x2
2
, y1＋y2
2 ),
则k1＝
y1−y2
x1−x2
,k2＝
y1＋y2
2
−0
x1＋x2
2
−0
＝y1＋y2
x1＋x2
,
则k1k2＝
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ,
由题意可得{
x1
2
4 −y1
2
5 ＝1,
x2
2
4 −y2
2
5 ＝1,
所以x1
2−x2
2
4
－y1
2−y2
2
5
＝0,
则k1k2＝
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ＝5
4 ,D 错误.
9.(2025·昆明诊断)已知抛物线C:y2＝4x,过焦点F 的直线与C 交于A,B 两点,O 为坐标原点,则下列
说法正确的有( )
A.弦AB 的最小值为8
B.弦AB 的中点到准线的距离小于|OA |＋|OB|
2
C.存在弦AB,使得AB 的中点坐标为(
5
2 ,3)
D.当AB⊥OF 时,|OA|·|OB|＝5
答案 BD
解析 由题意知,焦点F(1,0),准线方程为直线x＝－1,
令A(
y1
2
4 , y1),B(
y2
2
4 , y2).
对于A,当过焦点F 的直线为x＝1 时,设A 为上交点,易得A(1,2),B(1,－2),此时|AB|min＝4,故A 错
误;
对于B,设AB 的中点为E,过A,B,E 分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,
如图,则|EQ|＝1
2(|AM|＋|BN|)＝1
2(|AF|＋|BF|)＝1
2|AB|,而|AB|<|OA|＋|OB|,所以|EQ|<1
2(|OA|＋|OB|),故
B 正确;
对于C,由抛物线的性质可知
y1y2＝－p2＝－4.①
若存在弦AB,使得AB 中点的坐标为(
5
2 ,3),
则{
y1＋y2＝6,
y1
2
4 ＋y2
2
4 ＝5,
解得{
y1＝2,
y2＝4 或{
y1＝4 ,
y2＝2,
都不满足①式,故C 错误;
对于D,当AB⊥OF 时,
{
y1
2
4 ＝y2
2
4 ＝1,
y1＝−y2,
解得{
y1＝2,
y2＝−2,
由对称性,不妨取A(1,2),B(1,－2),则|OA|＝|OB|＝√5,所以|OA|·|OB|＝5,故D 正确.
三、填空题
10.(2025·深圳模拟)已知双曲线C:x2－y2＝1,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作倾斜角为60°的直线
与双曲线C 交于M,N 两点,则△MNF1的周长为 .
答案 12
解析 因为F1(－√2,0),F2(√2,0),
所以直线MN 为y＝tan 60°(x－√2)＝√3(x－√2),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由{
x
2−y
2＝1,
y ＝√3( x−√2),
得2x2－6√2x＋7＝0,
则x1＋x2＝3√2,x1x2＝7
2,
所以|MN|＝√1＋3·√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝2√18−14＝4,
因为|MF1|＝|MF2|＋2,|NF1|＝|NF2|＋2,
所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4＝|MN|＋4＝8,
所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝12.
11.已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点为A,过A,F 的直线l 与椭圆C 交于另一点
B,若直线l 的斜率为1,且|AB|＝8
3,则椭圆C 的标准方程为 .
答案 x
2
4 ＋y
2
2 ＝1
解析 设F(c,0),由题意知,b＝c,a＝√2c,直线l 的方程为y＝x－c,
与椭圆C 的方程联立化简得3x2－4cx＝0,
所以xA＝0,xB＝4
3 c,
故|AB|＝√2·|xB－xA|＝4√2
3 c＝8
3,
解得c＝√2,所以b＝√2,a＝2,
椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
2 ＝1.
12.已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1,0),一条切线的方程为x＋y＝7,则C 的离
心率e＝ .
答案 1
5
解析 联立直线与椭圆方程{
x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1,
x＋y ＝7 ,
可得(a2＋b2)x2－14a2x＋49a2－a2b2＝0,
则有Δ＝196a4－4(a2＋b2)(49a2－a2b2)＝0,
化简得a4b2＋a2b4＝49a2b2,
又a>b>0,故a2＋b2＝49,
又椭圆的一个焦点的坐标为(1,0),
故有a2－b2＝1,
则a2＝25,故a＝5,则e＝1
5.
四、解答题
13.(2025·豫西北教研联盟质检)设F1,F2分别为椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点,点G
(√3, √3
2 )在椭圆C 上,且关于原点的对称点为H,四边形GF1HF2的面积为√3.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点F2作直线l 与C 交于A,B 两点,△F1AB 的面积为12√2
7
,求l 的方程.
解 (1)设椭圆C 的焦距为2c(c>0),
如图,连接HG,则HG 过点O,
|OG|＝|OH|,
又|OF1|＝|OF2|,
所以四边形GF1HF2为平行四边形,
设其面积为S,则S＝2c·√3
2 ＝√3,所以c＝1,
所以a2－b2＝c2＝1,
又3
a
2 ＋3
4 b
2＝1,
所以a2＝4,b2＝3,
所以椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1.
(2)易知l 的斜率不为0,设l:x＝my＋1,
A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得{
x＝my ＋1,
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,Δ>0,
所以y1＋y2＝−6m
3m
2＋4,y1y2＝
−9
3m
2＋4 .
所以|y1－y2|＝√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝12√m
2＋1
3m
2＋4 ,
由S△F1 AB＝1
2|F1F2||y1－y2|
＝12√m
2＋1
3m
2＋4
＝12√2
7
,
解得m＝±1,
所以l 的方程为x－y－1＝0 或x＋y－1＝0.
14.(2025·嘉兴调研)已知椭圆E: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的长轴长为4,一个焦点为F(1,0).
(1)求椭圆E 的方程及离心率;
(2)过点F 且斜率存在的直线交椭圆E 于A,B 两点,在x 轴上是否存在点M,使得
S△AFM
S△BFM
＝| AM |
|BM | ?若
存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
解 (1)由题意,得2a＝4,c＝1,
所以b2＝a2－c2＝3.
所以椭圆E 的方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
离心率e＝c
a ＝1
2.
(2)假设存在x 轴上的点M(m,0),
设直线AB 的方程为y＝k(x－1)(显然k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程{
y ＝k( x−1),
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
所以x1＋x2＝
8k
2
3＋4 k
2,x1x2＝4 k
2−12
3＋4 k
2 .
法一 因为
S△AFM
S△BFM
＝
1
2 ×| FM |×| AM |sin ∠AMF
1
2 ×| FM |×|BM |sin ∠BMF
＝| AM |sin ∠AMF
|BM |sin ∠BMF .
又
S△AFM
S△BFM
＝| AM |
|BM | ,
所以sin∠AMF＝sin∠BMF.
所以∠AMF＝∠BMF,直线AM 的斜率与直线BM 的斜率互为相反数.
设直线AM 的斜率为k1,直线BM 的斜率为k2,
k1＋k2＝
y1
x1−m ＋
y2
x2−m＝0,
整理可得
y1( x2−m)＋y2( x1−m)
( x1−m)( x2−m)
＝0,
k(x1－1)(x2－m)＋k(x2－1)(x1－m)＝0,
因为k≠0,
所以(x1－1)(x2－m)＋(x2－1)(x1－m)＝0,
则2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m＝0,
即2×4 k
2−12
3＋4 k
2 －(m＋1)×
8k
2
3＋4 k
2＋2m＝0,
解得m＝4.
所以点M 的坐标为(4,0).
法二 因为
S△AFM
S△BFM
＝
1
2 ×| FM |×| y1|
1
2 ×| FM |×| y2|
＝| y1|
| y2| ,又
S△AFM
S△BFM
＝| AM |
|BM | ,所以| AM |
|BM | ＝| y1|
| y2| ,
即√( x1−m)
2＋y1
2
√( x2−m)
2＋y2
2 ＝| y1|
| y2| ,
( x1−m)
2＋y1
2
( x2−m)
2＋y2
2 ＝y1
2
y2
2,
所以
( x1−m)
2＋k
2( x1−1)
2
( x2−m)
2＋k
2( x2−1)
2 ＝k
2( x1−1)
2
k
2( x2−1)
2,
且k≠0,整理得
( x2−1)
2( x1−m)
2＝( x1−1)
2( x2−m)
2,
则[(x2－1)(x1－m)－(x1－1)(x2－m)][(x2－1)(x1－m)＋(x1－1)(x2－m)]＝0,
而(x2－1)(x1－m)－(x1－1)(x2－m)＝(m－1)(x1－x2),显然m≠1,x1≠x2,
所以(x2－1)(x1－m)－(x1－1)(x2－m)≠0,
故(x2－1)(x1－m)＋(x1－1)(x2－m)
＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m＝0,
所以2×4 k
2−12
3＋4 k
2 －(m＋1)×
8k
2
3＋4 k
2＋2m＝0,
解得m＝4.
所以点M 的坐标为(4,0)
