高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特
别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.
【真题体验】
1.(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0 的圆心到直线x－y＋2＝0 的距离为( )
A.√2
B.2
C.3
D.3√2
答案 D
解析 化圆的方程为标准方程,得(x－1)2＋(y＋3)2＝10,所以该圆的圆心(1,－3)到直线x－y＋2＝0
的距离为
|1−(−3)＋2|
√1
2＋(−1)
2
＝6
√2＝3√2.
2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0 是圆(x－a)2＋y2＝1 的一条对称轴,则a＝( )
A.1
2
B.－1
2
C.1
D.－1
答案 A
解析 依题意可知圆心坐标为(a,0),
又直线2x＋y－1＝0 是圆的一条对称轴,
所以2a＋0－1＝0,所以a＝1
2,故选A.
3.(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝√3x＋2 的距离为1 的点有且仅有两个,
则r 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(3,＋∞)
D.(0,＋∞)
答案 B
解析 易得圆心(0,－2)到直线y＝√3x＋2 的距离d＝2.
若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝√3x＋2 的距离为1 的点有且仅有两个,
则d－1<r<d＋1,即1<r<3,故选B.
4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0 与☉C:(x－1)2＋y2＝4 交于A,B 两点,写出满足
“△ABC 面积为8
5”的m 的一个值 .
答案 2(答案不唯一,可以是±1
2,±2 中任意一个)
解析 设圆心C(1,0)到直线x－my＋1＝0 的距离为h,则|AB|＝2√4−h
2,
由h√4−h
2＝8
5,解得h＝2√5
5 或h＝4√5
5 ,
若h＝2√5
5 ,则
2
√1＋m
2 ＝2√5
5 ,解得m＝2 或－2;
若h＝4√5
5 ,则
2
√1＋m
2 ＝4√5
5 ,解得m＝1
2或－1
2.
故答案为－2,2,－1
2,1
2中的任意一个即可.
5.(2025·天津卷)l1:x－y＋6＝0 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于
C,D 两点,|AB|＝3|CD|,则r＝ .
答案 2
解析 因为直线l1:x－y＋6＝0 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,
所以A(－6,0),B(0,6),所以|AB|＝6√2.
因为|AB|＝3|CD|,所以|CD|＝2√2.
圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1,3),
圆心到直线l1的距离d＝|−1−3＋6|
√2
＝√2,
所以r＝√
d
2＋(
|CD|
2 )
2
＝√2＋2＝2.
【热点突破】
热点一 直线的方程及应用
1.已知直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0(A1,B1不同时为零),直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0(A2,B2不同时为零),则:
l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0,且A1C2－A2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2.两平行直线l1:Ax＋By＋C1＝0 与l2:Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
|C1−C2|
√A
2＋B
2 (A2＋B2≠0).
3.点(x0,y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0 的距离d＝
|A x0＋B y0＋C|
√A
2＋B
2
(A2＋B2≠0).
例1 (1)(2025·济南模拟)若直线l1:(m－2)x＋3y＋3＝0 与直线l2:2x＋(m－1)y＋2＝0 平行,则m＝(
)
A.4
B.－4
C.1 或－4
D.－1 或4
(2)(多选)已知直线l:√3x－y＋1＝0,下面四个说法中正确的是( )
A.若直线m:x－√3y＋1＝0,则l⊥m
B.与直线n:2√3x－2y＋3＝0 之间的距离是1
C.点(√3,0)到直线l 的距离为2
D.过点(2√3,2),并且与直线l 平行的直线方程为√3x－y－4＝0
答案 (1)D (2)CD
解析 (1)由l1∥l2,
可得{
(m−2)(m−1)−3×2＝0,
2(m−2)−2×3≠0,
解得m＝4 或m＝－1.
(2)对于A,直线m 的斜率k＝√3
3 ,倾斜角为π
6 ,与直线l 不垂直,A 不正确;
对于B,直线n:2√3x－2y＋3＝0 化为√3x－y＋3
2＝0,
所以直线l 与直线n 的距离为
|1−3
2|
√(√3)
2＋(−1)
2 ＝1
4
,B 不正确;
对于C,点(√3,0)到直线l 的距离
d＝|√3×√3−0＋1|
2
＝2,C 正确;
对于D,过点(2√3,2),与直线l 平行的直线方程为y－2＝√3(x－2√3),即√3x－y－4＝0,D 正确.
易错提醒 讨论两直线的位置关系时,要考虑斜率不存在的情况;求解两条直线平行问题时,要注意
排除两条直线重合的情况.
训练1 (多选)下列说法正确的是( )
A.过点A(－2,－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x＋y＝－5
B.直线ax＋y＋1＝0 与以A(2,3),B(－3,2)为端点的线段相交,则a 的取值范围是(－∞,－2]∪[1,＋
∞)
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ 的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
答案 BD
解析 对于A,当在两坐标轴上的截距相等且等于0 时,直线过原点,
可设直线方程为y＝kx,又直线过点A(－2,－3),
则－3＝－2k,即k＝3
2,
此时直线方程为y＝3
2x,也满足题意,
所以A 错误;
对于B,直线l:ax＋y＋1＝0 过定点P(0,－1),如图,直线l 的斜率为－a,直线PA,PB 的斜率分别为
kPA＝3−(−1)
2−0
＝2,kPB＝2−(−1)
−3−0 ＝－1,若直线l 与线段AB 总有公共点,则－a≤－1 或－a≥2,得
a≤－2 或a≥1,即a 的取值范围是(－∞,－2]∪[1,＋∞),所以B 正确;
对于C,当倾斜角θ＝π
2 时,此时直线的斜率不存在,tan θ 无意义,所以C 错误;
对于D,由两点(x1,y1),(x2,y2),
当x1≠x2时,此时过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝
y2−y1
x2−x1
(x－x1),
即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1),
当x1＝x2时,此时过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2,适合上式,
所以过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1),
所以D 正确.
热点二 圆的方程
1.圆的标准方程:(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
2.圆的一般方程:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),圆心为(−D
2 ,−E
2),半径为r＝
√D
2＋E
2−4 F
2
.
例2 (1)(2025·南通调研)已知曲线y＝x2－x－2 与x 轴交于A,B 两点,圆M 经过A,B,C(2,4)三点,则
圆M 的方程为( )
A.x2＋y2－x－4y－2＝0
B.x2＋y2－3x＋2＝0
C.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
D.x2＋y2＋x－y－18＝0
(2)(2025·北京西城区模拟)已知圆C 经过点(－1,0)和(3,0),且与直线y＝2 相切,则圆C 的方程为
.
答案 (1)A (2)(x－1)2＋y2＝4
解析 (1)由题不妨设A,B 两点的坐标分别为(－1,0),(2,0),
法一 设圆M 的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,
将A,B,C 三点的坐标代入圆M 的方程,
可得{
1−D＋F ＝0,
4＋2 D＋F ＝0,
20＋2 D＋4 E＋F ＝0,
解得{
D＝−1,
E＝−4 ,
F ＝−2,
即圆M 的方程为x2＋y2－x－4y－2＝0.故选A.
法二 设圆M 的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2,
分别将A,B,C 三点的坐标代入,
列式求出a＝1
2,b＝2,r＝5
2,
即所求圆的方程为(x−1
2)
2
＋(y－2)2＝25
4 ,
即x2＋y2－x－4y－2＝0.
法三 圆心既在线段AB 的中垂线x＝1
2上,
又在线段BC 的中垂线y＝2 上,
因而圆心坐标为(
1
2 ,2),
半径为√(
1
2 ＋1)
2
＋(2−0)
2＝5
2,
故所求圆的方程为(x−1
2)
2
＋(y－2)2＝25
4 ,
即x2＋y2－x－4y－2＝0.
法四 由C(2,4),可得|AB|＝3,|BC|＝4,|AC|＝5,
则△ABC 是直角三角形,过其三个顶点的圆,
圆心为AC 的中点,AC 为圆的直径,
则(x＋1)(x－2)＋(y－0)(y－4)＝0,
即x2＋y2－x－4y－2＝0.
(2)设圆C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0),
由题意可得{
(−1−a)
2＋(0−b)
2＝r
2,
(3−a)
2＋(0−b)
2＝r
2,
|2−b|＝r ,
解得{
a＝1,
b＝0,
r ＝2.
所以圆C 的方程为(x－1)2＋y2＝4.
规律方法 求圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
训练2 (1)已知圆C1:x2＋y2＝4 与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0 对称,则圆C2的标准方程为( )
A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4
B.(x－4)2＋(y－2)2＝4
C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4
D.(x－2)2＋(y－4)2＝4
(2)(2025·天津调研)在平面直角坐标系xOy 中,若圆C 的圆心在x 轴上,且与y 轴相切,则圆C 的标准
方程可以为 .(写出满足条件的一个答案即可)
答案 (1)A (2)(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)
解析 (1)由题意可得,圆C1的圆心坐标为(0,0),半径为2,设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0 的
对称点为C2(a,b),
则{
b
a ×(−2)＝−1,
2× a
2 ＋b
2 ＋5＝0,
解得{
a＝−4 ,
b＝−2,
所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0),
因圆C 的圆心在x 轴上,且与y 轴相切,
则|a|＝r,b＝0,
则圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2,
故任取不为零的实数a 即可,现取a＝1,
故答案为(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一).
热点三 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离.
判断方法:
(1)点线距离法(几何法).
(2)判别式法:设圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2,直线l:Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0),方程组
{
Ax＋By ＋C ＝0,
( x−a)
2＋( y −b)
2＝r
2,消去y,得到关于x 的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离
⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ＝0,直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(多选)(2025·上饶模拟)已知直线l:ax＋(a＋1)y＋2＝0,圆O:x2＋y2＝9,则下列说法正确的是(
)
A.存在实数a,使圆O 关于直线l 对称
B.直线l 过定点(2,－2)
C.对任意实数a,直线l 与圆O 有两个不同的公共点
D.当a＝－1
2时,直线l 被圆O 所截弦长为2
(2)(2025·郑州质检)已知圆C:(x＋1)2＋y2＝2,点P 在直线l:x－y－3＝0 上运动,直线PA,PB 与圆C
相切,切点为A,B,则下列说法正确的是( )
A.|PA|的最小值为2
B.|PA|最小时,弦AB 长为√6
C.|PA|最小时,弦AB 所在直线的斜率为－1
D.四边形PACB 的面积的最小值为√3
答案 (1)BCD (2)B
解析 (1)对于A,因为圆O 的圆心(0,0)不在直线l 上,所以不论实数a 为何值,圆O 都不关于直线l
对称,
即不存在实数a,使圆O 关于直线l 对称,故A 错误;
对于B,因为2a－2(a＋1)＋2＝0 恒成立,所以直线l 过定点(2,－2),故B 正确;
对于C,因为22＋(－2)2＝8<9,所以点(2,－2)在圆O:x2＋y2＝9 内部,又直线l 过定点(2,－2),所以直
线l 与圆O 必有两个不同的公共点,故C 正确;
对于D,当a＝－1
2时,直线l:－1
2x＋(−1
2 ＋1)y＋2＝0,即x－y－4＝0.
圆心O 到直线l 的距离为d＝4
√2＝2√2,
所以弦长为2√R
2−d
2＝2√9−8＝2,故D 正确.
(2)由圆的方程可知,圆心C(－1,0),
半径r＝√2,
如图,连接PC.
|PA|＝√| PC |
2−| AC |
2
＝√| PC |
2−2,
当PC⊥l 时,|PC|最小,此时|PA|最小.
对于A,|PC|min＝|−1−0−3|
√2
＝2√2,
所以|PA|min＝√(2√2)
2−2＝√6,故A 错误;
对于B,当|PA|最小时,S△PAC＝1
2|PA|·r＝1
2|PC|·1
2|AB|,
即1
2 ×√6×√2＝1
4×2√2×|AB|,
解得|AB|＝√6,故B 正确;
对于C,因为PC⊥l,PC⊥AB,
所以AB∥l,所以kAB＝kl＝1,故C 错误;
对于D,四边形PACB 的面积S＝2S△PAC＝|PA|·r,
所以当|PA|最小时,四边形PACB 的面积最小,最小值为√6×√2＝2√3,故D 错误.
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (多选)已知圆O:x2＋y2＝1,圆C:(x－a)2＋(y－1)2＝4,a∈R,则( )
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O 与圆C 相切,则a＝±2√2
C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线,则－2√2<a<2√2
D.若圆O 与圆C 相交,则公共弦长的最大值为2
答案 AD
解析 根据题意,可得圆O:x2＋y2＝1 的圆心为O(0,0),半径r＝1,
圆C:(x－a)2＋(y－1)2＝4 的圆心为C(a,1),半径R＝2.
对于A,因为两圆的圆心距d＝|OC|＝√a
2＋1≥1,所以A 正确;
对于B,两圆内切时,圆心距d＝|OC|＝R－r＝1,即√a
2＋1＝1,解得a＝0.
两圆外切时,圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3,
即√a
2＋1＝3,解得a＝±2√2.
综上所述,若两圆相切,则a＝0 或a＝±2√2,故B 不正确;
对于C,若圆O 与圆C 恰有两条公切线,
则两圆相交,d＝|OC|∈(R－r,R＋r),
可得1<√a
2＋1<3,
解得－2√2<a<2√2且a≠0,故C 不正确;
对于D,若圆O 与圆C 相交,则当圆O:x2＋y2＝1 的圆心O 在公共弦上时,公共弦长等于2r＝2,达到
最大值,因此,两圆相交时,公共弦长的最大值为2,故D 正确.
规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦
长l
2,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理.
2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得,进而在一个圆内,利用垂径定理求公共弦长.
训练3 (1)(多选)(2025·潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C:x2＋y2＝18,则( )
A.点P 在C 内
B.点P 与C 上的点之间的最大距离为6√2
C.以点P 为中点的弦所在直线的方程为x＋y－4＝0
D.过点P 的直线被C 截得弦长的最小值为√10
(2)(2025·合肥二模)已知点A(－2√3,0),C,D 是☉O:x2＋y2＝16 与x 轴的交点.点B 满足:以AB 为直径
的圆与☉O 相切,则△BCD 面积的最大值为 .
答案 (1)AC (2)8
解析 (1)对于A,因为22＋22＝8<18,所以点P 在C 内,故A 正确;
对于B,由|PC|＝√2
2＋2
2＝2√2,r＝3√2,
知点P 与C 上的点之间的最大距离为2√2＋3√2＝5√2,故B 错误;
对于C,由kOP＝2−0
2−0＝1,可知以点P 为中点的弦所在直线斜率为k＝－1,
故弦所在直线为y－2＝－(x－2),
即x＋y－4＝0,故C 正确;
对于D,由圆的性质可知,当OP 与过P 的弦垂直时,所得弦长最短,此时弦长为2√r
2−|OP|
2＝2
√18−8＝2√10,故D 错误.
(2)如图,设以AB 为直径的圆的圆心为E,取F(2√3,0),
显然两圆内切,
所以|OE|＝4－1
2|BA|,
又OE 为△ABF 的中位线,
所以|OE|＝1
2|BF|,
所以1
2|BF|＝4－1
2|BA|,
得|BA|＋|BF|＝8>4√3,
所以B 的轨迹为以A,F 为焦点的椭圆,
2a＝8,得a＝4,c＝2√3,得b＝√a
2−c
2＝√16−12＝2,显然当B 为椭圆短轴顶点即(0,2)或(0,－2)时,
S△BCD的面积最大,最大值为1
2|BO|×|CD|＝1
2×2×8＝8.
热点四 隐圆问题
在解决某些解析几何问题时,题设条件看似与圆毫无关系,但通过对题目条件的分析、转化后,会发
现此问题与圆有关,进而利用圆的性质解题,一般我们称之为隐圆问题.
例5 (1)已知直线kx－y＋2k＝0 与直线x＋ky－2＝0 相交于点P,点A(4,0),O 为坐标原点,则
tan∠OAP 的最大值为( )
A.2－√3
B.√3
3
C.1
D.√3
(2)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C:(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1,点A(0,2),若圆C 上存在点M,满足|
MA|2＋|MO|2＝10,则实数a 的取值范围是 .
答案 (1)B (2)[0,3]
解析 (1)直线kx－y＋2k＝0 恒过定点M(－2,0),直线x＋ky－2＝0 恒过定点N(2,0),
又易知两直线垂直,故P 点轨迹是以(0,0)为圆心,2 为半径的圆,除去与x 轴的交点,
于是得x2＋y2＝4(x≠±2),
如图,观察图形可知,射线AP 绕点A 旋转∠OAP∈(0, π
2),
当旋转到与圆O:x2＋y2＝4 相切时,∠OAP 最大,
因为|OA|＝4,AP'为切线,点P'为切点,
|OP'|＝2,∠OP'A＝π
2 ,
则∠OAP'＝π
6 ,
所以∠OAP 最大值为π
6 ,
所以(tan∠OAP)max＝tanπ
6 ＝√3
3 .
(2)设M(x,y),由|MA|2＋|MO|2＝10 可得
x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10,
即x2＋(y－1)2＝4,
则点M 在圆x2＋(y－1)2＝4 上,
由题目条件可知点M 在圆C:
(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上,
所以两圆相交或相切,
则2－1≤√(a−0)
2＋(a−2−1)
2≤1＋2,
解得0≤a≤3.
规律方法 确定隐圆的几种方法:
(1)借助圆的定义;(2)借助距离的平方和为常数;(3)借助平面向量的数量积为定值;(4)借助距离比值为
常数(
| PA |
| PB| ＝λ , λ>0
λ
且≠1,
P
动点
的轨迹为阿波罗尼斯圆).
训练4 (多选)在平面直角坐标系中,存在三点A(－1,0),B(1,0),C(0,7),动点P 满足|PA|＝√2|PB|,则
( )
A.点P 的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B.△PAB 面积最大时,|PA|＝2√6
C.∠PAB 最大时,|PA|＝2√6
D.P 到直线AC 距离的最小值为4√2
5
答案 ABD
解析 设P(x,y),
由|PA|＝√2|PB|得|PA|2＝2|PB|2,
即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2],
化简可得(x－3)2＋y2＝8,
即点P 的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8,A 正确;
∵直线AB 过圆(x－3)2＋y2＝8 的圆心,
∴点P 到直线AB 的距离的最大值为圆
(x－3)2＋y2＝8 的半径r,即为2√2,
∵|AB|＝2,
∴△PAB 面积最大为1
2×2×2√2＝2√2,
此时P(3,±2√2),
∴|PA|＝√(3＋1)
2＋(2√2)
2＝2√6,B 正确;
当∠PAB 最大时,
则PA 为圆(x－3)2＋y2＝8 的切线,
∴|PA|＝√(3＋1)
2−8＝2√2,C 错误;
直线AC 的方程为7x－y＋7＝0,
则圆心(3,0)到直线AC 的距离为
|7×3−0＋7|
√7
2＋1
＝14√2
5
,
∴点P 到直线AC 距离的最小值为
14√2
5
－2√2＝4√2
5 ,D 正确.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·桂林二模)已知直线l 的一个方向向量为a＝(2,1),则过点A(1,－1)且与l 垂直的直线方程为
( )
A.x－2y－3＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0
D.2x＋y－1＝0
答案 D
解析 因为直线l 的一个方向向量为a＝(2,1),
所以直线l 斜率为1
2,
所以与l 垂直的直线斜率为－2,
所以所求直线方程为y＋1＝－2(x－1),
即2x＋y－1＝0.
2.(2025·临沂模拟)圆C1:x2＋y2＝1 与圆C2:x2＋y2－6x－8y＋9＝0 的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
答案 C
解析 圆C1:x2＋y2＝1 的圆心C1(0,0),半径r1＝1,圆C2:x2＋y2－6x－8y＋9＝0,
即C2:(x－3)2＋(y－4)2＝16,圆心C2(3,4),半径r2＝4,
则|C1C2|＝√3
2＋4
2＝5＝r1＋r2,
所以两圆外切.
3.(2025·厦门二模)直线l:√3x－y＝0 被圆C:(x－1)2＋y2＝1 所截得的弦长为( )
A.1
B.√2
C.√3
D.2
答案 A
解析 圆C:(x－1)2＋y2＝1 的圆心C(1,0),半径r＝1,
点C 到直线l:√3x－y＝0 的距离d＝√3
2 ,
所以所求弦长为2√r
2−d
2＝2√
1−(
√3
2 )
2
＝1.
4.(2025·西城区模拟)在平面直角坐标系xOy 中,若从点A(0,t)发出的光线经过点B(1,0),且被x 轴反
射后将圆C:(x－4)2＋(y－3)2＝1 平分,则实数t＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 如图所示.
点A 关于x 轴的对称点为M(0,－t),由对称性可知,点M,B,圆心C(4,3)三点共线,则kBM＝kBC,即
0＋t
1−0 ＝3−0
4−1,解得t＝1.
5.折纸艺术是我国民间的传统文化,将一矩形OABC 纸片放在平面直角坐标系中,
O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k,则k 的取
值范围是( )
A.[0,1]
B.[0,2]
C.[－1,0]
D.[－2,0]
答案 D
解析 如图,要想使折叠后O 点落在线段BC 上,可取BC 上任意一点D,作线段OD 的垂直平分线
l,以l 为折痕可使点O 与D 重合,k 即为直线l 的斜率.
因为kOD≥kOB＝1
2,
由k＝－1
kOD,可知－2≤k<0.
当折叠后点O 与C 重合时,k＝0,
所以－2≤k≤0,
则k 的取值范围是[－2,0],故选D.
6.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,
后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B 间的距离为2,动点P 满足| PA |
| PB| ＝√2,则|
PA|2＋|PB|2的最小值为( )
A.36－24√2
B.48－24√2
C.36√2
D.24√2
答案 A
解析 以经过A,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,
则A(－1,0),B(1,0),
设P(x,y),则| PA |
| PB| ＝√( x＋1)
2＋y
2
√( x−1)
2＋y
2 ＝√2,
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0,
即(x－3)2＋y2＝8,
所以点P 的轨迹是以(3,0)为圆心,2√2为半径的圆,
则有|PA|2＋|PB|2
＝2(x2＋y2)＋2
＝2|OP|2＋2,
如图所示.
当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时,此时,|OP|取最小值,
且|OP|＝3－2√2,
因此,|PA|2＋|PB|2≥2×(3－2√2)2＋2＝36－24√2,故选A.
7.(2025·秦皇岛模拟)已知圆M:x2＋y2－4x－4y＋4＝0 与y 轴相切于A 点,过A 点的直线l 交圆M 于
另一点B,点F(0,3),O 为坐标原点,若| AO|
| AF | ＝|BO|
|BF | ,则直线l 的方程为( )
A.x－2y＋4＝0
B.2x－y＋2＝0
C.x－y＋2＝0
D.3x－2y＋4＝0
答案 C
解析 圆M:x2＋y2－4x－4y＋4＝0,
即(x－2)2＋(y－2)2＝4,
且圆M 与y 轴相切于A 点,故A(0,2),
所以| AO|
| AF | ＝2
1 ＝|BO|
|BF | ,
设动点B(x,y),满足|BO|
|BF | ＝2,
则|BO|2＝4|BF|2,
则x2＋y2＝4[x2＋(y－3)2],
即x2＋y2－8y＋12＝0,
故B 点的轨迹是圆,且| AO|
| AF | ＝|BO|
|BF | ＝2,
故A,B 两点均在圆x2＋y2－8y＋12＝0 上,且A,B 两点均在圆M 上,故直线l 的方程为两个圆的公共
弦方程,
两个圆的方程相减得4x－4y＋8＝0,
即x－y＋2＝0.
8.(2025·湖州调研)已知圆C:(x－4)2＋(y－3)2＝1 和两点A(－m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,
使得∠APB＝90°,则m 的最大值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
解析 以AB 为直径的圆O 的方程为x2＋y2＝m2,圆心为原点,半径为r1＝m.
圆C:(x－4)2＋(y－3)2＝1 的圆心为(4,3),半径为r2＝1.
要使圆C 上存在点P,使得∠APB＝90°,则圆O 与圆C 有公共点,
所以|r1－r2|≤|OC|≤|r1＋r2|,
即|m－1|≤√4
2＋3
2≤|m＋1|,
所以{
|m −1|≤5,
|m ＋1|≥5,
m>0,
解得4≤m≤6,所以m 的最大值为6.
二、多选题
9.已知直线l:ax＋(2a＋3)y－3＝0,直线n:(a－2)x＋ay－1＝0,则( )
A.当a＝－2 时,l∥n
B.当a＝1
3时,l⊥n
C.当l∥n 时,直线l,n 之间的距离为√5
2
D.坐标原点到直线n 的距离的最大值为√2
2
答案 ACD
解析 对于A,当a＝－2 时,l:2x＋y＋3＝0,
n:2x＋y＋1
2＝0,易知l∥n,A 正确;
对于B,当a＝1
3时,l:x＋11y－9＝0,n:5x－y＋3＝0,则1×5＋11×(－1)＝－6≠0,
故l⊥n 不成立,B 错误;
对于C,当l∥n 时,则
{
a
2＝(2a＋3)(a−2),
(−1)×a−(−3)(a−2)≠0,解得a＝－2,
此时l:2x＋y＋3＝0,n:2x＋y＋1
2＝0,直线l,n 之间的距离d＝|3−1
2|
√5
＝√5
2
,C 正确;
对于D,坐标原点(0,0)到直线n 的距离d＝
1
√a
2＋(a−2)
2 ＝
1
√2(a−1)
2＋2,故当a＝1 时,dmax＝√2
2
,D 正确.
10.(2025·毕节二模)已知圆O:x2＋y2＝4,圆C:x2＋y2＋2y＋a＝0,则( )
A.当a＝0 时,圆O 与圆C 相切
B.当a＝－3 时,圆O 与圆C 相交于M,N 两点,且直线MN 的方程为y＝－1
2
C.当0<a<1 时,圆O 与圆C 相交
D.当a＝－3 时,圆O 与圆C 相交于M,N 两点,且|MN|＝2√3
答案 AB
解析 圆C:x2＋(y＋1)2＝1－a,则a<1,
圆O 的圆心O(0,0),半径为r1＝2;
圆C 的圆心C(0,－1),半径为r2＝√1−a,
则|OC|＝1,r1＋r2＝2＋√1−a,|r1－r2|＝|2－√1−a|,
对于A,当a＝0 时,r1＋r2＝3,|r1－r2|＝1,则|OC|＝|r1－r2|,故两圆内切,故A 正确;
对于B,当a＝－3 时,r1＋r2＝4,|r1－r2|＝0,则|r1－r2|<|OC|<r1＋r2,故两圆相交,又圆C:x2＋y2＋2y－3
＝0,两圆作差得直线MN 的方程为y＝－1
2,故B 正确;
对于C,两圆相交,则|r1－r2|<|OC|<r1＋r2,即|2－√1−a|<1<2＋√1−a,解得－8<a<0,故C 错误;
对于D,由选项B 可知,此时圆心O 到直线MN 的距离为1
2,则|MN|＝2√4−1
4 ＝√15,故D 错误.
11.(2025·渭南二模)设直线系M:xcos θ＋(y－2)sin θ＝3(0≤θ<2π),则下列四个命题为真命题的是(
)
A.M 中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D.对于任意整数n(n≥3),存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上
答案 BD
解析 对于A,可令{
x＝3cosθ ,
y ＝2＋3sinθ ,
消去θ 可得x2＋(y－2)2＝9,
故直线系M 表示圆x2＋(y－2)2＝9 的切线的集合,故A 错误;
对于B,对任意θ,存在定点(0,2)不在直线系M 中的任一条直线上,故B 正确;
对于C,M 中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等,故面积也不一定相等,如图中的等边三角
形ABC 和ADE,
故C 错误;
对于D,由于圆x2＋(y－2)2＝9 的外切正n 边形,其所有边均在直线系M 中的直线上,故D 正确.
三、填空题
12.经过点P(1,1)以及圆x2＋y2－4＝0 与x2＋y2－4x＋4y－12＝0 交点的圆的方程为 .
答案 x2＋y2＋x－y－2＝0
解析 设过圆x2＋y2－4＝0 与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0 交点的圆的方程为x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x
＋4y－12)＝0(*),
把点P(1,1)代入(*)式得λ＝－1
5,把λ＝－1
5代入(*)式化简得x2＋y2＋x－y－2＝0,所以所求圆的方程
为x2＋y2＋x－y－2＝0.
13.(2025·南京调研)在平面直角坐标系中,若定义两点A1(x1,y1)和A2(x2,y2)之间的“t 距离”为“|
A1A2|t＝max{
| x1−x2|
1＋| x1−x2| ,| y1−y2|
1＋| y1−y2|},其中max{p,q}表示p,q 中的较大者,则点A1(0,0)与点
A2(1,2)之间的“t 距离”为 ;若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t 距离”为1
2,则A 点的
轨迹围成的封闭图形的面积为 .
答案 2
3 4
解析 点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t 距离”为
|A1A2|t＝max{
| x1−x2|
1＋| x1−x2| ,| y1−y2|
1＋| y1−y2|}＝max{
1
1＋1 ,
2
1＋2}＝max{
1
2 , 2
3}＝2
3.
若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t 距离”为1
2,
则|AA0|t＝max{
|x −1|
1＋|x −1| ,
|y −1|
1＋|y −1|}＝1
2,
不妨设|AA0|t＝|x −1|
1＋|x −1| ＝1
2,
解得x＝0 或x＝2,
此时|y −1|
1＋|y −1|≤1
2,即0≤y≤2,
由对称性可知,当y＝0 或y＝2 时,0≤x≤2,如图所示,
A 点的轨迹就是正方形OBCD,
则A 点的轨迹围成的封闭图形的面积为2×2＝4.
14.在平面直角坐标系xOy 中,点M(3,0),N(
3
2 ,0),直线l:(2m＋1)x－(4m－1)y＋m－1＝0(m≠0),动
点P 满足|PM|＝2|PN|,则动点P 的轨迹Γ 的方程为 ,若Γ 的对称中心为C,l 与Γ 交于A,B
两点,则△ABC 面积的最大值为 .
答案 (x－1)2＋y2＝1 1
2
解析 设P(x,y),由题意得√( x −3)
2＋y
2＝2√(x−3
2)
2
＋y
2,
化简得Γ 的方程为(x－1)2＋y2＝1;
则C(1,0),直线l 的方程可化为(x＋y－1)＋m(2x－4y＋1)＝0,
由{
x＋y −1＝0,
2 x−4 y ＋1＝0, 解得{
x＝1
2 ,
y ＝1
2 ,
所以直线l 过定点D(
1
2 , 1
2),
又|DC|2＝(
1
2 −1)
2
＋(
1
2)
2
＝1
2<1,
所以点D(
1
2 , 1
2)在圆C 的内部;
作直线CE⊥l,垂足为E,
设∠DCE＝θ(θ∈[0, π
2)),易求|DC|＝√2
2 ,
所以|CE|＝|DC|cos θ＝√2
2 cos θ,
所以|AB|＝2√
1−(
√2
2 cosθ)
2
＝2√1−co s
2θ
2
,
所以S△ABC＝1
2×2√1−1
2 co s
2θ× √2
2 cos θ
＝√2
2 √−1
2 (co s
2θ−1)
2＋1
2,
所以当cos2θ＝1,即θ＝0 时,(S△ABC)max＝1
2
