1
专题突破练10 空间位置关系的判断与证明
必备知识夯实练
1.(2025 湖南岳阳二模)已知直线m,n,l,平面α,β,若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法正
确的是( )
A.若m∥α,则m⊥β
B.若m⊂α,n⊂β,则m⊥n
C.若m⊂α,则m⊥β
D.若m⊂α,则直线m 必垂直于平面β 内的无数条直线
2.(多选题)(2025 浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD 中,E,F 分别是AP,BC 上的点, AE
EP = BF
FC
,
则下列条件可以确定EF∥平面PCD 的是( )
A.AD∥BC
B.AB∥CD
C.BC∥平面PAD
D.CD∥平面PAB
关键能力提升练
3.(12 分)(2023 全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB⊥BC,AB=2,BC=2√2, PB=PC=
√6,BP,AP,BC 的中点分别为D,E,O,点F 在AC 上,BF⊥AO.
(1)求证:EF∥平面ADO;
(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC 的体积.
4.(15 分)(2025 江苏淮安模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点Q 为BC
的中点,点P 为CC1上一点.
2
(1)若平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,求证:A1B∥l;
(2)当平面APQ⊥平面APB1时,求CP 的长度.
核心素养创新练
5.(17 分)(2025 江苏无锡期中)如图几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)
以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的.已知AD=2,AB=4,P 是
CE
⏜上的中点,Q 是AC
的中点,BP 与CE 交于点O.
(1)求该几何体的体积;
(2)求证:OQ∥平面ABEF;
(3)若M 是
DF
⏜上的一点,且满足平面OMQ∥平面ABEF,求sin∠FAM 的值.
3
答案：
1.D 解析 若m∥α,则m 与β 也可能平行或者m⊂β,故A 错误;若m⊂α,n⊂β,当m,n 至少
有一条直线与l 垂直时才有m⊥n,否则还有可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况,
故B 错误;若m⊂α,且m⊥l,才会有m⊥β,否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况,
故C 错误;对于D,当直线a⊂β,且a⊥l,此时a⊥m,故满足条件的直线a 有无数条,故D 正
确.故选D.
2.BD 解析 如图,过点E 作EG∥PD 交AD 于点G,连接GF,即有EG∥平面PCD,由于
△AEG∽△APD,所以AG
GD = AE
EP = BF
FC
,若AB∥CD,则GF∥CD,又GF⊄平面PCD,CD⊂平
面PCD,所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EGF,得平面EGF∥平面PCD,
又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面PCD,故B 正确;
若CD∥平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,所以EF∥平面PCD,
故D 正确;
假设EF∥平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF∥PH,若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平
面PAD=AD,所以BC∥AD,反之,若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即选项A,C 同时
正确或错误.若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB 与CD 相交.若AB 与CD 相交,由
AG
GD = BF
FC
知延长FG 必与AB,CD 交于同一点O,由几何关系知EF 与PH 不平行,故A,C
错误.故选BD.
3.(1)证明 设⃗AF=λ⃗AC(0<λ<1),则⃗BF -⃗BA=λ(⃗BC -⃗BA),
所以⃗BF=(1-λ)⃗BA+λ⃗BC .
因为O 为BC 的中点,则⃗BO = 1
2⃗BC,所以⃗AO =⃗BO -⃗BA = 1
2⃗BC -⃗BA .
因为AB⊥BC,则⃗BA ·⃗BC=0,因为AB=2,BC=2√2,BF⊥AO,
则⃗BF ·⃗AO=[(1-λ)⃗BA+λ⃗BC]·(1
2⃗BC -⃗BA)=1
2 λ⃗BC
2-(1-λ)⃗BA
2=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=1
2
,
故F 为AC 的中点.
又因为E 为PA 的中点,则EF∥PC,又D,O 分别为PB,BC 的中点,所以DO∥PC,则
EF∥DO,因为EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO.
4
(2)解 连接OF,PF.
∵O,F 分别为BC,AC 中点,且AB⊥BC,∴OF⊥BC.
又PB=PC,O 为BC 中点,∴BC⊥OP.
∵OF∩OP=O,OF,OP⊂平面POF,
∴BC⊥平面POF.
又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF.
过点P 作PM⊥FO 交FO 延长线于点M,则PM⊥平面ABC,
即PM 为三棱锥P-ABC 的高.
∵∠POF=120°,∴∠POM=60°.
在Rt△PBO 中,PO=√P B
2-( BC
2 )
2=2,
∴PM=POsin∠POM=2× √3
2 =√3,
∴V 三棱锥P-ABC=1
3
S△ABC×PM=1
3 × 1
2 ×2×2√2×√3= 2√6
3
.
4.(1)证明 连接A1C,交AC1于点O,连接OQ.
因为O,Q 分别为A1C,BC 中点,则A1B∥OQ,且A1B⊄平面QAC1,OQ⊂平面QAC1,可得
A1B∥平面QAC1,又因为A1B⊂平面BA1C1,平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,所以A1B∥l.
(2)解 取B1C1的中点Q1,以Q 为原点,QC,QA,QQ1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图
所示的空间直角坐标系,
5
则Q(0,0,0),A(0,√3,0),B1(-1,0,3),设CP=h,0≤h≤3,则P(1,0,h),可得⃗QA=(0,√3,0),⃗QP
=(1,0,h),⃗B1 P=(2,0,h-3),⃗B1 A=(1,√3,-3).设平面APQ 的法向量为m=(x1,y1,z1),则
{
m·⃗QA =√3 y1=0,
m·⃗QP = x1+h z1=0,
令z1=-1,则x1=h,y1=0,可得m=(h,0,-1).
设平面APB1的法向量为n=(x2,y2,z2),则{
n·⃗B1 P =2 x2+(h-3) z2=0,
n·⃗B1 A = x2+√3 y2-3 z2=0,
令x2=3-h,则y2=h+3
√3
,z2=2,可得n=(3-h,h+3
√3
,2),因为平面APQ⊥平面APB1,则m⊥n,可得
m·n=h(3-h)-2=0,解得h=1 或h=2,所以CP 的长度为1 或2.
5.(1)解 因为几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为
旋转轴旋转120°得到的,AD=2,AB=4.
所以该几何体的体积为底面半径为2,高为4 的圆柱体积的1
3
,所以该几何体的体积为1
3 ×
π×22×4=16 π
3
.
(2)证明 连接AE,因为P 是
CE
⏜上的中点,则BP⊥CE,O 是EC 的中点,又Q 是AC 的中点,
所以OQ∥AE,OQ⊄平面ABEF,AE⊂平面ABEF,所以OQ∥平面ABEF.
(3)解 连接OM,QM,因为平面OMQ∥平面ABEF,设平面OMQ∩平面ABCD=HG,又平面
ABEF∩平面ABCD=AB,则HG∥AB,因为Q 是AC 的中点,所以H 为BC 的中点,G 为AD
6
的中点,因为平面OMQ∩平面ADF=MG,又平面ABEF∩平面ADF=AF,平面OMQ∥平面
ABEF,所以GM∥AF,又∠FAD=120°,所以∠AGM=60°.因为AG=1,AM=2,在△AGM 中,由
正弦定理可得
AG
sin ∠AMG =
AM
sin ∠AGM
,所以
1
sin ∠AMG = 2
√3
2
,所以sin∠AMG=√3
4
,因为
GM∥AF,所以∠FAM=∠AMG,所以sin∠FAM=√3
4 .
